第三章 专题强化9 动态平衡问题 导学案 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

专题强化　动态平衡问题 [学习目标]　 1.掌握构建矢量平行四边形或三角形的方法，并能用图解法分析动态平衡问题(重点)。 2.会用解析法、相似三角形法解决动态平衡问题(重难点)。 动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小或方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型。 一、用图解法解决动态平衡问题 如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使带有轻质光滑挂钩的物体C缓慢下降。当物体C缓慢下降过程中，两绳之间的夹角如何变化？请通过作图的方式来直观地展示出两绳拉力大小随夹角的变化规律。 答案　如图所示，作出矢量平行四边形，两拉力F1、F2的合力为F，由平衡条件可知F＝G，物体C下降的过程中，θ不断减小，则F1、F2不断变小。 例1　如图所示，用网兜把足球挂在竖直墙面上，悬绳对网兜的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，若不计墙面摩擦，缓慢增加悬绳的长度，下列选项正确的是(　　) A.FT和FN都增大 B.FT和FN都减小 C.FT减小，FN增大 D.FT增大，FN减小 答案　B 解析　对足球受力分析，如图甲，足球受重力G、悬线的拉力FT和墙的支持力FN；画出力的矢量三角形，如图乙，缓慢增加悬绳长度过程中，重力不变，支持力的方向不变，悬线与墙壁间的夹角减小，由图乙可知，FT与FN均变小，故选B。 例2　(多选)(2024·昆明市高一期末)如图所示，轻质细绳AO与BO的一端系在半圆形支架上，另一端系于结点O，结点O下端用细绳悬挂一重物Q。初始时细绳AO与水平方向夹角为60°，细绳BO处于水平方向，结点O位于半圆的圆心处。现将细绳B端沿支架顺时针方向缓慢转动60°，细绳AO的位置保持不变，在此过程中下列说法正确的是(　　) A.细绳AO的拉力一直在变小 B.细绳AO的拉力先变小后变大 C.细绳BO的拉力一直在变大 D.细绳BO的拉力先变小后变大 答案　AD 解析　对结点O受力分析，如图所示，由矢量三角形可知，细绳AO的拉力一直在变小，细绳BO的拉力先变小后变大。故选A、D。 物体受三个力而处于动态平衡时，首先对物体进行受力分析，并依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。 (1)先画出大小、方向都不变的恒力； (2)再画出方向不变、大小可变的力，并把表示此力的线段适当画长一些； (3)明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2~3条矢量线段表示变化趋势。 注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。 二、用解析法解决动态平衡问题 例1中，如果不用动态图解法，能否通过平行四边形定则利用函数关系式，求出FT、FN如何变化？ 答案　由cos θ＝， 得FT＝， 由tan θ＝得FN＝mgtan θ 所以，当增大悬绳的长度时θ变小，故FT减小，FN减小。 例3　如图所示，重型自卸车利用液压装置使车厢缓慢倾斜到一定角度，车厢内的石块就会自动滑下。在石块下滑前，下列说法正确的是(　　) A.在石块下滑前后自卸车与石块整体的重心位置不变 B.自卸车车厢倾角越大，石块与车厢的动摩擦因数越小 C.自卸车车厢倾角变大，车厢与石块间的正压力减小 D.自卸车车厢倾角变大，车厢对石块的摩擦力减小 答案　C 解析　物体重心的位置跟形状还有质量分布有关，石块下滑前后，自卸车与石块整体的质量分布变化，所以重心位置改变，选项A错误；石块与车厢的动摩擦因数与车厢倾角无关，取决于石块和车厢接触面的粗糙程度，选项B错误；石块静止时对石块受力分析，如图所示， 有FN＝mgcos θ，Ff＝mgsin θ，则压力FN'随倾角θ变大而减小，Ff随θ的变大而变大，C正确，D错误。 例4　(多选)如图所示，质量分别为M、m的甲、乙两个物体系在一根通过轻质光滑定滑轮的轻绳两端，甲放在水平地面上，乙被悬在空中，若将甲沿水平地面向左缓慢移动少许后，甲仍静止，则(　　) A.绳中张力变小 B.甲对地面的压力变大 C.绳子对滑轮的力变大 D.甲所受的静摩擦力变大 答案　BD 解析　以物体乙为研究对象，得到绳子张力F＝mg。以物体甲为研究对象，受力分析如图所示。 由平衡条件得地面对甲的支持力FN＝Mg－Fcos α，静摩擦力Ff＝Fsin α，甲沿水平地面向左缓慢移动少许后α增大，由数学知识得到FN变大，Ff变大，根据牛顿第三定律知甲对地面的压力也变大。由力的平行四边形定则知，绳子对滑轮的力变小，故选B、D。 解析法(数学方法)分析动态平衡问题的步骤： (1)对物体受力分析。 (2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。 (3)根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。 *三、用相似三角形解决动态平衡问题 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力是变力，大小、方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 例5　(多选)固定在水平面上的光滑半球的半径为R，在球心O的正上方C点固定一个光滑的小定滑轮，细线的一端拴接一小球，另一端绕过定滑轮，现用力FT将小球从如图所示位置的A点缓慢地拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力FN，细线的拉力FT大小变化情况是(　　) A.FN不变 B.FN变小 C.FT变小 D.FT变大 答案　AC 解析　在小球被拉至B点前的过程中，对小球进行受力分析，小球受重力、半球对小球的弹力和细线对小球的拉力，小球在三个力作用下缓慢滑至B点，小球在运动过程中可视为受力平衡。作出小球的受力示意图如图所示， 故小球所受重力mg、半球对小球的弹力FN'和细线对小球的拉力FT可以构成一个闭合的三角形，由图可知，三个力构成的三角形与图中由细线AC、定滑轮到水平面的高度CO及半球半径AO构成的△ACO始终相似，故有＝，由于小球运动过程中，CO和AO的长度不变，AC减小，小球所受重力不变，所以半球对小球的弹力FN'不变，细线对小球的拉力FT变小，由牛顿第三定律可知小球对半球的压力FN不变，故A、C正确，B、D错误。 利用相似三角形解决动态平衡问题： (1)在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形； (2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形； (3)确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式； (4)结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。 专题强化练 [分值：50分] [1~4题，每题4分] 1.(来自鲁科教材)如图所示，一只可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢从底部经过b点爬到a点。下列说法正确的是(　　) A.在a点碗对蚂蚁的支持力大于在b点的支持力 B.在a点碗对蚂蚁的摩擦力大于在b点的摩擦力 C.在a点碗对蚂蚁的作用力大于在b点的作用力 D.在a点蚂蚁受到的合力大于在b点受到的合力 答案　B 解析　蚂蚁缓慢从底部经过b点爬到a点，则蚂蚁在各个位置处受力平衡，蚂蚁受到竖直向下的重力，沿切线斜向上的摩擦力和垂直于切线斜向上的支持力，如图所示， 可知FN＝mgcos θ，Ff＝mgsin θ，其中θ为支持力所在直线与竖直方向的夹角，从b点到a点，角度θ变大，sin θ增大，cos θ减小，则Ff变大，FN变小，故选项A错误，B正确；根据上述分析知，蚂蚁在各个位置处受到的合力为零，则碗对蚂蚁的作用力始终等于蚂蚁的重力，故选项C、D错误。 2.(来自粤教教材)如图所示，在两根竖直木桩等高的两点上，用两根等长轻绳将木板悬挂制成一简易秋千。若使两绳缓慢变短，但仍保持等长悬挂点不变。木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则(　　) A.F1不变，F2变大 B.F1不变，F2变小 C.F1变大，F2变大 D.F1变小，F2变小 答案　A 解析　木板静止时，受自身重力和两根绳的拉力作用，处于平衡状态，故三个力的合力为零，即F1＝0；对木板受力分析如图所示， 根据共点力平衡条件，有2F2cos θ＝mg，解得F2＝，当轻绳变短时，轻绳与竖直方向的夹角θ增大，cos θ减小，故拉力F2变大，A正确。 3.如图所示，一光滑小球静止放置在固定的光滑半球面底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是(　　) A.F1增大，F2增大 B.F1减小，F2减小 C.F1增大，F2减小 D.F1减小，F2增大 答案　A 解析　对小球受力分析，如图所示， 根据平衡条件得，F1＝mgtan θ，F2＝，由于θ不断增大，故F1增大，F2增大，A正确。 4.(来自鲁科教材改编)如图所示，用OA、OB两根轻绳将电灯悬挂于两墙壁之间，开始时OA水平。现保持O点位置和OB绳长不变，改变OA绳长，使绳末端A缓慢上移至A'点，此时OA'与OB之间夹角θ<90°，下列说法正确的是(　　) A.绳OA的拉力逐渐增大 B.绳OA的拉力逐渐减小 C.绳OB的拉力逐渐增大 D.绳OB的拉力逐渐减小 答案　D 解析　以结点O为研究对象，分析受力：重力G、绳OA的拉力FOA和绳OB的拉力FOB，如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出力的合成图如图， 由图看出，FOA先减小后增大，FOB逐渐减小，当θ＝90°时，FOA最小。故选D。 [5题6分] 5.(多选)(2024·安庆市一中高一期中)如图所示，配有调节倾角的简易支架放在水平桌面上，上语文课时，某同学将一本古汉语字典放在支架的斜面上，若字典与支架斜面间的动摩擦因数为μ＝，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，缓慢地调节倾角θ使得字典与支架始终处于静止状态，则下列说法正确的是(　　) A.倾角θ增大，字典受到的摩擦力增大 B.倾角θ增大，字典受到的支持力增大 C.若字典始终处于静止状态，支架倾角的最大值θ＝30° D.若字典始终处于静止状态，支架倾角的最大值θ＝45° 答案　AC 解析　设字典的质量为m，字典受力情况如图所示， 字典受到沿支架斜面向上的静摩擦力，静摩擦力等于重力沿支架斜面向下的分力，即Ff＝mgsin θ，随倾角θ增大，摩擦力增大，故A正确；支持力FN＝mgcos θ，随倾角θ增大，支持力减小，故B错误；当字典受到的静摩擦力达到最大时，根据受力平衡可知，mgsin θ＝μmgcos θ，解得tan θ＝，即θ＝30°，故C正确，D错误。 6.(10分)(来自教科教材)如图所示，把球夹在竖直墙A和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为FN1，球对板的压力为FN2。试分别用作图和解析的方法分析在将板BC逐渐放至水平的过程中FN1和FN2的变化情况。 答案　见解析 解析　如图甲所示，将球的重力mg分解为对墙的压力FN1和对板的压力FN2， 设板与墙的夹角为θ， 易得FN1＝，逐渐放平过程中θ增大， 则tan θ增大，而减小，即FN1减小； FN2＝，θ增大时，sin θ增大， 则减小，即FN2减小。 作出一组FN1、FN2变化动态矢量图如图乙所示，易知，FN1、FN2均减小。 7.(11分)(来自粤教教材)粗细均匀的电线架在A、B两根电线杆之间。由于热胀冷缩，电线由夏季到冬季缓慢变短，呈现如图所示的两种形状。若电线杆始终处于竖直状态，试分析夏、冬两季哪个季节电线对电线杆的拉力较大。 答案　见解析 解析　以整条电线为研究对象，受力分析如图所示， 由共点力的平衡条件知，两电线杆对电线的拉力的合力与电线的重力大小相等，由几何关系得2Fcos θ＝G，即F＝， 相对于冬季，夏季时两杆正中部位电线下坠的距离h较大，则与杆相连部分电线的切线方向与竖直方向的夹角θ较小，F较小，可知冬季电线对电线杆的拉力较大。 [7分] 8.(2023·巴东县第三高级中学高一期中)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔并用手拉住，现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　) A.F减小，FN不变 B.F减小，FN减小 C.F不变，FN增大 D.F不变，FN减小 答案　A 解析　小球沿圆环缓慢上移可看成小球处于平衡状态，对小球受力分析，小球受重力G、F、FN三个力，如图所示，由三角形相似 有，F'＝F 当A点上移时，半径不变，G不变，则FN不变，AB长度减小，可知F减小，故A正确，B、C、D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $