板块一 习题讲评（一）函数的图象与性质-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

函数的图象与性质 习题讲评（一） 函数的图象与性质是高考数学的必考内容，主要以选择、填空形式考查，多作为解题工具出现在解答题中.主要考查利用函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）比较大小、解不等式、求参数值、作图、识图等，单独考查某个性质时题目偏易，以多选题呈现且综合考查抽象函数性质时难度较大. 2 1 2 教学点(一)　函数的图象及应用 教学点(二)　函数的性质及应用 CONTENTS 目录 函数的图象及应用 教学点（一） 4 [例1]　函数f（x）= 的图象大致为（　　） B 5 解析：由f（x）=知，ex-e-x≠0，即x≠0， 所以函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称. 又f（-x）==-f（x），所以函数为奇函数， （已知解析式选择图象，优先判断函数的定义域与奇偶性） 故排除A；当x>0时，ex>e-x⇒ex-e-x>0，x→0时，cos（πx）>0，所以当x>0，x→0时，f（x）>0，故排除C；当x→+∞时，cos（πx）符号可正可负，所以f（x）可正可负，ex-e-x→+∞，所以f（x）→0，故排除D. 6 [例2]　已知函数f（x）=若a<b<c，且f（a）=f（b）= f（c），则cf（c）的取值范围为（　　） A.（0，e] B.（0，e） C.（0，+∞） D. 解析：因为f（x）=当x>0时， f（x）=|ln x|=（注意对y=|ln x|分段讨论） A 7 所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）内单调递减， 且f=f（e）=1；当x≤0时，f（x）=2x，所以f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（0）=1，所以f（x）的图象如图所示. （根据函数的性质作出图象） 8 又a<b<c，且f（a）=f（b）=f（c）， 不妨令f（a）=f（b）=f（c）=t， 结合图象可知0<t≤1且a≤0<≤b<1<c≤e， 即0<f（c）≤1，（利用不等式同向相乘） 所以0<cf（c）≤e，即cf（c）的取值范围为（0，e]. 拓展延伸：“数形结合”是数学解题中重要的思想方法，解题时应充分研究函数性质，将函数的单调性、图象与坐标轴或其他图象的交点、图象的渐近线等准确画出，要做到“草图不草”，不能主观臆造，否则会导致图形“失真”，从而得出错误的答案. 9 |思|维|建|模| 1.辨别函数图象的方法 （1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置. （2）从函数的单调性（有时可借助导数），判断图象的变化趋势. （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（常用） （4）从函数的特殊点（与坐标轴的交点，图象过的定点），排除不符合要求的图象.（常用） 2.函数图象的应用策略 当方程或不等式无法用代数式求解，但与函数有关时，常转化为两函数的图象关系问题，从而利用数形结合法求解.  10 [练1]　（2025·天津高考）已知函数y=f（x）的图象如下，则f（x）的解析式可能为 （　　） A.f（x）= 　　　B.f（x）= C.f（x）= 　　　D.f（x）= 即时训练 D 11 解析：法一　由题图可知函数y=f（x）是偶函数，而函数y=，y=是奇函数，故A、B错误；当x>1时，由题图知f（x）>0， 且此时x2>1，即x2-1>0，1-x2<0，所以当x>1时，y=<0，y=>0，故C错误，D正确.故选D. 法二　由题图知，当-1<x<1时，f（x）≤0，易知当-1<x≤0时，B、C不符合；当0<x<1时，A不符合.故选D. 12 习得方略：判断函数图象对应的解析式的方法 主要是通过观察图象判断函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，并验证选项中所给函数的性质是否符合，还可以选用几个特殊的函数值代入所给的解析式排除不符合图象的解析式. 13 [练2]　已知min{a，b}=函数f（x）=min， 若∃x∈[1，3]，使得关于x的不等式f（x）≤f（t）成立，则实数t的取值 范围是______________.  解析：因为f（x）=min， 则定义域为{x|x≠-1}，所以f（x）的图象是取y=x2与 y=图象位于下方的部分，作出y=f（x）的图象 如图所示（实线部分），（解题的关键是作出图象） ∪ 14 当x∈[1，3]时f（x）=，显然f（x）在[1，3]上单调递减， 且f（x）∈.因为∃x∈[1，3]，使得关于x的不等式f（x）≤f（t）成立，所以f（t）≥.令x2=，解得x=±，结合图象可得f（t）≥的解集为∪. 15 函数的性质及应用 教学点（二） 16 题点一　单调性与奇偶性结合 [例1]　已知定义在R上的函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称， 且f（x）在（-∞，0）上单调递减.设a=f（log23），b=f（ln 3），c=f，则（　　） A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a D 17 解析：因为f（x-1）的图象关于直线x=1对称，所以f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数.又f（x）在（-∞，0）上单调递减，所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增.（偶函数在对称的两个区间上单调性相反）由题得c=f=f（-lg 9）=f（lg 9），又0<lg 9<1，0<ln 2<1， 则log23=>ln 3>1，所以f（lg 9）<f（ln 3）<f（log23），即c<b<a. 习得方略：奇函数在y轴两侧对称的区间上单调性一致，偶函数在y轴两侧对称的区间上单调性相反. 18 [例2]　已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（2）=3，对于任意的x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）+2x1 -2x2]>0，则不等式|f（x）+2x|≤7的解集为 （　　） A.[-2，2] B.[-3，3] C.[-4，4] D.[-6，6] 解析：设g（x）=f（x）+2x，（构造函数，探讨新函数的单调性与奇偶性）由函数f（x）是R上的奇函数，得g（x）的定义域为R，且g（-x）=f（-x）-2x=-f（x）-2x=-g（x），函数g（x）也是R上的奇函数， A 19 对于任意的x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2） +2x1-2x2]>0，得（x1-x2）[f（x1）+2x1-f（x2）-2x2]>0，即（x1-x2） [g（x1）-g（x2）]>0，则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增.又g（x）为奇函数，因此g（x）在R上单调递增，由f（2）=3，得g（2）=f（2）+4=7，g（-2）=-g（2）=-7.由不等式|f（x）+2x|≤7⇔|g（x）|≤7，则 g（-2）≤g（x）≤g（2），解得-2≤x≤2，所以不等式|f（x）+2x|≤7的解集为[-2，2]. 20 拓展延伸：函数单调性的等价形式 设x1，x2∈[a，b]，且x1<x2， （1）>0⇒f（x）在[a，b]上单调递增； （2）<0⇒f（x）在[a，b]上单调递减； （3）（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0⇒f（x）在[a，b]上单调递增； （4）（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0⇒f（x）在[a，b]上单调递减. 21 BCD 22 解析：由题知，f（x-y）-f（x+y）=f（x-1）f（y-1），对于A，令x=y=0，得f（0）-f（0）=f（-1）f（-1），所以f（-1）=0.令x=0，得 f（-y）-f（y）=f（-1）f（y-1）=0，即f（-y）=f（y），所以f（x）为偶函数，所以函数y=xf（x）为奇函数，（奇函数与偶函数的积为奇函数）故A不正确；对于B，令x=1，f（1-y）-f（1+y）=f（0）f（y-1）=2f（y-1），即f（y+1）=-f（y-1），f（y+2）=-f（y）=f（y-2），所以f（x）的周期为4，故B正确；（求抽象函数的周期，牢牢抓住f（x）=f（x+T）即可，这是解题时需转化的目标） 23 24 习得方略：赋值法解决抽象函数问题 （1）赋值助理解：仔细观察题目给出的函数性质特征和运算规律，若无法清楚知道运算规律表达的含义，可先随意代入几个数值，化抽象为具体，帮助自己理解. （2）赋值找性质：尝试给已知代数式赋值0，1等，得到几个具体的函数值；尝试令已知代数式中x为-x，y为-y等，寻找奇偶性；尝试令x为x+1，x+2等，寻找周期性等. 25 |思|维|建|模|　函数的四个性质及应用 （1）奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分（一般取一半）区间上. （2）单调性：可以比较大小、解不等式、求函数的最值（值域）等. （3）周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解. （4）对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题，利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题. 26 [练1]　（2025·唐山一模）已知f（x）=e|x|，则下列说法正确的是 （　　） A.f（5）>f（-3）>f（2） B.f（-3）>f（2）>f（5） C.f（5）>f（2）>f（-3） D.f（2）>f（5）>f（-3） 即时训练 即时训练 A 解析：已知f（x）=e|x|，其定义域为R，关于原点对称.且f（-x）=e|-x|=e|x| =f（x），所以函数f（x）是偶函数，那么f（-3）=f（3）. 当x≥0时， f（x）=ex.因为e>1，所以f（x）=ex在[0，+∞）上单调递增. 因为5>3>2，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f（5）>f（3）>f（2）.又因为 f（-3）=f（3），所以f（5）>f（-3）>f（2）. 27 [练2]　已知函数f（x）=在R上单调递减，则实数a的取值范围是（　　） A.[-3，-2） B.（-3，-2] C.[-3，-2] D.（-3，-2） 解析：　法一　因为函数f（x）=在R上单调递减，所以当x≤0时，f'（x）=a-2sin x≤0（分段函数单调递减，则其在每一段上都单调递减，据此分类讨论）恒成立，则a≤（2sin x）min=-2； C 28 当x>0时，由f（x）=ax2-x-2a-4在（0，+∞）上单调递减，若a=0， f（x）=-x-4，符合题意，若a≠0，则⇒a<0，故a≤0.又分段点处也要满足单调递减的性质，（注意临界位置函数值的大小关系） 所以-2a-4≤2，解得a≥-3.综上所述，a∈[-3，-2]. 法二：特殊值法 结合选项知，只需判断-2，-3是否满足条件即可，若a=-3，当x≤0时，f'（x）=-3-2sin x<0，f（x）单调递减；当x>0时，f（x）=-3x2-x+2单调递减，所以f（0）=2≥-3×02-0+2，故a=-3满足题意，同理a=-2也满足题意，故选C. 29 ACD 30 解析：由题意得f（-x）=f（x），所以-f'（-x）=f'（x）， 即-g（-x）=g（x），所以g（x）是奇函数，故g（0）=0， 由f（3-x）+f（x）=1得f（-x）+f（x+3）=1， 所以f（x）+f（x+3）=1， 故f（x+3）=f（3-x）=f（x-3）， 所以f（x+6）=f（x）， ， 所以g（x）是周期为6的函数， C正确； ①处巧法妙解，直线x=0是f（x）图象的对称轴，是其对称中心，故该函数的周期T=4×=6.实际上此处根据原函数与导函数的关系也可直接求出（0，0）是g（x）图象的对称中心，直线x=是g（x）图象的对称轴，由此求得g（x）的周期； 31 由f（3-x）+f（x）=1求导得-f'（3-x）+f'（x）=0，即g（x）=g（3-x），所以g（3）=g（0）=0，所以g（2 025）=g（6×337+3）=g（3）=0，A正确；由g（x）=g（3-x），g（-x）=-g（x）无法确定g的值， B错误；由f（-x）+f（x+3）=1，令x=-1，得f（1）+f（2）=1，令x=0，得f（0）+f（3）=1，则f（3）=-1.令x=1，得f（-1）+f（4）=1，则 f（4）=1-f（-1）=1-f（1）.令x=2，得f（-2）+f（5）=1，则f（5）=1- f（-2）=1-f（2）.又f（6）=f（0）=2，所以f（5）+f（4）=1-f（2）+ 1-f（1）=2-1=1， 32 ， ②处，利用赋值法求出一个周期内的函数值之 和是关键，此处对f（-x）+f（x+3）=1依次赋值x=-1，x=0，x=1，x=2.虽无法单独求出f（1）， f（2）的值，但目标是求和，故利用整体思想将f（1）+f（2）=1直接代入求解即可. 33 拓展延伸：双对称结论 （1）f（x）的图象关于直线x=a与直线x=b对称⇒周期T=2|b-a|. （2）f（x）的图象关于点（a，0）与点（b，0）对称⇒周期T=2|b-a|. （3）f（x）的图象关于直线x=a与点（b，0）对称⇒周期T=4|b-a|. 记忆口诀：“和定对称，差定周期”“双对称见周期，同类对称2倍差，异类对称4倍差”. 34 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 题点二　奇偶性、周期性与对称性结合 [例3]　（2025·泰安模拟）[多选]函数f（x）对于任意的x，y∈R，满足f（x-y）-f（x+y）=f（x-1）f（y-1），且f（0）=2，则 （　　） A.y=xf（x）为偶函数 B.4是函数f（x）的一个周期 C.点（2 025，0）是f（x）图象的对称中心 D. f（i）=0 对于C， 由B中f（y+1）=-f（y-1），即f（y+1）+f（y-1）=0，所以f（x）图象关于（1，0） 对称，且f（1）=0.又f（x）周期为4，所以f（2 025）=f（506×4+1）=f（1）=0，故C正确； 对于D，令x=y=1，得f（0）-f（2）=f（0）f（0），即f（2）=-2.令x=1，y=2，得f（-1）-f（3）=2f（1），所以f（3）=0，（利用赋值法求一个周期内的函数值是关键）所以f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=2+0+（-2）+0=0，故f（i）=f（2 024）+f（2 025）+f（2 026）=f（0）+f（1）+f（2）=0，故D正确.故选BCD. [练3]　（2025·沈阳三模）[多选]已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（0）=2，f（3-x）+f（x）=1，设f（x）在R上的导函数为g（x），则 （　　） A.g（2 025）=0 B.g= C.g（x）的一个周期为6 D. f（n）=1 011 所以f（n）=f（n）= 337×3+f（1）+f（2）+f（3） =1 011，D正确.故选ACD. $