专题05 正（余）弦型函数 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题05 正（余）弦型函数 一、知识梳理 （1）正弦型函数 形如y=Asin(ωx+φ)  (其中 A，ω，φ都是常数)的函数称为正弦型函数．在物理学中，正弦型函数被用来表示简谐振动、正弦式电流等．习惯上，A称为振幅，ωx+φ称为相位，φ称为初相，T=2π/ω 称为周期，f = 1/T =ω/2π 称为频率． 定义域：实数集R ． 值域：[-A,A]． 周期：T=2π/ω ． （2）参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 ①φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． ②ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． ③A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． （3） 正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)可由函数y=sinx的图像经过平移、伸缩得到： 将函数y=sinx图像上所有点的横坐标变为原来的1/ω倍(纵坐标不变)，就得到函数y=sinωx的图像； 将函数y=sinωx的图像沿x轴向左(φ>0)或者向右(φ<0)平移/ω个单位，就得到函数y=sin(ωx+φ)的图像； 将y=sin(ωx+φ)图像上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，就得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像，这里 A>0, ω>0． 二、题型精练 题型1 正弦型函数 【典例1】．函数的最大值和最小正周期分别为（    ） A．3； B．3； C．6； D．6； 【答案】B 【分析】根据正弦函数最小正周期公式和性质，即可求解. 【详解】由题意知函数， 所以最小正周期， 因为，所以， 即函数的最大值为3. 故选：B. 【典例2】．用五点法作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】A 【分析】根据五点作图法，确定首先描出的五个点的横坐标. 【详解】由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为：，，，，. 故选：A. 【典例3】．函数是（   ）. A．周期为的的奇函数 B．周期为的的偶函数 C．周期为的的奇函数 D．周期为的的偶函数 【答案】C 【分析】将函数进行化简，再根据正弦函数的奇偶性和周期即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数的周期为， 又因为函数的定义域为，对于任意，都有， 且，函数为奇函数， 所以函数是周期为的的奇函数. 故选：C. 【典例4】．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图像向左平移个单位长度，则所得函数的图像对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数的图像与变换即可得到对应图像的函数解析式. 【详解】将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 所得的函数的解析式为， 将的图像向左平移个单位长度， 得到的函数的解析式为， 化简得. 故选：C. 【典例5】．函数的部分图像如图所示，则（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的性质即可求解. 【详解】由图可知，， 所以． 由五点作图法可知，所以， 因为，所以，， 所以函数的解析式为． 故选：A 【典例6】．函数的最大值是（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合两角和的正弦公式，利用辅助角公式，将函数解析式化为正弦型函数，结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】， 当时，函数取得最大值，即. 故选：B. 题型2 余弦型函数 【典例1】．对于函数，下列命题正确的是（      ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 【答案】D 【分析】根据诱导公式将函数化简结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数，，故错误； 因为，定义域为，， 则，所以函数为奇函数，故错误，正确， 故选：. 【典例2】．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式，可得，据此可求解. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为. 故选：C 【典例3】．为得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 【答案】A 【分析】根据诱导公式及三角函数图像的变化规律即可得解. 【详解】， 因此把向左平移个单位即可得到函数的图像， 故选：A. 【典例4】．函数 的部分图象如图所示，则的值是______.    【答案】 【分析】先根据三角函数的图象确定，然后利用图象上的点的坐标代入函数表达式求解参数的值. 【详解】由图可得，（为最小正周期）， 故，得，此时， 又由图可知，则， 故，解得. 因为，所以， 故答案为：． 三、知识检测 1．已知正弦型函数 (其中 )的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．函数最大值为 3 B．函数的最小正周期为 C．函数解析式为 D．函数解析式为 【答案】C 【分析】根据正弦型函数图像，结合特殊点的值和周期公式逐项判断即可. 【详解】对于A选项：由图像可知，函数的最大值为，即，故A选项正确； 对于B选项，由图像可知，函数周期的一半为，即，故B选项正确； 对于C选项，由A，B选项可知 ，再将点代入到函数解析式可得， 又因为，所以，所以函数解析式为，故C选项错误； 对于D选项，由C选项可知，选项D正确， 故选：C. 2．要得到函数的图像，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】由正弦函数的平移变换规律即可求解. 【详解】因为， 所以将右平移个单位长度，即可得到函数的图象， 即将函数的图象向右平移个单位长度. 故选：A. 3．函数 的最小正周期和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合辅助角公式、两角和的正弦公式，将函数化为正弦型函数，结合正弦型函数的周期性和值域，即可求解. 【详解】因为， 所以最小正周期； 当时，函数取得最大值，即. 故选：B. 4．函数的图像是下列哪个函数图像通过向左平移得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的图像向右平移即可求解. 【详解】由题意得，函数的图像向右平移得到 . 故选：B. 5．函数的部分图象如图所示，其中，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据图象求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值. 【详解】由图象可知，， 所以，解得， 所以， 因为点在函数图象上， 代入得， 即， 所以， 因为，所以当时，， 故函数的解析式为. 故选：A. 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简，再由正弦型函数值域即可求解. 【详解】因为. 又因为. 所以.即函数的值域为. 故选：C． 7．函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后将所得图象再向左平移个单位，则所得函数图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据横坐标变为原来的倍时变为原来倍进行变换，然后根据左加右减的原则进行左右平移得到答案． 【详解】函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象再向左平移个单位， 得到的图象对应的函数解析式为. 故选：C. 8．若函数的图像如图所示，则_______    【答案】2 【分析】根据正弦型函数的图像的性质即可求解. 【详解】∵由图像可知，函数的周期为， ， . 故答案为：2. 9．函数的最小正周期是 ________. 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式求解. 【详解】因为函数为， 根据正弦型函数的最小正周期公式得到， 所以函数的最小正周期为. 故答案为： 10．若函数为奇函数，则的最小正值为______. 【答案】 【分析】利用正弦函数奇偶性的应用，即可求出的最小正值. 【详解】因为在上为奇函数， 所以，即， 得到，所以，， 当时，此时有最小正值， 故答案为：. 11．将函数的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移得到的函数为______． 【答案】． 【分析】根据正弦函数的图象变换即可求解. 【详解】由题意得，将函数的图象上各点的横坐标变为原来的4倍， 纵坐标不变可得函数. 再将所得图像向右平移得到的函数为． 故答案为：． 12．用“五点法”作出函数在上的图像． 【答案】作图见解析 【分析】利用“五点作图法”即可得解. 【详解】列表： x 0 0 1 0 –1 0 1 –1 1 3 1 描点作图：   . 13．指出正弦函数的图象经过怎样的变化可以得到正弦型函数的图象. 【答案】答案见解析 【分析】利用三角函数图象伸缩平移的性质即可得解. 【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位， 得到的图象， 再把图象上所有的点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象， 再把图象上所有点纵坐标缩小到原来的（横坐标不变）， 得到函数的图象. 14．已知正弦函数（，）的一部分图像如图所示.    (1)求此正弦函数的解析式； (2)求此函数的最小值及取得最小值时的集合. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意，结合正弦函数的最值可求得A的值，结合函数的最小正周期可求得的值，将点代入函数解析式，即可求得的值，继而求得函数解析式； （2）根据题意，结合正弦函数的值域，即可求得最值，及对应x的取值集合. 【详解】（1）由图像可知，，最小正周期， 解得； 所以函数解析式为， 将点代入函数解析式为， 所以，即， 解得， 又，所以， 所以正弦函数解析式为； （2）由（1）知，正弦函数解析式为， 所以当时，函数取得最小值，即， 此时，解得， 即函数最小值为，取得最小值时对应x的取值集合为. 15．已知函数是由函数的图像向左平移个单位得到的． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式、两角和差公式对函数解析式进行化简，再根据周期公式求解即可； （2）根据函数图像得变换得到函数的解析式，再根据正弦型函数的单调性求解即可. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）函数是由函数的图像向左平移个单位得到， 所以， 令，解得： ， 所以函数的单调递增区间为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 正（余）弦型函数 一、知识梳理 （1）正弦型函数 形如y=Asin(ωx+φ)  (其中 A，ω，φ都是常数)的函数称为正弦型函数．在物理学中，正弦型函数被用来表示简谐振动、正弦式电流等．习惯上，A称为振幅，ωx+φ称为相位，φ称为初相，T=2π/ω 称为周期，f = 1/T =ω/2π 称为频率． 定义域：实数集R ． 值域：[-A,A]． 周期：T=2π/ω ． （2）参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 ①φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． ②ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． ③A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． （3） 正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)可由函数y=sinx的图像经过平移、伸缩得到： 将函数y=sinx图像上所有点的横坐标变为原来的1/ω倍(纵坐标不变)，就得到函数y=sinωx的图像； 将函数y=sinωx的图像沿x轴向左(φ>0)或者向右(φ<0)平移/ω个单位，就得到函数y=sin(ωx+φ)的图像； 将y=sin(ωx+φ)图像上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，就得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像，这里 A>0, ω>0． 二、题型精练 题型1 正弦型函数 【典例1】．函数的最大值和最小正周期分别为（    ） A．3； B．3； C．6； D．6； 【典例2】．用五点法作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【典例3】．函数是（   ）. A．周期为的的奇函数 B．周期为的的偶函数 C．周期为的的奇函数 D．周期为的的偶函数 【典例4】．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图像向左平移个单位长度，则所得函数的图像对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例5】．函数的部分图像如图所示，则（ ）    A． B． C． D． 【典例6】．函数的最大值是（   ）． A．3 B． C． D． 题型2 余弦型函数 【典例1】．对于函数，下列命题正确的是（      ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 【典例2】．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．为得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 【典例4】．函数 的部分图象如图所示，则的值是______.    三、知识检测 1．已知正弦型函数 (其中 )的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．函数最大值为 3 B．函数的最小正周期为 C．函数解析式为 D．函数解析式为 2．要得到函数的图像，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 3．函数 的最小正周期和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 4．函数的图像是下列哪个函数图像通过向左平移得到（   ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象如图所示，其中，则（    ）    A． B． C． D． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后将所得图象再向左平移个单位，则所得函数图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 8．若函数的图像如图所示，则_______    9． 函数的最小正周期是 ________. 10． 若函数为奇函数，则的最小正值为______. 11． 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移得到的函数为______． 12． 用“五点法”作出函数在上的图像． 13． 指出正弦函数的图象经过怎样的变化可以得到正弦型函数的图象. 14．已知正弦函数（，）的一部分图像如图所示.    (1)求此正弦函数的解析式； (2)求此函数的最小值及取得最小值时的集合. 15．已知函数是由函数的图像向左平移个单位得到的． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $