2026届高考物理二轮复习讲义：组合场与圆形磁场

电磁组合场与圆形磁场知识复习 一、电场中的运动 1.运动分析： 第一象限中为匀强电场，粒子在该场中做的是水平方向的匀速直线运动、竖直方向为匀加速直线运动； 2.第一象限中关键物理量计算 运动特征 速度 加速度 位移 水平方向 匀速直线运动 竖直方向 匀加速直线运动 常用结论 位移偏转角的正切值是速度偏转角正切值的二分之一 3.易错提醒： 计算vᵧ时，务必注意时间t的求解（由水平位移或竖直位移推导）； 速度偏转角α是“合速度与初速度的夹角”，而非与电场方向的夹角； 针对此类模型的大题，上述涉及的公式往往是与题目求解强相关的，如果实在来不及，可以书写上述公式获取步骤分。 二、磁场中的运动 1.运动分析： 第四象限中为匀速圆周运动； 2.第四象限中关键物理量计算 由洛伦兹力提供向心力： 关键物理量： 代入： 关键物理量： 因此速度与半径强相关、当速度变大时，半径、出射点、射程会发生变化； 转动的周期只与粒子的比荷、磁感应强度的大小有关、与速度无关； 三、组合场衔接 粒子从电场进入磁场，唯一的衔接量是进入磁场时的速度（大小v + 方向α）： 速度大小v：由类平抛运动的合速度计算得出，直接代入磁场半径公式。 速度方向α：即类平抛的速度偏转角，决定了粒子射入磁场时的方向，进而决定磁场中轨迹的圆心位置和圆心角。 常见类型： （一）直线边界磁场： （1）如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性，垂直边界进入磁场将会垂直边界射出磁场； （2）多解性：同一出射点可能涉及两种情况，一个为优弧，偏转角为；一个为劣弧，偏转角为 ； 经典例题 1．如图所示，在平面直角坐标系xoy的第一、四象限内，有一直线MN（图中未画出）与y轴平行，在直线MN与y轴正半轴之间存在着磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，在直线MN与y轴负半轴之间存在着磁感应强度大小为2B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在第二象限内存在着沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为的带电粒子从x轴上P点以初速度垂直x轴射入电场，而后经y轴上的Q点沿与y轴正方向成角进入磁场。粒子重力忽略不计，MN与y轴之间的距离。 (1)求匀强电场的电场强度E及Q点到原点O的距离d的大小； (2)要使粒子不从y轴正半轴飞出磁场，求磁感应强度B大小的范围； (3)若磁感应强度大小，要使粒子能够垂直边界MN飞出磁场，求MN与y轴间的距离L的可能值。 【答案】(1)； (2) (3)，（） 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动 解得 沿y轴方向匀速运动 沿轴方向做匀加速运动 解得 （2）要使粒子不从轴正半轴飞出磁场，需要带电粒子能够进入轴下方的磁场，临界态为偏转轨迹与轴相切，如图所示 设此时轨迹的半径为，进入磁场的速度 由几何关系 由洛伦兹力提供向心力 解得 若使粒子不从轴正半轴飞出磁场，磁感应强度大小 （3）带电粒子运动的半径 由几何关系可知粒子在第一象限先完成半个圆的偏转，粒子要垂直边界飞出应满足关系式（） 即（） 2．如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电粒子以初速度自轴上的点射入电场，初速度方向与轴正方向的夹角，之后粒子经轴上的点进入第一象限，再经轴上的点进入第四象限，经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反。粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知点到点的距离为，电场强度大小为，不计粒子重力，，。求： (1)粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角； (2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值； (3)粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间。 【答案】(1) (2)4:1 (3) 【来源】2026届广东省中山市纪念中学高三上学期11月阶段检测物理试卷 【详解】（1）粒子在第二象限运动只受电场作用，沿x方向做匀速运动，其速度 沿y方向做匀减速运动，其初速度，其加速度 设粒子从P点运动到M点所需时间为t1，则 解得 则粒子运动到M点时延y方向的速度 所以粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角 （2）由（1）可知，粒子进入第一象限的速度 OM的距离 设粒子在第一、四象限中的运动轨迹半径分别为r1、r2，粒子经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 所以 （3）粒子从M点运动到N点所需时间为 粒子从N点到第3次经过轴所需时间为 所以粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间 解得 3．如图所示的xOy坐标系中，y轴左侧存在平行y轴且向下的匀强电场，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从x轴上的A点以速度v、与x轴正方向成（未知）角射入第二象限，然后从y轴上的C点（未画出）垂直y轴射入第一象限，最终从x轴上的D点（未画出）垂直x轴射出磁场，，不计粒子重力，求： (1)及电场强度大小E； (2)磁感应强度大小B； (3)粒子从A点运动到D点的时间。 【答案】(1)2， (2) (3) 【来源】2026届广东省部分学校高三上学期联考物理试题 【详解】（1）粒子在电场中做类斜抛运动，沿x轴方向有 沿y轴方向有 解得 由牛顿第二定律得 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 且 解得 （3）粒子在电场中运动的时间 粒子在磁场中运动的时间 粒子从A点运动到D点的时间 解得 （二）圆形边界磁场： （1） 带电粒子沿着圆形磁场半径进或出，则一定沿着圆形磁场半径出或进； （2） 当粒子运动半径大于圆形磁场半径（r＞R）时，粒子入射点和出射点连线恰为圆形磁场直径时，偏转角最大，磁场运动时间最长； （3） 当粒子运动半径小于匀强磁场半径（r＜R）时，带电粒子入射点和出射点为运动直径时，射出点为最远点，粒子有最远的射程； 经典例题 4．如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度的最大值为 B．粒子速度的最大值为 C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况） D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况） 【答案】C 【详解】AB．根据洛伦兹力提供向心力 可得粒子的运动半径为 可知粒子速度最大时，运动半径最大，做出粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系有 联立解得 故AB错误； CD．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有 解得其在磁场中运动的时间为 故C正确；D错误。 故选C。 5．洛伦兹力演示仪的实物图和原理图分别如图（a）、图（b）所示。电子束从电子枪向右水平射出，使玻璃泡中的稀薄气体发光，从而显示电子的运动轨迹。调节加速极电压可改变电子速度大小，调节励磁线圈电流可改变磁感应强度，某次实验，观察到电子束打在图（b）中的P点，下列说法正确的是（　　） A．两个励磁线圈中的电流均为顺时针方向 B．当加大励磁线圈电流时，电子可能出现完整的圆形轨迹励磁线圈 C．当加大加速极电压时，电子打在玻璃泡上的位置将上移 D．在出现完整轨迹后，减小加速极电压，电子在磁场中圆周运动的周期变小 【答案】B 【来源】2022届福建省福州市高三下学期三模物理试题 【详解】A．由电子运动轨迹可知电子射出时受洛伦兹力向上，由左手定测可知磁场方向向外，由右手定则可知两个励磁线圈中的电流均为逆时针方向，故A错误； B．由电子轨迹半径知B增大，r减小，所以当加大励磁线圈电流时，电子可能出现完整的圆形轨迹励磁线圈，故B正确； C．由 ， 知U增大，v增大，r增大，所以当加大加速极电压时，电子打在玻璃泡上的位置将下移，故C错误； D．在出现完整轨迹后，减小加速极电压，电子仍做完整的圆周运动，由知电子在磁场中圆周运动的周期恒定，故D错误。 故选B。 6．（多选）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为区域内的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里，图中未画出），一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（　　） A．粒子带负电荷 B．轨迹半径为 C．轨迹半径为 D．轨迹半径为 【答案】AC 【来源】2025届广东省遂溪县第一中学高三下学期模拟预测物理试题 【详解】A．粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确； BCD．如图所示 设轨迹半径为r，根据几何关系可得 解得，故C正确，BD错误。 故选AC。 7．我国在磁约束方面取得重大突破，如图为一种磁约束的示意图。空间存在一半径为R的半圆形匀强磁场区域，O为圆心，MN为直径边界，磁场方向垂直纸面向里。磁场区域左侧有一电子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为的电子由静止加速到。改变发射器的位置，使带电粒子在圆弧范围内都沿着垂直MN的方向以相同的速度沿纸面射入磁场区域。当电子沿PQ方向进入磁场时，能恰好从O点离开磁场，Q点是OM的中点。忽略电子的重力和电子间的相互作用。则（　　） A．加速电场两板间的电压为 B．磁感应强度的大小为 C．改变发射器的位置，电子都能汇聚于N点 D．改变发射器的位置，电子能在磁场中运动的最长时间为 【答案】ABD 【来源】2025届广东省湛江市高三下学期二模物理试题 【详解】A．电子在电场中加速有 解得，故A正确； B．如图所示，电子在磁场中运动的半径 由 解得，故B正确； C．如图所示的是从不同位置进入磁场的电子的运动轨迹示意图，故C错误； D．从A点进入磁场的电子运动轨迹最长，此时电子轨迹为圆周。有，故D正确。 故选ABD。 （三）电场与圆形磁场组合 8．(25-26高三上·内蒙古呼和浩特·)如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一直径为L且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线水平匀速通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子在cdef区域匀速运动的速度v； (2)粒子的比荷； (3)粒子在圆形区域运动的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三上学期第一次质量监测物理试卷 【详解】（1）带电粒子在区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子带正电，经边的中点速度水平向右，设粒子到达边的中点速度大小为，带电荷量为，质量为，由平衡条件则有 解得 （2）粒子从b点到边的中点的运动，可逆向看作从边的中点到b点的类平抛运动，设运动时间为，加速度大小为，由牛顿第二定律可得 由类平抛运动规律可得， 联立解得粒子的电荷量与质量之比 （3）粒子从中点射出到圆形区域做匀速圆周运动，设粒子的运动半径为，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 与圆形磁场半径相同，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，设粒子射出圆形区域过程中对应圆心角为，由几何关系可知 周期 可得运动时间 四、高频易错点汇总 （一）类平抛部分： 1 速度偏转角算错（误将位移偏转角当作速度偏转角，或tanα计算时分子分母颠倒）； 2 忘记分解运动，直接用合运动公式计算，导致错误。 （2） 磁场部分： ①圆心找反、速度垂线画反，导致轨迹半径和圆心角计算全错； ②混淆“轨迹半径r”和“磁场半径R”，将R代入 计算； 3 计算运动时间时，用速度偏转角代替圆心角θ，导致时间计算错误。 （3） 组合衔接部分： ①忽略粒子电荷量的正负，导致洛伦兹力方向判断错误，进而圆心位置错误； ② 单位不统一（如v用m/s，B用T，q用C，m用kg，需确保单位统一后再代入公式）。 （四）几何部分： ①不画图或画图不规范，无法找到几何关系； ②不会利用垂径定理、直角三角形，导致无法联立几何方程。 5、 巩固练习 9．地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入。图为地球赤道平面的剖面图，地球半径为，把地面上高度为区域内的地磁场视为磁感应强度为方向垂直于剖面的匀强磁场。宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子主要是β粒子。设β粒子的质量为，电量为，最大速率为。下列说法正确的是（　　） A．无论从哪个点垂直磁场入射，β粒子都做顺时针转动 B．无论从哪个点垂直磁场入射，β粒子都做逆时针转动 C．从任何方向垂直磁场入射的β粒子均不能到达地面，则 D．从任何方向垂直磁场入射的β粒子均不能到达地面，则 【答案】AC 【来源】2025届广东省清远市高三上学期11月联考物理试卷 【详解】AB．根据左手定则可知，无论从哪个点垂直磁场入射，β粒子都做顺时针转动，故A正确，B错误； CD．设β粒子运动的半径为r，根据牛顿第二定律可得 解得 即所有β粒子的r都相同，如图所示 可推知当β粒子沿磁场边界的切线方向射入时，其到达的位置离地面最近，当其轨迹与地面相切时磁场的厚度为2r， 因此d应满足的条件是 故C正确，D错误。 故选AC。 10．如图所示，在半径为L的圆形区域内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，在x轴与磁场边界的交点P处有一粒子发射源，能沿xOy平面与x轴成任意夹角向磁场区域发射质量为m，带电量为q的粒子，且发射速度的大小为。在发射的众多粒子中b粒子在磁场中的运动时间恰好为a粒子在磁场中运动时间的两倍。已知a粒子的入射方向与x轴正方向成30°角，若不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．b粒子的入射方向与x轴正方向成30°角 B．b粒子的入射方向与x轴正方向成60角 C．a、b两粒子离开磁场后的运动方向相互平行 D．从磁场外沿y轴正方向从不同位置射入的，一群同速率的上述粒子经磁场作用后一定都过P点 【答案】ACD 【来源】2022届湖南省新高考衡水金卷高三上学期三调物理试题 【详解】ABC．根据 解得 a粒子的轨迹如图    根据几何关系，a粒子的入射方向与x轴正方向成角，a粒子在磁场中转过的圆心角为 ，根据 b粒子在磁场中的运动时间恰好为a粒子在磁场中运动时间的两倍，则b粒子转过的圆心角为，b粒子的轨迹如图    根据几何关系b粒子的入射方向与x轴正方向成角，a、b两粒子离开磁场后的运动方向相互平行，故AC正确，B错误； D．根据 解得 根据左手定则粒子向左偏转，粒子沿着y轴正方向从不同位置射入，设射入位置与圆心的连线与x轴的夹角为，根据几何关系其轨迹中心的坐标为 根据几何关系，该轨迹中心与P点的距离为 则粒子的轨迹必然经过P点，即粒子经磁场作用后一定都过P点，故D正确。 故选ACD。 11．如图所示，半径为R的圆形区域磁场内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，半径OC与ON成600夹角。质子甲、乙分别以速率v、从A点沿直径AN方向射入磁场，甲、乙分别从C、D点（D点未画出）射出磁场。质子的电荷量为q、质量为m，下列说法正确的是（　　） A．质子甲在磁场中运动的轨迹半径为 B．质子乙在磁场中运动的轨迹半径为 C．质子甲在磁场中运动的时间为 D．A、D两点之间的距离为 【答案】AC 【来源】2021届广东省揭阳市高考模拟考物理精选题（一） 【详解】A．如图所示，有几何关系可知质子甲在磁场中运动的半径为 故A正确； B．洛伦兹力提供向心力 得 质子甲、乙分别为速率v、，可得质子乙在磁场中运动的轨迹半径为 ，故B错误； C．质子甲在磁场中的运动时间为 故C正确； D．由几何关系 则 所以A、D两点之间的距离为R，故D错误。 故选AC。 12．如图所示，在直角坐标系xOy中，区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E。质量为m、电荷量为+q的粒子从出发，初速度方向沿x轴正方向，经过一段时间后从b（2L，0）处第一次进入磁场。粒子运动过程中，只考虑其受到电场和磁场的作用力。求： (1)带电粒子初速度v₀的大小； (2)带电粒子第一次从磁场返回电场的位置； (3)带电粒子从出发到第二次经过b点所用时间。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025届广东省珠海实验、中山实验、东莞六中、河源高级、博罗中学五校联考高三下学期模拟预测物理试题 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动 联立解得 （2）设粒子第一次进入磁场时的速度为，与轴正方向夹角为，则 粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为，则 解得， ， 由此可知粒子在第一次返回电场前的运动轨迹如图-1所示 由几何关系可知 故粒子第一次从磁场返回电场的位置为 （3）粒子在磁场中运动的时间设为，故 粒子第一次返回电场，做逆向类平抛运动到达点，与粒子从运动到所用时间相同。 由几何关系可知，点在点右侧的位置 此后粒子做相似的运动，每次向右移动，如图-2所示 可知粒子从出发到第二次经过点所用时间，则 解得 13．如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域I和区域II，区域I存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域II存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域I，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域I后由分界线上的A点（图中未画出）垂直分界线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点运动到A点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，A点到第1次最低点的水平位移。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025届广东省高三下学期高考信息卷物理试题 【详解】（1）粒子经过点时，由几何关系得速度 粒子从点到点，由动能定理得 联立解得 （2）粒子从点到点，由运动学公式有 解得类平抛运动时间 粒子从点到A点，其运动轨迹如图所示。 由抛体运动的规律可得 由几何关系得粒子在区域I中做匀速圆周运动半径 在区域I中运动时间 则粒子从点运动到A点的时间 （3）粒子在区域I中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 根据牛顿第二定律得 解得 如图所示，在A点对粒子由配速法，设对应的洛伦兹力与静电力平衡，则有，方向相反，与的合速度对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样，粒子进入区域II中的运动可以分解为以方向的匀速直线运动和以速度的匀速圆周运动，静电力等于洛伦兹力 故有 解得 合速度，方向竖直向下 设对应的匀速圆周运动的半径为，洛伦兹力提供向心力 根据牛顿第二定律得 解得 粒子从点第1次到达最低点的时间 A点到第1次最低点的水平位移 联立解得 14．如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向外的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率进入III区。已知∠POK=60°，忽略带电粒子所受重力。 (1)判断粒子的电性并求出其比荷； (2)求a、b之间的电势差Uab； (3)若粒子第三次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。 【答案】(1)负电， (2) (3)，， 【来源】2025届广东省广州市高三下学期一模物理试题 【详解】（1）粒子从P点沿半径方向射入I区，偏转后从K点离开I区，根据左手定则可知，四指指向与粒子运动方向相反，则带电粒子带负电。设带电粒子所带电量为-q，粒子在I区做匀速圆周运动的半径为r，作出粒子运动轨迹如图（a）所示 根据几何关系有 粒子在I区做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）带电粒子在II区做减速直线运动，根据动能定理有 结合上述解得 （3）带电粒子在III区运动，设轨迹半径为r1，III区磁场磁感应强度大小Bx，则有 结合上述解得 作出粒子运动轨迹，如图（b）所示 设粒子在b圆面上N1射入III区，在N2点离开III区，令∠N1ON2=θ，在I区内运动k1次，III区内运动k2次后，回到P点，则有（k1、k2均为正整数，且有，） 可知，粒子运动轨迹有三种可能性。情况i： 当k1=1，k2=1时，时，带电粒子在III区运动后，沿PO方向直接进入II区时，运动轨迹如图（c）所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况ii： 当k1=2，k2=1时，，带电粒子在III区运动后，进入II区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，运动轨迹如如图（d）所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况iii： 当k1=3，k2=2时，，带电粒子两次进入III区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，轨迹如图（e）所示 根据几何关系有r1=2R 结合上述解得 学科网（北京）股份有限公司 $高中物理Cosmin 电磁组合场与圆形磁场知识复习 一、电场中的运动 1.运动分析： 第一象限中为匀强电场，粒子在该场中做的是水平方向的匀速直线运动、竖直方向为匀加速直线运动； 2.第一象限中关键物理量计算 运动特征 速度 加速度 位移 水平方向 匀速直线运动 竖直方向 匀加速直线运动 常用结论 位移偏转角的正切值是速度偏转角正切值的二分之一 3.易错提醒： 计算vᵧ时，务必注意时间t的求解（由水平位移或竖直位移推导）； 速度偏转角α是“合速度与初速度的夹角”，而非与电场方向的夹角； 针对此类模型的大题，上述涉及的公式往往是与题目求解强相关的，如果实在来不及，可以书写上述公式获取步骤分。 二、磁场中的运动 1.运动分析： 第四象限中为匀速圆周运动； 2.第四象限中关键物理量计算 由洛伦兹力提供向心力： 关键物理量： 代入： 关键物理量： 因此速度与半径强相关、当速度变大时，半径、出射点、射程会发生变化； 转动的周期只与粒子的比荷、磁感应强度的大小有关、与速度无关； 三、组合场衔接 粒子从电场进入磁场，唯一的衔接量是进入磁场时的速度（大小v + 方向α）： 速度大小v：由类平抛运动的合速度计算得出，直接代入磁场半径公式。 速度方向α：即类平抛的速度偏转角，决定了粒子射入磁场时的方向，进而决定磁场中轨迹的圆心位置和圆心角。 常见类型： （一）直线边界磁场： （1）如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性，垂直边界进入磁场将会垂直边界射出磁场； （2）多解性：同一出射点可能涉及两种情况，一个为优弧，偏转角为 ；一个为劣弧，偏转角为 ； 经典例题 1．如图所示，在平面直角坐标系xoy的第一、四象限内，有一直线MN（图中未画出）与y轴平行，在直线MN与y轴正半轴之间存在着磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，在直线MN与y轴负半轴之间存在着磁感应强度大小为2B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在第二象限内存在着沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为的带电粒子从x轴上P点以初速度垂直x轴射入电场，而后经y轴上的Q点沿与y轴正方向成角进入磁场。粒子重力忽略不计，MN与y轴之间的距离。 (1)求匀强电场的电场强度E及Q点到原点O的距离d的大小； (2)要使粒子不从y轴正半轴飞出磁场，求磁感应强度B大小的范围； (3)若磁感应强度大小，要使粒子能够垂直边界MN飞出磁场，求MN与y轴间的距离L的可能值。 2．如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电粒子以初速度自轴上的点射入电场，初速度方向与轴正方向的夹角，之后粒子经轴上的点进入第一象限，再经轴上的点进入第四象限，经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反。粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知点到点的距离为，电场强度大小为，不计粒子重力，，。求： (1)粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角； (2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值； (3)粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间。 巩固练习 3．如图所示的xOy坐标系中，y轴左侧存在平行y轴且向下的匀强电场，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从x轴上的A点以速度v、与x轴正方向成（未知）角射入第二象限，然后从y轴上的C点（未画出）垂直y轴射入第一象限，最终从x轴上的D点（未画出）垂直x轴射出磁场，，不计粒子重力，求： (1)及电场强度大小E； (2)磁感应强度大小B； (3)粒子从A点运动到D点的时间。 （二）圆形边界磁场： （1） 带电粒子沿着圆形磁场半径 ，则一定沿着圆形磁场半径 ； （2） 当粒子运动半径大于圆形磁场半径（r＞R）时，粒子入射点和出射点连线恰为圆形磁场直径时，偏转角最大，磁场运动时间 ； （3） 当粒子运动半径小于匀强磁场半径（r＜R）时，带电粒子入射点和出射点为运动直径时，射出点为最远点，粒子有 ； 经典例题 4．如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度的最大值为 B．粒子速度的最大值为 C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况） D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况） 5．洛伦兹力演示仪的实物图和原理图分别如图（a）、图（b）所示。电子束从电子枪向右水平射出，使玻璃泡中的稀薄气体发光，从而显示电子的运动轨迹。调节加速极电压可改变电子速度大小，调节励磁线圈电流可改变磁感应强度，某次实验，观察到电子束打在图（b）中的P点，下列说法正确的是（　　） A．两个励磁线圈中的电流均为顺时针方向 B．当加大励磁线圈电流时，电子可能出现完整的圆形轨迹励磁线圈 C．当加大加速极电压时，电子打在玻璃泡上的位置将上移 D．在出现完整轨迹后，减小加速极电压，电子在磁场中圆周运动的周期变小 6．（多选）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为区域内的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里，图中未画出），一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（　　） A．粒子带负电荷 B．轨迹半径为 C．轨迹半径为 D．轨迹半径为 7．（多选）我国在磁约束方面取得重大突破，如图为一种磁约束的示意图。空间存在一半径为R的半圆形匀强磁场区域，O为圆心，MN为直径边界，磁场方向垂直纸面向里。磁场区域左侧有一电子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为的电子由静止加速到。改变发射器的位置，使带电粒子在圆弧范围内都沿着垂直MN的方向以相同的速度沿纸面射入磁场区域。当电子沿PQ方向进入磁场时，能恰好从O点离开磁场，Q点是OM的中点。忽略电子的重力和电子间的相互作用。则（　　） A．加速电场两板间的电压为 B．磁感应强度的大小为 C．改变发射器的位置，电子都能汇聚于N点 D．改变发射器的位置，电子能在磁场中运动的最长时间为 （三）电场与圆形磁场组合 8．(25-26高三上·内蒙古呼和浩特·)如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一直径为L且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线水平匀速通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子在cdef区域匀速运动的速度v； (2)粒子的比荷； (3)粒子在圆形区域运动的时间t。 四、高频易错点汇总 （一）类平抛部分： ①速度偏转角算错（误将位移偏转角当作速度偏转角，或tanα计算时分子分母颠倒）； ②忘记分解运动，直接用合运动公式计算，导致错误。 （2） 磁场部分： ①圆心找反、速度垂线画反，导致轨迹半径和圆心角计算全错； ②混淆“轨迹半径r”和“磁场半径R”，将R代入 计算； ③计算运动时间时，用速度偏转角代替圆心角θ，导致时间计算错误。 （3） 组合衔接部分： ①忽略粒子电荷量的正负，导致洛伦兹力方向判断错误，进而圆心位置错误； ② 单位不统一（如v用m/s，B用T，q用c，m用kg，需确保单位统一后再代入公式）。 （四）几何部分： ①不画图或画图不规范，无法找到几何关系； ②不会利用垂径定理、直角三角形，导致无法联立几何方程。 5、 巩固练习 9．（多选）地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入。图为地球赤道平面的剖面图，地球半径为，把地面上高度为区域内的地磁场视为磁感应强度为方向垂直于剖面的匀强磁场。宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子主要是β粒子。设β粒子的质量为，电量为，最大速率为。下列说法正确的是（　　） A．无论从哪个点垂直磁场入射，β粒子都做顺时针转动 B．无论从哪个点垂直磁场入射，β粒子都做逆时针转动 C．从任何方向垂直磁场入射的β粒子均不能到达地面，则 D．从任何方向垂直磁场入射的β粒子均不能到达地面，则 10．（多选）如图所示，在半径为L的圆形区域内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，在x轴与磁场边界的交点P处有一粒子发射源，能沿xOy平面与x轴成任意夹角向磁场区域发射质量为m，带电量为q的粒子，且发射速度的大小为。在发射的众多粒子中b粒子在磁场中的运动时间恰好为a粒子在磁场中运动时间的两倍。已知a粒子的入射方向与x轴正方向成30°角，若不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．b粒子的入射方向与x轴正方向成30°角 B．b粒子的入射方向与x轴正方向成60角 C．a、b两粒子离开磁场后的运动方向相互平行 D．从磁场外沿y轴正方向从不同位置射入的，一群同速率的上述粒子经磁场作用后一定都过P点 11．如图所示，半径为R的圆形区域磁场内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，半径OC与ON成600夹角。质子甲、乙分别以速率v、从A点沿直径AN方向射入磁场，甲、乙分别从C、D点（D点未画出）射出磁场。质子的电荷量为q、质量为m，下列说法正确的是（　　） A．质子甲在磁场中运动的轨迹半径为 B．质子乙在磁场中运动的轨迹半径为 C．质子甲在磁场中运动的时间为 D．A、D两点之间的距离为 12．如图所示，在直角坐标系xOy中，区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E。质量为m、电荷量为+q的粒子从出发，初速度方向沿x轴正方向，经过一段时间后从b（2L，0）处第一次进入磁场。粒子运动过程中，只考虑其受到电场和磁场的作用力。求： (1)带电粒子初速度v₀的大小； (2)带电粒子第一次从磁场返回电场的位置； (3)带电粒子从出发到第二次经过b点所用时间。 13．如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域I和区域II，区域I存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域II存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域I，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域I后由分界线上的A点（图中未画出）垂直分界线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点运动到A点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，A点到第1次最低点的水平位移； 14．如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向外的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率进入III区。已知∠POK=60°，忽略带电粒子所受重力。 (1)判断粒子的电性并求出其比荷； (2)求a、b之间的电势差Uab； (3)若粒子第三次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。 学科网（北京）股份有限公司 $