1.1.1两角和与差的正弦公式-《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 1.1.2两角和与差的正弦公式 一、知识梳理 (1)公式：sin(a±B)=-sinacosB±cosasinB·(口诀：异名积，符号同) 注意：1.公式中三角符号的顺序sccs;2.公式中角的顺序aBaB;3.公式中的运算 符号 (2)辅助角公式：asina+bcosa=√a2+b2sin(a+p)其中cosφ=a\r(a2+b2), sinΦ=br(a2+b2) (3)、预备知识 袋 30 45 60 孤度 6 4 3 sing 2 2 3N cosa 3 2 2 2 tang 3 5 3 二、题型精练 题型1套公式 【典例】：sin75o 【答案】2+6 【分析】根据两角和的正弦公式求解 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【详解】sin75°=sim(30°+45)=sin30°cos45°+cos30sin45° 1√2,32√2+√6 三一● 2222 4 故答案为： √2+6 【典例2】： 【答案】6-2 4 【分析】根据两角差的正弦公式求解 π n(C-)）=simcos π π sin sin(- -cos一sin 12 46 4 6 4 6 【详解】 2.32,16-2 2222 4 故答案为： 6-5 4 题型2公式逆用 【典例1】：sinl2°cos18o+cosl2sinl8o 【爷】 【分析】根据两角和的正弦公式求解 【详解】sinl2°cosl8o+cosl2°sinl8o=sin(12°+18)=sin30°= 故答案为： 2 【典例2】：sin75cosl5o-cos75sinl5o 【答案】 2 【分析】根据两角差的正弦公式求解 【详解】sin75°cosl5°-cos75sinl5°=sin(75°-15)=sin60°= 2 故答案为： 3 2 【典例3】：化简：sin(a+B)cosa-cos(a+B)sin ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【答案】sinβ 【分析】根据两角差的正弦公式求解 【详解】sin(a+β)cosa-cos(au+B)sina=sin[(oa+B)-a】=sinβ 故答案为：sinβ 题型3公式应用 【典例l】:已知sino= 5 cosB=4,a,B都是锐角，求sim(a+B) 13 【答案】56 5 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角a，B的范围，可求出sina,sinB的值， 再根据两角和差的正弦公式求解即可 4 【详解】因为cosB三？s0a 3且a,B都是锐角所以 12 cosa=1-sin2a= ,sinB=V-cosB=亏 3 13 所以sin(a+B)=sina cosB+cosa sinB= 5.4,12.3_20+36_56 13513565 65 故答案为： 6 65 【典例2】：已知sina= .ae/ 3 3π 2’ .cosB=_12 求sin(a-β) 2 【答案】 56 65 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角a，B的范围，可求出sina,sinB的值， 再根据两角和差的正弦公式求解即可 鲜解】因为sina-ac/交 3π /,πcosB=-,2,∈’2 所以cosa=-1-im2a=-手si如B=-eosB- 13 sin(a-p)=sin a cosβ-cos a sinβ 所以_3（-12)-(3》(- 3、 =-36-20 56 513 51 13 65 65 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 56 故答案为：一 65 题型4公式凑角 【典例1】：已知sin(a+B)=,cosa=三，且a,B都是锐角，求sinB 3 5 【答案】1+8V3 15 【分析】根据两角差的正弦公式求解 1 带解】肉为sa+B)cosa且a,B都是锐角所议0k0+B< -2V6 所以sina=V1-cos2a= 5 ，cos(a+β)=±V1-sin2(a+B)= 22,所以 3 sin B=sin(a+B)-a)=cos[(a+B)cosa-sin (a+B)sina] 29,20-14a0 37515 因为B为锐角，siB>0,所以sinB=1+85 15 故答案为：1+8V⑤ 15 【典例2：在△ABC中，己知cosA=- 5 3 cosB=二，求sinC的值 13 【答案】 6 65 【分析】根据两角和的余弦公式和诱导公式求解 5 【详解】因为已知cosA=- 131 cosB=,0<A<元，0<B<9 sin4-1-cos12 sinBB=V1-cos2B 因为C=π-(A+B)>元，所以 sinC sin[n-(A+B)]=sin(A +B)=sinAcosB+cosAsinB 51.4_36+(-20)_16 65 65 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 故答案为： 16 65 题型5公式应用2 【典例1】：若sina+cosa= π ,求sin(a+ 2 【答案】② 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角a,B的范围，可求出sin,sinB的值， 再根据两角和差的正弦公式求解即可 1 【详解】因为sina+cosa=2,所以 sm（a+π=sino cos元cosa sin刀sna/2 -+c0Sa· 4 4 4 2 2 V21√2 (sina +cosa)= 2 224 故答案为： ② X 【典例2】：若sina-√3cosa= 3 2 ,求sin(a-T) 【答案】-3 4 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角a，B的范围，可求出sin,sinB的值， 再根据两角和差的正弦公式求解即可 【详解】因为sina-√3cosa=- 5 ,所以 2 sin (a)=sin a cos-cosa sin=sina.+cosa. V3 3 2 2sina-5cosa)=(-5)-5 2 2 4 故答案为：-V3 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 ⊙A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型6辅助角公式 【典例1】：计算：V3cosl5°-sinl5 【答案】√2 【分析】根据两角和差的正弦公式和辅助角公式求解即可。 【详解】 3c0s 15-sin152 cos15-sin 15]=2[sin 60.cos15-cos 60.sin 15] 2 =2sin(60°-15)=2sin45°=√2 故答案为：√2 【典例2】：计算：一cos15°+ 3 -sin 15 2 【答案】V② 【分析】根据两角和差的正弦公式和辅助角公式求解即可。 1 os15°+ .sin15°=sin30°.cos15°+cos30°.sinl5° 【详解】 2 =sin45°= 2 故答案为： 2 2 题型7逆向公式-诱导1 【典例1】：计算：cos80°cos20°+sinl00°sin380 0 【答案】 【分析】根据两角和的余弦公式求解 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【详解】 cos80°cos20°+sinl00sin380° =cos80°cos20°+sin(180°-80)sin(360°+20) =cos80°cos20°+sin80sin20°=cos(80°-20)=cos60°= 故答案为： 【典例2】：计算：cos80°cos20。-sim260°sin20o 【第】写 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】 cos80°cos20°-sin260°sin20° =cos80°cos20°-sin(180°+80)sin20° =c0s80°cos20°-(-sin80)sin20°=cos(80°-20)=cos60°= 2 故答案为：2 题型8逆向公式-诱导2 【典例1】：计算：sin22cos380+sin68°cos52° 【答案】3 2 【分析】根据两角和的余弦公式求解 sin22cos38°+sin68°cos52° =sin22°cos38°+sin(90°-22)cos(90°-38) 【详解】 =sin22°cos38°+cos22sin38°=sin(22°+38)=sin60°= 故答案为： 2 【典例2】：计算：cos35°sin85o+cos55°sin5 【答案】 3 2 【分析】根据两角和的余弦公式求解 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： > 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com cos35sin85+cos55sin5 =cos35°sin(90°-5)+cos(90°-35)sin5° 【详解】 =cos35cos5°+sin35sin5°=cos(35°-58)=c0s30°=- 故答案为： 3 三、知识检测 1.sin15 【答案】6-巨 【分析】根据两角差的正弦公式求解 【详解】siml5°=s7m(45°-30°)=sin45cos30°-cos45sin30° √2,3√21√6-√2 22224 故答案为： 6-√2 4 2.sin105 【答案】 V2+6 【分析】根据两角和的正弦公式求解 【详解】sim105°=sim(450+60)=sin45°c0s60°+cos459sin60° -2.l+2.3+v6 ●一十 -● 2222 4 故答案为： 2+V6 4 3.sin(-- 【答案】6+迈 4 【分析】根据两角和的正弦公式和诱导公式求解 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com sin( 7元）)=-sin 7=-sin+=-((sinc s元tcossin4 【详解】 12 12 34 3 4 3 4 5,2l,26+2 =- )= 2222 4 故答案为：√6+V2 4 4.sin25°cos35°+cos25°sin35o 【答案】3 2 【分析】根据两角和的正弦公式求解 【详解】sin25°cos35°+cos25sin35°=sin(25°+35)=sin60°= 故答案为： 5 2 5.sin34 cosl1 cos34 sinl1 【答案】② 2 【分析】根据两角和的正弦公式求解 【详解】sin34cos1+cos34sin11=sin(34+119)=sin45=V2 故答案为： 2 6.sin16 cos14 cos16 sin14 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式求解 【详解】 sinl6°cosl4°+cosl6sinl4°=sin(16°+14)=sin30°= 故答案为： 1 7.sinl5°cosl5+cosl5°sinl5o 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【答案】2 【分析】根据两角和的正弦公式求解 【详解】 sinl5°cosl5o+cosl5sinl5°=sin(15°+15)=sin30°= 故答案为：2 8.sin123 cos3 -cos123 sin3 【答案】⑤ 【分析】根据两角差的正弦公式求解 【详解】sin123°cos3°-cos123sin3°=sin(123°-3)=sinl20°= 故答案为： 2 9.sin73°cosl3°-cos73°sinl3o 【答案】 2 【分析】根据两角差的正弦公式求解 【详解】sin73cos13°-cos73sinl3°=sin(73°-13)=sin60°= 故答案为： 2 10.sin（75°-a）c0s(15°-a)-cos（750-a)）sim(15°-a） 【答案】3 【分析】根据两角差的正弦公式求解 sin(75°-a)cos(15°-a)-cos(75°-a)sin(15°-au) 【详解】 =sim[75°-a)-15°-a1=sin600=y5 2 66原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10中职精品 A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 1.1.2两角和与差的正弦公式 一、知识梳理 sin(a±β)=sinacosβ±cosasinB (1)公式： ·(口诀：异名积，符号同) 注意：1.公式中三角符号的顺序sccs:2.公式中角的顺序aBaB;3.公式中的运算 符号 (2)辅助角公式：asina+bcosa=√a2+b2sin(a+p)其中cos中=，sin中= (3)、预备知识 度 30 45 60 弧度 π 2 6 P sina 2 2 2 1 cosa 3 2 2 2 tanx 5 二、题型精练 题型1套公式 【典例】：sin75° 11 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 90. AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【典例2】： 题型2公式逆用 【典例1】：sinl2cosl8°+cosl2sinl8° 【典例2】：sin75c0s15°-cos75sin150 【典例3】：化简：sin（a+B)cosa-cos(a+B)sina 题型3公式应用 5 【典例：已知sima€3’cosB=4 5'a,B都是锐角，求sim(a+B) 【典例2】：已知sina= 13 B2)求sin(a-B) 题型4公式凑角 【奥制】：已知sma+)行cosa 5且a,B都是锐角，求simB os4=-5 3 cos B= 【典例2】：在△ABC中，已知 13 5,求sinC的值 题型5公式应用2 sin a+cosa= sin (a+ 【典例1】：若 2,求 4 sin a-3cosa-3 sin (a-) 【典例2】：若 ,求 3 22 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 9AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型6辅助角公式 【典例1】：计算：V3cos15°-sin15° 【奥例21：计第，20s15+ -sin 15 题型7逆向公式-诱导1 【典例1】：计算：cos80cos20°+sinl00sin380° 【典例2】：计算：cos80cos20°-sin260sin20° 题型8逆向公式-诱导2 【典例1】：计算：sin22cos38°+sin68cos52° 【典例2】：计算：cos35sin85°+cos55sin5° 三、知识检测 1.sin15 2.sin105 3.sin( 1) 12 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 33 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 4.sin25°cos35°+cos25°sin35° 5.sin34cosl1°+cos34sin11° 6.sinl6cosl4°+cosl6sinl4° 7.sin15cos15+cos15sin15 8.sinl23cos3°-cos123sin3° 9.sin73°cosl3°-cos73sinl3° 10.sin(75°-a）cos(15°-a)-cos(75°-a)sin(15°-aw) 1.已知sinw=3 ,c0sB=4 a,B都是锐角，求sin(a+B) 3 2已知sima,ae (2元求sn(a-)-一im(a+ ) 4 13.已知cos(a+PA)=-12 .CosB=4 =5且a,B都是锐角，求simB 44 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 1 14.已知 cosd=7cos(+B)=-14,且a,f均为锐角，求sinB sin a-cosa=1 in（a- 15.若 ,求 16.若sina+V3cosa=1,求 sin (a) 17.计算：V5c0s15°+sin15° 18.计算：sinl5°-cos15° 19.计算：sin25c0s35°-cos205sin35° 20.i计算：cos（-70)cos40°+sinl10sin40° ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 55 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 21.计算：sinl7cos13°+cos(-17)cos77° 22.计算：c0sl3cos97°-sinl3cos7° ⊙6原创精品资源学科网浊家享有版权，侵权必究！ 66 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！