第9卷：解三角形（教师讲解卷）江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》 第9卷：解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、基础前提（必记） 核心前提 具体内容 边角对应关系 在△ABC中，内角A、B、C对应三边a、b、c（A对a，B对b，C对c） 隐含角度关系 A + B + C = 180°（π弧度），常用变形：C = 180° - (A + B)（用于角度换算） 二、核心公式（重中之重） 公式类型 具体公式（含变形） 适用场景 易错提醒 正弦定理 核心公式： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R （R为外接圆半径，中职不考R计算） 已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角； 判断三角形形状 已知“两边及一边对角”可能有两解、一解、无解，仅需掌握简单判断（如a > b，则A > B，仅一解） 余弦定理 1. 求边公式： a² = b² + c² - 2bc·cosA； b² = a² + c² - 2ac·cosB； c² = a² + b² - 2ab·cosC 2. 求角变形： cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)； cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)； cosC=(a²+b²-c²)/(2ab) 已知三边求三角； 已知两边及夹角求第三边及剩余两角； 已知一边两角 切勿忘记公式中“-2bc·cosA”的负号，避免计算错误 三角形面积公式 1. 基础公式：S = 1/2 × 底 × 高 2. 高频公式：S = 1/2 ab·sinC = 1/2 bc·sinA = 1/2 ac·sinB 3. 拓展公式：S = (abc)/(4R)（偶尔考，简单了解） 1. 基础公式：已知底和对应高； 2. 高频公式：已知两边及夹角（直接套用） 高频公式需用“两边及夹角”的正弦值，不可用任意两边和任意角 【真题精讲】 1．（2025·江西·真题T23）在△中，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合正弦定理易得，即可判断三角形是直角三角形，根据勾股定理即可求得b的值，结合三角形面积公式，继而求解. 【详解】因为在△中， ， 由正弦定理得， 所以△是直角三角形， 又，， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（2024·江西·真题T25）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，C=60°. （1）求； （2）求AB边上的高. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)； (2)由余弦定理有：c2=a2+b2-2abcosC=32+22-2×3×2×=7，所以c=， 设AB边上的高为h，所以，故AB边上的高h=. 3.（2022·江西·真题T26）在中，角所对的边分别为，若. （1）求的大小；（2）若，，求的面积. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）在△ABC中，因为 = =2b，所以sinB=，因为0<B<π，所以B=或； （2）因为a=2，b=1，所以A>B，所以B=， 因为 = = =2b，即 =2，所以sinA=1， 因为0<A<π，所以A=，C=， 所以S△ABC=absinC=×2×1×=. 【举一反三】 4.（2021·江西·真题T22）△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，b=2，， 则A= . 【答案】. 【解析】因为a=，b=2，c=+1，则cosA===，所以A=. 5．（高三下·江西·模拟预测）已知中，，那么角A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求出，进而求出，再由确定的关系，进而得到答案. 【详解】由正弦定理得，. 所以解得. 因为.所以. 所以. 故选：C. 6．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，若，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式，即可求解. 【详解】因为中， ，，， 所以， 故选：D. 7．记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)求. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合正弦定理得出即可得解. （）根据余弦定理求出，代入正弦定理公式即可得解. 【详解】（1）的内角的对边分别为， 由正弦定理可知，， 由题意可知，所以， 因为，则当时，此时（舍）； 当时，， 综上所述，. （2）因为，，， 由余弦定理可知，， 整理可得，， 解得或（舍）， 由正弦定理可知，，解得. 【拓展提升】 1、 是非选择题 8．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）在中，若，则为锐角三角形.........(A B) 【答案】B 【分析】由仅能说明为锐角，不能得到一定为锐角三角形，据此判断即可. 【详解】已知，由余弦定理， 可知为锐角，但本题并未说明为最大角， 所以不能得到一定为锐角三角形， 故答案为：B. 9．（20-21高三·江西·职教高考）在中，若，则是等腰直角三角形.........(A B) 【答案】B 【分析】根据余弦定理结合题目中条件判断即可. 【详解】在中，根据余弦定理可得： ， 又∵， ∴, ∴, 即， 即， 故三角形为等腰三角形. 故答案为：B. 二、单选题 10．（22-23高三·江西·模拟预测）在中，，则是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【答案】A 【分析】根据正弦定理及两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为中，， 利用正弦定理有，， 所以，则， 因为，所以， 所以是等腰三角形. 故选：A. 11．（2025高三·全国·专题练习）已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】设三角形三边分别为2、3、4，则最大. 所以. 故选：B. 12．（20-21高三·江西九江·模拟预测）在中，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据正弦定理可求出，利用三角形内角和可求出． 【详解】，， ，或， 或． 故选：D． 13．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，已知，则三角形的周长是（ ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合余弦定理,即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以，又， 所以三角形的周长. 故选：D. 14．（25-26高三·江西·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据余弦定理和三角形的面积公式求解. 【详解】因为，结合余弦定理， 所以，所以， 所以的面积为， 故选：C. 三、填空题 15．在中，已知，，，则的面积是_______________． 【答案】4 【分析】由三角形的面积公式可得. 【详解】. 故答案为：4. 16．在三角形中，已知则______ 【答案】7 【分析】利用余弦定理边角互化，求解即可. 【详解】在三角形中，因为， 所以， 即 ， 因此， 故答案为：. 17．已知在中，，，，则________． 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式求得，然后利用正弦定理求解. 【详解】在中，，可知， 则， 又，， 由正弦定理得，即，解得. 故答案为：. 18．（24-25高三下·江西·职教高考）在△中，，且，则________. 【答案】/ 【分析】根据题意，结合正弦定理易得，即可判断三角形是直角三角形，根据勾股定理即可求得b的值，结合三角形面积公式，继而求解. 【详解】因为在△中， ， 由正弦定理得， 所以△是直角三角形， 又，， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 19．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【详解】（1）由，且， 得， 由正弦定理， 即. （2）， ， 所以 . 20．（20-21高三·江西·职教高考）已知，，分别为内角A，B，C的对边，且，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的正切值求角的正弦值，再根据正弦定理求解. （2）根据正弦定理三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵，且， ∴， ∴， 根据正弦定理得：， 解得：. （2）由余弦定理得，， 代入得， 整理得，解得或， ∵，则， ∴的面积为. 21．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)若，试判断△ABC的形状； (2)若，求的面积. 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解. （2）根据余弦定理结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，则，又因为， 所以，解得. 因为，所以，故 为直角三角形. （2）因为，，则 . 解得，所以的面积 22．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，已知，，． (1)求角A； (2)求的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据正弦定理求出角，再根据三角形内角和求出角， （2）根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】（1）由得：， 因为为三角形内角，则， 又因为，所以，从而， 所以或，而， 当时，， 当时，， 所以或． （2）当时，， 当时，， 所以的面积为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》 第9卷：解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、基础前提（必记） 核心前提 具体内容 边角对应关系 在△ABC中，内角A、B、C对应三边a、b、c（A对a，B对b，C对c） 隐含角度关系 A + B + C = 180°（π弧度），常用变形：C = 180° - (A + B)（用于角度换算） 二、核心公式（重中之重） 公式类型 具体公式（含变形） 适用场景 易错提醒 正弦定理 核心公式： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R （R为外接圆半径，中职不考R计算） 已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角； 判断三角形形状 已知“两边及一边对角”可能有两解、一解、无解，仅需掌握简单判断（如a > b，则A > B，仅一解） 余弦定理 1. 求边公式： a² = b² + c² - 2bc·cosA； b² = a² + c² - 2ac·cosB； c² = a² + b² - 2ab·cosC 2. 求角变形： cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)； cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)； cosC=(a²+b²-c²)/(2ab) 已知三边求三角； 已知两边及夹角求第三边及剩余两角； 已知一边两角 切勿忘记公式中“-2bc·cosA”的负号，避免计算错误 三角形面积公式 1. 基础公式：S = 1/2 × 底 × 高 2. 高频公式：S = 1/2 ab·sinC = 1/2 bc·sinA = 1/2 ac·sinB 3. 拓展公式：S = (abc)/(4R)（偶尔考，简单了解） 1. 基础公式：已知底和对应高； 2. 高频公式：已知两边及夹角（直接套用） 高频公式需用“两边及夹角”的正弦值，不可用任意两边和任意角 【真题精讲】 1．（2025·江西·真题T23）在△中，，且，则 . 2．（2024·江西·真题T25）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，C=60°. （1）求； （2）求AB边上的高. 3.（2022·江西·真题T26）在中，角所对的边分别为，若. （1）求的大小； （2）若，，求的面积. 【举一反三】 4.（2021·江西·真题T22）△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，b=2，， 则A= . 5．（高三下·江西·模拟预测）已知中，，那么角A等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，若，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)求. 【拓展提升】 1、 是非选择题 8．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）在中，若，则为锐角三角形.........(A B) 9．（20-21高三·江西·职教高考）在中，若，则是等腰直角三角形.........(A B) 二、单选题 10．（22-23高三·江西·模拟预测）在中，，则是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 11．（2025高三·全国·专题练习）已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 12．（20-21高三·江西九江·模拟预测）在中，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D．或 13．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，已知，则三角形的周长是（ ） A．2 B．6 C．8 D．10 14．（25-26高三·江西·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ） A． B． C．1 D．2 三、填空题 15．在中，已知，，，则的面积是_______________． 16．在三角形中，已知则______ 17．已知在中，，，，则________． 18．（24-25高三下·江西·职教高考）在△中，，且，则________. 四、解答题 19．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求； (2)求. 20．（20-21高三·江西·职教高考）已知，，分别为内角A，B，C的对边，且，，． (1)求的值； (2)求的面积． 21．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)若，试判断△ABC的形状； (2)若，求的面积. 22．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，已知，，． (1)求角A； (2)求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $