第四单元 比例的应用（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

第四单元 比例的应用（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1. 核心概念 比例的应用：运用比例的意义和基本性质，解决实际生活中与比例相关的应用题，核心是根据两个量的比例关系，通过设未知数、列比例式，求解未知量，是也是“比的应用”的延伸。 核心特征：题目中包含两个相关联的量，这两个量成正比例或反比例关系（核心判断依据）；已知其中三个量，求第四个未知量，可通过比例式（正比例用“比值相等”，反比例用“乘积相等”）求解。 2. 比例的应用的核心意义 比例的应用核心是培养“比例思想”和“方程思想”，将实际问题中的数量关系转化为比例式，简化计算，同时连接了比例的基本性质与实际生活，广泛应用于行程、工程、购物、调配等场景，为后续学习更复杂的比例应用题奠定基础。 3. 比例的应用的常见场景 ① 正比例应用：路程与时间（速度一定）、总价与数量（单价一定）、工作总量与工作时间（工作效率一定）等； ② 反比例应用：路程一定时的速度与时间、总价一定时的单价与数量、工作总量一定时的工作效率与工作时间等； ③ 比例分配应用：按比例分配的延伸（结合比例关系求各部分量）； ④ 比例应用题变式：根据比例关系求总量、部分量，或调整比例后求解未知量。 二、核心公式与等量关系 （一）基础前提（回顾） 1. 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例（如a:b = c:d）； 2. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（若a:b = c:d，则ad = bc）； 3. 正、反比例判断：① 正比例：两个量的比值一定；② 反比例：两个量的乘积一定（xy = k，k为定值）。 （二）核心公式与解题方法（苏教版重点） 1. 方法一：列比例式解题（核心方法） ① 正比例应用题（比值一定） 核心等量关系：$$\frac{已知量1}{对应未知量1} = \frac{已知量2}{对应未知量2}$$（或用比表示：已知量1:未知量1 = 已知量2:未知量2） 解题关键：找到两个相关联的量，确认比值一定，列出比例式，根据比例基本性质求解。 ② 反比例应用题（乘积一定） 核心等量关系：已知量1×对应未知量1 = 已知量2×对应未知量2（或用比例表示：已知量1:已知量2 = 未知量2:未知量1） 解题关键：找到两个相关联的量，确认乘积一定，列出比例式（或等式），求解未知量。 2. 方法二：方程法解题（辅助方法，适配比例基本性质） 核心思路：设未知量为x，根据正、反比例的等量关系，列出比例式（本质是方程），利用比例基本性质转化为普通方程，求解x。 补充：解比例的方法：根据比例基本性质，将比例式转化为“外项积=内项积”的等式，再解方程（如解比例a:b = x:d，转化为ad = bx，解得 3. 比例分配拓展公式 若两个量的比为a:b，总量为k，则： 其中一个量 = 另一个量 = 与“比的应用”衔接，结合比例关系分配）。 （三）比例的应用常见隐含条件 1. 正、反比例判断：题干不会直接说明“成正比例/反比例”，需通过题意判断两个量的关系（比值一定还是乘积一定），这是解题的核心前提； 2. 量的对应：两个相关联的量必须一一对应，不可混淆（如“速度一定时，路程与时间对应”，不可用甲的路程对应乙的时间）； 3. 单位统一：题干中相关联的量单位可能不同（如路程单位km和m，时间单位时和分），需先统一单位再列比例式； 4. 比例式规范：列比例式时，需保证比例的意义（两个比相等），外项、内项对应正确，避免比例颠倒。 三、比例的应用解题步骤（苏教版重点） 1. 审题判关系：明确题干中的两个相关联的量，判断它们成正比例还是反比例（比值一定→正比例，乘积一定→反比例）。 2. 设未知数：设所求的未知量为x，标注x的单位，确保与已知量单位一致（若不一致，先统一单位）。 3. 列比例式：根据正、反比例的等量关系，列出比例式（正比例用比值相等，反比例用乘积相等），确保量的对应关系正确。 4. 解比例/方程：根据比例的基本性质，将比例式转化为普通方程，分步求解x，注意计算准确性。 5. 检验作答：将求得的x代入比例式，检验比例是否成立（或检验两个量的比值/乘积是否为定值），确认结果符合实际意义后，规范作答。 四、常见比例的应用题型及解题示例 1. 场景一：正比例应用题（基础题） 例：一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，行驶300千米需要多少小时？（速度一定，路程与时间成正比例） 解：① 设行驶300千米需要x小时。 ② 判断关系：速度一定，路程与时间成正比例，列出比例式：180:3 = 300:x ③ 解比例：根据比例基本性质，180x = 3×300 180x = 900 x = 5 检验：180÷3 = 60（千米/时），300÷5 = 60（千米/时），比值相等，比例成立。 答：行驶300千米需要5小时。 2. 场景二：反比例应用题（基础题） 例：一批货物，每辆车运8吨，需要12辆车才能运完；如果每辆车运12吨，需要多少辆车？（货物总量一定，每辆车运的吨数与车辆数成反比例） 解：① 设需要x辆车。 ② 判断关系：货物总量一定，每辆车运的吨数与车辆数成反比例，列出比例式：8×12 = 12x ③ 解方程：96 = 12x x = 8 检验：8×12 = 96（吨），12×8 = 96（吨），乘积相等，符合反比例关系。 答：需要8辆车。 3. 场景三：比例分配拓展应用题（进阶题） 例：甲、乙两人的工作效率比是3:4，两人合作完成一项工作，共得报酬2800元，按工作效率比分配报酬，甲、乙两人各得多少元？ 解：① 总份数 = 3+4 = 7份 检验：1200:1600 = 3:4，与工作效率比一致，符合题意。 答：甲得1200元，乙得1600元。 4. 场景四：比例变式应用题（拓展题） 例：用比例解：一个工厂，原计划每天生产40台机器，15天完成任务；实际每天生产50台，实际多少天完成任务？（工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例） 解：① 设实际x天完成任务。 ② 列出比例式（反比例，乘积相等）：40×15 = 50x ③ 解方程：600 = 50x x = 12 检验：40×15 = 600（台），50×12 = 600（台），工作总量相等，符合题意。 答：实际12天完成任务。 5. 易错题型：正、反比例判断错误（警示题） 例：判断：一批零件，已加工的个数与未加工的个数成反比例（×），并解答：若已加工个数与未加工个数的比是2:3，已加工20个，求未加工多少个？（易错点：误判成反比例，实际是比例分配） 解：① 已加工:未加工 = 2:3，设未加工x个。 ② 列出比例式：2:3 = 20:x ③ 解比例：2x = 3×20 → x = 30 警示：已加工个数与未加工个数的和一定，而非乘积一定，不成反比例，需按比例分配或正比例求解。 答：未加工30个。 培优练习 一、选择题 1．有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，问甲袋米原来重（    ）千克。 A．240 B．200 C．220 D．180 【答案】A 【分析】设甲袋米原来重千克，则乙袋米原来重千克，根据剩下的甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，可列出比例，求出的数值，即甲袋米原来的重量。 【详解】设甲袋米原来重千克，则乙袋米原来重千克，根据题意列式： 所以甲袋米原来的重量为240千克。 故答案为：A 【点睛】在解决含比值的方程时，核心是先利用比例的基本性质将比例式转化为普通方程，再通过等式的基本性质求解方程。 2．修正带是通过两个齿轮相互咬合进行工作的。下面这个修正带，小齿轮有30个齿，大齿轮有90个齿。大齿轮转动5圈，小齿轮转动（    ）圈。 A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】两个相互咬合的齿轮在转动时，相同时间内走过的齿数相等。因为总齿数一定，齿数越多，圈数越少，所以我们可以用齿数与圈数成反比例的关系来解答。 【详解】解：设小齿轮转动圈。 所以小齿轮转动15圈。 故答案为：C 3．配制一种糖水，糖与水的质量比是1∶19，配制400克这样的糖水，需要再加入（    ）克水才能使糖与水的比变为1∶24。 A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】B 【分析】由题意知：配制一种糖水，糖与水的质量比是1∶19，要配制400克这样的糖水，则糖有（克），水有400－20＝380（克）。设加入了克的水，使“糖与水的比变为1∶24”，则现在的水有克，现在的糖还是20克，再列比例求解即可。 【详解】400克的糖水，糖与水的质量比是1∶19，此时糖有：（克）；水有：400－20＝380（克） 解：设需要再加入克水，则现在的水有克。 20：＝1∶24 所以需要再加入100克水才能使糖与水的比变为1∶24。 故答案为：B 4．同学们在科学课上做模拟火山喷发的实验、原来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比是9∶5，又加入19g小苏打后，塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比变成了7∶6，塑料杯中有（    ）g柠檬酸。 A．38 B．171 C．63 D．133 【答案】C 【分析】设原来塑料杯中柠檬酸的质量是9xg，小苏打的质量是5xg，又加入19g小苏打后，小苏打的质量为（5x＋19），再根据又加入19g小苏打后，塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比变成了7∶6，列出比例式：9x∶（5x＋19）＝7∶6，求出x的值，再乘原来塑料杯中柠檬酸占的份数即可。 【详解】解：设原来塑料杯中柠檬酸的质量是9xg，小苏打的质量是5xg。 9x∶（5x＋19）＝7∶6 54x＝7×（5x＋19） 54x＝35x＋133 54x－35x＝133 19x＝133 x＝133÷19 x＝7 7×9＝63（g） 塑料杯中有63g柠檬酸。 故答案为：C 5．某人从A地到B地平均速度为3米/秒，按原路返回时每秒行7米，那么此人一个来回的平均速度是（    ）米/秒。 A．4.2 B．4.8 C．5 D．5.4 【答案】A 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，速度和时间成反比，所以这个人去时和返回时用的时间的比是7：3，然后设去时用的时间是7t秒，则返回用的时间是3t秒；最后根据路程÷时间＝速度，用两地之间的距离的2倍除以来回用的时间，求出此人一个来回的平均速度是多少即可。 【详解】因为这个人去时和返回时的速度的比是， 所以这个人去时和返回时用的时间的比是， 设去时用的时间是7t秒，则返回用的时间是3t秒， （米/秒） 此人一个来回的平均速度是4.2米/秒。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：路程一定时，速度和时间成反比。 6．用5毫升的蜂蜜兑100毫升水调制成蜂蜜水，如果再加入10毫升的蜂蜜，为了使蜂蜜水的甜度不变，需要加入的水可以是（    ）。 A．10毫升 B．200毫升 C．原来的3倍 D．原来的4倍 【答案】B 【分析】根据蜂蜜水的甜度不变，即蜂蜜与水的比值一定，据此列比例解答即可。 【详解】解：设需要加入x毫升水。 5∶100＝10∶x 5x＝100×10 5x＝1000 x＝200 故答案为：B 【点睛】本题主要考查比例的实际应用，答题的关键是明确蜂蜜水的浓度不变，也就是蜂蜜与水的比值一定。 二、填空题 7．如果4a＝7b，那么a∶b＝______。如果a＝14，那么b＝______。 【答案】 7∶4 8 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；由此根据比例的基本性质逆推，即可解答。 【详解】因为4a＝7b，所以：a∶b＝7∶4 a＝14时： 4×14＝7b 7b＝56 b＝56÷7 b＝8 如果4a＝7b，那么a∶b＝7∶4。如果a＝14，那么b＝8。 8．12颗草莓可以和4个苹果互换。96颗草莓可以换( )个苹果。 【答案】32 【分析】两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出草莓与苹果的数量比12∶4，设96颗草莓可以换x个苹果，根据草莓数量∶苹果数量＝12∶4，列出比例求出x的值即可。 【详解】解：设96颗草莓可以换x个苹果。 96∶x＝12∶4 12x＝96×4 12x＝384 12x÷12＝384÷12 x＝32 96颗草莓可以换32个苹果。 9．学校图书馆有科技书和文学书各360本，要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置( )本文学书。 【答案】180 【分析】可以设当科技书和文学书的本数的比是2∶3时，现在文学书的本数是x本，科技数的本数不变是360本，利用科技书和文学书的本数之比是2∶3，列出比例，解比例即可求出现在文学书的本数，用现在文学书的本数减去360，所得结果即为需要添置文学书的本数，据此解答。 【详解】解：设现在文学书的本数是x本。 360∶x＝2∶3 2×x＝360×3 2x＝1080 2x÷2＝1080÷2 x＝540 540－360＝180（本） 因此要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置180本文学书。 10．爸爸买了一辆自行车，明明用脚踏板蹬一圈，发现后齿轮转两圈。他数出后齿轮齿数是18个，所以推测出这辆自行车前齿轮齿数是( )个。 【答案】36 【分析】用脚踏板蹬一圈，后齿轮转两圈，说明前后齿轮齿数的比是2∶1，设这辆自行车前齿轮齿数是x个，根据前齿轮齿数∶后轮齿数＝2∶1，列出比例解答即可。 【详解】解：设这辆自行车前齿轮齿数是x个。 x∶18＝2∶1 x＝18×2 x＝36 这辆自行车前齿轮齿数是36个。 11．张家与李家本月的收入钱数之比是，本月开支的钱数之比是，月底张家结余630元，李家结余700元，则本月两家共收入( )元。 【答案】4080 【分析】张家与李家本月的收入钱数之比是，可以设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元，本月开支的钱＝本月收入的钱－结余的钱，再根据题意列出比例，然后解比例。两家的总收入＝张家收入钱＋李家收入钱 【详解】设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元。 （7x－630）∶（5x－700）＝7∶4 （5x－700）×7＝（7x－630）×4 35x－4900＝28x－2520 7x＝2380 x＝2380÷7 x＝340 340×7＋340×5 ＝2380＋1700 ＝4080（元） 则本月两家共收入4080元。 12．成语“立竿见影”用数学的眼光来看，这是应用了比例的知识。某一时刻，一幢高18m的楼房的影长是15m，那么同一时刻、同一地点，一根高3m的电线竿的影长是( )m。 【答案】2.5 【分析】同一时间，同一地点，杆高和影长成正比例，设电线竿的影长是xm，据此列出关于x的比例式，求出x的值即可。 【详解】解：设电线竿的影长是xm。 18∶15＝3∶x 18x＝15×3 18x＝45 18x÷18＝45÷18 x＝2.5 则根高3m的电线竿的影长是2.5m。 三、解答题 13．学校购进一批粉笔，白粉笔与彩色粉笔的数量之比是3∶1。开学后平均每周用去36盒白粉笔和8盒彩色粉笔，用了几周后，白粉笔已用完，还剩下36盒彩色粉笔。学校购进彩色粉笔多少盒？ 【答案】108盒 【分析】由题意可知，设用了周后，白粉笔已用完，还剩下36盒彩色粉笔。根据等量关系式：，据此列比例求解可得周数，再用周数乘8加上36即可。 【详解】解：设用了周后，白粉笔已用完，还剩下36盒彩色粉笔。 （盒） 答：学校购进彩色粉笔108盒。 14．明明家装修新房，用边长是0.6米的方砖铺客厅地面，正好需要144块。如果改用0.8米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 【答案】 81块 【分析】方砖的面积乘所使用的块数就是新房的面积，0.6米方砖面积×144块＝0.8米方砖面积×所用块数，设需要块数为块，据此列比例解答。 【详解】解：设需要块数为块， 答：需要81块。 15．风能作为一种清洁可再生能源，越来越受到世界各国的重视。数学实践小组测得一台风力发电机的影长是72米，同时把一根长2米的木杆直立在地上，测得在阳光下木杆的影长是1.8米。这台风力发电机高多少米？（用比例解决问题） 【答案】80米 【分析】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可。设这台风力发电机高x米，根据风力发电机的影长∶风力发电机实际高度＝木杆的影长∶木杆实际高度，列出比例解答即可。 【详解】解：设这台风力发电机高x米。 72∶x＝1.8∶2 1.8x＝72×2 1.8x÷1.8＝144÷1.8 x＝80 答：这台风力发电机高80米。 16．甲、乙两个仓库存粮质量的比是，如果从甲仓库运走，给乙仓库运进2.4吨，则甲、乙两仓库存粮质量的比是。甲仓库原来有存粮多少吨？ 【答案】48吨 【分析】设甲仓库原来有存粮8x吨，则乙仓库原来有存粮7x吨，从甲仓库运走，则甲仓库剩下的粮食是原来的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，则求甲仓库剩下的粮食列式为：8x×（1－），给乙仓库运进2.4吨，则乙仓库现在的粮食为（7x＋2.4）吨，根据现在甲、乙两仓库存粮质量的比是列比例解答求出x的结果，再乘8就是甲仓库原来有存粮多少吨。 【详解】解：设甲仓库原来有存粮8x吨，则乙仓库原来有存粮7x吨。 [8x×（1－）] ∶（7x＋2.4）＝30∶37 [8x×]∶（7x＋2.4）＝30∶37 6x∶（7x＋2.4）＝30∶37 222x－210x＝210x＋72－210x 12x÷12＝72÷12 6×8＝48（吨） 答：甲仓库原来有存粮48吨。 17．张阿姨在和面做面条，她认为当面粉和水的质量比为20∶9做出来的面条口感更加，照这样和面，张阿姨用300克面粉，需要加水多少克？（用比例解答） 【答案】135克 【分析】做面条时面粉和水的质量比是20∶9，即面粉质量和水质量的比值是一定的，此时有300克面粉，可运用比例，设需要水x克，可列出比例的方程，根据比例基本性质：比例的两内项之积等于两外项之积，据此计算得出答案。 【详解】解：设需要加水x克，则可列出比例。 答：需要加水135克。 18．酸梅汤是传统的消暑饮料，丽丽用180毫升的酸梅原汁加水320毫升调制酸梅汤。奶奶说：“当酸梅原汁和水的比例是3∶7时口感最佳”。丽丽要想调制出口感最佳的酸梅汤，还应该再往酸梅汤中加入多少毫升水？ 【答案】100毫升 【分析】“当酸梅原汁和水的比是3∶7时，口感最佳”，先列比例求出180毫升的酸梅原汁需加多少毫升水，再减去320毫升即可。 【详解】解：设180毫升的酸梅原汁加x毫升水口感最佳。 180∶x＝3∶7 3x＝180×7 3x＝1260 3x÷3＝1260÷3 x＝420 420－320＝100（毫升） 答：还应该再往酸梅汤中加入100毫升水。 19．古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 【答案】525吨 【分析】分析题目，设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐，再根据海水的质量∶海盐的质量的比值不变列出比例500∶15＝17500∶x，最后解出比例即可。 【详解】解：设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐。 500∶15＝17500∶x 500x＝15×17500 500x＝262500 x＝262500÷500 x＝525 答：引入17500吨海水，可以晒制525吨海盐。 20．2020年我国正式进入5G网络时代。李叔叔原来用4G网络下载一部电影需要9分钟，他现在用5G网络下载同一部电影，所用的时间与用4G下载所用时间的比是1∶10，那么他用5G网络下载这部电影要用多少分钟？（用比例解） 【答案】0.9分钟 【分析】根据题意可知，用5G网络下载所用的时间∶用4G下载所用时间＝1∶10，据此列出比例方程，并求解；运用比例的基本性质求解，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；据此解答。 【详解】解：设他用5G网络下载这部电影要用x分钟。 x∶9＝1∶10 10x＝9×1 10x＝9 x＝9÷10 x＝0.9 答：他用5G网络下载这部电影要用0.9分钟。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比例的应用（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1. 核心概念 比例的应用：运用比例的意义和基本性质，解决实际生活中与比例相关的应用题，核心是根据两个量的比例关系，通过设未知数、列比例式，求解未知量，是也是“比的应用”的延伸。 核心特征：题目中包含两个相关联的量，这两个量成正比例或反比例关系（核心判断依据）；已知其中三个量，求第四个未知量，可通过比例式（正比例用“比值相等”，反比例用“乘积相等”）求解。 2. 比例的应用的核心意义 比例的应用核心是培养“比例思想”和“方程思想”，将实际问题中的数量关系转化为比例式，简化计算，同时连接了比例的基本性质与实际生活，广泛应用于行程、工程、购物、调配等场景，为后续学习更复杂的比例应用题奠定基础。 3. 比例的应用的常见场景 ① 正比例应用：路程与时间（速度一定）、总价与数量（单价一定）、工作总量与工作时间（工作效率一定）等； ② 反比例应用：路程一定时的速度与时间、总价一定时的单价与数量、工作总量一定时的工作效率与工作时间等； ③ 比例分配应用：按比例分配的延伸（结合比例关系求各部分量）； ④ 比例应用题变式：根据比例关系求总量、部分量，或调整比例后求解未知量。 二、核心公式与等量关系 （一）基础前提（回顾） 1. 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例（如a:b = c:d）； 2. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（若a:b = c:d，则ad = bc）； 3. 正、反比例判断：① 正比例：两个量的比值一定；② 反比例：两个量的乘积一定（xy = k，k为定值）。 （二）核心公式与解题方法（苏教版重点） 1. 方法一：列比例式解题（核心方法） ① 正比例应用题（比值一定） 核心等量关系：$$\frac{已知量1}{对应未知量1} = \frac{已知量2}{对应未知量2}$$（或用比表示：已知量1:未知量1 = 已知量2:未知量2） 解题关键：找到两个相关联的量，确认比值一定，列出比例式，根据比例基本性质求解。 ② 反比例应用题（乘积一定） 核心等量关系：已知量1×对应未知量1 = 已知量2×对应未知量2（或用比例表示：已知量1:已知量2 = 未知量2:未知量1） 解题关键：找到两个相关联的量，确认乘积一定，列出比例式（或等式），求解未知量。 2. 方法二：方程法解题（辅助方法，适配比例基本性质） 核心思路：设未知量为x，根据正、反比例的等量关系，列出比例式（本质是方程），利用比例基本性质转化为普通方程，求解x。 补充：解比例的方法：根据比例基本性质，将比例式转化为“外项积=内项积”的等式，再解方程（如解比例a:b = x:d，转化为ad = bx，解得 3. 比例分配拓展公式 若两个量的比为a:b，总量为k，则： 其中一个量 = 另一个量 = 与“比的应用”衔接，结合比例关系分配）。 （三）比例的应用常见隐含条件 1. 正、反比例判断：题干不会直接说明“成正比例/反比例”，需通过题意判断两个量的关系（比值一定还是乘积一定），这是解题的核心前提； 2. 量的对应：两个相关联的量必须一一对应，不可混淆（如“速度一定时，路程与时间对应”，不可用甲的路程对应乙的时间）； 3. 单位统一：题干中相关联的量单位可能不同（如路程单位km和m，时间单位时和分），需先统一单位再列比例式； 4. 比例式规范：列比例式时，需保证比例的意义（两个比相等），外项、内项对应正确，避免比例颠倒。 三、比例的应用解题步骤（苏教版重点） 1. 审题判关系：明确题干中的两个相关联的量，判断它们成正比例还是反比例（比值一定→正比例，乘积一定→反比例）。 2. 设未知数：设所求的未知量为x，标注x的单位，确保与已知量单位一致（若不一致，先统一单位）。 3. 列比例式：根据正、反比例的等量关系，列出比例式（正比例用比值相等，反比例用乘积相等），确保量的对应关系正确。 4. 解比例/方程：根据比例的基本性质，将比例式转化为普通方程，分步求解x，注意计算准确性。 5. 检验作答：将求得的x代入比例式，检验比例是否成立（或检验两个量的比值/乘积是否为定值），确认结果符合实际意义后，规范作答。 四、常见比例的应用题型及解题示例 1. 场景一：正比例应用题（基础题） 例：一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，行驶300千米需要多少小时？（速度一定，路程与时间成正比例） 解：① 设行驶300千米需要x小时。 ② 判断关系：速度一定，路程与时间成正比例，列出比例式：180:3 = 300:x ③ 解比例：根据比例基本性质，180x = 3×300 180x = 900 x = 5 检验：180÷3 = 60（千米/时），300÷5 = 60（千米/时），比值相等，比例成立。 答：行驶300千米需要5小时。 2. 场景二：反比例应用题（基础题） 例：一批货物，每辆车运8吨，需要12辆车才能运完；如果每辆车运12吨，需要多少辆车？（货物总量一定，每辆车运的吨数与车辆数成反比例） 解：① 设需要x辆车。 ② 判断关系：货物总量一定，每辆车运的吨数与车辆数成反比例，列出比例式：8×12 = 12x ③ 解方程：96 = 12x x = 8 检验：8×12 = 96（吨），12×8 = 96（吨），乘积相等，符合反比例关系。 答：需要8辆车。 3. 场景三：比例分配拓展应用题（进阶题） 例：甲、乙两人的工作效率比是3:4，两人合作完成一项工作，共得报酬2800元，按工作效率比分配报酬，甲、乙两人各得多少元？ 解：① 总份数 = 3+4 = 7份 检验：1200:1600 = 3:4，与工作效率比一致，符合题意。 答：甲得1200元，乙得1600元。 4. 场景四：比例变式应用题（拓展题） 例：用比例解：一个工厂，原计划每天生产40台机器，15天完成任务；实际每天生产50台，实际多少天完成任务？（工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例） 解：① 设实际x天完成任务。 ② 列出比例式（反比例，乘积相等）：40×15 = 50x ③ 解方程：600 = 50x x = 12 检验：40×15 = 600（台），50×12 = 600（台），工作总量相等，符合题意。 答：实际12天完成任务。 5. 易错题型：正、反比例判断错误（警示题） 例：判断：一批零件，已加工的个数与未加工的个数成反比例（×），并解答：若已加工个数与未加工个数的比是2:3，已加工20个，求未加工多少个？（易错点：误判成反比例，实际是比例分配） 解：① 已加工:未加工 = 2:3，设未加工x个。 ② 列出比例式：2:3 = 20:x ③ 解比例：2x = 3×20 → x = 30 警示：已加工个数与未加工个数的和一定，而非乘积一定，不成反比例，需按比例分配或正比例求解。 答：未加工30个。 培优练习 一、选择题 1．有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，问甲袋米原来重（    ）千克。 A．240 B．200 C．220 D．180 2．修正带是通过两个齿轮相互咬合进行工作的。下面这个修正带，小齿轮有30个齿，大齿轮有90个齿。大齿轮转动5圈，小齿轮转动（    ）圈。 A．10 B．12 C．15 D．18 3．配制一种糖水，糖与水的质量比是1∶19，配制400克这样的糖水，需要再加入（    ）克水才能使糖与水的比变为1∶24。 A．50 B．100 C．150 D．200 4．同学们在科学课上做模拟火山喷发的实验、原来塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比是9∶5，又加入19g小苏打后，塑料杯中柠檬酸和小苏打的质量比变成了7∶6，塑料杯中有（    ）g柠檬酸。 A．38 B．171 C．63 D．133 5．某人从A地到B地平均速度为3米/秒，按原路返回时每秒行7米，那么此人一个来回的平均速度是（    ）米/秒。 A．4.2 B．4.8 C．5 D．5.4 6．用5毫升的蜂蜜兑100毫升水调制成蜂蜜水，如果再加入10毫升的蜂蜜，为了使蜂蜜水的甜度不变，需要加入的水可以是（    ）。 A．10毫升 B．200毫升 C．原来的3倍 D．原来的4倍 二、填空题 7．如果4a＝7b，那么a∶b＝______。如果a＝14，那么b＝______。 8．12颗草莓可以和4个苹果互换。96颗草莓可以换( )个苹果。 9．学校图书馆有科技书和文学书各360本，要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置( )本文学书。 10．爸爸买了一辆自行车，明明用脚踏板蹬一圈，发现后齿轮转两圈。他数出后齿轮齿数是18个，所以推测出这辆自行车前齿轮齿数是( )个。 11．张家与李家本月的收入钱数之比是，本月开支的钱数之比是，月底张家结余630元，李家结余700元，则本月两家共收入( )元。 12．成语“立竿见影”用数学的眼光来看，这是应用了比例的知识。某一时刻，一幢高18m的楼房的影长是15m，那么同一时刻、同一地点，一根高3m的电线竿的影长是( )m。 三、解答题 13．学校购进一批粉笔，白粉笔与彩色粉笔的数量之比是3∶1。开学后平均每周用去36盒白粉笔和8盒彩色粉笔，用了几周后，白粉笔已用完，还剩下36盒彩色粉笔。学校购进彩色粉笔多少盒？ 14．明明家装修新房，用边长是0.6米的方砖铺客厅地面，正好需要144块。如果改用0.8米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 15．风能作为一种清洁可再生能源，越来越受到世界各国的重视。数学实践小组测得一台风力发电机的影长是72米，同时把一根长2米的木杆直立在地上，测得在阳光下木杆的影长是1.8米。这台风力发电机高多少米？（用比例解决问题） 16．甲、乙两个仓库存粮质量的比是，如果从甲仓库运走，给乙仓库运进2.4吨，则甲、乙两仓库存粮质量的比是。甲仓库原来有存粮多少吨？ 17．张阿姨在和面做面条，她认为当面粉和水的质量比为20∶9做出来的面条口感更加，照这样和面，张阿姨用300克面粉，需要加水多少克？（用比例解答） 18．酸梅汤是传统的消暑饮料，丽丽用180毫升的酸梅原汁加水320毫升调制酸梅汤。奶奶说：“当酸梅原汁和水的比例是3∶7时口感最佳”。丽丽要想调制出口感最佳的酸梅汤，还应该再往酸梅汤中加入多少毫升水？ 19．古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 20．2020年我国正式进入5G网络时代。李叔叔原来用4G网络下载一部电影需要9分钟，他现在用5G网络下载同一部电影，所用的时间与用4G下载所用时间的比是1∶10，那么他用5G网络下载这部电影要用多少分钟？（用比例解） 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $