第4卷 二次函数（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第4卷 二次函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时， y有最小值ymin＝ 当时， y有最大值ymax＝ 【真题精讲】 考点01二次函数及其应用 1．（2024年山东省春季高考数学真题）函数是偶函数的充要条件是(　　) A． B． C． D． 2．（2023年山东省春季高考数学真题）已知二次函数的对称轴为，最小值为2． （1）求函数的解析式； （2）若，判断的奇偶性并证明． 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 3．（2021年山东省春季高考数学真题）已知是定义在上的奇函数，当时，，且.求： （1）实数的值； （2）该函数的解析式. 4．（23-24高三上·江苏·对口/高职单招）某职校毕业生小李一次性支出万元购厂创业，同年另需投入经费万元，以后每年比上一年多投入万元，假设每年的销售收入都是万元，现用表示前年的总利润.（前年的总收入-前年的总支出-购厂支出）. (1)问小李最短需要多长时间才能收回成本； (2)若干年后，为了转型升级，小李进行二次创业.现有如下两种处理方案：方案一，年平均利润最大时，以万元出售该厂；方案二，纯利润总和最大时，以万元出售该厂，请问哪个方案更好. 5．（24-25高三下·江苏·职教高考）江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： (1)当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ (2)当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 6．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数是二次函数，且满足①；②方程有两个相等的实根. (1)求的解析式； (2)解不等式. 7．（23-24高三下·天津·职教高考）已知二次函数满足条件，， (1)写出函数的解析式； (2)解不等式. 8．（24-25高三下·天津·职教高考）已知二次函数，且， (1)求实数c； (2)解不等式； (3)求函数在上的最大值和最小值. 9．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 10．（25-26高三上·山东青岛·一模）已知二次函数在是偶函数，且二次函数图像过. (1)求二次函数解析式； (2)求不等式的解集. 11．（25-26高三上·山东·一模）已知二次函数． (1)若，求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 12．（25-26高三上·山东·一模）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求的最大值. 【拓展提升】 一、选择题 1．（25-26高三上·山东潍坊·一模）已知函数，，则的最小值是（    ） A．4 B．1 C．3 D．5 2．（25-26高三下·山东济南·一模）若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·山东·模拟预测）函数的图像的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东·二模）若二次函数的顶点在轴上，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 5．（25-26高三上·山东·一模）若函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23高三·山东泰安·模拟预测）已知二次函数，当时，函数，则函数的表达式为 . 7．（21-22高三上·山东济南·一模）已知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则m的值等于 . 8．（25-26高三上·山东潍坊·一模）已知是定义在上的增函数，则实数的取值范围是 . 9．（21-22高三·山东·模拟预测）已知函数，若，则，，按照从小到大的顺序排列为 . 三、解答题 10．（23-24高三下·天津·职教高考）已知二次函数，且满足条件． (1)求实数m； (2)求不等式的解集； (3)当x为何值时，函数取得最小值，并求出最小值． 11．（22-23高三·江西·模拟预测）已知二次函数． (1)求的对称轴； (2)若，求a的值及的最值． 12．（25-26高三上·山东·三模）已知函数. (1)若为偶函数，求函数的解析式； (2)已知函数在上的最小值为，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第4卷 二次函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时， y有最小值ymin＝ 当时， y有最大值ymax＝ 【真题精讲】 考点01二次函数及其应用 1．（2024年山东省春季高考数学真题）函数是偶函数的充要条件是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以. 故选：A. 2．（2023年山东省春季高考数学真题）已知二次函数的对称轴为，最小值为2． （1）求函数的解析式； （2）若，判断的奇偶性并证明． 【答案】（1）；（2）偶函数，证明见解析 【分析】（1）由二次函数的对称轴和最小值，即知道顶点坐标，由顶点坐标公式求解即可. （2）由偶函数的定义，先证定义域关于原点对称，再证明即可. 【小问1详解】 因为函数的对称轴为，最小值为2， 所以解得 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 为偶函数．因为，则， 其定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数为偶函数. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数图像的对称轴为， 所以，解得， 所以函数为， 不等式即为， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式的关系求解集. 【详解】因为函数图像的对称轴为， 所以，解得， 所以函数为， 不等式即为， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 3．（2021年山东省春季高考数学真题）已知是定义在上的奇函数，当时，，且.求： （1）实数的值； （2）该函数的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由直接代入即可求得的值. （2）利用为奇函数及时的解析式即可求得时的解析式，再把两者写成分段函数即可. 【小问1详解】 当时，，且. 可得，解得. 【小问2详解】 由（1）当时，， 当时，，则 又因为是定义在上的奇函数， 即当时，， 所以该函数的解析式为 4．（23-24高三上·江苏·对口/高职单招）某职校毕业生小李一次性支出万元购厂创业，同年另需投入经费万元，以后每年比上一年多投入万元，假设每年的销售收入都是万元，现用表示前年的总利润.（前年的总收入-前年的总支出-购厂支出）. (1)问小李最短需要多长时间才能收回成本； (2)若干年后，为了转型升级，小李进行二次创业.现有如下两种处理方案：方案一，年平均利润最大时，以万元出售该厂；方案二，纯利润总和最大时，以万元出售该厂，请问哪个方案更好. 【答案】(1)小李最短需要2年时间才能收回成本； (2)方案一更好 【分析】（1）由前年的总收入-前年的总支出-购厂支出即可得结果； （2）由（1）可得两种方案的相关函数式，经二次函数的最值可得结果. 【详解】（1）由题意得： ， 收回成本即可获得纯利润要求， 所以，小李最短需要年时间才能收回成本； （2）方案一：年平均利润， 当且仅当即时，年平均利润最大为万元， 总利润为万元； 方案二：， 当时，纯利润总和最大万元，此时总利润为万元； 因为，且方案一需用时间年，二方案二需用时间年， 故综合考虑方案一更好. 5．（24-25高三下·江苏·职教高考）江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： (1)当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ (2)当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 【答案】(1)75元 (2)65元；72000元 【分析】（1）我们可以根据票价和游客数的变化关系来计算当游客数为1000人时的票价． （2）需要先建立收益与票价的函数关系，再通过函数性质求出最大收益以及对应的票价. 【详解】（1）当天的游客数为1000人时，当天的票价设为元． 所以，解得， 即当天的游客数为1000人时，当天的票价应为75元． （2）设票价为元，利润为元．票价相对于50元的提高量为元， 票价每提高5元，游客数减少100人， 因此游客数减少量为人， 游客数为人． 收益为票价乘以游客数：， 维护成本为游客数的5倍：成本， 利润为收益减去成本： 一成本， 这是一个关于的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处．顶点的横坐标为：元， 计算最大利润： 此时，游客数人． 即当天的票价应为65元时，最大收益为72000元． 6．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知函数是二次函数，且满足①；②方程有两个相等的实根. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，以及方程的判别式求解a的值即可求解解析式. （2）由对数函数的性质分析取值范围即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为有两个相等的实根， 所以满足， 所以，解得， 所以. （2）因为， 又因为函数在上为增函数， 可得，， 由，可得，解得或， 由，可得，解得， 所以不等式的解集为或. 7．（23-24高三下·天津·职教高考）已知二次函数满足条件，， (1)写出函数的解析式； (2)解不等式 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数特殊点的值及性质，即可求解. （2）解一元二次不等式，即可求解. 【详解】（1）设二次函数的解析式为 由题意知，， 则，化简得， 解得、、 所以. （2）由（1）知， 所以，化简得， 解得. 8．（24-25高三下·天津·职教高考）已知二次函数，且， (1)求实数c； (2)解不等式； (3)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】根据题意，结合二次函数解析式，及函数值，代入即可求解； 根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求得函数的最值. 【详解】（1）因为二次函数，且， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 又，即， 所以，即， 解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，函数图像开口向上，对称轴为轴， 所以当时，；. 9．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（）求出二次函数的对称轴，结合二次函数的单调性即可得解. （）因为对一切实数都成立，则即可得解. 【详解】（1）易知函数的图象开口向上，对称轴为直线． 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，即实数的取值范围是． （2）若，即对一切实数都成立， 则方程无实数解， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 10．（25-26高三上·山东青岛·一模）已知二次函数在是偶函数，且二次函数图像过. (1)求二次函数解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性得到函数对称轴，从而求出，再代值求出即可. （2）根据指数函数单调性得到指数部分的大小关系，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为二次函数在是偶函数， 所以，且函数对称轴为轴， 即，解得， 所以， 又因为二次函数图像过， 所以，解得， 所以二次函数解析式为：. （2）不等式即不等式， 因为指数函数单调递增，所以可得：， 即，即， 整理得：，解得， 故不等式的解集为. 11．（25-26高三上·山东·一模）已知二次函数． (1)若，求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数值求解参数即可. （2）根据二次函数的单调性求解最值即可. 【详解】（1）因为二次函数， 则，， 因为，即，解得． （2）二次函数的开口向上，对称轴是， ①当，即时，函数在区间上单调递增， 则该函数的最小值是； ②当，即时，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以该函数的最小值是； ③，即时，函数在上单调递减， 所以该函数的最小值是． 12．（25-26高三上·山东·一模）已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性结合题意即可求解. （2）根据函数的奇偶性，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 因为是偶函数，所以，即. （2）因为是偶函数，所以，的最大值即为的最大值. 当时，，对称轴， 则， 即，的最大值为. 【拓展提升】 一、选择题 1．（25-26高三上·山东潍坊·一模）已知函数，，则的最小值是（    ） A．4 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】∵函数，， ∴函数的对称轴，且图像开口向下， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数有最小值，为. 则的最小值是1. 故选：B. 2．（25-26高三下·山东济南·一模）若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的增区间，列不等式可求解. 【详解】因为二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以函数的增区间为. 又因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 3．（25-26高三·山东·模拟预测）函数的图像的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的顶点式确定顶点坐标即可. 【详解】已知函数， 所以该函数图像的顶点坐标为， 故选：B. 4．（25-26高三上·山东·二模）若二次函数的顶点在轴上，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】二次函数的顶点在轴上，则顶点坐标中的纵坐标为0，即，即可求得c的值． 【详解】二次函数的顶点在轴上， 可得，即，解得. 故选：B. 5．（25-26高三上·山东·一模）若函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的图象求出的范围，再判断二次函数的图象即可. 【详解】由函数的图象可得，， 故在二次函数，，可得抛物线图象开口向下， 由，可得抛物线与轴的交点在到之间， 又对称轴为，故选项中只有C选项符合要求. 故选：C. 二、填空题 6．（22-23高三·山东泰安·模拟预测）已知二次函数，当时，函数，则函数的表达式为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】依题意得，， 因为时，取最小值， 所以当为函数的对称轴， 解得. 时，， 则， 解得. 所以函数的表达式为. 故答案为： 7．（21-22高三上·山东济南·一模）已知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则m的值等于 . 【答案】4 【分析】根据题意可知函数的对称轴为直线，根据对称轴公式计算即可. 【详解】由题可知的对称轴为直线， 所以，解得. 故答案为：4. 8．（25-26高三上·山东潍坊·一模）已知是定义在上的增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性求解取值范围即可. 【详解】当时，指数函数若为增函数，则； 当时，二次函数若为增函数， 则有该函数图像开口向下，则，解得， ∵函数是定义在上的增函数， ∴，解得或， ∴，故实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（21-22高三·山东·模拟预测）已知函数，若，则，，按照从小到大的顺序排列为 . 【答案】 【分析】由二次函数图像的性质即可得解. 【详解】 由题意可知图像开口向上,所以对称轴为.如图所示. 由二次函数图像的性质可知的取值离对称轴越近越小. 故答案为:. 三、解答题 10．（23-24高三下·天津·职教高考）已知二次函数，且满足条件． (1)求实数m； (2)求不等式的解集； (3)当x为何值时，函数取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1) (2) (3)当时，函数取得最小值，最小值为-1. 【分析】（1）将代入函数解析式求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解； （3）利用二次函数性质求解. 【详解】（1）将代入函数解析得，解得. （2）二次函数，不等式可化为, ，解得或， 因此，所求不等式的解集为. （3）二次函数，开口向上， 当时，函数取得最小值. 11．（22-23高三·江西·模拟预测）已知二次函数． (1)求的对称轴； (2)若，求a的值及的最值． 【答案】(1) (2)a的值为，的最小值为，无最大值 【分析】（1）由二次函数的对称轴公式求解即可； （2）将代入计算，求得a的值，再由二次函数的图象和性质求得的最值即可. 【详解】（1）因为二次函数， 所以的对称轴为. （2）因为二次函数， 由可得，，解得， 所以， 该函数函数图象开口向上，由（1）知对称轴为， 在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增， 故当时，取小值，；无最大值， 综上所述，a的值为，的最小值为，无最大值. 12．（25-26高三上·山东·三模）已知函数. (1)若为偶函数，求函数的解析式； (2)已知函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先表示出函数，再根据偶函数的性质求解a的值，由此可得函数解析式； （2）先求解出函数的对称轴，分类讨论1与对称轴的大小，再根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）∵函数， ∴， ∵函数为偶函数， ∴， 可得，解得， ∴函数； （2）∵函数， ∴函数的对称轴， ∵函数在上的最小值为， ①当时，即时， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取得最小值，即， ∴，可得， 解得， ∵，且，故不满足题意； ②当时，即时， 此时函数在上单调递增， ∴函数在处取得最小值，即， ∴，解得，满足； 综上，实数的值为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $