第1章 综合·融通(二) 带电粒子在有界磁场中的运动（Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册（鲁科版 福建专用）

综合·融通(二)　带电粒子在有界磁场中的运动 (融会课——主题串知综合应用) 　　带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题常涉及带电粒子在直线边界磁场、圆形边界磁场中的运动问题，以及带电粒子在磁场中运动的多解问题。通过本节课的学习，掌握各种情形中圆周运动的圆心、半径、对应圆心角的确定方法与多解现象原因分析及临界极值问题的分析方法。 主题(一)　带电粒子在直线边界磁场中的运动 [知能融会通] 1.圆心、半径、运动时间的确定 (1)圆心的确定 带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，其圆心一定在与速度方向垂直的直线上。通常有两种确定方法。 ①已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心)。 ②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心)。 (2)运动半径的确定 作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形的解析方法或其他几何方法，求解出半径的大小，并与半径公式r=联立求解。 (3)运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可表示为t=T。可见粒子转过的圆心角越大，所用时间越长。 2.带电粒子在有界磁场中运动的几个结论 (1)粒子进入单边磁场时，进、出磁场具有对称性，如图(a)、(b)、(c)所示。 (2)当速率一定时，粒子运动的弧长越长，圆心角越大，运动时间越长。 [典例]　真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为+q的粒子沿着与MN夹角为θ=30°的方向垂直射入磁场中，粒子不能从PQ边界射出磁场(不计粒子重力的影响)，求： (1)粒子射入磁场的速度大小范围； (2)粒子在磁场中的运动时间。 [解析]　(1)粒子刚好不能从PQ边界射出磁场，即轨迹与PQ相切，如图所示，设轨迹半径为r，则l=r+rcos θ，轨迹半径r==，由半径公式r=得v=；故粒子不能从PQ边界射出磁场时的速度v≤。 (2)粒子的速度大小不同，轨迹不同，但圆心角相同，即在磁场中的运动时间相同。 由几何知识可看出，轨迹所对应圆心角为300°，则运动时间t=T=T，周期T=，所以t=。 [答案]　(1)v≤　(2) [思维建模] 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 1.题目特点：这类题目中往往含有“最大”“最高”“至少”“恰好”等词语。 2.分析方法：从轨迹入手找准临界状态及其条件，如带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 3.两种常见的寻找临界状态的方法： (1)放缩圆法：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，画出半径逐渐变大的圆轨迹，找到临界圆。 (2)旋转圆法：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，轨迹圆大小不变，只是位置绕入射点发生了旋转，画出某方向的圆，然后绕入射点旋转得到其他圆，找到临界圆。 [题点全练清] 1.(2024·黑龙江绥化高二统考)如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形，∠EGF=30°，已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，F处有一粒子源，沿FG方向发射出大量带正电荷q的同种粒子，粒子质量为m，粒子的初速度大小可调，则粒子从F射入磁场到垂直EG边离开磁场所用时间为 (　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C 由题知，粒子从F射入磁场到垂直EG边离开磁场，则根据几何关系，粒子的运动轨迹的圆心在E点，有∠FEG=60°，qvB=m，T=，则粒子所用时间为t==，故选C。 2.(2025·福建厦门高二阶段练习)如图所示，在x轴上方有磁感应强度为B的匀强磁场，一个带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴负方向成60°角，不计粒子所受的重力，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动，到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷及所带电荷的正负是 (　　) A.，正电荷 B.，负电荷 C.，正电荷 D.，负电荷 解析：选B 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，由几何知识可得α=θ=60°，到x轴的最大距离为a，则有粒子的轨道半径r与a的关系为a=r+rcos60°=r，由洛伦兹力提供向心力，可得qvB=m，解得=，由解析图和左手定则可知，粒子带负电。故选B。 　　　　主题(二)　带电粒子在圆形边界磁场中的运动 [知能融会通] 1.圆形边界 如图所示，若粒子沿半径方向射入磁场，则 (1)一定沿半径方向射出。 (2)构建由磁场圆半径R、轨迹圆半径r和两圆圆心连线构成的直角三角形，若速度偏向角为θ，则有tan=。 (3)磁场圆和轨迹圆对应的圆心角互补，即α+θ=π。 2.环状磁场区域 (1)径向出入：带电粒子沿(逆)半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆(沿)半径方向射出磁场，如图甲、乙所示。 (2)最值相切：①一群粒子沿环状磁场的半径方向从中空区域射入磁场，不能穿越磁场的最大速度对应轨迹(两圆相切)如图丙所示；②沿各方向从中空区域射入磁场区域的所有粒子都不能穿越磁场的最大速度对应轨迹(两圆相切)如图丁所示。 [典例]　(2025·江西鹰潭期中)如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子(不计重力)第一次以速度v1沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角。则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的 (　　) A.半径之比为∶1　　　 B.速度之比为1∶ C.速度之比为2∶3 D.时间之比为3∶2 [解析]　如图所示，设圆柱形区域的半径为R，由几何关系可得r1=Rtan 60°=R，r2=R，则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的半径之比为r1∶r2=∶1，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，解得r=∝v，可得速度之比为v1∶v2=r1∶r2=∶1，故A正确，B、C错误；粒子在磁场中的运动时间为t=T=·=∝θ，由图可知θ1=60°，θ2=90°，则时间之比为t1∶t2=θ1∶θ2=60°∶90°=2∶3，故D错误。 [答案]　A [题点全练清] 1.如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力，则为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B 根据题意找出粒子做圆周运动的圆心，如图所示。 设圆形磁场区域的半径为R，由几何关系可知，带电粒子以v1射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r1=R，带电粒子以v2射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r2==R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=，可得v=，所以==，B正确。 2.(2025·福建漳州高二阶段练习)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则这两种情况下带电粒子从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t1∶t2为 (　　) A.1∶2 B.2∶1 C.∶1 D.1∶1 解析：选D 由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB=m，可知R=，又T==，即粒子在磁场中做圆周运动的周期相同。 若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，当粒子在磁场边界的出射点M离P点最远时，则MP=2R1，同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子在磁场边界的出射点N离P点最远时，则NP=2R2，则两种情况下带电粒子均在磁场中运动了，故带电粒子从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t1∶t2=1∶1，A、B、C错误，D正确。 主题(三)　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 [知能融会通] 1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电，也可能带负电，由于带电性质不确定带来多解。 2.磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面，需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。 3.临界状态不唯一形成多解。如图乙中带负电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况：v≤v1或v≥v2。 4.运动的周期性带来多解。如带负电粒子在图丙所示电磁组合场中会做周期性运动，从而带来多解。 [典例]　如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。 [解析]　根据题意可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 qv0B=m=mR 解得R=，T= 当粒子带正电时，轨迹如图中OAC所示，由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为240°，故粒子在磁场中运动的时间 t1=T= 粒子在C点离开磁场，OC=2Rsin 60°= 故离开磁场的位置为 当粒子带负电时，轨迹如图中ODE所示，由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为120°，故粒子在磁场中的运动时间 t2=T= 粒子在E点离开磁场，OE=2Rsin 60°= 故离开磁场时的位置为。 [答案]　若粒子带正电：　 若粒子带负电：　 [题点全练清] 1.(双选)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，离子重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为、速率为v，OP与OQ间的夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足 (　　) A.垂直纸面向里，B> B.垂直纸面向里，B> C.垂直纸面向外，B> D.垂直纸面向外，B> 解析：选BC　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知，负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识可知r2=OBsin 30°=OB，而OB=s+r2，故r2=s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件，可得qvB>，解得B>，A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知，负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知r1=，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件，可得qvB>，解得B>，C正确，D错误。 2.(2025·安徽六安期末)(双选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠OAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷=k，则以下说法正确的是 (　　) A.质子的速度可能为BkL B.质子的速度可能为BkL C.质子由A到C的时间可能为 D.质子由A到C的时间可能为 解析：选B 因质子带正电，且所有质子均能通过C点，作出其可能的轨迹，如图所示，根据几何关系可知，所有圆弧所对应的圆心角均为60°，质子可能的运动轨迹半径为r=(n=1，2，3，…)，质子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB=m，解得v=(n=1，2，3，…)，可知质子的速度可能为BkL，不可能为BkL，故A错误，B正确；质子做圆周运动的周期T==，结合上述可知，质子由A到C的时间为t=n·T=(n=1，2，3，…)，可知质子由A到C的时间不可能为，可能为，故C错误，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $