38 第五章 方法专题十 十字模型 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦几何“十字模型”核心考点，覆盖正方形、矩形、等腰直角三角形内十字垂直问题，精准对接中考几何综合题考查要求。通过模型分类梳理全等判定、相似应用等考点权重，归纳证明线段相等、计算长度等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“模型建构+真题演练+素养提升”模式，如正方形内十字模型通过全等证明（第1题）培养推理能力，矩形内相似计算（第4题）强化几何直观，助力学生掌握辅助线添加与模型应用技巧。系统的考点突破方法帮助学生高效提分，为教师提供结构化复习方案，提升中考冲刺效果。

1 2 3 模型1　正方形内十字模型 【学会模型】 图形 过顶点的十字模型 不过顶点的十字模型,分别过点F,H作线段AB,BC的垂线,垂足分别为M,N 条件 在正方形ABCD中,BN⊥AM 在正方形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,CD,BC,AD边上的点,EF⊥GH 结论 ①△ADM≌△BAN; ②AM=BN ①△HNG≌△FME; ②GH=EF 4 【运用模型】　　　　　　　　　　 1.如图,在正方形 ABCD中,E是 BC 上一点, BF⊥AE于点H,交 DC于点F. 若AB=5,BE=2,则 AF=_________.  5 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=AD=5,∠ABE=∠BCF=∠D=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°. ∵BF⊥AE于点H,∴∠BHE=90°,∴∠AEB+∠EBH=90°, ∴∠BAE=∠EBH. 在△ABE和△BCF中, ∴△ABE≌△BCF(ASA), ∴CF=BE=2, ∴DF=5-2=3. 在Rt△ADF中,AF===. 6 2.如图,在正方形ABCD中,E为BC边上一点,连接AE,作AE的垂直平分线 交AB于点G,交CD于点F.若DF=2,BG=4,则GF的长为_________.  3 7 【解析】 如图,连接GE,过点G作GH⊥CD于点H,则四边形AGHD是矩形,设AG=DH=x,则FH=x-2. ∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠GHF=90°,AB=AD=GH. ∵GF垂直平分AE,∴GE=AG=x. ∵∠EAB+∠AGF=90°,∠AGF+∠FGH=90°, ∴∠EAB=∠FGH,∴△ABE≌△GHF(ASA), ∴BE=FH=x-2,AE=GF. ∵在Rt△BGE中,GE2=BG2+BE2, ∴x2=42+(x-2)2,∴x=5,∴AB=9,BE=3. 在Rt△ABE中,AE===3,∴GF=AE=3. 8 3.如图,在正方形 ABCD 中,E,F分别为BC,CD 上的点,且 AE⊥BF,垂足为G. (1)求证:AE=BF. (2)若 BE=,AG=2,求正方形的边长. 9 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°. ∵AE⊥BF,∴∠CBF+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠CBF. 在△ABE与△BCF中, ∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF. 10 (2)解:∵AE⊥BF,∴∠BGE=∠ABE=90°. ∵∠BEG=∠AEB,∴△BGE∽△ABE, ∴=,即BE2=EG·AE. 设 EG=x,则AE=AG+EG=2+x,∴()2=x(2+x), 解得x1=1,x2=-3(不合题意,舍去), ∴EG=1,AE=3, ∴正方形的边长AB===. 11 模型2　矩形内十字模型 【学会模型】 图形 过顶点的十字模型 不过顶点的十字模型,分别过点F,G作线段AD,CD的垂线,垂足分别为M,N 条件 在矩形ABCD中,在AD上有一点E,CE⊥BD 在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为AD,BC,AB,CD边上的点,EF⊥GH 结论 ①△CDE∽△BCD; ② == ①△EFM∽△HGN; ② == 12 【运用模型】 4.如图,在矩形ABCD中,有两条相交线段EG,FH,点E,F,G,H分别在边 AB,BC,CD,DA上.若 EG⊥HF,=,EG=10,则 FH的长为_______.  8 13 【解析】 如图,过点E作EM⊥CD于点M,交FH于点P,过点F作FN⊥AD于点N, ∴四边形AEMD、四边形ABFN是矩形, ∴∠HNF=∠EMG=90°,AB=FN,AD=EM. ∵EG⊥HF,∴∠EOH=90°, ∴∠NFH+∠EPO=∠MEG+∠EPO, ∴∠NFH=∠MEG,∴△FNH∽△EMG, ∴===. ∵EG=10,∴=, 解得FH=8. 14 5.如图,在矩形ABCD中,AD=2,点F在AB上,FB=2AF,DF⊥AC于点E,求AE的长. 15 解:∵FB=2AF,∴AB=AF+BF=3AF. 在矩形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∠ADC=90°, ∴△AFE∽△CDE,∴==, ∴CE=3AE,∴AC=4AE. ∵DF⊥AC,∴∠DAE+∠ADE=∠DAE+∠ACD, ∴∠ADE=∠ACD. 又∵∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD,∴=, ∴AD2=AE·AC. ∵AD=2,∴22=AE·4AE,∴AE=1(负值已舍去). 16 模型3　等腰直角三角形内十字模型 【学会模型】 图形 构造正方形内十字模型 条件 在△ABC中,AB=AC,AB⊥AC,AE⊥BD,点D为AC的中点 结论 ①BE∶EC=2∶1; ②△CEN≌△CED⇒∠AEB=∠CED 17 【运用模型】 6.如图,在△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC,BD是AC边上的中线,过点A 作AE⊥BD交BD 于点F,交BC于点E,则 的值为________.  2 18 【解析】 如图,过点C作CG⊥AC交AE的延长线于点G, 则∠ACG=∠BAC=∠AFD=90°, ∴∠CAG+∠BAE=∠ABD+∠BAF=90°,AB∥CG, ∴∠CAG=∠ABD. 又∵AC=AB,∴△ACG≌△BAD(ASA), ∴CG=AD=AC=AB. ∵BA∥CG,∴△BEA∽△CEG,∴==2. 19 7.如图,在Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为AC 的中点,连接BD,过点 C作CE⊥BD交AB 于点 E,交 BD 于点 F,求CE的长. 20 解:如图,过点 A 作AC 的垂线,过点 B 作 BC 的垂线,两垂线交于点 G, 延长CE交AG于点 H. ∵∠ACB=90°,AG⊥AC,BG⊥BC, ∴AH∥BC,四边形 AGBC 为矩形. ∵点 D是AC的中点,AC=4, ∴CD=AD=2. ∵BC=3,∴BD ==. ∵CE⊥BD,∴∠BFC=90°, 21 ∴∠BCF +∠CBD=90°. ∵∠BCF +∠ACH=90°,∴∠ACH=∠CBD, ∴△CAH∽△BCD,∴==,即==, ∴CH=,AH=. ∵AH∥BC,∴△AEH∽△BEC, ∴=,即=,解得CE=. 22 23 $