第10卷：等差数列与等比数列的概念及性质（教师讲解卷）江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》 第10卷：等差数列与等比数列的概念及性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 对比项目 等差数列 等比数列 定义 从第2项起，每一项与前一项的差为常数 d aₙ₊₁ - aₙ = d 从第2项起，每一项与前一项的比为常数 q(q≠0) aₙ₊₁ / aₙ = q 通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)d aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ 通项推广 aₙ = aₘ + (n-m)d aₙ = aₘ·qⁿ⁻ᵐ 中项 a,A,b 成等差 ⇔ 2A = a+b a,G,b 成等比 ⇔ G² = ab 下标性质 若 m+n=p+q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a_q 若 m+n=p+q，则 aₘ·aₙ = aₚ·a_q 前n项和 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 q=1：Sₙ = na₁ q≠1：Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) 片段和性质 Sₖ, S₂ₖ-Sₖ, S₃ₖ-S₂ₖ,… 成等差 Sₖ≠0 时， Sₖ, S₂ₖ-Sₖ, S₃ₖ-S₂ₖ,… 成等比 函数特征 aₙ 是关于 n 的一次函数 Sₙ 是关于 n 的二次函数 aₙ 是指数型函数 【真题精讲】 1（2025·江西·真题T18）第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案是由一串直角三角形演化而成的（如图），其中，它可以形成近似的等角螺线，记的长度所组成的数列为，则（　　）    A． B． C． D．8 2．（2024·江西·真题T12）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=2，S3=15，则S5=（ ）. A．30 B．28 C．40 D．42 3.（2023·江西·真题T14）在等比数列{an}中，若a1=-1，a4=-8，则前10项的和是（ ） A.-1023 B. 1024 C. 1023 D.-1024 4.（2022·江西·真题T06）数列3,6,12,24,…是等比数列 ………………………………………………（A B） 【举一反三】 5.（2022·江西·真题T14）已知等差数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n，则公差d=（ ） A．-4 B．4 C．-2 D．2 6.（2021·江西·真题T17）若1,a,x,b,16成等比数列，则x=（ ） A.4 B.4 C.8 D.8 7．（25-26高三·江西·模拟预测）等差数列的前n项和为，若，则公差__________. 8．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）已知等比数列，，，则（    ） A． B．1024 C．1023 D． 【拓展提升】 1、 是非选择题 9．（21-22高三·江西赣州·对口/高职单招）已知等差数列2，4，6，8，的公差，则等差数列9，6，3，0，-3，的公差……………………（A B） 10．（25-26高三·江西·模拟预测）等差数列的首项，公差，的前项和为，则……………………（A B） 11．（25-26高三·江西·模拟预测）已知数列满足，，则……………………（A B） 12．（25-26高三·江西·模拟预测）已知三个正数成等比数列，则是等差数列……………………（A B） 13．（20-21高三·江西·职教高考）已知等比数列的前项和为，，则数列的公比为……………………（A B） 二、单选题 14．（23-24高三下·江西）等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．30 B．28 C．40 D．42 15．（25-26高三·江西·模拟预测）若数列满足，，则＝（ ） A． B． C． D． 16．（24-25高三下·江西·职教高考）已知数列是等比数列，且，则公比（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（25-26高三·江西·模拟预测）设是等比数列的前n项和，，，则首项（ ） A． B．12 C．1或 D．3或12 18．（25-26高三·江西·模拟预测）在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点作第3个正方形，依此方法一直继续下去，记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，…，第个正方形的面积为，则前5个正方形的面积之和为（    ）    A．30 B． C． D． 三、填空题 19．（23-24高三下·江西·一模）诺沃尔在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年、……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．则从2024年到3000年之间人类可以看到这颗彗星的次数为_________次． 20．（23-24高三下·江西·三模）中国古代著作《张丘建算经》中载有下述问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在第七天行走的里程为_____里. 21．（24-25高三下·江西宜春·三模）设等差数列的前项和为，若，则__________. 22．（25-26高三·江西·模拟预测）数列的通项公式为，则它最小项的值是__________. 23．（25-26高三·江西·模拟预测）设数列的前项和为，且，若数列是等差数列，则__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》 第10卷：等差数列与等比数列的概念及性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 对比项目 等差数列 等比数列 定义 从第2项起，每一项与前一项的差为常数 d aₙ₊₁ - aₙ = d 从第2项起，每一项与前一项的比为常数 q(q≠0) aₙ₊₁ / aₙ = q 通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)d aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ 通项推广 aₙ = aₘ + (n-m)d aₙ = aₘ·qⁿ⁻ᵐ 中项 a,A,b 成等差 ⇔ 2A = a+b a,G,b 成等比 ⇔ G² = ab 下标性质 若 m+n=p+q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a_q 若 m+n=p+q，则 aₘ·aₙ = aₚ·a_q 前n项和 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 q=1：Sₙ = na₁ q≠1：Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) 片段和性质 Sₖ, S₂ₖ-Sₖ, S₃ₖ-S₂ₖ,… 成等差 Sₖ≠0 时， Sₖ, S₂ₖ-Sₖ, S₃ₖ-S₂ₖ,… 成等比 函数特征 aₙ 是关于 n 的一次函数 Sₙ 是关于 n 的二次函数 aₙ 是指数型函数 【真题精讲】 1（2025·江西·真题T18）第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案是由一串直角三角形演化而成的（如图），其中，它可以形成近似的等角螺线，记的长度所组成的数列为，则（　　）    A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】根据规律可求解出数列的通项公式，由此可求解. 【详解】∵， ∴， 由此可得，，， 记的长度所组成的数列为， 则（且）， ∴. 故选：B. 2．（2024·江西·真题T12）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=2，S3=15，则S5=（ ）. A．30 B．28 C．40 D．42 【答案】C 【解析】a1=2，3a1+3d=15，所以d=3，S5=5a1+10d=40.故选C. 3.（2023·江西·真题T14）在等比数列{an}中，若a1=-1，a4=-8，则前10项的和是（ ） A.-1023 B. 1024 C. 1023 D.-1024 【答案】A 【解析】因为，所以q=2，故=-1203.故选A. 4.（2022·江西·真题T06）数列3,6,12,24,…是等比数列 ………………………………………………（A B） 【答案】A 【解析】数列3,6,12,24,…满足后一项比前一项都等于同一个常数2，所以是等比数列.故选A. 【举一反三】 5.（2022·江西·真题T14）已知等差数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n，则公差d=（ ） A．-4 B．4 C．-2 D．2 【答案】A 【解析】因为等差数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n，所以a1=S1=-1，a2=S2-S1=-6-(-1)=-5， 所以公差d=a2-a1=-5-(-1)=-4.故选A. 6.（2021·江西·真题T17）若1,a,x,b,16成等比数列，则x=（ ） A.4 B.4 C.8 D.8 【答案】A 【解析】由题可知，x2=1×16=16，且x与1和16符号要相同，所以x=4，故选A. 7．（25-26高三·江西·模拟预测）等差数列的前n项和为，若，则公差__________. 【答案】 【分析】根据等差数列前n项和公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为等差数列中， 即，解得. 故答案为：. 8．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）已知等比数列，，，则（    ） A． B．1024 C．1023 D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式，可解得，再利用求和公式可求解. 【详解】由题可得， 解得. 故. 故选：A 【拓展提升】 1、 是非选择题 9．（21-22高三·江西赣州·对口/高职单招）已知等差数列2，4，6，8，的公差，则等差数列9，6，3，0，-3，的公差……………………（A B） 【答案】A 【分析】通过数列的关系式，判断数列是等差数列． 【详解】因为等差数列的公差为2， 可知等差数列后项减前项得到的差为3， 则公差. 故答案为:A. 10．（25-26高三·江西·模拟预测）等差数列的首项，公差，的前项和为，则……………………（A B） 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和公式易得答案. 【详解】因为等差数列的首项，公差， 所以， 则. 故答案为：B. 11．（25-26高三·江西·模拟预测）已知数列满足，，则……………………（A B） 【答案】A 【分析】根据数列的递推公式即可求解. 【详解】由题意得，，，. 故答案为：A. 12．（25-26高三·江西·模拟预测）已知三个正数成等比数列，则是等差数列……………………（A B） 【答案】A 【分析】根据等差数列和等比数列概念易得答案. 【详解】因为成等比数列，所以， 又， 所以成等比数列. 故答案为：A. 13．（20-21高三·江西·职教高考）已知等比数列的前项和为，，则数列的公比为……………………（A B） 【答案】B 【分析】由题意求出的值，利用等比数列的通项公式代入中即可得解. 【详解】设等比数列的公比为. 由题意可知. 因为. 整理得. 解得或. 所以等比数列的公比为或. 故答案为：B. 二、单选题 14．（23-24高三下·江西）等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．30 B．28 C．40 D．42 【答案】C 【分析】由数列为等差数列，根据与的关系,进而求的值. 【详解】因为为等差数列，又根据， 可得,， 解得， 根据等差数列前项公式可得： . 故选：C. 15．（25-26高三·江西·模拟预测）若数列满足，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的关系可得答案. 【详解】因为，， 当时，，即. 故选：A. 16．（24-25高三下·江西·职教高考）已知数列是等比数列，且，则公比（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】已知数列是等比数列， 由得，设公比为， 则，解得， 故选：B. 17．（25-26高三·江西·模拟预测）设是等比数列的前n项和，，，则首项（ ） A． B．12 C．1或 D．3或12 【答案】D 【分析】根据等比数列前n项和公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为在等比数列中，，， 当公比时，，此时，满足题意， 当公比时，由，解得， 所以数列的首项或. 故选：D. 18．（25-26高三·江西·模拟预测）在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点作第3个正方形，依此方法一直继续下去，记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，…，第个正方形的面积为，则前5个正方形的面积之和为（    ）    A．30 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合等比数列的定义及求和公式即可得解. 【详解】设第个正方形的边长为，由题意可知：， 则，， 所以， 正方形面积的规律是首项16，公比为的等比数列， 前5个正方形的面积之和为. 故选：B. 三、填空题 19．（23-24高三下·江西·一模）诺沃尔在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年、……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．则从2024年到3000年之间人类可以看到这颗彗星的次数为_________次． 【答案】12 【分析】根据题意，得出一个等差数列，根据等差数列求解次数即可. 【详解】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为，首项为的等差数列， 所以， 令， 即，解得， 又，所以， 所以从2024年开始到年， 人类可以看到这颗彗星的次数为次. 故答案为：. 20．（23-24高三下·江西·三模）中国古代著作《张丘建算经》中载有下述问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在第七天行走的里程为_____里. 【答案】 【分析】将问题转化为一个等比数列求基本量即可求解. 【详解】设每天行走的里程数是等比数列，则公比， 则，解得， 所以. 故答案为：. 21．（24-25高三下·江西宜春·三模）设等差数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【分析】根据题意结合等差数列的前项和的性质及等差中项的性质即可得解. 【详解】等差数列的前项和为， 则成等差数列， ，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 22．（25-26高三·江西·模拟预测）数列的通项公式为，则它最小项的值是__________. 【答案】 【分析】根据数列的通项公式结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为数列的通项公式为， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 23．（25-26高三·江西·模拟预测）设数列的前项和为，且，若数列是等差数列，则__________. 【答案】32 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为等差数列的首项为，公差为， 所以. 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $