第七章二元一次方程组单元训练2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

第七章二元一次方程组单元训练 一、单选题 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3．《九章算术》中有一个问题大意是：有几个人共同出钱去买一件物品，若每人出8钱，则剩余3钱；若每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y钱，则所列方程组应为（　　） A． B． C． D． 4．阅读下面的对话，并回答问题： 设A版选取自然景观类x个，人文景观类y个，请根据题意列出二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 5．解二元一次方程组过程中，下列变形正确的是（    ） ． A．由①得代入②消去x B．由①得代入②消去x C．由②得代入①消去y D．由②得代入①消去y 6．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 8．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小和小从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小比小先出发15秒，且速度保持不变，小出发2秒后将速度提高到原来的2倍，设小行走的时间为，小和小行走的路程分别为．与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．小提速后的速度为 B． C．从小出发至送餐结束，小和小最远相距 D． 9．如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，．下列说法正确的有（   ）个． 正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是．    A． B． C． D． 10．已知方程组的解满足，则k的值为（    ） A．7 B．6 C．8 D．9 11．若方程组的解是，则的值是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 12．关于、的方程组，下列结论中正确的是（   ） A．若、互为相反数，则； B．值随着值的增大而减小； C．的值随着值的变化而变化； D．不存在的值，使方程组的解为正整数． 二、填空题 13．若是关于，的方程的一组解，则常数的值是___________． 14．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 15．若与互为相反数，则的值是________． 16．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是______． 17．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 18．甲、乙两人从各自家中出发前往学校．，分别表示甲、乙离家的路程s（单位：米）和甲出发时间t（单位：分钟）的函数图象（如图）．已知甲比乙早4分钟出发，乙家到学校的路程比甲家到学校的路程多米．若甲、乙两人同时到达学校，则甲家到学校的路程为______米． 三、解答题 19．（1）解方程： （2）解方程组：． 20．邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 21．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 22．如图，直线过点，点，直线与x轴交于点C，两直线，相交于B． (1)求直线的函数表达式． (2)求交点B的坐标． 23．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 24．阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”． (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． 25．2025年第十五届全国运动会的胜利召开，掀起了一股体育热潮，为响应积极锻炼的同学们，某中学计划购进一批篮球和排球、若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． (1)求每个篮球和每个排球的价格分别为多少元？ (2)商场计划购进两种球类共20个，一个篮球的进价为80元，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”求解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据两种出钱方式下物品价格不变的等量关系，分别列方程组成方程组即可． 【详解】解：∵设有人，物品价格为钱，每人出8钱剩余3钱， ∴ ∵每人出7钱差4钱， ∴ ∴所列方程组为， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据A版共10个打卡点：自然景观类 x个+人文景观类y个= 10 个，可得方程：，B 版自然景观数量：，B 版人文景观数量：，两者之和为 14，可得方程：，联立即可得出答案 【详解】解：A版共10个打卡点：自然景观类 x个+人文景观类y个= 10 个，可得方程：， B版的自然景观数量是A版的2倍，人文景观数量比A 版少 2 个，且B 版共14 个打卡点：B 版自然景观数量：，B 版人文景观数量：，两者之和为 14，可得方程：， 列出的二元一次方程组为： 故选：B 5．C 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握利用代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 通过对方程组进行变形，判断每个选项的表达式是否正确即可． 【详解】解：由②可得， 代入①可消去， 则选项D错误， 由①得， 则选项A、选项B错误； 故选：C． 6．A 【分析】通过消元法解方程组求出点的坐标，再根据象限的符号特征判断即可；本题主要考查了二元一次方程组的解法及平面直角坐标系的相关知识，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 【详解】解：∵方程组 ∴得， 解得， 代入 得， ∵且， ∴点在第一象限． 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，从一次函数图象中获取相关信息是解题的关键． 从函数图象获取信息，求出运动速度进而判断选项ABD；数形结合，分别求得函数图象中各段的函数解析式，由一次函数图象与性质按要求分析小和小之间距离的最大值即可判断选项D，从而得到答案． 【详解】解：小比小先出发15秒，小出发2秒后将速度提高到原来的2倍， 由图中信息可知，在小出发2秒内的速度为， 则小提速后的速度为， 故A选项正确，不符合题意； 小提速后的速度为， 小提速后到达客人处花费时间为， 解得， 故B选项正确，不符合题意； 如图所示： ， ， 设段对应的函数表达式为，将点代入表达式， 得， 解得， ， 当时，小和小之间距离最大值为； 当时，设段对应的函数表达式为，将、代入表达式， 得， 解得， ∴， ∴小和小之间距离； 当时，取最大值，为； 设段对应的函数表达式为，将、代入表达式， 得， 解得， ∴； 联立， 解得， 即， 当时，小和小之间距离； 当时，取最大值，为； 当时，小和小之间距离； 当时，取最大值，为； 综上所述，当时，小和小之间距离最远为； 当时，小和小之间距离从相距处逐渐减小到； 综上所述，从小出发至送餐结束，小和小最远相距， 故C选项正确，不符合题意； ， 当时，， 解得， 则， 故D选项不正确，符合题意； 故选：D 9．B 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，数形结合，灵活应用平方差公式和完全平方公式进行变形是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，分别表示出图和图中阴影部分的面积，结合完全平方公式得到，，然后逐个说法利用完全平方公式和平方差公式进行变形计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分是边长为的正方形， ， ， ， 则， 图中阴影部分的面积为， ， 正方形和的面积和是，故不正确； 图中新的正方形的面积是，故不正确； 由知，，则正方形和的面积差是，故正确； 联立，解得，则正方形的边长是，故正确； 综上所述，正确的有，共个． 故选：B． 10．B 【分析】本题考查用加减消元法求参数，熟练掌握加减消元法是解题的关键．通过将两个方程相减，直接得到 的表达式，然后利用解出k． 【详解】解：∵ 方程组 由得：， 化简得：， 又∵， ∴ ， 解得． 故选：B． 11．D 【分析】本题考查解二元一次方程组；将方程组的解代入原方程组，得到关于m和n的二元一次方程组，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解：将代入得：， 得：， ，， 把代入①得： ， ∴， ∴． 故选：D． 12．B 【分析】根据相反数的定义，一次函数的性质，加减消元法解二元一次方程组等知识，逐一判断各选项． 【详解】A、若、互为相反数，则，解得，故A选项错误； B、，得，则，所以值随着值的增大而减小，选项B正确； C、，得，所以的值不随着值的变化而变化，C选项错误； D、利用加减消元法解方程组得，当时，，即存在的值，使方程组的解为正整数，D选项错误． 13．3 【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意，将代入方程，得，解得． 故答案为：3． 14．2 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法得到，代入计算即可求解． 【详解】解：， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 15． 5 【分析】根据非负数的性质结合相反数的定义求出a、b的值，再代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴． 16． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，熟练掌握“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”是解题的关键． 利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标”解决问题即可． 【详解】解：根据题意得，直线与直线相交于点， 则方程组的解是， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解是，进行类比可得，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解是， ∴关于的二元一次方程组中， 解得：， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了函数图像，二元一次方程组，掌握根据图象得到相关量之间的等量关系是解题的关键． 设甲的速度为m米/分钟，乙的速度为n米/分钟，根据图象列方程组，解方程组求得甲的速度为米/分钟，再将速度乘以时间，即可求解． 【详解】解：设甲的速度为m米/分钟，乙的速度为n米/分钟， 根据图象，可得， 解得， 甲家到学校的路程为米． 故答案为：． 19．（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法和步骤． （1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可解题； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由得：， 将代入①中得：， 解得， 方程组的解为． 20．该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 21．(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 22．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组等知识； （1）利用待定系数法即可求解； （2）联立两直线解析式，即可求得两直线的交点． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点，点代入上述表达式中，得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：解方程组，得， ∴交点B的坐标为． 23． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出a与b的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， 把代入，得， ， 解得：， ∴． 即的值为1． 24．(1)方程的“友谊解”有 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键． （1）根据“友谊解”的定义，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解； （2）解方程组求得，根据“友谊解”的定义得，即，在范围内列举正整数代入求解； 【详解】（1）解：由，得（x，y为正整数）， ∵，解得， ∴当时，；当时，；当时，， ∴方程的“友谊解”有，，． （2）解：有，理由： 由，解得（，，为正整数）， ∵，解得， ∴当时，，， ∴方程组有“友谊解”，且“友谊解”为． 25．(1)每个篮球的价格为100元，每个排球的价格为80元； (2) 【分析】（1）设出篮球和排球的单价，根据2个篮球和1个排球的费用为280元，3个篮球和2个排球的费用为460元建立方程组求解即可； （2）设出购进篮球的个数和获得的利润，列出所获利润与篮球个数的关系式，根据获得的利润相同得到利润与篮球的个数无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为y元， 由题意得，， 解得， 答：每个篮球的价格为100元，每个排球的价格为80元； （2）解：设购进篮球t个，则购进排球个，所获利润为W元， 由题意得， ， ∵要使商场所有购买方案获利相同， ∴W的值不变，即W的值与t的值无关， ∴， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $