7.2 万有引力定律 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

万有引力定律讲义 由第六章知识点可知，若物体做圆周运动，则需要指向圆心的向心力；而行星围绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，那需要有力来提供向心力，这个力就是太阳对行星的引力。 1、 行星与太阳之间的引力 既然行星围绕太阳的运动可看作是匀速圆周运动，那行星做匀速圆周运动时受到的力指向圆心（太阳中心），那作为提供向心力的两者之间的引力同样指向圆心，即指向两者的连线。如下图所示。1. 引力公式推导 · 由向心力公式 F=m （m为行星质量，r为行星和太阳两中心连线距离） 而 v=，则 F=mr 又由开普勒第三定律 =k 代入，得到 F=k 其中k为常量。 则可得出太阳对行星的引力F与行星的质量m成正比，与两者之间距离的平方成反比 ，即F。 · 由牛顿第三定律可知，太阳对行星的引力F与行星对太阳的引力F′等大、反向，那既然F与行星的质量m成正比，那可知F′与太阳的质量m太成正比，即F=F′（等式左边表示力的大小），写成等式为 F=G（G为与太阳、行星无关的常量） 所以可得出结论：太阳对行星的引力F与行星的质量m及太阳的质量m太成正比，与两者之间距离的平方成反比。 2. 基础练习 (1) 根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识得太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中m太、m、r分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是(　　) A.由F∝和F′∝知F∶F′＝m∶m太 B.太阳的质量大于行星的质量，所以F>F′ C.F和F′是一对平衡力，大小总是相等的 D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力 (2) 把行星运动近似看成匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝，则可推得(　　) A.行星受太阳的引力为F＝k B.行星受太阳的引力都相同 C.行星受太阳的引力为F＝ D.质量越大的行星受太阳的引力一定越大 (3) (多选)下列说法正确的是(　　) A.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝m，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的 B.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的 C.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的 D.在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的 2、 月-地检验 1. 月亮同样要围绕地球进行转动，它们之间的作用力是否和行星围绕太阳之间的作用力性质相同？ · 若月亮围绕地球运动之间的力与行星围绕太阳之间的力性质相同，那地球对月球的引力的表达式应该与太阳对行星的引力表达式相同，即地球对月球的引力F满足F=G （为地球质量，r为地球中心和月球中心之间的距离） · 根据牛顿第二定律可知，F=m月a月，则月球围绕地球做圆周运动的向心加速度a月= =G 2. 我们知道重力是由于地球对物体的吸引而产生的力，那就意味着地球会对表面的物体产生吸引力，那么地球对树上苹果的吸引力是否与行星围绕太阳的引力性质相同？ · 接着假设地球对苹果的吸引力也和太阳对行星的引力性质相同，则可知，苹果的自由落体加速度a苹= =G（R为苹果到地球中心的距离即地球半径） 综上可得， = G/G = = （月地之间距离r约为地球半径R的60倍） 3. 检验结论 · 已知自由落体加速度g为9.8 m/s2，即a苹＝9.8 m/s2；月、地中心距离r＝3.8×108 m，月球公转周期为27.3 d，约2.36×106 s，由牛顿第二定律F=m月a月＝m月r，则a月= r = 2.69×10－3 m/s2，则 ＝ 可见计算结果与预期符合得很好。 通过验算证明，月球运动的向心加速度与地球上物体下落的重力加速度满足上面公式，这说明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力与太阳行星间的引力性质相同即遵循相同的规律。 4. 基础练习 (1) 牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　) A.30π B.30π C.120π D.120π (2) 通过“月—地检验”证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球表面的重力加速度为g，月球轨道半径为地球半径的60倍，月球的公转周期约为27.3天。下列关于月—地检验的说法正确的是(　　) A.牛顿计算出了地球对月球的引力的数值，从而完成了月—地检验 B.牛顿计算出了月球对月球表面物体的引力的数值，从而完成了月—地检验 C.牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验 D.牛顿计算出了月球绕地球做圆周运动的加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验 3、 万有引力定律 1. 内容 科学家们已经验证除了地球与地面物体之间、月球和地球之间以及行星和太阳之间有相同性质的引力，任意两个物体之间也具有这样的引力。即自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比，这就是万有引力定律。 2. 表达式 F＝G 其中G为引力常量。 英国物理学家卡文迪什测量得出G=6.67408×10-11N∙m2/kg2，常取G=6.67×10-11N∙m2/kg2 3. 为什么平常情况下，感受不到物体与物体之间的引力？ 假设小明与同桌小兵的质量均为60 kg，相距0.5 m。粗略计算他们间的引力。 F引＝G＝6.67×10－11× N≈9.6×10－7 N≈1×10－6 N 所以我们与周围物体间的引力很小，根本感觉不到。 4. 对万有引力定律的理解 (1)普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。 (2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。 (3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。 (4)适用范围：只适用于可以看作质点的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是两球心间的距离。所以当两个物体之间的距离无限小时，万有引力定律不适用。 5. 经典例题 例1一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点A(引力常量为G)，求： (1)被挖去的小球在挖去前对质点A的万有引力； (2)剩余部分对质点A的万有引力。 解析 填补法计算万有引力：挖去前其中一个物体质量均匀、形状规则，挖去的部分质量均匀、形状规则，则剩余部分和另外一个物体的万有引力是挖去前两个物体的万有引力与挖去的部分与另一个物体万有引力之差。 (1) 被挖去的小球在挖去前圆心与质点A之间的距离为d-r，则被挖去的小球在挖去前对质点A的万有引力大小为 F2＝G＝G (2) 由V＝πR3、m＝ρV可知，球的密度ρ=m/πr3，则 大球的质量M=ρ×π（2r）3=8m 则挖去小球前大球与质点A之间的万有引力 F1＝G＝G 被挖去的小球在挖去前对质点A的万有引力大小为 F2＝G 故剩余部分对质点A的万有引力大小为 F＝F1－F2＝G 6. 基础练习 (1) 关于万有引力和万有引力定律理解正确的有(　　) A.我们平常很难觉察到物体之间的万有引力，是因为一般物体之间没有万有引力的作用 B.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力 C.由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力无穷大 D.引力常量的大小首先是由卡文迪什测出来的，约等于6.67×10－11 N·m2/kg2 (2) 2021年4月29日，我国空间站“天和”核心舱发射成功。在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动。已知地球的质量为M，地球的半径为R，“天和”的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对“天和”的万有引力大小为(　　) A.G B.G C.G D.G (3) 地球半径为R，一物体在地球表面受到的万有引力为F，若该物体在地球高空某处受到的万有引力为，则该处距地面的高度为(　　) A.R B.(－1)R C.R D.3R 4、 万有引力与重力的关系 都知道重力是由于地球的吸引产生的，但是重力又不等同于地球对物体的引力。那么地球对物体的引力与重力又是什么样的关系呢？ 地球本身要随着自转轴来自转，而在地球表面的物体要随着地球进行自转，所以地球对物体的引力产生了两个效果：一个是重力，一个是物体随地球自转的向心力。 在不同的位置引力和重力的大小和方向关系都不同。 1. 赤道 在赤道地区，物体的重力方向刚好指向地心，随着地球自转的向心力也指向地心，所以这时引力与重力的关系为： 由万有引力公式和圆周运动公式可得 G＝mg1＋mω2R 这时引力和重力在一条直线上，物体的重力此时最小。 2. 两极 在两极地区，物体位于地球自转轴上，因此其‌自转半径 R = 0，由Fn= mω2R可知，这时物体随地球自转所需要的向心力为0。则此时 即 G＝mg0 重力达到最大值。 因为质量不会发生变化，所以重力加速度在两极地区最大，赤道地区最小。 3. 任意位置 在地球任意位置，地球对物体的引力和重力、物体随地球自转的向心力都不在一条直线上，则万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。 如左图所示。 由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg。 4. 地球外部的重力加速度 在距离地表高度h的高空：G＝mg2，此时的重力加速度g2小于地球表面的重力加速度。 所以高度越高，重力加速度越小。 5. 基础练习 (1) 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为(　　) A.2π B.2π C.2π D.2π (2) 假如地球的自转角速度增大，对于物体的重力，下列说法正确的是(　　) A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变 B.放在两极地面上的物体重力变小 C.放在赤道地面上的物体的重力不变 D.“一昼夜”的时间不变 (3) 火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的(在地球表面的重力加速度g取10 m/s2)，那么： 1)地球表面上质量为50 kg的航天员在火星表面上受到的重力是多少？ 2)若航天员在地球表面能跳1.5 m高，那他以相同初速度在火星表面能跳多高？ 学科网（北京）股份有限公司 $