第二单元 不规则物体的体积——溢水问题（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

第二单元 不规则物体的体积——溢水问题（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1. 核心概念 不规则物体体积：无法直接用圆柱、圆锥体积公式计算的物体（如石块、土豆、铁块等）的体积，需通过转化法（溢水法）间接计算。 溢水问题：利用“物体浸入装满水的容器中，溢出的水的体积 = 不规则物体的体积”这一原理，计算不规则物体体积的一类题型，是苏教版六年级下册重点考查的转化思想应用题型。 2. 溢水问题的核心原理 基于“体积守恒”：当容器装满水时，容器内水的体积固定，将不规则物体完全浸入水中，物体占据水的空间，导致部分水溢出，溢出的水的体积与不规则物体的体积相等（前提：物体完全浸没、无损耗、水无飞溅）。 3. 溢水问题的常见场景 ① 容器装满水，放入不规则物体，收集溢出的水，计算溢出水的体积（即物体体积）； ② 容器装水未装满，放入不规则物体后，水溢出，此时溢出水的体积 = 物体体积 - 容器内未装满部分的空间体积； ③ 多个不规则物体依次放入装满水的容器，总溢出水的体积 = 多个物体体积之和。 二、核心公式与等量关系 （一）基础公式（回顾） 1. 圆柱体积（溢出水通常用圆柱容器收集，需计算圆柱体积）： 2. 长方体/正方体体积（若用长方体/正方体容器收集溢出水）： （二）溢水问题核心等量关系 1. 场景一：容器完全装满水（最基础题型） 核心等量关系： 补充：若溢出水收集在圆柱容器中， 2. 场景二：容器未装满水，放入物体后溢水（进阶题型） 核心等量关系：$ 补充：= 容器底面积×（容器总高 - 放入物体前水的高度），即容器内未被水占据的空间体积。 3. 场景三：多个不规则物体溢水 核心等量关系：（容器初始装满水） （三）溢水问题常见隐含条件 1. 完全浸没：题目未说明“未完全浸没”时，默认不规则物体完全浸入水中，否则溢出水体积小于物体体积（需特别注意题干表述）； 2. 无损耗：默认水无飞溅、物体无溶解（如盐块不适用），溢出水体积完全等于物体占据的空间体积； 3. 单位统一：容器的半径、直径、高度，溢出水的高度等单位可能不同（如cm、dm），需先统一单位再计算； 4. 容器形状：多数题目用圆柱形容器（贴合本单元重点），少数用长方体容器，需根据容器形状选择对应体积公式。 三、溢水问题解题步骤 1. 审题判场景：明确容器是否装满水、物体是否完全浸没、溢出水是否收集，判断属于哪类溢水场景，确定核心等量关系。 2. 标注已知量：找出容器的底面积（或半径、直径、长、宽）、容器总高、初始水深、溢出水的高度等条件，统一单位，标注未知量（不规则物体体积）。 3. 列公式计算：根据场景对应的等量关系，先计算溢出水的体积（或容器剩余空间体积），再推导不规则物体的体积，分步计算，避免漏算、错算。 4. 检验作答：检查单位（体积单位为立方单位：$$cm^3$$、$$dm^3$$、$$m^3$$），核对计算过程（如圆柱底面积是否正确、是否统一单位），确认结果合理后作答。 四、常见溢水问题题型及解题示例 1. 场景一：容器装满水，溢水求体积（基础题） 例：一个底面半径为5cm的圆柱形容器，装满水后，将一块不规则石块完全浸入水中，溢出的水收集在一个底面半径为2cm的圆柱形小桶中，测得小桶内溢出水的高度为10cm，求这块石块的体积。 解：石块体积 = 溢出水的体积（容器装满水，完全浸没） 溢出水的体积（圆柱体积） 答：这块石块的体积是。 2. 场景二：容器未装满水，溢水求体积（进阶题） 例：一个圆柱形玻璃缸，底面直径为8dm，高为10dm，先往缸内倒入6dm深的水，再将一块不规则铁块完全浸入水中，水溢出25.12dm³，求这块铁块的体积。 解：铁块体积 = 容器剩余空间体积 + 溢出水体积 3. 场景三：多个物体溢水，求单个体积（拓展题） 例：一个装满水的长方体容器，长10cm、宽8cm、高15cm，先后放入两块不规则石块，共溢出480cm³的水，已知第一块石块体积为220cm³，求第二块石块的体积。 解：两块石块总体积 = 总溢出水体积（容器装满水） 第二块石块体积 答：第二块石块的体积是 4. 易错题型：未完全浸没（警示题） 例：一个圆柱形容器，底面半径3cm，装满水后，放入一块不规则木块，木块有一部分露出水面，测得溢出水的体积为56.52cm³，判断：这块木块的体积大于56.52cm³（√），为什么？ 解：因木块未完全浸没，溢出水的体积仅等于木块浸入水中部分的体积，木块总体积 = 浸入部分体积 + 露出部分体积，因此木块体积大于溢出水的体积。 培优练习 一、选择题 1．将下图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）（单位：厘米）。 A． B． C． D． 2．一个圆柱形水桶，底面半径20厘米，装水高度30厘米。将一个底面半径10厘米的圆锥形铁块完全浸入水中，水面上升1厘米（水未溢出）。圆锥的高是（    ）厘米。（取3） A．12 B．24 C．36 D．48 3．当我们遇到复杂或陌生的问题时，常常运用“转化”策略，把它变成简单或者熟悉的问题来解决。下列问题解决中，运用了“转化”策略的有（    ）。                      ①计算分母不同的分数减法    ②计算分数除以整数    ③计算图形的体积    ④计算石头的体积 A．④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 4．（如图）药瓶的容积是，瓶内装有一些药水。瓶子正放时，瓶内药水液面高是，瓶子倒放时，空余部分高是，则瓶内药水的体积是（    ）。 A． B． C． D． 5．把一块石头浸没在一个高是12厘米，底面积是50.24平方厘米的装有水的圆柱体容器里，这时，容器的水面上升了2厘米（水没有溢出）。这块石头的体积是（    ）立方厘米。 A．703.36 B．602.88 C．502.4 D．100.48 6．如图，两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm；②号容器放入同样大的小球和一个小长方体后水面的高是26cm，小球的体积与小长方体的体积比是（    ）。 A．3∶11 B．3∶5 C．3∶2 D．9∶7 二、填空题 7．我们把一个不规则饮料瓶装满水，然后把水倒入一个内直径是8cm的圆柱形容器中，水面高度是10cm，那么这个不规则饮料瓶的容积是( )mL。 8．有三个规格相同的圆柱形容器，底面半径是2厘米，高5.5厘米。把大小两种玻璃球放入装有同样多水的容器中（如图所示），大球和小球的体积比是( )∶( )。如果往容器③里继续放玻璃球，使得水面上升到杯口又不溢出，可以放入( )。 9．一个底面半径是5cm的圆柱形容器，装有水和一块不规则石头（石头完全浸没），水面高度为8cm。将石头取出，高度变成了6cm。这块石头的体积是( )cm3。 10．解决数学问题，常用到转化思想。如下图，一个饮料瓶的饮料高度为7厘米，乐乐把这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放，空余部分的高度是18厘米。这一操作过程，就是把不规则的瓶子转化成高是( )厘米的( )体，根据题目中的信息，瓶子的容积是( )毫升。 11．如图，一个水瓶的容积是400毫升，瓶身高24厘米，倒出一些水后，水面高度是16厘米，将瓶子倒置，水面高度变成20厘米，倒出去___________毫升水。（水瓶的厚度不计） 12．两个同样的量杯原来各盛有640mL水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )mL。 三、解答题 13．一个底面半径为5厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一块底面直径为6厘米，高为10厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块被浸没。当铁块取出时，容器里的水面会下降多少厘米？ 14．一个盛有水、底面直径是20厘米的圆柱形容器中，完全浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） 15．一个底面内直径是24厘米的圆柱形杯中装有水，水里浸没一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥体铁块，当铁块从杯中取出时，杯里水面会下降多少厘米？ 16．一个圆柱形玻璃杯的底面半径是10厘米，里面装有水，水深12厘米。如图，把一个铁块浸没在水中，这时水深15厘米。这个铁块重多少克？（每立方厘米铁的质量按7.8克计算，得数保留整数） 17．下图中一个小玻璃球的体积是多少立方厘米？（每个小玻璃球同样大）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？ 18．如图，圆柱形容器中有628毫升的水，乌鸦至少要将多少立方厘米的石子放进容器中才能喝到水？（假定所有放进容器中的石子均没入水中） 19．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 20．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 不规则物体的体积——溢水问题（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1. 核心概念 不规则物体体积：无法直接用圆柱、圆锥体积公式计算的物体（如石块、土豆、铁块等）的体积，需通过转化法（溢水法）间接计算。 溢水问题：利用“物体浸入装满水的容器中，溢出的水的体积 = 不规则物体的体积”这一原理，计算不规则物体体积的一类题型，是苏教版六年级下册重点考查的转化思想应用题型。 2. 溢水问题的核心原理 基于“体积守恒”：当容器装满水时，容器内水的体积固定，将不规则物体完全浸入水中，物体占据水的空间，导致部分水溢出，溢出的水的体积与不规则物体的体积相等（前提：物体完全浸没、无损耗、水无飞溅）。 3. 溢水问题的常见场景 ① 容器装满水，放入不规则物体，收集溢出的水，计算溢出水的体积（即物体体积）； ② 容器装水未装满，放入不规则物体后，水溢出，此时溢出水的体积 = 物体体积 - 容器内未装满部分的空间体积； ③ 多个不规则物体依次放入装满水的容器，总溢出水的体积 = 多个物体体积之和。 二、核心公式与等量关系 （一）基础公式（回顾） 1. 圆柱体积（溢出水通常用圆柱容器收集，需计算圆柱体积）： 2. 长方体/正方体体积（若用长方体/正方体容器收集溢出水）： （二）溢水问题核心等量关系 1. 场景一：容器完全装满水（最基础题型） 核心等量关系： 补充：若溢出水收集在圆柱容器中， 2. 场景二：容器未装满水，放入物体后溢水（进阶题型） 核心等量关系：$ 补充：= 容器底面积×（容器总高 - 放入物体前水的高度），即容器内未被水占据的空间体积。 3. 场景三：多个不规则物体溢水 核心等量关系：（容器初始装满水） （三）溢水问题常见隐含条件 1. 完全浸没：题目未说明“未完全浸没”时，默认不规则物体完全浸入水中，否则溢出水体积小于物体体积（需特别注意题干表述）； 2. 无损耗：默认水无飞溅、物体无溶解（如盐块不适用），溢出水体积完全等于物体占据的空间体积； 3. 单位统一：容器的半径、直径、高度，溢出水的高度等单位可能不同（如cm、dm），需先统一单位再计算； 4. 容器形状：多数题目用圆柱形容器（贴合本单元重点），少数用长方体容器，需根据容器形状选择对应体积公式。 三、溢水问题解题步骤 1. 审题判场景：明确容器是否装满水、物体是否完全浸没、溢出水是否收集，判断属于哪类溢水场景，确定核心等量关系。 2. 标注已知量：找出容器的底面积（或半径、直径、长、宽）、容器总高、初始水深、溢出水的高度等条件，统一单位，标注未知量（不规则物体体积）。 3. 列公式计算：根据场景对应的等量关系，先计算溢出水的体积（或容器剩余空间体积），再推导不规则物体的体积，分步计算，避免漏算、错算。 4. 检验作答：检查单位（体积单位为立方单位：$$cm^3$$、$$dm^3$$、$$m^3$$），核对计算过程（如圆柱底面积是否正确、是否统一单位），确认结果合理后作答。 四、常见溢水问题题型及解题示例 1. 场景一：容器装满水，溢水求体积（基础题） 例：一个底面半径为5cm的圆柱形容器，装满水后，将一块不规则石块完全浸入水中，溢出的水收集在一个底面半径为2cm的圆柱形小桶中，测得小桶内溢出水的高度为10cm，求这块石块的体积。 解：石块体积 = 溢出水的体积（容器装满水，完全浸没） 溢出水的体积（圆柱体积） 答：这块石块的体积是。 2. 场景二：容器未装满水，溢水求体积（进阶题） 例：一个圆柱形玻璃缸，底面直径为8dm，高为10dm，先往缸内倒入6dm深的水，再将一块不规则铁块完全浸入水中，水溢出25.12dm³，求这块铁块的体积。 解：铁块体积 = 容器剩余空间体积 + 溢出水体积 3. 场景三：多个物体溢水，求单个体积（拓展题） 例：一个装满水的长方体容器，长10cm、宽8cm、高15cm，先后放入两块不规则石块，共溢出480cm³的水，已知第一块石块体积为220cm³，求第二块石块的体积。 解：两块石块总体积 = 总溢出水体积（容器装满水） 第二块石块体积 答：第二块石块的体积是 4. 易错题型：未完全浸没（警示题） 例：一个圆柱形容器，底面半径3cm，装满水后，放入一块不规则木块，木块有一部分露出水面，测得溢出水的体积为56.52cm³，判断：这块木块的体积大于56.52cm³（√），为什么？ 解：因木块未完全浸没，溢出水的体积仅等于木块浸入水中部分的体积，木块总体积 = 浸入部分体积 + 露出部分体积，因此木块体积大于溢出水的体积。 培优练习 一、选择题 1．将下图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）（单位：厘米）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】石块的体积等于水面上升部分的体积，即底面积乘水面上升高度，所以底面积越小，水面上升越多，比较四个容器的底面积大小即可。 【详解】A．底面积为6×8＝48（平方厘米） B.  底面积为3.14×（8÷2）² ＝3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） C.  底面积为8×8＝64（平方厘米） D.  底面积为10×8＝80（平方厘米） 48＜50.24＜64＜80，A的底面积最小，水面上升最多。 故答案为：A 2．一个圆柱形水桶，底面半径20厘米，装水高度30厘米。将一个底面半径10厘米的圆锥形铁块完全浸入水中，水面上升1厘米（水未溢出）。圆锥的高是（    ）厘米。（取3） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【分析】由题意可知，圆锥形铁块的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的体积＝水桶的底面积×上升部分水的高度，再根据“”求出圆锥的高，据此解答。 【详解】3×3×202×1÷（3×102） ＝3×3×400×1÷（3×100） ＝3×3×400×1÷300 ＝9×400×1÷300 ＝3600÷300 ＝12（厘米） 所以，圆锥的高是12厘米。 故答案为：A 3．当我们遇到复杂或陌生的问题时，常常运用“转化”策略，把它变成简单或者熟悉的问题来解决。下列问题解决中，运用了“转化”策略的有（    ）。                      ①计算分母不同的分数减法    ②计算分数除以整数    ③计算图形的体积    ④计算石头的体积 A．④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①分母不同的分数减法，先通分成同分母分数，再用同分母分数减法计算。 ②分数除以整数，先把除以整数转化为乘整数的倒数，再使用分数的乘法。 ③计算不规则图形的体积（可拼凑成规则图形），可将多余的部分图形，拼到不规则的图形中，成为规则图形，计算规则图形的体积即可。 ④计算石头（不规则物体）的体积，用排水法将石头的体积转化为水上升的体积。 【详解】①分母不同的分数减法，先通分，再使用同分母分数减法，如：，运用了“转化”策略。 ②分数除以整数，先把除以整数变为乘整数的倒数，再使用分数乘法计算，如，运用了“转化”策略。 ③可将多余的小正方体，拼到缺少一个小正方体的大正方体中，就成为一个完整的大正方体，求大正方体的体积即可，运用了“转化”策略。 ④计算石头（不规则物体）的体积：用前后两次量筒中的水的体积之差，可求得石头的体积，运用了“转化”策略。 故答案为：D 4．（如图）药瓶的容积是，瓶内装有一些药水。瓶子正放时，瓶内药水液面高是，瓶子倒放时，空余部分高是，则瓶内药水的体积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将药瓶的容积看作单位“1”，看图可知，瓶子的容积＝药水的体积＋空余部分的容积＝高（6＋2）cm的圆柱容积，圆柱体积＝底面积×高，底面积相等，圆柱高之间的关系就是体积之间的关系，将药瓶的容积看作单位“1”，药水的体积占药瓶容积的，药瓶的容积×药水的对应分率＝药水的体积，据此列式计算。 【详解】26.4× ＝26.4× ＝19.8（） 瓶内药水的体积是。 故答案为：A 5．把一块石头浸没在一个高是12厘米，底面积是50.24平方厘米的装有水的圆柱体容器里，这时，容器的水面上升了2厘米（水没有溢出）。这块石头的体积是（    ）立方厘米。 A．703.36 B．602.88 C．502.4 D．100.48 【答案】D 【分析】根据排水法求不规则物体的体积，当把石头浸没在水中时，水面上升部分的水的体积就等于石头的体积。已知圆柱形容器的底面积50.24平方厘米，水面上升的高度为2厘米。根据圆柱体积公式V＝Sh（S为底面积，h为水面上升的高度），把数据代入公式计算即可得出上升的水的体积（即石头的体积）。 【详解】50.24×2＝100.48（立方厘米） 这块石头的体积是100.48立方厘米。 故答案为：D 6．如图，两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm；②号容器放入同样大的小球和一个小长方体后水面的高是26cm，小球的体积与小长方体的体积比是（    ）。 A．3∶11 B．3∶5 C．3∶2 D．9∶7 【答案】D 【分析】①号容器：先根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出小球体积与水的体积和。水面上升部分的体积等于小球的体积，再根据圆柱的体积公式，求出小球的体积。 ②号容器；先根据圆柱的体积公式，求出水的体积、小球的体积、正方体的体积和；再用水的体积、小球的体积、正方体的体积和减去①号容器水的体积与小球体积和，求出正方体的体积；再根据比的意义，用小球的体积∶正方体的体积，即可解答。 【详解】π×（18÷2）2×10 ＝π×92×10 ＝π×81×10 ＝81π×10 ＝810π（cm3） π×（18÷2）2×（10－2） ＝π×92×2 ＝π×81×2 ＝81π×2 ＝162π（cm3） π×（12÷2）2×26－810π ＝π×62×26－810π ＝36π×26－810π ＝936π－810π ＝126π（cm3） 162π∶126π ＝（162π÷18π）∶（126π÷18π） ＝9∶7 小球的体积与小长方体的体积比是9∶7。 故答案为：D 二、填空题 7．我们把一个不规则饮料瓶装满水，然后把水倒入一个内直径是8cm的圆柱形容器中，水面高度是10cm，那么这个不规则饮料瓶的容积是( )mL。 【答案】502.4 【分析】把一个不规则饮料瓶装满水，然后把水倒入圆柱形容器中，水的容积不会发生变化，那么这个不规则饮料瓶的容积就是圆柱形容器中水的容积，利用圆柱体积＝底面积×高计算，然后进行单位换算即可。 【详解】 这个不规则饮料瓶的容积是502.4mL。 8．有三个规格相同的圆柱形容器，底面半径是2厘米，高5.5厘米。把大小两种玻璃球放入装有同样多水的容器中（如图所示），大球和小球的体积比是( )∶( )。如果往容器③里继续放玻璃球，使得水面上升到杯口又不溢出，可以放入( )。 【答案】 2 1 2个大球 【分析】圆柱体积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14）。容器②中放入1个大球后，水面从2厘米上升到3厘米，上升了3－2＝1厘米，所以大球的体积是3.14×22×1＝3.14×4×1＝12.56立方厘米。容器③中放入1个大球和1个小球后，水面从2厘米上升到3.5厘米，上升了3.5－2＝1.5厘米，那么1个大球和1个小球的总体积为3.14×22×1.5＝3.14×4×1.5＝18.84立方厘米。小球的体积为18.84－12.56＝6.28立方厘米。那么大球和小球的体积比为12.56∶6.28，然后化简即可。 容器高5.5厘米，此时水面高3.5厘米，还能上升5.5－3.5＝2厘米。上升2厘米的水的体积（即还能容纳球的体积）为：3.14×22×2＝3.14×4×2＝25.12立方厘米。因为大球体积是12.56立方厘米，12.56×2＝25.12，所以可以放入2个大球。（答案不唯一）。 【详解】3－2＝1（厘米） 3.14×22×1 ＝3.14×4×1 ＝12.56×1 ＝12.56（立方厘米） 3.5－2＝1.5（厘米） 3.14×22×1.5 ＝3.14×4×1.5 ＝12.56×1.5 ＝18.84（立方厘米） 18.84－12.56＝6.28（立方厘米） 大球和小球的体积比：12.56∶6.28 12.56∶6.28 ＝（12.56÷6.28）∶（6.28÷6.28） ＝2∶1 5.5－3.5＝2（厘米） 3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（立方厘米） 12.56×2＝25.12（立方厘米） 大球和小球的体积比是2∶1。如果往容器③里继续放玻璃球，使得水面上升到杯口又不溢出，可以放入2个大球。（第二空答案不唯一） 9．一个底面半径是5cm的圆柱形容器，装有水和一块不规则石头（石头完全浸没），水面高度为8cm。将石头取出，高度变成了6cm。这块石头的体积是( )cm3。 【答案】157 【分析】圆柱的体积公式为V＝πr2h（r表示底面半径，h表示高，π取3.14）。当把石头取出后，水面从8cm下降到6cm，下降的这部分水的体积就等于石头的体积。下降的高度为8－6＝2cm。已知圆柱形容器底面半径为5cm，把半径5cm高2cm代入圆柱公式计算即可。 【详解】8－6＝2（cm） 3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（cm3） 这块石头的体积是157cm3。 10．解决数学问题，常用到转化思想。如下图，一个饮料瓶的饮料高度为7厘米，乐乐把这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放，空余部分的高度是18厘米。这一操作过程，就是把不规则的瓶子转化成高是( )厘米的( )体，根据题目中的信息，瓶子的容积是( )毫升。 【答案】 25 圆柱 1256 【分析】对于饮料瓶，正放时空余部分是不规则形状，难以直接计算其体积，但当把饮料瓶倒置后，饮料的体积并没有发生变化，空余部分的体积同样也没有改变，但空余部分转化为了规则形状圆柱体。从图中可以看到，正放时饮料高度为7厘米，倒置时空余部分高度是18厘米，那么转化后的圆柱体的高，就是正放时饮料的高度与倒置时空余部分高度相加。根据圆柱的体积公式，代入数据计算并把单位转化为毫升即可。 【详解】（厘米） （立方厘米） ＝1256（毫升） 解决数学问题，常用到转化思想。如下图，一个饮料瓶的饮料高度为7厘米，乐乐把这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放，空余部分的高度是18厘米。这一操作过程，就是把不规则的瓶子转化成高是25厘米的圆柱体，根据题目中的信息，瓶子的容积是1256毫升。 11．如图，一个水瓶的容积是400毫升，瓶身高24厘米，倒出一些水后，水面高度是16厘米，将瓶子倒置，水面高度变成20厘米，倒出去___________毫升水。（水瓶的厚度不计） 【答案】80 【分析】由题意可知，水瓶的容积＝正放时候水的体积＋倒放时候空白部分的体积，把正放时候的水和倒放时候的空白部分看作一个圆柱，先求出倒放时候空白部分的高度，水瓶的底面积＝水瓶的容积÷这两部分的高度之和，倒出去水的体积等于倒放时候空白部分的体积，最后利用“”即可求得倒出去水的体积，据此解答。 【详解】400毫升＝400立方厘米 倒放时空白部分的高度：24－20＝4（厘米） 正放时瓶子的底面积：400÷（16＋4） ＝400÷20 ＝20（平方厘米） 倒出水的体积：20×4＝80（立方厘米） 80立方厘米＝80毫升 所以，倒出去80毫升水。 12．两个同样的量杯原来各盛有640mL水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )mL。 【答案】720 【分析】由图①可得，880mL＝原来水640mL＋圆柱的体积，因此用880－640即可求出圆柱的体积。等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此用圆柱的体积除以3，求出圆锥的体积，最后用量杯原来的水的体积加圆锥的体积，可得出图②量杯水面刻度。 【详解】（880－640）÷3＋640 ＝240÷3＋640 ＝80＋640 ＝720（mL） 所以图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是720mL。 三、解答题 13．一个底面半径为5厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一块底面直径为6厘米，高为10厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块被浸没。当铁块取出时，容器里的水面会下降多少厘米？ 【答案】1.2厘米 【分析】先根据“”求出圆锥形铁块的体积，再根据“”求出圆柱形容器的底面积，容器里水面下降的高度＝圆锥形铁块的体积÷圆柱形容器的底面积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝1.2（厘米） 答：容器里的水面会下降1.2厘米。 14．一个盛有水、底面直径是20厘米的圆柱形容器中，完全浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】1.2厘米 【分析】分析题目，先根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h代入数据列式求出圆锥形铅锤的体积，再根据圆柱的底面积＝π（d÷2）2求出圆柱形容器的底面积，最后用圆锥形铅锤的体积除以圆柱容器的底面积即可得到水面下降的高度。 【详解】3.14×（12÷2）2×10× ＝3.14×62×10× ＝3.14×36×10× ＝113.04×10× ＝1130.4× ＝376.8（立方厘米） 376.8÷[3.14×（20÷2）2] ＝376.8÷[3.14×102] ＝376.8÷[3.14×100] ＝376.8÷314 ＝1.2（厘米） 答：当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降1.2厘米。 15．一个底面内直径是24厘米的圆柱形杯中装有水，水里浸没一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥体铁块，当铁块从杯中取出时，杯里水面会下降多少厘米？ 【答案】1.5厘米 【分析】先根据“”求出铁块的体积，杯子中下降部分的水可以看作一个圆柱体，下降部分水的体积等于铁块的体积，下降的水面高度＝下降部分水的体积÷圆柱形杯子的底面积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1.5（厘米） 答：杯里水面会下降1.5厘米。 16．一个圆柱形玻璃杯的底面半径是10厘米，里面装有水，水深12厘米。如图，把一个铁块浸没在水中，这时水深15厘米。这个铁块重多少克？（每立方厘米铁的质量按7.8克计算，得数保留整数） 【答案】7348克 【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，水面上升的形状是圆柱，铁块体积＝圆柱形玻璃杯底面积×水面上升高度，铁块体积×每立方厘米质量＝这个铁块质量，据此列式解答。根据四舍五入法保留近似数。 【详解】3.14×102×（15－12）×7.8 ＝3.14×100×3×7.8 ＝942×7.8 ≈7348（克） 答：这个铁块重7348克。 17．下图中一个小玻璃球的体积是多少立方厘米？（每个小玻璃球同样大）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？ 【答案】3立方厘米；14立方厘米 【分析】看图可知，1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积是17立方厘米，1个大玻璃球和3个小玻璃球的体积是23立方厘米，1个大玻璃球和3个小玻璃球的体积－1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积＝2个小玻璃球的体积，2个小玻璃球的体积÷2＝1个小玻璃球的体积，1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积－1个小玻璃球的体积＝1个大玻璃球的体积。 【详解】（23－17）÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（立方厘米） 17－3＝14（立方厘米） 答：一个小玻璃球的体积是3立方厘米，一个大玻璃球的体积是14立方厘米。 18．如图，圆柱形容器中有628毫升的水，乌鸦至少要将多少立方厘米的石子放进容器中才能喝到水？（假定所有放进容器中的石子均没入水中） 【答案】314立方厘米 【分析】已知乌鸦往有水的圆柱形容器里投放石子，水面高度上升到12厘米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出石子与水的体积之和，再减去容器里原有水的体积，即是石子的体积。注意单位的换算：1毫升＝1立方厘米。 【详解】628毫升＝628立方厘米 3.14×（10÷2）2×12 ＝3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝942（立方厘米） 942－628＝314（立方厘米） 答：乌鸦至少要将314立方厘米的石子放进容器中才能喝到水。 19．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】首先求出水面上升的体积，这个体积就是圆锥形零件的体积。然后根据圆锥的体积公式＝×圆锥的底面积×高，反推出圆锥的高度。 【详解】玻璃缸底面积为：50×30＝1500（平方厘米） 水面上升的高度为：15－12＝3（厘米） 所以圆锥形零件的体积为：1500×3＝4500（立方厘米） 圆锥的高：h＝3V÷S＝3×4500÷900＝15（厘米） 答：这个零件的高度是15厘米。 20．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 【答案】（1）99平方分米 （2）27厘米 【分析】（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，就是求圆柱形无盖鱼缸的表面积。底面是直径60厘米的圆，侧面积等于底面周长乘高，据此解答。 （2）圆锥形玩具的体积是上升的1厘米高度水的体积，变形后，据此解答。 【详解】（1） （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要99平方分米的玻璃。 （2） （厘米） 答：这个圆锥形玩具的高是27厘米。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $