专题6.1 加法原理与乘法原理（9类必考点）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题6.1 加法原理与乘法原理 【知识梳理】 1 【考点1：分类加法计数原理】 2 【考点2：分步乘法计数原理及简单应用】 3 【考点3：判断事件计数的原理】 3 【考点4：实际问题中的计数问题】 4 【考点5：代数中的计数问题】 5 【考点6：几何计数问题】 6 【考点7： 数字排列问题】 6 【考点8：分 涂色问题】 8 【考点9： 其他计数模型】 9 【知识梳理】 1、分类加法计数原理： (1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2) 能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点： ①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类． ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． ③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 2、分布乘法计数原理： (1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． (2) 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可． ②完成每一步有若干种方法． ③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． (3) 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 不同点 运用加法运算 运用乘法运算 分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解 3、数组问题： 对于组数问题,应掌握以下原则 ①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类, 分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成, 如果正面分类较多, 可采用间接法求解. ②要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的首位. 4、涂色问题常用方法： ①根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理区域涂色问题的基本方法; ②根据共用了多少种颜色,分别计算出各种情形的种数,再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数; ③根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 5、实际问题中的计数原理： 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步． [方法技巧] 使用两个计数原理进行计数的基本思想 对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．　　 【考点1：分类加法计数原理】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）某校开设类选修课3门，类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（   ） A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部文艺片、3部喜剧片、2部科幻片，小明从中任选1部电影观看，则不同的选法共有（    ） A．12 种 B．8种 C．7种 D．6种 3．（25-26高二上·江西·期末）某学校开设4门球类课程、5门田径类课程和2门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．20种 C．11种 D．9种 4．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二（1）班的男生38人和女生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有________种． 【考点2：分步乘法计数原理及简单应用】 1．（25-26高二上·甘肃武威·期末）甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（   ） A．7 B．12 C．81 D．64 2．（25-26高二下·全国·单元测试）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 4．（25-26高二上·河南·月考）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 5．（2026高三·全国·专题练习）给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给________个程序模块命名． 【考点3：判断事件计数的原理】 1．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个. 2．（25-26高二下·全国·课前预习）若完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是________;而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是________. 3．（25-26高二下·全国·课前预习）判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( ) （2）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出26+10=36种不同的号码．( ) （3）在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完成这件事.( ) 4．（25-26高二上·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）从书架上任取数学书、语文书各1本是分类问题.( ) （2）分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情．( ) （3）分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题．( ) （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题．( ) 5．（24-25高二下·全国·课前预习）判断正误 （1）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( ) （2）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( ) （3）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( ) （4）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) 【考点4：实际问题中的计数问题】 1．（24-25高二下·河北·期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．12 2．（24-25高二下·贵州·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 3．（24-25高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25高二下·北京延庆·期末）2023年起延庆区将利用三年时间重点打造“延庆东南山·九沟十八湾”乡村振兴品牌，旨在借助延庆区东南部浅山区和山区的沟域空间结构、功能布局及秀美山水，构建9条各具特色的生态沟域廊道、18条生态沟域农文体康旅体验湾，全面推动延庆区乡村振兴，打造新时代首都生态沟域绿色发展新典范. 小明打算从九沟十八湾中选出一沟一湾去旅游，则不同的选法有_________种． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）家住北京的李老师每周一要乘上午的火车或汽车到天津讲课一次．如果每天上午有6次列车和8趟汽车开往天津，计算去天津三次时，一共有多少种不同的选择． 【考点5：代数中的计数问题】 1．（24-25高二下·云南曲靖·月考）用3，4，5中的任意一个数作分子，6，8，10中的任意一个数作分母，则可构成（    ）个不同的分数． A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2026·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二·全国·单元测试）已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从这两个集合中先后取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 4．（24-25高二下·江苏宿迁·月考）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我省某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动的种数为______，周一、周二都有专家参加调研活动的种数为______. 5．（25-26高三·全国·中职高考）用1，5，9，13任意一个数做分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造__________个不同的分数，可构造__________个不同的真分数． 【考点6：几何计数问题】 1．（2026高三·全国·专题练习）以1，1，1，，，为六条棱长的四面体个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25高三下·江苏南京·月考）记为点到平面α的距离，给定四面体，则满足（i=2，3，4）的平面的个数为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 3．（2025·上海·高考真题）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 4．（25-26高三上·上海·月考）在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素.又点到原点的距离，则这样的点的个数为_______. 5．（24-25高二下·上海·月考）如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为_____. 【考点7： 数字排列问题】 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答） 2．（25-26高二下·全国·课后作业）从0，1，2，3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）写出下列问题的所有排列． (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 4．（25-26高二下·全国·课后作业）将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的： (1)银行存折的四位密码？ (2)四位整数？ (3)比2000大的四位偶数？ 【考点8：分 涂色问题】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 2．（25-26高三上·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．144 B．288 C．432 D．576 3．（25-26高二上·江西景德镇·期末）在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 4．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）给正方体的8个顶点涂色，规则：从顶点开始涂色，之后每选取一个未涂色顶点且与上次所涂顶点不在同一条棱上的顶点进行涂色．若涂色3次，则第3次恰好涂在点的概率为______． 5．（25-26高二下·全国·单元测试）如图有四个编号为的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？ 【考点9： 其他计数模型】 1．（2026·全国·模拟预测）据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当."算筹计数法有纵､横两种形式，如图为纵式计数形式，一竖表示1个单位，一横表示5个单位，例如三竖一横表示8. 现从上图中选择三个数构成等比数列，则能构成等比数列的组合中所有数的纵式计数形式中共有横数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026高三·全国·专题练习）在共13个数中挑出个数，使得这个数中任意两个的差都不是5或8，则的最大值是______．(用数字作答) 3．（24-25高三上·河南南阳·期末）某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答） 4．（24-25高二下·福建泉州·期中）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为______. 5．（2025·辽宁·一模）数学家欧拉把“哥尼斯堡七桥问题（如图①，如何才能走过这七座桥，且每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？）”转化为能否一笔画出图②的问题.定义若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点，否则称为奇点.连通图可以一笔画出的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（要想一笔画成，若有奇点，起点和终点只能在奇点），因此“哥尼斯堡七桥问题”是无解的.借助上述内容一笔画完成图③的不同路径方法有__________种. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 加法原理与乘法原理 【知识梳理】 1 【考点1：分类加法计数原理】 2 【考点2：分步乘法计数原理及简单应用】 4 【考点3：判断事件计数的原理】 5 【考点4：实际问题中的计数问题】 7 【考点5：代数中的计数问题】 9 【考点6：几何计数问题】 10 【考点7： 数字排列问题】 13 【考点8：分 涂色问题】 17 【考点9： 其他计数模型】 20 【知识梳理】 1、分类加法计数原理： (1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2) 能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点： ①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类． ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． ③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 2、分布乘法计数原理： (1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． (2) 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可． ②完成每一步有若干种方法． ③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． (3) 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 不同点 运用加法运算 运用乘法运算 分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解 3、数组问题： 对于组数问题,应掌握以下原则 ①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类, 分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成, 如果正面分类较多, 可采用间接法求解. ②要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的首位. 4、涂色问题常用方法： ①根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理区域涂色问题的基本方法; ②根据共用了多少种颜色,分别计算出各种情形的种数,再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数; ③根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 5、实际问题中的计数原理： 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步． [方法技巧] 使用两个计数原理进行计数的基本思想 对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．　　 【考点1：分类加法计数原理】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）某校开设类选修课3门，类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（   ） A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 【答案】C 【分析】利用分类计数原理求解即可. 【详解】选择课程的方法有2类：从类课程中选一门有3种不同的方法， 从类课程中选1门有4种不同的方法，∴共有不同选法（种）． 故选：C. 2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部文艺片、3部喜剧片、2部科幻片，小明从中任选1部电影观看，则不同的选法共有（    ） A．12 种 B．8种 C．7种 D．6种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理即可得到答案. 【详解】根据分类加法计数原理得不同的选法共有种. 故选：C. 3．（25-26高二上·江西·期末）某学校开设4门球类课程、5门田径类课程和2门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．20种 C．11种 D．9种 【答案】C 【分析】直接根据分类加法计数原理得答案． 【详解】解析：分类加法计数原理，种． 故选：C． 4．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种），总计种方式． 故选：B 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二（1）班的男生38人和女生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有________种． 【答案】56 【分析】完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，第二类：选1名女生，根据分类加法计数原理计算即可. 【详解】完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有（种）不同的选法． 故答案为： 【考点2：分步乘法计数原理及简单应用】 1．（25-26高二上·甘肃武威·期末）甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（   ） A．7 B．12 C．81 D．64 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座， 即每人去听一个讲座共有种选择，则三人各选一个讲座种数为． 故选：D． 2．（25-26高二下·全国·单元测试）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】每位同学都有5种选择，则不同的报名方法有（种）． 故选：C． 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】三个人任选一部电影观看，共分三步， 第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法， 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有， 故选：D. 4．（25-26高二上·河南·月考）小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理可得. 【详解】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数． 故选:B． 5．（2026高三·全国·专题练习）给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给________个程序模块命名． 【答案】 【分析】根据题意可确定每个字符的可能数，再利用分步乘法原理计算即可. 【详解】首字符要求用字母A～G或U～Z，共种可能， 后两个字符要求用数字1～9，所以后两个字符中每个各有种可能， ，所以最多可以给个程序模块命名． 故答案为：. 【考点3：判断事件计数的原理】 1．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个. 【答案】36 【解析】根据特殊位置优先考虑，先考虑末尾数，有种，在考虑首位非零有种，剩下的两个位置有，然后再根据分步计数原理即可求出结果. 【详解】特殊位置优先考虑，先考虑末尾，有种，在考虑首位非零有种， 剩下的两个位置有种， 则由分布乘法计数原理，得到共有奇数种， 故答案为:36. 【点睛】本题主要考查排列组合和分步计数原理等知识，属于基础题. 2．（25-26高二下·全国·课前预习）若完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是________;而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是________. 【答案】 分类 分步 【分析】略 【详解】略 3．（25-26高二下·全国·课前预习）判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( ) （2）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出26+10=36种不同的号码．( ) （3）在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完成这件事.( ) 【答案】 错误 正确 正确 【分析】利用分类加法计数原理分别判断各个命题即可. 【详解】（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的， 若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种方法，（1）错误； （2）因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0～9共有10个， 所以总共可以编出26+10=36（种）不同的号码，（2）正确； （3）在分类加法计数原理中的每一种办法都是独立的，可单独完成这件事，（3）正确. 故答案为：错误；正确；正确 4．（25-26高二上·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）从书架上任取数学书、语文书各1本是分类问题.( ) （2）分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情．( ) （3）分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题．( ) （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题．( ) 【答案】 错误 错误 正确 正确 【分析】根据分类加法计数原理、分步乘法计数原理的知识判断出正确答案. 【详解】（1）从书架上任取数学书、语文书各1本是分步问题，（1）错误. （2）分步乘法计数原理是指完成所有的步骤才是完成整件事情，（2）错误. （3）分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题，（3）正确. （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题，（4）正确 故答案为：错误；错误；正确；正确 5．（24-25高二下·全国·课前预习）判断正误 （1）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( ) （2）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( ) （3）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( ) （4）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) 【答案】 正确 错误 错误 正确 【分析】略 【详解】略 故答案为：正确；错误；错误；正确. 【考点4：实际问题中的计数问题】 1．（24-25高二下·河北·期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据分类计数原理与分步计数原理计算可得答案． 【详解】要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为． 故选：C． 2．（24-25高二下·贵州·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 【答案】B 【分析】直接由分步计数原理求解即可． 【详解】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式， 乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同， 可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式， 共分步计数原理可得共有种． 故选：B． 3．（24-25高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由分步乘法计数原理可知：从甲地经过丙地到乙地共有种走法； 又从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走， 所以根据分类加法计数原理可得：从甲地到乙地的走法种数为. 故选：D. 4．（24-25高二下·北京延庆·期末）2023年起延庆区将利用三年时间重点打造“延庆东南山·九沟十八湾”乡村振兴品牌，旨在借助延庆区东南部浅山区和山区的沟域空间结构、功能布局及秀美山水，构建9条各具特色的生态沟域廊道、18条生态沟域农文体康旅体验湾，全面推动延庆区乡村振兴，打造新时代首都生态沟域绿色发展新典范. 小明打算从九沟十八湾中选出一沟一湾去旅游，则不同的选法有_________种． 【答案】 【分析】明确各选出1条生态沟域廊道和1条生态沟域农文体康旅体验湾的方法数，再直接利用分布乘法计数原理直接计算即可得解. 【详解】由题选出1条生态沟域廊道有9种不同选法， 选出1条生态沟域农文体康旅体验湾有18种不同选法， 故选出一沟一湾去旅游则不同的选法有种. 故答案为：162. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）家住北京的李老师每周一要乘上午的火车或汽车到天津讲课一次．如果每天上午有6次列车和8趟汽车开往天津，计算去天津三次时，一共有多少种不同的选择． 【答案】2744 【分析】先利用分类加法计数原理，再利用分步乘法计数原理进行求解. 【详解】先由分类加法计数原理得到每一次去天津都有种选择， 再由分步乘法计数原理可知，去天津三次时，一共有次不同的选择. 【考点5：代数中的计数问题】 1．（24-25高二下·云南曲靖·月考）用3，4，5中的任意一个数作分子，6，8，10中的任意一个数作分母，则可构成（    ）个不同的分数． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理求解，再去掉重复分数即可. 【详解】取3，4，5中取一个数作分子有种不同的取法，6，8，10中的任意一个数作分母有种不同的取法， 所以可以得到个分数，其中相同， 所以可得到个不同的分数. 故选：B 2．（2026·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】完全平方数、新定义问题 【详解】因为两位数的完全平方数有（提示：完全平方数指一个数能表示成某个整数的平方的形式），所以具有“性质”的三位数有，共4个． 故选：D. 3．（25-26高二·全国·单元测试）已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从这两个集合中先后取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理的意义即可求解. 【详解】完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏宿迁·月考）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我省某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动的种数为______，周一、周二都有专家参加调研活动的种数为______. 【答案】 16 14 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得任选一天的种数；利用排除法去掉周一或周二没有专家的种数. 【详解】1位专家选择调研活动的时间有2种方法，因此4位专家任选一天进行调研活动的种数为； 周一或周二没有专家进行调研活动有2种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的种数为. 故答案为：16；14 5．（25-26高三·全国·中职高考）用1，5，9，13任意一个数做分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造__________个不同的分数，可构造__________个不同的真分数． 【答案】 16 10 【分析】由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数；按照分子取值分类，结合分类加法计数原理即可得真分数得个数. 【详解】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，8，12，16中任选一个数作分母， 可构成个不同的分数； 由真分数的定义， ①若1为分子，分母有4种选择； ②若5为分子，分母有3种选择； ③若9为分子，分母有2种选择； ④若13为分子，分母有1种选择； 所以真分数共有个. 故答案为：16；10. 【考点6：几何计数问题】 1．（2026高三·全国·专题练习）以1，1，1，，，为六条棱长的四面体个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由这些边为三角形仅有四种，，，，讨论底面三角形为、，结合对称性确定四面体个数. 【详解】以这些边为三角形仅有四种，，，． 固定四面体的一面作为底面： 当底面的三边为时，另外三边的取法只有一种情况，即； 当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，． 其余情形得到的四面体均在上述情形中． 由此可知，四面体个数有3个． 故选：B 2．（24-25高三下·江苏南京·月考）记为点到平面α的距离，给定四面体，则满足（i=2，3，4）的平面的个数为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】分两种情况：与平面平行、经过△中位线分别求出它们满足要求的个数，加总即可. 【详解】当与平面平行时，如下图存在2种情况. 当经过△中位线时，如下图其中一条中位线有2种情况，故三条中位线，共有6种情况. 综上，共有2+6=8种情况. 故选：C. 3．（2025·上海·高考真题）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 4．（25-26高三上·上海·月考）在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素.又点到原点的距离，则这样的点的个数为_______. 【答案】 【分析】根据已知有，结合的取值判断满足条件的点，即可得答案. 【详解】由题设，又都是集合中的元素，且， 所以，满足要求的点有、、、、、、、、、、、、、、、、、、、， 所以这样的点有20个. 故答案为：20 5．（24-25高二下·上海·月考）如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为_____. 【答案】3 【分析】根据向量共面的推论易知在面内，且面，结合正方体的对称性及空间数量积运算确定不同取值的个数. 【详解】由，且，即在面内， 要使取最小值时，点位置记为点，即面，结合正方体的对称性， 知：，，三种情况， 所以数量积的不同取值的个数为3. 故答案为：3 【考点7： 数字排列问题】 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答） 【答案】 【分析】按照0是否在末位分类讨论即可求解. 【详解】末位是0时：末位有1种选法，十位有种选法，百位有种选法， 故末位是0的三位偶数有； 末位不是0时：个位有种选法，百位有有种选法，十位有种选法， 故末位不是0的三位偶数有； 所以共有个． 故答案为：. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）从0，1，2，3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数． 【答案】答案见解析 【分析】列举出所有满足条件的三位数即可. 【详解】大于200的三位数的首位是2或3，所以共有：201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）写出下列问题的所有排列． (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 【答案】(1)12个 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用枚举法，一一列举，即可求解； （2）根据题意，利用树形图法，进行列举，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数， 则所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43， 共有12个不同的两位数． （2）解：由题意作树形图，如图所示， 故所有的排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24个． 4．（25-26高二下·全国·课后作业）将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 【答案】(1)216 (2)120 (3)90 【分析】（1）可先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （2）根据题意，先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （3）根据题意，可分为百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，且每种都有个，进而得到答案. 【详解】（1）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 根据分步乘法计数原理知，可以排出（个）不同的三位数． （2）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种， 根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有（个）． （3）解：两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同， 且每种都有（个），故满足条件的三位数共有（个）． 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的： (1)银行存折的四位密码？ (2)四位整数？ (3)比2000大的四位偶数？ 【答案】(1)360 (2)300 (3)120 【分析】（1）由分步乘法计数原理，将问题分成四步，算出每一步的种类数并将各数相乘即可求得结果； （2）根据分步乘法计数原理，将问题也分成四步，算出每一步的种类数并将各数相乘即可求得结果； （3）法一：按末位是0，2，4分为三类，再由分类加法和分步乘法计数原理计算即可； 法二：按千位是2，3，4，5分四类，再由分类加法和分步乘法计数原理计算即可； 法三：利用间接法求出所有的四位偶数，再除去小于2000的偶数即可. 【详解】（1）分四步： 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法； 第三步；选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有（个） （2）分四步： 第一步：首位数字有5种选取方法； 第二步：百位数字有5种选取方法； 第三步：十位数字有4种选取方法； 第四步：个位数字有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有（个）． （3）法一：按末位是0，2，4分为三类： 第一类：末位是0的有（个）； 第二类：末位是2的有（个）； 第三类：末位是4的有（个）． 则由分类加法计数原理有（个）． 法二：按千位是2，3，4，5分四类： 第一类：千位是2，个位有2种选择（0或4），百位有4种选择，十位有3种选择，共有（个）； 第二类：千位是3，个位有3种选择（0或2或4），百位有4种选择，十位有3种选择，共有（个）； 第三类：千位是4，个位有2种选择（0或2），百位有4种选择，十位有3种选择，共有（个）； 第四类：千位是5，个位有3种选择（0或2或4），百位有4种选择，十位有3种选择，共有（个）． 则由分类加法计数原理有（个）． 法三： 用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类： 第一类：末位是0的有（个）； 第二类：末位是2或4的有（个）． 共有（个）． 其中比2000小的有千位是1的共有（个）， 所以符合条件的四位偶数共有（个）． 【考点8：分 涂色问题】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】如图，若先染有5种色可选，有4种色可选，有3种色可选，有2种色可选， 则不同染色方法共有（种）． 故选：D. 2．（25-26高三上·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．144 B．288 C．432 D．576 【答案】D 【分析】直接根据，，，，，，按顺序涂色，逐步分析各个步骤的可能数，最后根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】从四个不同的颜色中选出一种颜色给涂色，有4种可能，再给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能，给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能， 这样给七个正六边形区域，，，，，，涂色， 不同的涂色方案有． 故选：D． 3．（25-26高二上·江西景德镇·期末）在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 【答案】18 【分析】根据区域种花情况，分两类情况求解，根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】区域种同一种花，不同的种植方法有：； 区域种不同的花，不同的种植方法有：； 由分类加法计数原理可得，共有18种方法. 故答案为：18 4．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）给正方体的8个顶点涂色，规则：从顶点开始涂色，之后每选取一个未涂色顶点且与上次所涂顶点不在同一条棱上的顶点进行涂色．若涂色3次，则第3次恰好涂在点的概率为______． 【答案】 【分析】按照分步乘法计数原理即可得到结果 【详解】 正方体中，从顶点开始涂色，第一次涂色后，与不在同一条棱上的顶点有,共种选择； 第二次涂色时，需选择一个与第一次所涂顶点不在同一条棱上的顶点。 假设第二次涂,则第三次可选,共种； 假设第二次涂,则第三次可选,共种； 假设第二次涂,则第三次可选,共种； 假设第二次涂,则第三次可选,共种； 所以总的路径为种，其中第3次恰好涂在点的有种，所以概率为. 故答案为： 5．（25-26高二下·全国·单元测试）如图有四个编号为的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？ 【答案】260 【分析】分类涂色，，同色和不同色，每类再分步，计算可得． 【详解】分为两类：第一类：若，同色，则有5种涂法，有4种涂法，有1种涂法（与相同），有4种涂法． 故． 第二类：若不同色，则有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法，有3种涂法． 故（种）． 综上可知不同的涂法共有（种）． 【考点9： 其他计数模型】 1．（2026·全国·模拟预测）据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当."算筹计数法有纵､横两种形式，如图为纵式计数形式，一竖表示1个单位，一横表示5个单位，例如三竖一横表示8. 现从上图中选择三个数构成等比数列，则能构成等比数列的组合中所有数的纵式计数形式中共有横数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】列出能构成等比数列的数组，然后可得答案. 【详解】正整数1~9中能构成等比数列的三个数一共有四组，分别是1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9. 其中只有6，8，9的纵式计数形式中各有1横，所以共有4横 故选：D 2．（2026高三·全国·专题练习）在共13个数中挑出个数，使得这个数中任意两个的差都不是5或8，则的最大值是______．(用数字作答) 【答案】6 【分析】首先将13个数字按照要求排成一圈，再按要求进行分析即可得出的最大值． 【详解】如图，由题意，将13个数排成一圈，使相邻的两个数的差是5或8， 则其中任何相邻的数都不能同时取， 从1开始按逆时针顺序把数染成实心和空心，则所有空心圈对应的数符合题意，共6个， 且若超过6个，则必然会出现两个数相邻，因此的最大值为6， 故答案为：6. 3．（24-25高三上·河南南阳·期末）某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答） 【答案】 【分析】借助加法计数原理，得到，依次计算即可. 【详解】设小明上个台阶有种方法，考虑最后一步： 若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且； 若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且. 由加法原理得，易知， 可得， 所以小明不同的上楼方法共有种. 故答案为：. 4．（24-25高二下·福建泉州·期中）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为______. 【答案】45 【分析】先选出一个球的编号与盒子的编号相同，再用列举法求出另外4个球的编号与盒子的编号不同的投放种数，再用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况， 例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，，，，，，，，共9种， 故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法种数为种， 故答案为：45. 5．（2025·辽宁·一模）数学家欧拉把“哥尼斯堡七桥问题（如图①，如何才能走过这七座桥，且每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？）”转化为能否一笔画出图②的问题.定义若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点，否则称为奇点.连通图可以一笔画出的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（要想一笔画成，若有奇点，起点和终点只能在奇点），因此“哥尼斯堡七桥问题”是无解的.借助上述内容一笔画完成图③的不同路径方法有__________种. 【答案】 【分析】做出图形，两个奇点和分别做起点，求出与之间的途径的情况，再求出一笔完成的画法，，进而可得出答案. 【详解】如图，两个奇点和分别做起点，有两种情况， 与之间有三种途径：①，②，③， 其中一笔完成有种画法：， ， ， 若做起点，从出发有三种不同的路径能到达，从返回有两种不同的路径， 所以不同路径方法有种. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：求解分类、分步计数原理需要注意以下几点： （1）处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准； （2）分类时要满足要满足两个条件：①类与类之间要互斥（保证不重复）；②总数要完备（保证不遗漏），也就是要确定一个合理的分类标准； （3）分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续型. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $