专题06 三角形的面积 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题06 三角形的面积 一、知识梳理 （1）在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． （2）三角形常用面积公式 S＝a·ha(ha表示a边上的高)． S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. （三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半） 二、题型精练 题型1 三角形的面积 【典例1】．在中，，，，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【典例2】．在中，的面积是，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【典例3】．已知的边是方程的两根，，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例4】．在中，已知内角所对的边分别为.若的面积为，且，，则边c等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例5】．在中，，，，则的面积是（    ） A．200 B． C．100 D． 【典例6】．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【典例7】．在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知则当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．在中，，，，则的面积为（    ） A．9 B．18 C． D． 2．在中，，，，则（    ） A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 3．在中，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 5．在中，，则的面积等于（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 6．已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 8．若我们把三边长为的三角形记为，则四个三角形 中，面积最大的是（    ） A． B． C． D． 9． 在中，，求的面积____________. 10． 在中，，，，则_____________． 11． 在中，已知，三角形的面积是，则的值为__________． 12． 若的面积是， ，，则_________ 13． 在中，，，且的面积为，则______. 14． 在中，， ，求的面积 15． 在中，已知，，，求的面积. 16．如图所示，在的二面角的面内有一个已知点，点到棱的距离为，面内有一个已知点，点到棱的距离为，，， (1)求和； (2)求的面积. 17．在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角B为钝角，，，．求： (1)的值； (2)的面积． 18．已知， (1)求与的夹角； (2)求； (3)若，求△的面积． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形的面积 一、知识梳理 （1）在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． （2）三角形常用面积公式 S＝a·ha(ha表示a边上的高)． S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. （三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半） 二、题型精练 题型1 三角形的面积 【典例1】．在中，，，，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式即可求解. 【详解】在中，，，， 由三角形的面积公式得:==. 故选：C. 【典例2】．在中，的面积是，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意结合三角形面积公式求出的值即可得解. 【详解】的面积是，，， 所以，解得， 因为，所以或， 故选：. 【典例3】．已知的边是方程的两根，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦达定理得到，再代三角形面积公式求解即可. 【详解】的边是方程的两根， 所以根据韦达定理有：， 则. 故选：B. 【典例4】．在中，已知内角所对的边分别为.若的面积为，且，，则边c等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式列方程求解即可. 【详解】已知的面积为，其中，， 则由面积公式， 得，解得， 故选：D. 【典例5】．在中，，，，则的面积是（    ） A．200 B． C．100 D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式即可求解. 【详解】如图所示，    过点B作. 因为，.所以 所以 所以. 故选：C. 【典例6】．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的面积公式即可求解. 【详解】在中，，所以， 则． 故选：C. 【典例7】．在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知则当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式可求. 【详解】由题可知， 当时面积最大， 由三角形角的范围可知，当 ，， 故选：B. 三、知识检测 1．在中，，，，则的面积为（    ） A．9 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 则，. 所以. 故选：C. 2．在中，，，，则（    ） A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式可求得的值，进而得到. 【详解】因为. 所以. 因为是的内角. 所以. 所以或. 故选：D. 3．在中，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由同角三角函数的平方关系求出，再由三角形面积公式求值即可. 【详解】因为，在中，， 所以，因为， 所以. 故选：A. 4．已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为，所以或． 故选：D. 5．在中，，则的面积等于（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】根据题意，结合三角形面积公式，即可求解. 【详解】因为在中，， 所以. 故选：A. 6．已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的数量积求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得平行四边形的面积. 【详解】因为空间三点、、，则，， 所以，，，， 所以，， 因为，则， 所以，以、为邻边的平行四边形的面积为. 故选：D. 7．中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据数量积求解，，进而求解三角形的面积. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：A. 8．若我们把三边长为的三角形记为，则四个三角形 中，面积最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式及勾股定理可求. 【详解】因为选项中的三角形有公共边， 由三角形面积公式有， 因为，则当时，即时三角形面积最大， 由勾股定理可知，为直角三角形， 则面积最大的是； 故选：C. 9．在中，，求的面积____________. 【答案】 【分析】利用三角形面积公式即可得解. 【详解】因为在中，， 所以的面积为. 故答案为：. 10．在中，，，，则_____________． 【答案】或 【分析】根据三角形的面积公式可求解. 【详解】由题可得， ， 解得， 因为是三角形的内角，所以或. 故答案为：或 11．在中，已知，三角形的面积是，则的值为__________． 【答案】 【分析】代入三角形面积公式即可得解. 【详解】由题意可知， 解得， 故答案为：. 12．若的面积是， ，，则_________ 【答案】 【分析】利用三角形面积公式计算即可得出结果. 【详解】, 得到. 故答案为：6. 13．在中，，，且的面积为，则______. 【答案】 【分析】根据三角形面积公式求，再根据二倍角公式求. 【详解】由， ， 则. 故答案为：. 14．在中，， ，求的面积 【答案】4 【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的平方关系式及三角形的面积公式即可得解. 【详解】， 在中，所以， 所以. 15．在中，已知，，，求的面积. 【答案】 【分析】利用的面积公式即可求解﹒ 【详解】 解：. 16．如图所示，在的二面角的面内有一个已知点，点到棱的距离为，面内有一个已知点，点到棱的距离为，，， (1)求和； (2)求的面积. 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据二面角定义得到，再由正弦求，即可得到，由勾股定理求即可. （2）直接套用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）因为点到棱的距离为，点到棱的距离为， 所以，，二面角即， ， 所以由正弦定理可得：，即， 解得：，且三角形中，所以. 则由勾股定理可得：. （2） 17．在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角B为钝角，，，．求： (1)的值； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角余弦公式和角的范围即可解得. （2）根据同角三角函数间的关系和三角形面积公式即可解得. 【详解】（1）由题，，为钝角， 则， 即， 解得，又， 则. （2）由（1）， 则， 又， 则， 18．已知， (1)求与的夹角； (2)求； (3)若，求△的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量模长与内积关系以及内积定义列式求夹角余弦值，结合夹角范围即可求出角. （2）根据向量运算律去括号并代内积定义计算即可. （3）由两向量夹角得到角，再代三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由可得： ，即， 解得，且， 则. （2） （3）若，则与的夹角为， 且由（1）可知，与的夹角为， 则由可得：，且， 则. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $