专题07 正弦定理 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题07 正弦定理 一、知识梳理 （1）正弦定理 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等 ＝＝　＝2R (其中R是△ABC外接圆的半径) （2）常见变形 ① a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ② sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③ a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④ asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A （3）解决斜三角形的问题 ① 已知三角形的两边和其中一边所对的角，求其他两角和另一条边； ② 已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和另一个角． 二、题型精练 题型1 正弦定理 【典例1】．在△ABC中已知，，，则边b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理，即可求解. 【详解】由题意知，，， 所以， 所以. 故选：C. 【典例2】．在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据正弦定理求出值即可得解. 【详解】在中，，，， 由正弦函数可知，解得， 因为，所以或， 故选：. 【典例3】．在中，，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理得出，即可确定三角形的形状. 【详解】已知在中，， 由正弦定理得，得， 为等腰三角形． 故选：B. 【典例4】．在中,,则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件 【答案】B 【分析】由已知利用正弦定理计算可求得,并结合充要条件的定义可判断. 【详解】中,, 时,由正弦定理,,, ,所以,可为锐角也可为钝角,所以或, 因此“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 【典例5】．在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，， 根据正弦定理得. 故选：A. 【典例6】．三角形中，，则三角形的面积是________． 【答案】 【分析】根据正弦定理求解，再根据三角形角的关系求解，再用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理可得， 即， 因为，所以，可得， 所以三角形ABC的面积是. 故答案为：. 【典例7】．在中，已知，求的值． 【答案】，， 【分析】根据三角形的内角和结合已知条件即求得角A的值，再根据正弦定理和正弦的两角和公式即可得解. 【详解】在中，已知， ， 由正弦定理，得， 即， ， 解得，； 综上：，，． 三、知识检测 1．在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得， ∴. 故选：B. 2．在中，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理与三角形内角的性质求解即可． 【详解】由正弦定理，结合题意， 得，故， 因且，故，因此， 故选：. 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理和二倍角公式化简求解. 【详解】由正弦定理 ， 因为，， 所以 因为，， 所以，所以， 故选：C. 4．在△ABC中，，则一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合已知条件求出角B的值，然后进行判断即可． 【详解】因为在中，， 由正弦定理可得， 角A为三角形的内角，所以， 同除以可得， 又，则， 一定是直角三角形. 故选：B. 5．在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得：， 则，故或. 因为，所以，所以. 故选：A. 6．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以. 故选：B. 7．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据正弦定理计算即可. 【详解】在中，，则为锐角， 所以， 又由，， 由正弦定理得，解得. 故选：A. 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 解析：由正弦定理＝，得“a≤b”⇔“sin A≤sin B”，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的充要条件． 9．在中，若等式成立，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据正弦定理将角之间的关系化为边之间的关系即可求解. 【详解】由正弦定理， 可得. 因为在中， 所以，即. 因为， 所以， 故为等边三角形. 故选：A. 10．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以=， 由正弦定理可得===. 故选：A. 11．在中，，则______. 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】因为，内角和为， 所以，，， 故. 故答案为:. 12．若a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，，且，则________． 【答案】或 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，可得， 因为，所以， 又，所以，所以或， 所以或. 故答案为：或. 13．在中，已知，，，则__________． 【答案】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得， ． 故答案为：. 14．在中，若，则这个三角形一定为______三角形. 【答案】直角 【分析】根据题意，结合正弦定理边角互化，即可判断求解. 【详解】因为在中， ， 由正弦定理得. 则角A为直角， 所以是直角三角形. 故答案为：直角. 15．在中，，求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】由正弦定理边化角即可证明. 【详解】因为，所以 ， 根据正弦定理，得，即， 所以， 同理可证，， 所以， 所以是等边三角形. 16．已知分别为三个内角的对边，. (1)求的值； (2)若，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系式易得答案； （2）根据正弦定理易得答案. 【详解】（1）在中，所以, 因为，所以. （2）由正弦定理得， 又， 所以. 17．中，已知 (1)求的角度； (2)若，求的面积？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦公式，即可求解. （2）利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 因为是三角形的内角，所以不等于零， 所以， 因为， 所以. （2）由题意及（1）知，， 所以由正弦定理得. 18．在中，已知的周长为，且，求边长c. 【答案】2 【分析】根据正弦定理角化边即可解决. 【详解】 ， 由正弦定理，得. 的周长为， ， . 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 正弦定理 一、知识梳理 （1）正弦定理 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等 ＝＝　＝2R (其中R是△ABC外接圆的半径) （2）常见变形 ① a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ② sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③ a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④ asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A （3）解决斜三角形的问题 ① 已知三角形的两边和其中一边所对的角，求其他两角和另一条边； ② 已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和另一个角． 二、题型精练 题型1 正弦定理 【典例1】．在△ABC中已知，，，则边b的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【典例3】．在中，，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【典例4】．在中,,则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件 【典例5】．在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【典例6】．三角形中，，则三角形的面积是________． 【典例7】．在中，已知，求的值． 三、知识检测 1．在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小等于（    ） A． B． C． D． 4．在△ABC中，，则一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 6．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．在中，若等式成立，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 10．在中，角、、的对边分别、、，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．在中，，则______. 12． 若a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，，且，则________． 13． 在中，已知，，，则__________． 14． 在中，若，则这个三角形一定为______三角形. 15． 在中，，求证：是等边三角形． 16．已知分别为三个内角的对边，. (1)求的值； (2)若，求b的值. 17．中，已知 (1)求的角度； (2)若，求的面积？ 18．在中，已知的周长为，且，求边长c. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $