专题08 余弦定理 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题08 余弦定理 一、知识梳理 （1）余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍. a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C （2）常见变形 cos A＝ cos B＝ 　 cos C＝ 　 （3） 解决斜三角形的问题： ①己知三角形的两边及其夹角，求第三边和其他两角； ②己知三角形的三边，求三个角． 二、题型精练 题型1 余弦定理 【典例1】．已知分别为三个内角的对边，且，边（    ） A． B． C． D． 【典例2】．在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】．在中，若，则的形状为（  ）． A． 直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【典例4】．如图所示为超重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，那么起吊的货物与岸的距离为（    ）    A．30m B． C． D．45m 【典例5】．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则角等于（    ） A． B． C． D． 【典例6】．在中，，则最大角的度数为_______. 【典例7】．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，求： (1)b的值； (2)的面积. 三、知识检测 1．在中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若的三边长分别为、、，则该三角形最大角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．已知A，B两地间的距离为，B，C两地间的距离为，现测得，则A，C两地间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．在中，满足，则（    ） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 6．在中，的对边分别为，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 7．在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 8． 的内角的对边分别为，，则角B的大小为（ ） A． B． C． D． 9．在中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 10．已知三条边上的高分别为3，4，6，则最小内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11． 在中，，则__________. 12． 在中，，则______. 13． 在中，，，若的面积等于，则边长为__________． 14． 在中，，，，则为_______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 15．在中，，，所对的边分别为，，，且，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求，的值. 16．如图，在中，，，D是AB上一点，且，.    (1)的大小； (2)的面积. 17．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，判断的形状． 18．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 余弦定理 一、知识梳理 （1）余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍. a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C （2）常见变形 cos A＝ cos B＝ 　 cos C＝ 　 （3） 解决斜三角形的问题： ①己知三角形的两边及其夹角，求第三边和其他两角； ②己知三角形的三边，求三个角． 二、题型精练 题型1 余弦定理 【典例1】．已知分别为三个内角的对边，且，边（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】因为， 所以在三角形中，由余弦定理可得， . 故选：A. 【典例2】．在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和条件等式整体代入求角A的余弦值即可求角. 【详解】由可得：， 则，且△ABC中，， 则. 故选：C. 【典例3】．在中，若，则的形状为（  ）． A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理边角互化，及余弦定理解三角形，即可判断求解. 【详解】因为， 由正弦定理可得为，即， 因为，则， 所以，又，所以， 因此为等边三角形． 故选：D. 【典例4】．如图所示为超重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，那么起吊的货物与岸的距离为（    ）    A．30m B． C． D．45m 【答案】B 【分析】在中，利用余弦定理求得，从而在中，由即可得解. 【详解】因为，，， 则在中，由余弦定理得，， 因为是三角形的内角，所以， 则，所以. 故选：B. 【典例5】．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，再利用余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以，整理得， 所以， 又，所以. 故选：C. 【典例6】．在中，，则最大角的度数为_______. 【答案】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理求解即可. 【详解】角最大． 由余弦定理，得，即， ． 的最大内角为． 故答案为：. 【典例7】．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，求： (1)b的值； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理代值求解即可. （2）根据三角形面积公式代值求解即可. 【详解】（1）在中，根据余弦定理， 代入，，可得： 化简得，解得或（舍去），故. （2）面积. 三、知识检测 1．在中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦定理，即可求解. 【详解】因为在中，已知，即， 所以， 又，所以. 故选：B. 2．已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理即可得解. 【详解】的内角的对边分别为， 且， 则，解得或（舍）， 故选：. 3．若的三边长分别为、、，则该三角形最大角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理即可得解. 【详解】的三边长分别为、、， 因为大边对大角，所以边长为7的边所对的角为最大角，设为， 则， 故选：A. 4．已知A，B两地间的距离为，B，C两地间的距离为，现测得，则A，C两地间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理解答即可. 【详解】根据题意画图如下：    即在三角形中，， 由余弦定理可知， 即有， 故， 故选：. 5．在中，满足，则（    ） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 【答案】D 【分析】由余弦定理即可得解. 【详解】因为中， ， 则， 由余弦定理得， 所以，即， 因为，所以. 故选：D. 6．在中，的对边分别为，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据余弦定理的变形公式求解即可. 【详解】因为， 由余弦定理得，且， 所以． 故选：A. 7．在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知条件应用余弦定理求出，再利用余弦定理即可求出． 【详解】由余弦定理可得， 解得，或（舍）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 故选：． 8． 的内角的对边分别为，，则角B的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化即可求解. 【详解】中，， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得：， 又， ∴， 故选：B. 9．在中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理边角互化及等差中项分析求解即可. 【详解】因为依次成等差数列，所以； 由余弦定理可得， 将代入上式整理得：，所以. 又，所以为等边三角形. 故选：A. 10．已知三条边上的高分别为3，4，6，则最小内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的面积公式求出三边的关系，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意，设的三边上对应的高分别为3，4，6， 由三角形的面积公式可得，解得， 设， 则， 可得为三角形最小边，为三角形的最小内角， 由余弦定理可得： ． 故选：A． 11．在中，，则__________. 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为， 根据余弦定理， 所以， 所以. 故答案为：. 12．在中，，则______. 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 13．在中，，，若的面积等于，则边长为__________． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式，余弦定理即可求解. 【详解】由题意得，. 因为，所以. 则. 即. 故答案为：． 14．在中，，，，则为_______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】根据余弦定理求得，进而确定的取值范围，即可判断. 【详解】由题意得为最大的角. 因为. 所以 所以为钝角三角形. 故答案为：钝角. 15．在中，，，所对的边分别为，，，且，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出，再利用正弦定理求； （2）由条件利用三角形面积公式求出，进而由余弦定理求得. 【详解】（1）因为，又， 所以. 又，， 由正弦定理得. （2）因为， 所以，解得. 由余弦定理得 ， 所以. 16．如图，在中，，，D是AB上一点，且，.    (1)的大小； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的余弦定理和特殊角的三角函数值求解即可； （2）由（1）可知，再结合三角函数的正弦定理、两角差的正弦公式和三角形面积公式，分析求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 又， 所以. （2）因为， 所以； 因为， 所以； 因为， 所以 ， 所以. 17．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，判断的形状． 【答案】(1)； (2)； (3)正三角形． 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答. （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【详解】（1）在中，由及余弦定理得，而， 所以. （2）由，及，得， 所以. （3）由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 18．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，代入所给条件求值. （2）由余弦定理，求同角正弦值，再根据正弦定理，进而求解. 【详解】（1）∵. （2）∵，， ∴，， 由正弦定理得：，解得， ∴. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $