专题09 三角计算的应用 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题09 三角计算的应用 一、知识梳理 三角计算的应用 ①在日常生活中，人们会遇到一些在扇形内求矩形最大面积的问题．对于这类问题，可以“角”为自变量建立函数关系式，利用三角函数的最值来解决． ②生产实践中有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如简谐振动、交流电、海水潮汐等．在研究相关问题时，可以先建立三角函数模型，然后利用三角函数的性质解决这些问题． ③对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供选择的间接测量方案．例如，可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等 知识，通过测量和计算求得结果．学习了三角计算后，我们也可以利 用正、余弦定理解决这些问题． 二、题型精练 题型1 三角计算的应用 【典例1】．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测到隧道两端的两点到点的距离，且，则间距离为（    ）    A． B． C． D． 【典例2】．在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【典例3】．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响.下图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为，代表阴阳太极图的圆的半径为，则每块八卦田的面积约为（    ） A． B． C． D． 【典例4】．如图所示，A、B是相距10海里的两个灯塔，某日在海上C处发生险情，测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则C与A的距离为（精确到0.1海里）（   ） A．8.9海里 B．10.9海里 C．12.2海里 D．14.2海里 【典例5】．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 【典例6】．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A． 正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【典例7】．已知是半径为2，为圆心，圆心角为的扇形，，是扇形弧上的动点，满足，是扇形的内接矩形，则矩形的面积的最大值为______. 【典例8】．如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里／小时的速度从岛屿A出发沿北偏东方向逃鼌，同时，该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上.    (1)求该军舰艇的速度； (2)求的值． 三、知识检测 1．学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和，则该圆柱状建筑物的高度约为（    ） A． B． C． D． 2．在中，内角，，的对边分别为，，，若则此三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（    ） A．或 B．   B． D．3 4．一船向正北航行，看见正西方向有相距海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这只船的速度是每小时（ ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 5．已知分别为内角的对边，的面积，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，两点在河的两岸，在河岸测量两点间的距离有下列四组数据，较适宜测量的数据是（ ） A． B． C． D． 7．如图，货轮在海上以40的速度由向航行，航行的方位角，A处有灯塔，方位角，在处观察灯塔的方位角，由到需要航行半小时，则到灯塔的距离是（   ） A． B． C． D． 8．如图，三点在地面同一直线上，，从两点测得A点仰角分别是，，则A点离地面的高度（   ） A． B． C． D． 9． 海上、两个小岛相距海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则、间的距离是 _____________海里． 10．曲柄连杆机构示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点P在Q的位置，当自按顺时针方向旋转角时，P和Q之间的距离是x cm，若，，，则x的值是_____.    11．如图，一艘小船以千米/小时的速度向正北方向航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1小时后船在C处看见灯塔B在船的北偏东的方向上，这时船与灯塔的距离等于__________千米.    12． 当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角________． 13．的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求； (2)若，求证：是正三角形． 14．如图，有一块半径为R的扇形草地OMN，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN． (1)设，用分别表示AB和AD； (2)当为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？ 15．如图所示，甲、乙两船同时从港口O处出发，甲船以25海里/小时的速度向东行驶，乙船以15海里/小时的速度沿着北偏西30°的方向行驶，2小时后，甲船到达A处，乙船到达B处，则甲，乙两船间的距离是多少海里?    16．如图所示，在中，角A，B，C所对应的边为，b，c，已知，，且，延长至，．求： (1)的值； (2)的面积． 17．如图，为了测量某座山的高度，在山顶M测得塔顶P的俯角为15°，在塔底Q测得山顶M的仰角为30°，已知塔高m，求： (1)的值； (2)山高MN． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角计算的应用 一、知识梳理 三角计算的应用 ①在日常生活中，人们会遇到一些在扇形内求矩形最大面积的问题．对于这类问题，可以“角”为自变量建立函数关系式，利用三角函数的最值来解决． ②生产实践中有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如简谐振动、交流电、海水潮汐等．在研究相关问题时，可以先建立三角函数模型，然后利用三角函数的性质解决这些问题． ③对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供选择的间接测量方案．例如，可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等 知识，通过测量和计算求得结果．学习了三角计算后，我们也可以利 用正、余弦定理解决这些问题． 二、题型精练 题型1 三角计算的应用 【典例1】．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测到隧道两端的两点到点的距离，且，则间距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】在中，，， 所以， 即，所以间距离为. 故选：A. 【典例2】．在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】已知等式利用正弦、余弦定理化简，整理后得到，即可确定出三角形为等腰三角形． 【详解】在中，已知， 因为，， 可得， 解得， 所以， 即. 所以一定是等腰三角形. 故选:B. 【典例3】．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响.下图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为，代表阴阳太极图的圆的半径为，则每块八卦田的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解. 【详解】由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为 设三角形的腰为 由正弦定理可得，解得 所以三角形的面积为： 所以每块八卦田的面积约为： 故选：B 【典例4】．如图所示，A、B是相距10海里的两个灯塔，某日在海上C处发生险情，测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则C与A的距离为（精确到0.1海里）（   ） A．8.9海里 B．10.9海里 C．12.2海里 D．14.2海里 【答案】C 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】由题可知，. 因为. 所以由正弦定理可得，海里. 故选：C. 【典例5】．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 【答案】A 【分析】由图形可知，由余弦定理求出，可得. 【详解】由题意，，所以， 切线，，由切线长定理，不妨取， 又，由余弦定理， 有， . 故选：A 【典例6】．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 【典例7】．已知是半径为2，为圆心，圆心角为的扇形，，是扇形弧上的动点，满足，是扇形的内接矩形，则矩形的面积的最大值为______. 【答案】 【分析】取中点为，连接，设，则，，把四边形的面积表示为含有的函数，利用三角函数求最值. 【详解】如图，取中点为，连接， 设， 则，， ， ，， 当，即时，矩形的面积有最大值为. 故答案为： 【典例8】．如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里／小时的速度从岛屿A出发沿北偏东方向逃鼌，同时，该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上.    (1)求该军舰艇的速度； (2)求的值． 【答案】(1)140（海里／小时）. (2)． 【分析】（1）根据图形以及题意得到边角关系，再根据余弦定理求解即可. （2）根据正弦定理求解即可. 【详解】（1）依题意知，（海里）， （海里），. 在中，由余弦定理， 得， 解得（海里）. 所以该军舰艇的速度为（海里／小时）. （2）在中，由正弦定理，得， 即． 三、知识检测 1．学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和，则该圆柱状建筑物的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱状建筑物的高度为米，然后利用三角函数可求. 【详解】设圆柱状建筑物的高度为，因为M，N相距米， 则有，化简得， 所以米. 故选：B. 2．在中，内角，，的对边分别为，，，若则此三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理得出边的比值，再根据余弦定理计算最大边的余弦值即可解得. 【详解】在中，由正弦定理， 令，则， 由可知边最大， 即最大，则， 又， 则为钝角，三角形为钝角三角形， 故选：B 3．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（    ） A．或 B．   C． D．3 【答案】A 【分析】利用余弦定理易得答案. 【详解】如图，，，，. 由余弦定理得，， 即，解得或. 故选：A. 4．一船向正北航行，看见正西方向有相距海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这只船的速度是每小时（ ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】结合图形用正弦定理解决问题即可. 【详解】如图所示，点是船的初始位置， 为灯塔的位置 ，点是船的航行后的位置， 则，， 所以， 可得， 在直角中，， 所以这艘船的速度为（海里/小时）. 故选：C. 5．已知分别为内角的对边，的面积，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理整理即可求解. 【详解】由余弦定理得：， 又因为的面积， 所以， 则， 又因为是内角， 所以. 故选：C. 6．如图，两点在河的两岸，在河岸测量两点间的距离有下列四组数据，较适宜测量的数据是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图形，结合实际情况即可得解. 【详解】依题意三个数据不易测量， 因此应测量三个数据，求出角， 然后利用正弦定理求解. 故选：D. 7．如图，货轮在海上以40的速度由向航行，航行的方位角，A处有灯塔，方位角，在处观察灯塔的方位角，由到需要航行半小时，则到灯塔的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和以及正弦定理求解. 【详解】在中根据题意可得，， ， . , 根据正弦定理得，． 所以． 故选：C. 8．如图，三点在地面同一直线上，，从两点测得A点仰角分别是，，则A点离地面的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的关系得到为等腰三角形，即，再结合正弦函数的概念，求值即可. 【详解】因为两点测得A点仰角分别是，， 所以， 即为等腰三角形，因为， 所以， 在中，． 故选：A. 9．海上、两个小岛相距海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则、间的距离是 _____________海里． 【答案】 【分析】先根据和求出，进而根据正弦定理求得． 【详解】根据题意画出示意图： 因为,，所以, 由正弦定理知, 解得. 故答案为：． 10．曲柄连杆机构示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点P在Q的位置，当自按顺时针方向旋转角时，P和Q之间的距离是x cm，若，，，则x的值是_____.    【答案】5 【分析】利用余弦定理在实际中的应用即可求解. 【详解】如图，在中，由余弦定理可得，， 即，解得. 另外，由题意可知，在点A与点B重合时，， 所以，即. 故答案为：5. 11．如图，一艘小船以千米/小时的速度向正北方向航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1小时后船在C处看见灯塔B在船的北偏东的方向上，这时船与灯塔的距离等于__________千米.    【答案】 【分析】由题设抽象出的长度及，利用正弦定理即可求解. 【详解】由题意得， ， 由正弦定理得，即， 所以. 故答案为： 12．当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角________． 【答案】 【分析】作出示意图，设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，再根据正弦函数性质求解即可. 【详解】作出示意图如下如， 设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得， 所以，因为，所以要使最大， 只需，即，所以时，影子最长． 答案为：. 13．的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求； (2)若，求证：是正三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出，再结合（1）中的结论可证得结论成立. 【详解】（1）解：由正弦定理得， 、，则，所以，，故. （2）解：，则 ，即，则， 又，所以，为正三角形. 14．如图，有一块半径为R的扇形草地OMN，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN． (1)设，用分别表示AB和AD； (2)当为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】(1)，. (2)当时，最大，为 【分析】借助三角函数表示和，进一步表示矩形的面积，可求矩形面积的最大值. 【详解】（1）如图：过做于. 则，所以 ，. （2） ， 当且仅当即时取“”. 故当时矩形场地的面积最大且最大为. 15．如图所示，甲、乙两船同时从港口O处出发，甲船以25海里/小时的速度向东行驶，乙船以15海里/小时的速度沿着北偏西30°的方向行驶，2小时后，甲船到达A处，乙船到达B处，则甲，乙两船间的距离是多少海里?    【答案】70海里. 【分析】利用余弦定理在实际中的应用即可求解. 【详解】由题意得，，，. 在中，由余弦定理得， ， 解得，故甲、乙两船间的距离是海里. 16．如图所示，在中，角A，B，C所对应的边为，b，c，已知，，且，延长至，．求： (1)的值； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理和余弦定理即可求解； （2）利用诱导公式和面积公式求解即可. 【详解】（1）∵， ∴由余弦定理可得，， 因为,所以， 由正弦定理可得，在中，， 即，所以． （2）， ． 17．如图，为了测量某座山的高度，在山顶M测得塔顶P的俯角为15°，在塔底Q测得山顶M的仰角为30°，已知塔高m，求： (1)的值； (2)山高MN． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）利用正弦的和差公式可解； （2）利用正弦的和差公式与正弦定理可解； 【详解】（1） ； （2）由已知，得到，，， 同上题，不难求得 由正弦定理有：，即 解之得， 在中，， 即，所以（m），即山高为米. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $