第四单元 比例尺的意义及应用（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

第四单元 比例尺的意义及应用（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1. 核心概念 比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，核心是“两个距离的比”，用于表示图上距离和实际距离的缩放关系，是苏教版六年级下册“比的应用”的延伸，也是地图绘制、工程设计等实际场景的重要工具。 核心特征：比例尺是一个比，没有单位（图上距离和实际距离需统一单位后再求比）；比例尺的前项通常为1（缩小比例尺），有时也会出现后项为1的情况（放大比例尺），需根据实际场景判断。 2. 比例尺的核心意义 比例尺的核心作用是“缩小或放大实际距离”，将庞大的实际物体（如地图、建筑）或微小的物体（如零件），转化为便于绘制、观察的图上图形，体现“数形结合”和“转化”的数学思想，同时连接了“比”和“实际测量”的知识，是解决实际测量问题的重要桥梁。 3. 比例尺的常见场景 ① 地图绘制：如世界地图、校园平面图、交通路线图，用比例尺表示实际距离的缩放； ② 工程设计：如建筑施工图、零件设计图，用比例尺放大或缩小零件、建筑的尺寸； ③ 实际测量：如测量两地距离、物体长度，通过比例尺和图上距离，计算实际距离（或反之）； ④ 比例尺的转化：如将数值比例尺转化为线段比例尺，或根据实际场景选择合适的比例尺。 二、核心公式与等量关系 （一）基础前提（回顾） 1. 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比，比例尺本质是图上距离与实际距离的比； 2. 单位统一：图上距离常用单位（厘米cm），实际距离常用单位（米m、千米km），计算时需统一单位（1km=100000cm，1m=100cm）； 3. 比例尺的分类：按表现形式分为数值比例尺和线段比例尺；按缩放关系分为缩小比例尺（前项为1）和放大比例尺（后项为1）。 （二）核心公式与转化关系（苏教版重点） 1. 核心公式 ① 比例尺的基本公式： ② 推导公式（重点应用）： 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 2.比例尺的两种形式及转化 ① 数值比例尺：用分数或比表示，如1:10000、，表示图上1厘米对应实际10000厘米（100米）、5000厘米（50米）； ② 线段比例尺：用一条带有刻度的线段表示，如“0 50 100 150米”，线段上1厘米的长度对应实际50米，转化为数值比例尺为1:5000； ③ 转化方法：线段比例尺→数值比例尺，先统一单位，再根据线段刻度写出图上距离与实际距离的比，化简为最简整数比。 3.放大与缩小比例尺的区别 ① 缩小比例尺：前项为1，如1:1000（图上距离＜实际距离），用于地图、平面图； ② 放大比例尺：后项为1，如5:1、10:1（图上距离＞实际距离），用于零件设计图、微小物体放大图。 （三）比例尺应用常见隐含条件 1. 单位统一：题干中可能出现图上距离和实际距离单位不同（如cm和km），必须先统一单位再计算，避免计算错误； 2. 比例尺方向：默认比例尺的前项是图上距离、后项是实际距离，不可颠倒（如1:1000不可理解为实际1厘米对应图上1000厘米）； 3. 线段比例尺解读：线段上的刻度代表实际距离，需注意刻度间隔（如“0 20 40千米”，每1厘米对应20千米）； 4. 实际意义：计算出的实际距离或图上距离，需符合实际场景（如地图上两地距离不可能大于实际距离），检验结果合理性。 三、比例尺应用解题步骤（苏教版重点） 1. 审题找条件：明确题干中给出的量（图上距离、实际距离、比例尺），判断所求量，确认比例尺的类型（数值/线段）、缩放关系（放大/缩小）。 2. 统一单位：将图上距离和实际距离的单位统一（优先统一为厘米），避免单位混淆导致计算错误。 3. 选公式计算：根据所求量，选择对应的核心公式（求比例尺用基本公式，求图上/实际距离用推导公式），分步计算，注意比例尺的化简和转化（如线段比例尺转数值比例尺）。 4. 单位还原：若所求实际距离单位为厘米，需根据实际场景转化为米、千米等合适单位（如图上距离计算出的实际距离为50000厘米，转化为500米）。 5. 检验作答：检查单位是否统一、公式运用是否正确、结果是否符合实际意义，确认无误后规范作答。 四、常见比例尺题型及解题示例 1. 场景一：求比例尺（基础题） 例：一幅校园平面图，量得教学楼的长是5厘米，实际教学楼的长是20米，求这幅平面图的比例尺。 解：① 统一单位：实际长度20米 = 20×100 = 2000厘米 ② 运用基本公式：比例尺 = 图上距离÷实际距离 = 5:2000 ③ 化简比例尺：5:2000 = 1:400 答：这幅平面图的比例尺是1:400。 2. 场景二：已知比例尺和实际距离，求图上距离（进阶题） 例：一幅地图的比例尺是1:50000，甲、乙两地的实际距离是15千米，求甲、乙两地在这幅地图上的图上距离是多少厘米？ 解：① 统一单位：实际距离15千米 = 15×100000 = 1500000厘米 ② 运用推导公式：图上距离 = 实际距离×比例尺 = 1500000×= 30厘米 答：甲、乙两地在这幅地图上的图上距离是30厘米。 3. 场景三：已知比例尺和图上距离，求实际距离（进阶题） 例：一幅零件设计图的比例尺是10:1（放大比例尺），量得零件的图上长度是8厘米，求这个零件的实际长度是多少厘米？ 解：① 明确比例尺类型：10:1表示图上10厘米对应实际1厘米（放大比例尺，后项为1） ② 运用推导公式：实际距离 = 图上距离÷比例尺 = 8÷ = 0.8厘米 答：这个零件的实际长度是0.8厘米。 4. 场景四：线段比例尺与数值比例尺的转化（拓展题） 例：一幅地图的线段比例尺是“0 30 60 90千米”，将其转化为数值比例尺，并说明其意义。 解：① 统一单位：线段上1厘米对应实际30千米，30千米 = 30×100000 = 3000000厘米 ② 转化为数值比例尺：图上距离:实际距离 = 1:3000000 ③ 意义：表示图上1厘米的距离，对应实际30千米的距离。 答：数值比例尺是1:3000000，意义是图上1厘米对应实际30千米。 5. 易错题型：单位不统一、比例尺颠倒（警示题） 例：一幅地图，比例尺是1:100000，量得A、B两地的图上距离是6厘米，求A、B两地的实际距离是多少千米？（易错点：单位不统一、比例尺颠倒） 解：① 统一单位：比例尺1:100000表示图上1厘米对应实际100000厘米 ② 计算实际距离：6÷= 600000厘米（易错点：误算为6×，颠倒图上与实际距离） ③ 单位还原：600000厘米 = 600000÷100000 = 6千米 检验：6厘米×100000 = 600000厘米 = 6千米（正确） 答：A、B两地的实际距离是6千米。 培优练习 一、选择题 1．一个长方形的操场长108m，宽64m。画在练习本上，选比例尺（    ）比较合适。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图上距离=实际距离×比例尺，换算出各选项比例尺的图上距离，现实中一个长方形的操场长108m，宽64m，结合操场的大小，进行选择。 【详解】108米＝10800厘米、64米＝6400厘米 A．（厘米）、（厘米），图上距离太大，比例尺不合适； B．（厘米）、（厘米），比较合适； C．（厘米）、（厘米），图上距离太小，比例尺不合适； D．（厘米）、（厘米），图上距离太小，比例尺不合适； 故答案为：B 2．下列现象属于按比缩小的是（    ）。 A．用照相机给爸爸拍1寸的证件照 B．用放大镜看书 C．用望远镜看星星 D．将课本投影到屏幕上 【答案】A 【分析】先明确按比缩小的概念，即物体形状不变，大小按一定比例变小，再依次分析各选项是否符合该概念。 【详解】A.用照相机给爸爸拍1寸的证件照时，照相机通过镜头将实际的人像成像在底片或传感器上，此过程是将实际人像按照一定比例缩小，得到的照片上的人像与实际人像形状相同，但尺寸变小，符合按比缩小的定义。 B.用放大镜看书时，放大镜的作用是将书上的文字或图案等物体的图像放大，使我们能看清细节，这是将物体按一定比例放大，属于按比放大，不符合按比缩小的定义。 C.用望远镜看星星时，望远镜能将远处的星星等物体的图像放大，让我们感觉星星看起来更大、更清晰，这是按比放大的过程，不符合按比缩小的定义。 D.将课本投影到屏幕上时，投影仪会把课本上的内容放大投射到屏幕上，屏幕上的图像比课本本身大，属于按比放大，不符合按比缩小的定义。 故答案为：A 3．一张长方形图片的长是8厘米，这张图片的长与宽的比是。为了使图片看起来更清晰，要把这张图片按放大，放大后图片的长是12厘米，宽是（    ）厘米。 A．16 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据这张图片的长与宽的比是4∶3，用8除以4再乘3计算出实际宽的长度，再根据图上距离＝实际距离×比例尺求放大后的宽即可。 【详解】8÷4＝2（厘米） 2×3＝6（厘米） 6×1.5＝9（厘米） 所以，要把这张图片按1.5∶1放大，放大后图片的长是12厘米，宽是9厘米。 故答案为：B。 4．学校运动场长120米，宽60米。要画在长15厘米，宽10厘米的练习本上，下列的比例尺选用（    ）比较合适。 A．1∶10000 B．1∶1000 C．1∶100 D．1∶10 【答案】B 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，把单位米转化为厘米，计算各选项所得到图上距离，再选择合适的选项。 【详解】120米＝12000厘米 60米＝6000厘米 A．（厘米） （厘米） 画在长15厘米，宽10厘米的练习本上太小了，不合适。 B．（厘米） （厘米） 画在长15厘米，宽10厘米的练习本上，合适。 C．（厘米） （厘米） 画在长15厘米，宽10厘米的练习本上太大了，不合适。 D．（厘米） （厘米） 画在长15厘米，宽10厘米的练习本上太大了，不合适。 故答案为：B 5．一个手表上的精密零件长8毫米，宽5毫米，在设计图纸上量得它的长度是16厘米，这幅设计图纸的比例尺是（    ）。 A．1∶20 B．1∶200 C．20∶1 D．200∶1 【答案】C 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，先将单位转化为统一单位，再代入数据，最后将比化简成最简整数比。 【详解】16厘米＝160毫米 160∶8＝20∶1 则这幅设计图纸的比例尺是20∶1。 故答案为：C 6．一个长方形菜地按1∶50的比缩小后画在图纸上，长是8厘米，宽是5厘米，这块菜地的实际面积是（    ）平方米。 A．40 B．0.4 C．10 D．100 【答案】C 【分析】已知一个长方形菜地按1∶50的比缩小后画在图纸上，长方形菜地的长是8厘米，宽是5厘米，先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1米＝100厘米”，求出实际的长和宽；再根据长方形的面积＝长×宽，求出这块菜地的实际面积。 【详解】实际的长： 8÷ ＝8×50 ＝400（厘米） 400厘米＝4米 实际的宽： 5÷ ＝5×50 ＝250（厘米） 250厘米＝2.5米 实际面积： 4×2.5＝10（平方米） 这块菜地的实际面积是10平方米。 故答案为：C 二、填空题 7．在比例尺是1∶30000000的地图上量得甲、乙两地图上距离是4.5cm，一辆汽车按2∶3分两天行完全程，那么第二天行的路程是( )km。 【答案】 810 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出甲、乙两地的实际距离；再根据题意，汽车按2∶3分两天行完全程，则第二天行程占甲、乙两地的，用甲、乙两地的实际路程乘分率，即可求出第二天行的路程，根据1km＝1000m＝100000cm即可换算。 【详解】（cm） 135000000÷100000＝1350（km） （km） 即第二天行的路程是810km。 8．甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画( )厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行( )千米。 【答案】 8 80 【分析】（1）比例尺是图上距离与实际距离的比。题目中的线段比例尺表示图上1厘米代表实际3000000厘米，先根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米，把240千米换算成240×100000＝24000000厘米；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，求得图上应画几厘米。 （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出距离乙地的实际距离，再进行单位换算，然后计算已行驶路程，最后除以时间1.2小时得到速度。 【详解】（1）1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米。 240×100000＝24000000（厘米） 24000000×＝8（厘米） 因此，甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画8厘米。 （2）4.8÷ ＝4.8×3000000 ＝14400000（厘米） 14400000÷100000＝144（千米） 240－144＝96（千米） 96÷1.2＝80（千米/时） 因此，一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行80千米。 9．在比例尺是1∶4000000的地图上，图上距离是实际距离的( )，实际距离是图上距离的( )倍。 【答案】 4000000 【分析】先明确比例尺的定义，再根据定义分别求出图上距离是实际距离的几分之几以及实际距离是图上距离的倍数。 比例尺是表示图上距离与实际距离的比，题目中比例尺为，即图上距离：实际距离＝。要求图上距离是实际距离的几分之几，用图上距离除以实际距离即可； 根据比例尺，可知实际距离是图上距离的倍数，用实际距离除以图上距离即比例尺的后项除以前项。 【详解】； 所以，在比例尺是1∶4000000的地图上，图上距离是实际距离的，实际距离是图上距离的4000000倍。 10．战国时期中山王陵的铜版地图《兆域图》是世界上现存最早的建筑设计平面规划图，其比例尺是1∶500。它表示图上距离是实际距离的( )，实际距离是图上距离的( )倍，图上距离1cm表示实际距离( )m。 【答案】；500；5 【分析】图上距离：实际距离＝比例尺，根据比例尺定义解答。 【详解】比例尺是1∶500，图上距离1份，实际距离是这样的500份。 ；；500厘米＝5米 战国时期中山王陵的铜版地图《兆域图》是世界上现存最早的建筑设计平面规划图，其比例尺是1∶500。它表示图上距离是实际距离的，实际距离是图上距离的500倍，图上距离1cm表示实际距离5m。 11．在比例尺1∶4500000的地图上，图上4厘米表示实际距离是( )千米；甲乙两地的实际距离是108千米，在地图上的长是( )厘米。 【答案】 180 2.4 【分析】1千米＝100000厘米；比例尺＝， 实际距离＝图上距离÷比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺，据此代入数据做答即可。 【详解】4÷＝4×4500000＝18000000（厘米） 18000000厘米＝180千米 108千米＝10800000厘米 10800000×＝2.4（厘米） 在比例尺1∶4500000的地图上，图上4厘米表示实际距离是180千米；甲乙两地的实际距离是108千米，在地图上的长是2.4厘米。 12．这是一幅地图的比例尺，它表示图上1厘米的距离相当于实际距离( )米，实际240米的距离在这幅图上要画( )厘米。 【答案】 20 12 【分析】根据线段比例尺可知，图上1厘米表示实际20米，接着计算240里面有几个20，用除法计算即可。 【详解】（厘米） 这是一幅地图的比例尺，它表示图上1厘米的距离相当于实际距离20米，实际240米的距离在这幅图上要画12厘米。 三、解答题 13．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是19.6厘米，一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发相向而行，3.5小时后两车相遇。已知快车和慢车的速度比是4∶3，这两辆车的速度各是多少？ 【答案】160千米/小时；120千米/小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，用19.6÷列式计算求出实际距离是多少厘米，再把厘米化成千米，再根据“速度和＝路程÷相遇时间”求出速度和，把快车和慢车的速度比看作份数比，用速度和除以总份数，求出1份是多少千米/小时，再分别乘快车和慢车的份数即可解答。 【详解】19.6÷＝19.6×5000000＝98000000（厘米） 98000000厘米＝980千米 980÷3.5＝280（千米/小时） 280÷（4＋3） ＝280÷7 ＝40（千米/小时） 40×4＝160（千米/小时） 40×3＝120（千米/小时） 答：快车的速度是160千米/小时，慢车的速度是120千米/小时。 14．端午假期，凡凡计划从定陶区镜湖广场乘坐出租车到菏泽市科技馆参观。出行前凡凡做的打车预算是60元，他在一幅比例尺是的菏泽市地图上，量得两地之间的路程是4.7厘米，凡凡这次乘坐出租车，单程会超出预算吗？ 出租车收费标准 3千米以内（含3千米）12元，超过3千米的部分，每千米2.2元。（不足1千米按1千米计算） 【答案】单程不会超出预算 【分析】根据实际距离图上距离比例尺，求两地之间的实际距离；再用求出的路程减去3千米，求出超出部分的距路程，乘超出部分的单价，即可求出超出部分的费用，再加上3千米以内的费用12元，即可求出要付的钱数，然后再与60元比较判断即可。 【详解】 （厘米） 2350000厘米千米 （千米） 20.5千米千米 （元） 60元元 答：单程不会超出预算。 【点睛】此题考查了图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，利用“分段计费法”解决实际问题，注意计算的准确性。 15．在比例尺是1∶2500000的地图上，量得A、B两地相距12厘米。如果李叔叔和王叔叔开车同时从两地相对出发，李叔叔开车每小时行105千米，王叔叔开车每小时行95千米。几小时后两人能相遇？ 【答案】1.5小时 【分析】比例尺是1∶2500000，表示图上1厘米代表实际距离2500000厘米，即25千米。已知A、B两地图上相距12厘米，用25乘12即可求出A、B两地的实际距离。相遇时间＝总路程÷速度和，据此用两地的总路程除以李叔叔与王叔叔开车的速度和，即可求出几小时后两人能相遇。 【详解】2500000厘米＝25千米 25×12＝300（千米） 300÷（105＋95） ＝300÷200 ＝1.5（小时） 答：1.5小时后两人能相遇。 16．武夷新区旅游观光轨道交通项目总规划里程68km。1号线连接合福高铁南平市站和武夷山景区，定位为“旅游观光线路”，线路全长约26km。在一幅比例尺是1∶500000的轨道交通路线图上，南平市站至武夷山景区的长度是多少厘米？ 【答案】5.2厘米 【分析】图上距离，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”解答即可。 【详解】26千米＝2600000厘米 2600000×＝5.2（厘米） 答：南平市站至武夷山景区的长度是5.2厘米。 【点睛】此题主要依据图上距离、实际距离和比例尺的关系解决问题。 17．在一幅比例尺为1∶20000000地图中，量得昆明到重庆之间的铁路长度是3.4cm，一辆高铁和一辆火车同时从两地相对开出，2.5小时相遇，高铁每小时行184千米，火车每小时行驶多少千米？（忽略车长） 【答案】88千米 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出北京到洛阳的实际距离。再根据“相遇时间＝路程÷速度之和”即可求出两车的速度和，再用速度和减高铁的速度，就得火车的速度。 【详解】实际距离：3.4÷＝3.4×20000000＝68000000（cm）＝680km 680÷2.5－184 ＝272－184 ＝88（km） 答：火车每小时行驶88千米。 【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，以及相遇问题中的基本数量关系“相遇时间＝路程÷速度之和”的灵活应用。 18．在比例尺是1∶2000000的地图上，量得A市到B市的公路长17.5厘米，两辆车分别从两市同时出发，沿公路相向而行。快车每小时行驶80千米，慢车每小时行驶60千米，多长时间后两车相遇？ 【答案】2.5小时 【分析】首先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两市之间的路程，再根据相遇时间＝路程÷速度和，据此列式解答。 【详解】17.5÷ ＝17.5×2000000 ＝35000000（厘米） 35000000厘米＝350千米 350÷（80＋60） ＝350÷140 ＝2.5（小时） 答：2.5小时后两车相遇。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，以及相遇问题的基本数量关系及应用。 19．在比例尺为1∶10000000的地图上，量得甲地到乙地的高速铁路长6.6厘米。高速铁路上的火车平均运行速度为210千米/时，从甲地到乙地乘火车大约需几小时？（得数保留一位小数） 【答案】3.1小时 【分析】已知比例尺和甲地到乙地高速铁路的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出甲地到乙地高速铁路的实际距离，并根据进率“1千米＝100000厘米”换算；然后根据“时间＝路程÷速度”，求出从甲地到乙地乘火车需要的时间。 【详解】6.6÷ ＝6.6×10000000 ＝66000000（厘米） 66000000厘米＝660千米 660÷210≈3.1（小时） 答：从甲地到乙地乘火车大约需3.1小时。 【点睛】本题考查比例尺的应用以及行程问题，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 20．在比例尺是1∶20000000的地图上量得甲、乙两地间的铁路长5厘米。有两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出，已知一辆火车平均每小时行驶170千米，另一辆火车平均每小时行驶130千米，大约经过多少小时两车还差100千米相遇？ 【答案】3小时 【分析】根据“实际距离＝图上距离比例尺”即可求出甲、乙两地的实际距离。再根据“时间＝路程速度”，用甲、乙两地的距离与100千米之差除以这两列火车的速度之和，即可求出大约经过多少小时两车还差100千米相遇。 【详解】（厘米） 100000000厘米＝1000千米 ＝ ＝3（小时） 答：大约经过3小时两车还差100千米相遇。 【点睛】此题考查的知识有：比例尺的应用图上距离、实际距离、比例尺三者之间的关系及路程、速度、时间三者之间的关系。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比例尺的意义及应用（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1. 核心概念 比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，核心是“两个距离的比”，用于表示图上距离和实际距离的缩放关系，是苏教版六年级下册“比的应用”的延伸，也是地图绘制、工程设计等实际场景的重要工具。 核心特征：比例尺是一个比，没有单位（图上距离和实际距离需统一单位后再求比）；比例尺的前项通常为1（缩小比例尺），有时也会出现后项为1的情况（放大比例尺），需根据实际场景判断。 2. 比例尺的核心意义 比例尺的核心作用是“缩小或放大实际距离”，将庞大的实际物体（如地图、建筑）或微小的物体（如零件），转化为便于绘制、观察的图上图形，体现“数形结合”和“转化”的数学思想，同时连接了“比”和“实际测量”的知识，是解决实际测量问题的重要桥梁。 3. 比例尺的常见场景 ① 地图绘制：如世界地图、校园平面图、交通路线图，用比例尺表示实际距离的缩放； ② 工程设计：如建筑施工图、零件设计图，用比例尺放大或缩小零件、建筑的尺寸； ③ 实际测量：如测量两地距离、物体长度，通过比例尺和图上距离，计算实际距离（或反之）； ④ 比例尺的转化：如将数值比例尺转化为线段比例尺，或根据实际场景选择合适的比例尺。 二、核心公式与等量关系 （一）基础前提（回顾） 1. 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比，比例尺本质是图上距离与实际距离的比； 2. 单位统一：图上距离常用单位（厘米cm），实际距离常用单位（米m、千米km），计算时需统一单位（1km=100000cm，1m=100cm）； 3. 比例尺的分类：按表现形式分为数值比例尺和线段比例尺；按缩放关系分为缩小比例尺（前项为1）和放大比例尺（后项为1）。 （二）核心公式与转化关系（苏教版重点） 1. 核心公式 ① 比例尺的基本公式： ② 推导公式（重点应用）： 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 2.比例尺的两种形式及转化 ① 数值比例尺：用分数或比表示，如1:10000、，表示图上1厘米对应实际10000厘米（100米）、5000厘米（50米）； ② 线段比例尺：用一条带有刻度的线段表示，如“0 50 100 150米”，线段上1厘米的长度对应实际50米，转化为数值比例尺为1:5000； ③ 转化方法：线段比例尺→数值比例尺，先统一单位，再根据线段刻度写出图上距离与实际距离的比，化简为最简整数比。 3.放大与缩小比例尺的区别 ① 缩小比例尺：前项为1，如1:1000（图上距离＜实际距离），用于地图、平面图； ② 放大比例尺：后项为1，如5:1、10:1（图上距离＞实际距离），用于零件设计图、微小物体放大图。 （三）比例尺应用常见隐含条件 1. 单位统一：题干中可能出现图上距离和实际距离单位不同（如cm和km），必须先统一单位再计算，避免计算错误； 2. 比例尺方向：默认比例尺的前项是图上距离、后项是实际距离，不可颠倒（如1:1000不可理解为实际1厘米对应图上1000厘米）； 3. 线段比例尺解读：线段上的刻度代表实际距离，需注意刻度间隔（如“0 20 40千米”，每1厘米对应20千米）； 4. 实际意义：计算出的实际距离或图上距离，需符合实际场景（如地图上两地距离不可能大于实际距离），检验结果合理性。 三、比例尺应用解题步骤（苏教版重点） 1. 审题找条件：明确题干中给出的量（图上距离、实际距离、比例尺），判断所求量，确认比例尺的类型（数值/线段）、缩放关系（放大/缩小）。 2. 统一单位：将图上距离和实际距离的单位统一（优先统一为厘米），避免单位混淆导致计算错误。 3. 选公式计算：根据所求量，选择对应的核心公式（求比例尺用基本公式，求图上/实际距离用推导公式），分步计算，注意比例尺的化简和转化（如线段比例尺转数值比例尺）。 4. 单位还原：若所求实际距离单位为厘米，需根据实际场景转化为米、千米等合适单位（如图上距离计算出的实际距离为50000厘米，转化为500米）。 5. 检验作答：检查单位是否统一、公式运用是否正确、结果是否符合实际意义，确认无误后规范作答。 四、常见比例尺题型及解题示例 1. 场景一：求比例尺（基础题） 例：一幅校园平面图，量得教学楼的长是5厘米，实际教学楼的长是20米，求这幅平面图的比例尺。 解：① 统一单位：实际长度20米 = 20×100 = 2000厘米 ② 运用基本公式：比例尺 = 图上距离÷实际距离 = 5:2000 ③ 化简比例尺：5:2000 = 1:400 答：这幅平面图的比例尺是1:400。 2. 场景二：已知比例尺和实际距离，求图上距离（进阶题） 例：一幅地图的比例尺是1:50000，甲、乙两地的实际距离是15千米，求甲、乙两地在这幅地图上的图上距离是多少厘米？ 解：① 统一单位：实际距离15千米 = 15×100000 = 1500000厘米 ② 运用推导公式：图上距离 = 实际距离×比例尺 = 1500000×= 30厘米 答：甲、乙两地在这幅地图上的图上距离是30厘米。 3. 场景三：已知比例尺和图上距离，求实际距离（进阶题） 例：一幅零件设计图的比例尺是10:1（放大比例尺），量得零件的图上长度是8厘米，求这个零件的实际长度是多少厘米？ 解：① 明确比例尺类型：10:1表示图上10厘米对应实际1厘米（放大比例尺，后项为1） ② 运用推导公式：实际距离 = 图上距离÷比例尺 = 8÷= 0.8厘米 答：这个零件的实际长度是0.8厘米。 4. 场景四：线段比例尺与数值比例尺的转化（拓展题） 例：一幅地图的线段比例尺是“0 30 60 90千米”，将其转化为数值比例尺，并说明其意义。 解：① 统一单位：线段上1厘米对应实际30千米，30千米 = 30×100000 = 3000000厘米 ② 转化为数值比例尺：图上距离:实际距离 = 1:3000000 ③ 意义：表示图上1厘米的距离，对应实际30千米的距离。 答：数值比例尺是1:3000000，意义是图上1厘米对应实际30千米。 5. 易错题型：单位不统一、比例尺颠倒（警示题） 例：一幅地图，比例尺是1:100000，量得A、B两地的图上距离是6厘米，求A、B两地的实际距离是多少千米？（易错点：单位不统一、比例尺颠倒） 解：① 统一单位：比例尺1:100000表示图上1厘米对应实际100000厘米 ② 计算实际距离：6÷ = 600000厘米（易错点：误算为6×，颠倒图上与实际距离） ③ 单位还原：600000厘米 = 600000÷100000 = 6千米 检验：6厘米×100000 = 600000厘米 = 6千米（正确） 答：A、B两地的实际距离是6千米。 培优练习 一、选择题 1．一个长方形的操场长108m，宽64m。画在练习本上，选比例尺（    ）比较合适。 A． B． C． D． 2．下列现象属于按比缩小的是（    ）。 A．用照相机给爸爸拍1寸的证件照 B．用放大镜看书 C．用望远镜看星星 D．将课本投影到屏幕上 3．一张长方形图片的长是8厘米，这张图片的长与宽的比是。为了使图片看起来更清晰，要把这张图片按放大，放大后图片的长是12厘米，宽是（    ）厘米。 A．16 B．9 C．8 D．6 4．学校运动场长120米，宽60米。要画在长15厘米，宽10厘米的练习本上，下列的比例尺选用（    ）比较合适。 A．1∶10000 B．1∶1000 C．1∶100 D．1∶10 5．一个手表上的精密零件长8毫米，宽5毫米，在设计图纸上量得它的长度是16厘米，这幅设计图纸的比例尺是（    ）。 A．1∶20 B．1∶200 C．20∶1 D．200∶1 6．一个长方形菜地按1∶50的比缩小后画在图纸上，长是8厘米，宽是5厘米，这块菜地的实际面积是（    ）平方米。 A．40 B．0.4 C．10 D．100 二、填空题 7．在比例尺是1∶30000000的地图上量得甲、乙两地图上距离是4.5cm，一辆汽车按2∶3分两天行完全程，那么第二天行的路程是( )km。 8．甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画( )厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行( )千米。 9．在比例尺是1∶4000000的地图上，图上距离是实际距离的( )，实际距离是图上距离的( )倍。 10．战国时期中山王陵的铜版地图《兆域图》是世界上现存最早的建筑设计平面规划图，其比例尺是1∶500。它表示图上距离是实际距离的( )，实际距离是图上距离的( )倍，图上距离1cm表示实际距离( )m。 11．在比例尺1∶4500000的地图上，图上4厘米表示实际距离是( )千米；甲乙两地的实际距离是108千米，在地图上的长是( )厘米。 12．这是一幅地图的比例尺，它表示图上1厘米的距离相当于实际距离( )米，实际240米的距离在这幅图上要画( )厘米。 三、解答题 13．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是19.6厘米，一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发相向而行，3.5小时后两车相遇。已知快车和慢车的速度比是4∶3，这两辆车的速度各是多少？ 14．端午假期，凡凡计划从定陶区镜湖广场乘坐出租车到菏泽市科技馆参观。出行前凡凡做的打车预算是60元，他在一幅比例尺是的菏泽市地图上，量得两地之间的路程是4.7厘米，凡凡这次乘坐出租车，单程会超出预算吗？ 出租车收费标准 3千米以内（含3千米）12元，超过3千米的部分，每千米2.2元。（不足1千米按1千米计算） 15．在比例尺是1∶2500000的地图上，量得A、B两地相距12厘米。如果李叔叔和王叔叔开车同时从两地相对出发，李叔叔开车每小时行105千米，王叔叔开车每小时行95千米。几小时后两人能相遇？ 16．武夷新区旅游观光轨道交通项目总规划里程68km。1号线连接合福高铁南平市站和武夷山景区，定位为“旅游观光线路”，线路全长约26km。在一幅比例尺是1∶500000的轨道交通路线图上，南平市站至武夷山景区的长度是多少厘米？ 17．在一幅比例尺为1∶20000000地图中，量得昆明到重庆之间的铁路长度是3.4cm，一辆高铁和一辆火车同时从两地相对开出，2.5小时相遇，高铁每小时行184千米，火车每小时行驶多少千米？（忽略车长） 18．在比例尺是1∶2000000的地图上，量得A市到B市的公路长17.5厘米，两辆车分别从两市同时出发，沿公路相向而行。快车每小时行驶80千米，慢车每小时行驶60千米，多长时间后两车相遇？ 19．在比例尺为1∶10000000的地图上，量得甲地到乙地的高速铁路长6.6厘米。高速铁路上的火车平均运行速度为210千米/时，从甲地到乙地乘火车大约需几小时？（得数保留一位小数） 20．在比例尺是1∶20000000的地图上量得甲、乙两地间的铁路长5厘米。有两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出，已知一辆火车平均每小时行驶170千米，另一辆火车平均每小时行驶130千米，大约经过多少小时两车还差100千米相遇？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $