专题：四边形有关的计算与证明（3大模型）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题：四边形有关的计算与证明（3大模型） 在初中几何中，四边形是综合性强、变化丰富的板块，而“中点”“垂直”“手拉手”是三大核心模型。掌握它们不仅能快速解题，更能培养几何直观。以下为学习建议和方法，帮助你系统攻克这三大模型。 中点模型 垂直模型 手拉手模型 模型本质 利用中点构造中位线、中线或中点四边形，集中线段与角。 常见形式 任意四边形中点连线 → 平行四边形 三角形中位线 → 平行且等于第三边一半 Rt△斜边中线 → 等于斜边一半 等腰△底边中线 → 三线合一 学习方法 画图 取中点连中点，观察形状与对角线关系 口诀 “中点出现，中位线连；中点四边形，对角定形状” 训练 对角线垂直→中点四边形为矩形；中位线证倍分 进阶技巧 多个中点考虑连中位线；中点+垂直联想斜边中线或垂直平分线。 模型本质 90°角与勾股定理、矩形性质、全等/相似紧密结合。 常见形式 矩形/正方形 → 邻边垂直、对角线相等 垂线+中点 → 垂直平分线 勾股定理 → 直角三角形求边长 垂直+旋转 → 手拉手联用 学习方法 分类 梯形的高、菱形对角线、圆中直径对直角 数形 见垂直想勾股、面积法 训练 矩形折叠问题；证矩形（先平行四边形+一角90°） 进阶技巧 垂直常伴四点共圆；构造直角三角形利用中线转化。 模型本质 共顶点等线段旋转→全等或相似；常见于等边、等腰直角、正方形。 常见形式 等边三角形手拉手 → 旋转60°全等 等腰Rt△手拉手 → 旋转90°全等 正方形手拉手 → 绕顶点90°全等 学习方法 特征 共顶点、等线段、顶角相等 → 寻全等 动态 想象旋转重合 训练 两正方形共顶点证相等垂直；等边手拉手求角度 进阶技巧 引出“八字形”倒角，证共线或垂直；可构造旋转全等（如倍长中线）。 综合运用：三大模型的联动 中考题常将多个模型融合，例如： 中点 + 垂直：等腰三角形底边中线与高重合；直角三角形斜边中点与直角顶点连线。 手拉手 + 中点：旋转后取中点，构造中位线。 垂直 + 手拉手：旋转90°后自然产生垂直关系。 学习建议 一题多解：同一道题尝试用不同模型解答，体会模型间的联系。 总结笔记：每做完一道经典题，画出模型图，标注关键条件（中点、垂直、旋转角），形成自己的模型库。 错题反思：分析卡壳点——是没识别出模型，还是辅助线不会作？针对性强化。 1.如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E、G分别是AC、DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG. (1)求证：AD∥CF； (2)求证：四边形ADCF是矩形． 1.证明：(1)∵∠FCA＝∠CEG，∴CF∥EG. ∵E、G分别是AC、DC的中点，∴EG∥AD. ∴AD∥CF； (2)在△CDF中，G是CD的中点，且CF∥EG. ∴E是DF的中点． ∵E是AC的中点，∴AC与DF互相平分． ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是矩形． 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，分别取AB，AC边上的中点D，E，连接DE并延长到点F，使得EF＝2DE，连接CF，BE． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若DE＝4，则四边形BCFE的面积为            ． 2.（1）证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC边上的中点为E， ∴∠ACB＝60°，  ， ∴△EBC为等边三角形， ∴BE＝BC＝CE， ∵AB边上的中点为D， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE， ∵EF＝2DE， ∴BC＝EF， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∵BE＝BC， ∴平行四边形BCFE是菱形； （2） 解： ． 【解法提示】由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形BCFE是菱形，∵DE＝4，∴BC＝2DE＝8，∴BE＝EF＝AE＝BC＝8，∵∠ABC＝90°，DE∥BC，∴∠BDE＝∠ABC＝90°，在Rt△BDE中，∴  ，∴四边形BCFE的面积为  ． 3.如图，是小明自制的风筝框架，在正方形框架ABCD和平行四边形框架AEFG中，点E、G恰好分别是CD、BC的中点，且A、C、F三点共线，连接AF、EG. (1)求证：四边形AEFG为菱形； (2)若AB＝40cm，求风筝的长度AF. 3.(1)证明：∵在正方形ABCD中，点E、G分别为CD、BC的中点，∴BG＝DE， 在△ABG和△ADE中， ∴△ABG≌△ADE(SAS)，∴AG＝AE， 又∵四边形AEFG为平行四边形，∴四边形AEFG为菱形； (2)解：如解图，连接BD，设AF交EG于点O， 在△DBC中，∵E、G分别为边DC、CB的中点，∴EG＝ DB， 在Rt△DAB中，DB＝ ＝ ＝40 ，∴EG＝ DB＝ ×40 ＝20 ， 在Rt△ABG中，AG＝ ＝ ＝20 ， ∵四边形AEFG为菱形，∴EG、AF互相垂直平分，∴OG＝ EG＝10 ， ∵在Rt△AOG中，∠AOG＝90°，∴AO＝ ＝30 ，∴AF＝2AO＝60 cm，即风筝的长度AF为60 cm. 解图 4.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 　　定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线． 性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分． 已知：如图①，四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，FH. 求证：EG，FH互相垂直平分． 图① 　　 图② 部分证明过程如下： 证明：如图①，顺次连接E，F，G，H四点， … 任务： (1)下列图形中，是等对四边形的有________(只填序号)； ①平行四边形　　②矩形　　③菱形　　④正方形 (2)请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程； (3)如图②，等对四边形ABCD中，若等对中位线EG＝FH＝a cm，求等对四边形ABCD两对角线的长． 4.解：(1)②④； 【解法提示】②④的对角线相等，①③的对角线不一定相等． (2)补全剩余证明如下： ∵点E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝ AC， 同理可得GH＝ AC，EH＝ BD，GF＝ BD， 又∵AC＝BD，∴EF＝GH＝EH＝GF， ∴四边形EFGH是菱形， ∴EG，FH互相垂直平分； (3)如解图，顺次连接E，F，G，H四点， 由(2)可知，四边形EFGH是菱形， 又∵EG＝FH，∴四边形EFGH是正方形， ∴∠EFG＝90°，∠GEF＝45°，∴GF＝ a cm. ∵四边形ABCD是等对四边形，EG，FH是等对中位线， ∴AC＝BD，点F，G分别是BC，CD的中点， ∴GF是△BCD的中位线，∴BD＝2GF＝2× a＝ a cm， ∴AC＝BD＝ a cm， 即等对四边形ABCD两对角线的长都为 a cm. 解图 5.如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P． （1）求证：△ADE≌△CDE． （2）判断△CPF的形状，并说明理由． （3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长． 5.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°， 在△ADE和△CDE中，   ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）； （2）解：△CPF是等腰三角形，理由如下： ∵△ADE≌△CDE， ∴∠DAE＝∠DCE， 又∵CP⊥CE，DC⊥CF， ∴∠DCE＝∠PCF， 又∵AD∥BF， ∴∠DAE＝∠CFP， ∴∠PCF＝∠PFC， ∴CP＝PF， ∴△CPF是等腰三角形； （3）解：如图，连接DF， ∵∠PCF＝∠PFC， ∴∠PCM＝∠PMC， ∴PC＝MP， ∴MP＝PF， 又∵点N是DM的中点， ∴DF＝2NP＝6， ∴CF   2 ． 解图 6.如图，已知点E，H，G，F分别为AB，BC，CD，AD的中点，连接EF，FG，GH，HE，这个新四边形EFGH的形状有什么特点？请证明你的结论，并与同伴讨论． 6.解：解法一：四边形EFGH是平行四边形，证明如下： 如解图①，连接BD， ∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝ BD，EF∥BD. ∵点H，G分别为BC，CD的中点，∴HG是△CBD的中位线， ∴HG＝ BD，HG∥BD，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形． 解法二：四边形EFGH是平行四边形，证明如下： 如解图②，连接AC， ∵点E，H分别为AB，BC的中点，∴EH∥AC，EH＝ AC. ∵点F，G分别为AD，CD的中点，∴FG∥AC，FG＝ AC，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC,BC＝3，AC＝4，AD＝6，M是BD的中点，连接CM.求CM的长． 7.解：如解图，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接DE， ∵BC＝CE＝3，AD＝6，∴BE＝AD. 又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形， ∴DE＝AB. 在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝5，∴DE＝5. ∵在△BDE中，点C，M分别是BE，BD的中点， ∴CM为△BDE的中位线，∴CM＝ DE＝ . 解图 8.D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E. (1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形； (2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由．) 8.(1)证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点， ∴DE∥BC，且DE＝ BC，同理，GF∥BC，且GF＝ BC， ∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DGFE是平行四边形； 答案图 (2)解：若平行四边形DGFE是菱形，则OA＝BC. 【解法提示】连接OA，∵平行四边形DGFE是菱形，∴GD＝GF，又∵D、G、F分别是AB、OB、OC边的中点，∴OA＝2GD，BC＝2GF,∴OA＝BC. 9.如图，E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，且AB>CD，求证：EF> AB-CD.   9.证明：如答案图，过点E作AB的平行线交BC于点G，连接FG， ∴G为BC的中点， ∵E，F分别为AC，BD的中点， ∴在△ABC中，EG为△ABC的中位线， 在△BCD中，FG为△BCD的中位线， ∴EG∥AB，EG= AB，FG∥CD，FG= CD， 在△EFG中，EF>EG-FG，即EF> AB- CD，∴EF> (AB-CD). 答案图 10.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC. (1)求证：AD＝BC； (2)若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．求证：线段EF与线段GH互相垂直平分． 10.（1）证明：如答案图①，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M， ∵AB∥CD， ∴四边形ABMC为平行四边形． ∴AC＝BM＝BD，∠BDC＝∠M＝∠ACD. 在△ACD和△BDC中 ， ∴△ACD≌△BDC， ∴AD＝BC. 答案图① （2）证明：如答案图②， ∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，连接EH，HF，FG，GE， ∴HE∥AD，且HE＝ AD，FG∥AD，且FG＝ AD， ∴HE∥FG且HE＝FG， ∴四边形HFGE为平行四边形． 由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG，∴▱HFGE为菱形， ∴EF与GH互相垂直平分． 答案图② 11.如图，在正方形ABCD中，E，M，N分别是边BC，AB，CD上的点，连接AE，MN，且AE⊥MN.求证：AE＝MN. 11.证明：解法一：如答案图①，过点M作MF⊥CD于点F，记AE与MN交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠C＝∠CFM＝90°， ∴四边形BCFM是矩形， ∴MF＝BC＝AB，∠B＝∠AMF＝∠MFN＝90°. ∵AE⊥MN， ∴∠AMG＋∠MAG＝90°， 又∵∠AMG＋∠FMN＝90°， ∴∠MAG＝∠FMN， 在△ABE和△MFN中， ∴△ABE≌△MFN（ASA）， ∴AE＝MN. 解法二：如答案图②，过点B作BF∥MN交CD于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥DC， ∴四边形MBFN是平行四边形， ∴MN＝BF， ∵AE⊥MN， ∴AE⊥BF， ∴∠FBC＋∠AEB＝90°， 又∵∠FBC＋∠BFC＝90°， ∴∠AEB＝∠BFC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°， 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF， ∴AE＝MN.    答案图①           答案图② 12.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G. (1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角； (2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明． 12.解：(1)与∠AED相等的角是∠DAG，∠AFB，∠CDE. (2)选择∠AED＝∠AFB， 正方形ABCD中，∠DAE＝∠B＝90°，AD＝AB， 又∵AF＝DE，∴△ADE≌△BAF，∴∠AED＝∠AFB. 13.如图，若将BF向上平移一段距离，记与AB，CD的交点分别为M，N，且满足AE⊥MN，AE与MN相交于点G，线段AE与MN的数量关系是什么呢？你能用几种方法证明？ 13.解：AE＝MN. 解法一：如答案图①，过点M作MF⊥CD于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝∠CFM＝90°， ∴四边形BCFM是矩形， ∴MF＝BC＝AB，∠ABE＝∠AMF＝∠MFN＝90°. ∵AE⊥MN， ∴∠AMG＋∠MAG＝90°， 又∵∠AMG＋∠FMN＝90°， ∴∠MAG＝∠FMN， 在 ABE和 MFN中 ∴△ABE≌△MFN（ASA）， ∴AE＝MN. 解法二：如答案图②，过点B作BF∥MN交CD于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥DC，∠C＝∠ABC＝90°， ∴四边形MBFN是平行四边形， ∴MN＝BF， ∵AE⊥MN，MN∥BF， ∴AE⊥BF， ∴∠FBC＋∠AEB＝90°， 又∵∠FBC＋∠BFC＝90°， ∴∠AEB＝∠BFC， 在 ABE和 BCF中，  ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF， ∴AE＝MN. 答案图①              答案图② 14.问题解决：如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G. (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由.  类比迁移：如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长.                                                                                          图①                                                    图② 14.(1)证明：如题图①，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DAB＝90°. ∴∠BAF＋∠GAD＝90°. ∵DE⊥AF，∴∠ADG＋∠GAD＝90°. ∴∠BAF＝∠ADG. 又∵AF＝DE，∴△ABF≌△DAE，∴AB＝AD. ∴矩形ABCD是正方形； (2)解：△AHF是等腰三角形．理由如下： ∵AB＝AD，∠ABH＝∠DAE＝90°，BH＝AE， ∴△ABH≌△DAE，∴AH＝DE. 又∵DE＝AF，∴AH＝AF， 即△AHF是等腰三角形； 类比迁移：解：如答案图，延长CB到点H，使得BH＝AE＝6，连接AH. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝AD， ∴∠ABH＝∠BAD. ∵BH＝AE，∴△ABH≌△DAE. ∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°. 又∵DE＝AF，∴AH＝AF. ∵∠AHB＝60°，∴△AHF是等边三角形， ∴AH＝HF， ∴DE＝AH＝HF＝HB＋BF＝AE＋BF＝6＋2＝8. 答案图 15.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G. (1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角； (2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明． 15.解：(1)与∠AED相等的角是∠DAG，∠AFB，∠CDE. (2)选择∠AED＝∠AFB， 正方形ABCD中，∠DAE＝∠B＝90°，AD＝AB， 又∵AF＝DE，∴△ADE≌△BAF，∴∠AED＝∠AFB. 16.如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过点B作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF． （1）求证：BE＝CF； （2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长． 16.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵BG⊥AE， ∴∠BGE＝90°， ∴∠AEB＋∠EBG＝90°， ∴∠BAE＝∠EBG， ∴△ABE≌△BCF(ASA)， ∴BE＝CF； （2）解：∵正方形边长是5， ∴AB＝BC＝CD＝5， ∵BE＝2， ∴由（1）得CF＝BE＝2， ∴DF＝CD－CF＝5－2＝3， 在Rt△ADF中，由勾股定理得 ． 17.如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于点E、F两点，垂足为Q，过点E作EH⊥AB于H. (1)求证：HF＝AP； (2)若正方形ABCD的边长为12，AP＝4，求线段EQ的长． 17.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠A＝∠C＝90°， 又∵EH⊥AB，∴∠EHB＝90°， ∴四边形EHBC是矩形， ∴EH＝BC＝AB，∵EF⊥PB， ∴∠FQB＝90°， ∴∠FEH＋∠EFH＝∠ABP＋∠EFB＝90°， ∴∠FEH＝∠ABP， ∴△HEF≌△ABP(ASA)， ∴HF＝AP. (2)解：如解图，连接PF，设PF＝BF＝x，AB＝12，则AF＝12－x， 在Rt△APF中，AP2＋AF2＝PF2，AP＝4， ∴42＋(12－x)2＝x2， 解得x＝ ，即PF＝ ， 在Rt△APB中，BP2＝AP2＋AB2＝42＋122＝160， ∴BP＝4 ， ∴PQ＝2 ， 在Rt△PFQ中，QF＝ ＝ ＝ ， ∵△HEF≌△ABP， ∴EF＝BP＝4 ， ∴EQ＝EF－QF＝4 － ＝ . 解图 18.如图，在正方形ABCD中，AE平分  BAC交BC于点E，点F在AB上，连接DF，若 求证：AF=BE. 18.证明：四边形ABCD是正方形， 又∵ 平分 AC， ∴∠ADR=22.5°，∠BAE= BAC=22.5°， ， 在 和 中 ， 19.如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E在BC上，过点C作CF⊥AE于点F，延长CF使CD＝AE，连接BD．求证：DB⊥BC． 19.证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠DCB＋∠ACF＝90°， ∵CF⊥AE于点F， ∴∠AFC＝90°， ∴∠ACF＋∠EAC＝90°， ∴∠DCB＝∠EAC， 在 DBC和 ECA中 ， ∴△DBC≌△ECA（SAS）， ∴∠DBC＝∠ECA＝90°， 即DB⊥BC． 20.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，AB延长线上的点，DF与BC交于点M，AE与CD交于点N，AE与DF交于点O.已知BF＝CE，正方形的边长为6. (1)判断AE与DF之间的位置与数量关系并说明理由； (2)若BF＝2，求四边形OMCN的面积． 20.解：(1)AE⊥DF，AE＝DF. 理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠DAF＝90°， ∵BF＝CE，∴AB＋BF＝BC＋CE，即AF＝BE，∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFA， ∵∠EAB＋∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠DFA＝90°，∴∠AOF＝90°，即AE⊥DF； (2)由(1)知△ABE≌△DAF，∴BE＝AF＝AB＋BF＝6＋2＝8，∴AE＝DF＝ ＝10， ∵AE⊥DF，∴∠OAD＋∠ODA＝90°， 又∵∠CDM＋∠ODA＝90°，∴∠OAD＝∠CDM， 又∵AD＝DC，∠ADN＝∠DCM＝90°，∴△ADN≌△DCM(ASA)，∴S△ADN＝S△DCM，∴S△ADN－S△ODN＝S△DCM－S△ODN，即S△AOD＝S四边形OMCN， 在Rt△ADF中，AO⊥DF，S△AFD＝ AD·AF＝ DF·AO，∴AO＝ ＝ ，∴OD＝ ＝ ，∴S四边形OMCN＝S△AOD＝ OA·OD＝ . 21.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线AC上的一点，连接DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG，DG，求AG＋AE的值． 21.解：如答案图，过点E分别作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∴EM＝EN， 又∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是正方形， ∵EF⊥DE，四边形DEFG是矩形， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＋∠MEF＝∠MEF＋∠FEN＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF(ASA)， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＋∠ADE＝∠CDE＋∠ADE， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE(SAS)， ∴AG＝CE， ∴AG＋AE＝EC＋AE＝AC＝ AD＝4 . 答案图 22.（1）如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＝90°时，根据角平分线的性质，我们可知DB与DC之间的数量关系为______； （2）如图②，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＜90°时，试说明DB与DC之间数量关系； （3）如图③，AD平分∠BAC，若∠B＝70°，DB＝DC，求∠ACD的度数． 22.解：（1） ； 【解法提示】因为∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，所以∠C＝90°，所以DB⊥AB，DC⊥AC，因为AD平分∠BAC，所以DB＝DC. （2）如答案图①，过D点作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 因为AD平分∠BAC， 所以DE＝DF， 因为∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCF＝180°， 所以∠B＝∠DCF， 在△BDE和△CDF中， ， 所以△BDE≌△CDF（AAS）， 所以DB＝DC； 答案图① （3）如答案图②，过D点作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点， 因为AD平分∠BAC， 所以DE＝DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， 所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， 所以∠B＝∠DCF＝70°， 所以∠ACD＝180°﹣∠DCF＝180°﹣70°＝110°．         答案图② 23.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，BE相交于点H． （1）如图①，点M是BE延长线上一点，连接AM，CM，若∠ABH＝∠ACM，BH＝CM＝2，AH＝3，求BM的值； （2）如图②，HF平分∠BHD，连接BF，DF，满足BF＝DF，若∠BFD－∠BHD＝60°，求证：BD＝CE． 23.（1）解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 在△ABH和△ACM中，  ， ∴△ABH≌△ACM（SAS）， ∴AH＝AM，∠BAH＝∠CAM， ∴∠HAM＝∠HAE＋∠CAM＝∠HAE＋∠BAH＝∠BAC＝60°， ∴△AHM为等边三角形， ∴HM＝AH＝3， ∴BM＝BH＋HM＝2＋3＝5； （2）证明：如答案图，过点F作FM⊥BE于点M，FN⊥AD，交AD的延长线于N， ∴∠FMB＝∠FND＝90°， ∵HF平分∠BHD， ∴FM＝FN， 在Rt△FBM和Rt△FDN中，  ， ∴Rt△FBM≌Rt△FDN（HL）， ∴∠BFM＝∠DFN， ∴∠BFD＝∠BFM＋∠MFD＝∠DFN＋∠MFD＝∠MFN， 在四边形HMFN中，∠FMH＝∠FNH＝90°， ∴∠BHD＋∠MFN＝180°， ∴∠BHD＋∠BFD＝180°， ∵∠BFD－∠BHD＝60°， ∴∠BFD＝120°，∠BHD＝60°， ∴∠BAD＋∠ABE＝∠BHD＝60°， 又∵∠ABE＋∠CBE＝∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝∠CBE， 在△ABD和△BCE中，  ， ∴△ABD≌△BCE（ASA）， ∴BD＝CE． 答案图 24.在四边形ABCD中，点E是射线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F. (1)如图①，当点E在边BC上时，若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，则AE与AF之间的数量关系是______； (2)如图②，当点E在BC的延长线上时，若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，请写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 24.解：(1)AE＝AF； 【解法提示】如解图①，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.∵∠B＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠B，∠BAC＝60°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF. 解图① (2)BE－DF＝EF. 理由：如解图②，在BC上取点F′，使得BF′＝DF. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°. 在△ABF′和△ADF中， ∴△ABF′≌△ADF(SAS)，∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF. ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＋∠DAF＝∠DAE＋∠BAF′＝45°，∴∠EAF′＝45°. 在△AEF′和△AEF中， ∴△AEF′≌△AEF(SAS)，∴EF′＝EF. ∵BE－BF′＝EF′，∴BE－DF＝EF. 解图② 25.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°. 求证：CE＝DF. 25.证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°， 即∠DOF＋∠COF＝90°， ∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°， ∴∠COE＝∠DOF， ∴△COE≌△DOF(ASA) ∴CE＝DF. 26.如图，在正方形ABCD中，O是对角线BD上一点．连接AO，OC，OE⊥AO交BC于点E.求证：OC＝OE. 26.证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G. ∵四边形ABCD是正方形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝90°，OF＝OG，∴∠FOG＝90°. ∵OA⊥OE，∴∠AOE＝90°，∴∠AOE－∠FOE＝∠FOG－∠FOE，即∠AOF＝∠EOG. 又∵OF＝OG，∠AFO＝∠EGO＝90°，∴△AOF≌△EOG(ASA)，∴OA＝OE. 根据正方形的性质，得AD＝DC，∠ADO＝∠CDO， 又∵OD＝OD，∴△ADO≌△CDO(SAS)，∴OA＝OC，∴OC＝OE. 解图 27.如图，在菱形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，M，N分别是BC，CD上的点.已知∠BAD=120°，∠MON=60°，若CM=1，CN=3，求OC的长. 27.解：如答案图，过点O作OH⊥BC于点H，OI⊥CD于点I， ∴∠OHM=∠OIN=∠OIC=90°. ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， ∴CA平分∠BCD，∠BCD=120°， ∴∠HOI=360°－∠OHM－∠OIC－∠BCD=60°，OH=OI. ∵∠MON=60°， ∴∠HOI－∠MOI=∠MON－∠MOI，即∠HOM=∠ION， ∴△HOM≌△ION（ASA）， ∴HM=IN. ∵OH=OI，OC=OC， ∴Rt△COH≌Rt△COI（HL）， ∴CH=CI， ∴HM＋CM=CN－NI， ∴2NI=CN－CM=2， 解得NI=1， ∴CI=2. ∵∠COI= ∠HOI=30°，OI⊥CD， ∴OC=2CI=4. 答案图 28.我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形． （1）如图，已知完美等邻边四边形  ，  ，  ，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质； （2）在四边形  中，若  ，且  平分  时，求证：四边形  是完美等邻边四边形． 28.（1）解：性质是  ． （2）证明：如答案图，过点D作  交BC的延长线于点M，  于点N， 平分  ，  ，  ， ， ， ， ， ， ∴  ， ， 在  和  中， ， ， ， ∴四边形  是等邻边四边形， 又  ， ∴等邻边四边形  是完美等邻边四边形． 答案图 29.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB，若∠DEC与∠DFC互补．试探究AE，AC与CF之间的数量关系． 29.解：如答案图，过点D作DG⊥BC，交BC于点G， ∵CD平分∠ACB，∠A＝90°， ∴DG＝DA，∠DGC＝∠A＝90°， ∴Rt△ACD≌Rt△GCD(HL)， ∴AC＝CG， ∵∠DEC与∠DFC互补， ∴∠DEA＝∠DFG， 又∵∠DAE＝∠DGF＝90°， ∴△ADE≌△GDF(AAS)， ∴AE＝GF， ∴CF＝CG＋GF＝AC＋AE. 答案图 30.如图， ABC中，AD平分∠BAC，且DB＝DC，DE⊥AB于E． (1)求证：∠ABD＋∠ACD＝180°； (2)如果AB＝8，AC＝4，求AE的长． 30.证明：(1)如答案图，过点D作DF⊥AC交AC延长线于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， ∴DE＝DF； ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ， ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)； ∴∠ABD＝∠DCF， ∵∠DCF＋∠ACD＝180°， ∴∠ABD＋∠ACD＝180°； 答案图 (2)在 ADE和 ADF中 ， ∴△ADE≌△ADF(AAS)， ∴AE＝AF＝AC＋CF， 又∵BE＝CF， ∴AE＝AC＋BE， ∵AE＝AB－BE， ∴AB－BE＝AC＋BE， ∴8－BE＝4＋BE，解得BE＝2， ∴AE＝AB－BE＝6． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：四边形有关的计算与证明（3大模型） 在初中几何中，四边形是综合性强、变化丰富的板块，而“中点”“垂直”“手拉手”是三大核心模型。掌握它们不仅能快速解题，更能培养几何直观。以下为学习建议和方法，帮助你系统攻克这三大模型。 中点模型 垂直模型 手拉手模型 模型本质 利用中点构造中位线、中线或中点四边形，集中线段与角。 常见形式 任意四边形中点连线 → 平行四边形 三角形中位线 → 平行且等于第三边一半 Rt△斜边中线 → 等于斜边一半 等腰△底边中线 → 三线合一 学习方法 画图 取中点连中点，观察形状与对角线关系 口诀 “中点出现，中位线连；中点四边形，对角定形状” 训练 对角线垂直→中点四边形为矩形；中位线证倍分 进阶技巧 多个中点考虑连中位线；中点+垂直联想斜边中线或垂直平分线。 模型本质 90°角与勾股定理、矩形性质、全等/相似紧密结合。 常见形式 矩形/正方形 → 邻边垂直、对角线相等 垂线+中点 → 垂直平分线 勾股定理 → 直角三角形求边长 垂直+旋转 → 手拉手联用 学习方法 分类 梯形的高、菱形对角线、圆中直径对直角 数形 见垂直想勾股、面积法 训练 矩形折叠问题；证矩形（先平行四边形+一角90°） 进阶技巧 垂直常伴四点共圆；构造直角三角形利用中线转化。 模型本质 共顶点等线段旋转→全等或相似；常见于等边、等腰直角、正方形。 常见形式 等边三角形手拉手 → 旋转60°全等 等腰Rt△手拉手 → 旋转90°全等 正方形手拉手 → 绕顶点90°全等 学习方法 特征 共顶点、等线段、顶角相等 → 寻全等 动态 想象旋转重合 训练 两正方形共顶点证相等垂直；等边手拉手求角度 进阶技巧 引出“八字形”倒角，证共线或垂直；可构造旋转全等（如倍长中线）。 综合运用：三大模型的联动 中考题常将多个模型融合，例如： 中点 + 垂直：等腰三角形底边中线与高重合；直角三角形斜边中点与直角顶点连线。 手拉手 + 中点：旋转后取中点，构造中位线。 垂直 + 手拉手：旋转90°后自然产生垂直关系。 学习建议 一题多解：同一道题尝试用不同模型解答，体会模型间的联系。 总结笔记：每做完一道经典题，画出模型图，标注关键条件（中点、垂直、旋转角），形成自己的模型库。 错题反思：分析卡壳点——是没识别出模型，还是辅助线不会作？针对性强化。 题型一、中点模型 1.如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E、G分别是AC、DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG. (1)求证：AD∥CF； (2)求证：四边形ADCF是矩形． 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，分别取AB，AC边上的中点D，E，连接DE并延长到点F，使得EF＝2DE，连接CF，BE． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若DE＝4，则四边形BCFE的面积为            ． 3.如图，是小明自制的风筝框架，在正方形框架ABCD和平行四边形框架AEFG中，点E、G恰好分别是CD、BC的中点，且A、C、F三点共线，连接AF、EG. (1)求证：四边形AEFG为菱形； (2)若AB＝40cm，求风筝的长度AF. 4.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 　　定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线． 性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分． 已知：如图①，四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，FH. 求证：EG，FH互相垂直平分． 图① 　　 图② 部分证明过程如下： 证明：如图①，顺次连接E，F，G，H四点， … 任务： (1)下列图形中，是等对四边形的有________(只填序号)； ①平行四边形　　②矩形　　③菱形　　④正方形 (2)请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程； (3)如图②，等对四边形ABCD中，若等对中位线EG＝FH＝a cm，求等对四边形ABCD两对角线的长． 5.如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P． （1）求证：△ADE≌△CDE． （2）判断△CPF的形状，并说明理由． （3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长． 6.如图，已知点E，H，G，F分别为AB，BC，CD，AD的中点，连接EF，FG，GH，HE，这个新四边形EFGH的形状有什么特点？请证明你的结论，并与同伴讨论． 7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC,BC＝3，AC＝4，AD＝6，M是BD的中点，连接CM.求CM的长． 8.D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E. (1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形； (2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由．) 9.如图，E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，且AB>CD，求证：EF> AB-CD.   10.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC. (1)求证：AD＝BC； (2)若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．求证：线段EF与线段GH互相垂直平分． 题型二、垂直模型 11.如图，在正方形ABCD中，E，M，N分别是边BC，AB，CD上的点，连接AE，MN，且AE⊥MN.求证：AE＝MN. 12.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G. (1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角； (2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明． 13.如图，若将BF向上平移一段距离，记与AB，CD的交点分别为M，N，且满足AE⊥MN，AE与MN相交于点G，线段AE与MN的数量关系是什么呢？你能用几种方法证明？ 14.问题解决：如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G. (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由.  类比迁移：如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长.                                                                                          图①                                                    图② 15.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G. (1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角； (2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明． 16.如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过点B作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF． （1）求证：BE＝CF； （2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长． 17.如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于点E、F两点，垂足为Q，过点E作EH⊥AB于H. (1)求证：HF＝AP； (2)若正方形ABCD的边长为12，AP＝4，求线段EQ的长． 18.如图，在正方形ABCD中，AE平分  BAC交BC于点E，点F在AB上，连接DF，若 求证：AF=BE. 19.如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E在BC上，过点C作CF⊥AE于点F，延长CF使CD＝AE，连接BD．求证：DB⊥BC． 20.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，AB延长线上的点，DF与BC交于点M，AE与CD交于点N，AE与DF交于点O.已知BF＝CE，正方形的边长为6. (1)判断AE与DF之间的位置与数量关系并说明理由； (2)若BF＝2，求四边形OMCN的面积． 题型三、手拉手模型 21.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线AC上的一点，连接DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG，DG，求AG＋AE的值． 22.（1）如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＝90°时，根据角平分线的性质，我们可知DB与DC之间的数量关系为______； （2）如图②，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＜90°时，试说明DB与DC之间数量关系； （3）如图③，AD平分∠BAC，若∠B＝70°，DB＝DC，求∠ACD的度数． 23.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，BE相交于点H． （1）如图①，点M是BE延长线上一点，连接AM，CM，若∠ABH＝∠ACM，BH＝CM＝2，AH＝3，求BM的值； （2）如图②，HF平分∠BHD，连接BF，DF，满足BF＝DF，若∠BFD－∠BHD＝60°，求证：BD＝CE． 24.在四边形ABCD中，点E是射线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F. (1)如图①，当点E在边BC上时，若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，则AE与AF之间的数量关系是______； (2)如图②，当点E在BC的延长线上时，若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，请写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 25.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°. 求证：CE＝DF. 26.如图，在正方形ABCD中，O是对角线BD上一点．连接AO，OC，OE⊥AO交BC于点E.求证：OC＝OE. 27.如图，在菱形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，M，N分别是BC，CD上的点.已知∠BAD=120°，∠MON=60°，若CM=1，CN=3，求OC的长. 28.我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形． （1）如图，已知完美等邻边四边形  ，  ，  ，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质； （2）在四边形  中，若  ，且  平分  时，求证：四边形  是完美等邻边四边形． 29.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB，若∠DEC与∠DFC互补．试探究AE，AC与CF之间的数量关系． 30.如图， ABC中，AD平分∠BAC，且DB＝DC，DE⊥AB于E． (1)求证：∠ABD＋∠ACD＝180°； (2)如果AB＝8，AC＝4，求AE的长． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：四边形有关的计算与证明（3大模型） 详解详析 1.证明：(1)∵∠FCA＝∠CEG，∴CF∥EG. ∵E、G分别是AC、DC的中点，∴EG∥AD. ∴AD∥CF； (2)在△CDF中，G是CD的中点，且CF∥EG. ∴E是DF的中点． ∵E是AC的中点，∴AC与DF互相平分． ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是矩形． 2.（1）证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC边上的中点为E， ∴∠ACB＝60°，  ， ∴△EBC为等边三角形， ∴BE＝BC＝CE， ∵AB边上的中点为D， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE， ∵EF＝2DE， ∴BC＝EF， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∵BE＝BC， ∴平行四边形BCFE是菱形； （2） 解： ． 【解法提示】由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形BCFE是菱形，∵DE＝4，∴BC＝2DE＝8，∴BE＝EF＝AE＝BC＝8，∵∠ABC＝90°，DE∥BC，∴∠BDE＝∠ABC＝90°，在Rt△BDE中，∴  ，∴四边形BCFE的面积为  ． 3.(1)证明：∵在正方形ABCD中，点E、G分别为CD、BC的中点，∴BG＝DE， 在△ABG和△ADE中， ∴△ABG≌△ADE(SAS)，∴AG＝AE， 又∵四边形AEFG为平行四边形，∴四边形AEFG为菱形； (2)解：如解图，连接BD，设AF交EG于点O， 在△DBC中，∵E、G分别为边DC、CB的中点，∴EG＝ DB， 在Rt△DAB中，DB＝ ＝ ＝40 ，∴EG＝ DB＝ ×40 ＝20 ， 在Rt△ABG中，AG＝ ＝ ＝20 ， ∵四边形AEFG为菱形，∴EG、AF互相垂直平分，∴OG＝ EG＝10 ， ∵在Rt△AOG中，∠AOG＝90°，∴AO＝ ＝30 ，∴AF＝2AO＝60 cm，即风筝的长度AF为60 cm. 解图 4.解：(1)②④； 【解法提示】②④的对角线相等，①③的对角线不一定相等． (2)补全剩余证明如下： ∵点E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝ AC， 同理可得GH＝ AC，EH＝ BD，GF＝ BD， 又∵AC＝BD，∴EF＝GH＝EH＝GF， ∴四边形EFGH是菱形， ∴EG，FH互相垂直平分； (3)如解图，顺次连接E，F，G，H四点， 由(2)可知，四边形EFGH是菱形， 又∵EG＝FH，∴四边形EFGH是正方形， ∴∠EFG＝90°，∠GEF＝45°，∴GF＝ a cm. ∵四边形ABCD是等对四边形，EG，FH是等对中位线， ∴AC＝BD，点F，G分别是BC，CD的中点， ∴GF是△BCD的中位线，∴BD＝2GF＝2× a＝ a cm， ∴AC＝BD＝ a cm， 即等对四边形ABCD两对角线的长都为 a cm. 解图 5.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°， 在△ADE和△CDE中，   ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）； （2）解：△CPF是等腰三角形，理由如下： ∵△ADE≌△CDE， ∴∠DAE＝∠DCE， 又∵CP⊥CE，DC⊥CF， ∴∠DCE＝∠PCF， 又∵AD∥BF， ∴∠DAE＝∠CFP， ∴∠PCF＝∠PFC， ∴CP＝PF， ∴△CPF是等腰三角形； （3）解：如图，连接DF， ∵∠PCF＝∠PFC， ∴∠PCM＝∠PMC， ∴PC＝MP， ∴MP＝PF， 又∵点N是DM的中点， ∴DF＝2NP＝6， ∴CF   2 ． 解图 6.解：解法一：四边形EFGH是平行四边形，证明如下： 如解图①，连接BD， ∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝ BD，EF∥BD. ∵点H，G分别为BC，CD的中点，∴HG是△CBD的中位线， ∴HG＝ BD，HG∥BD，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形． 解法二：四边形EFGH是平行四边形，证明如下： 如解图②，连接AC， ∵点E，H分别为AB，BC的中点，∴EH∥AC，EH＝ AC. ∵点F，G分别为AD，CD的中点，∴FG∥AC，FG＝ AC，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形． 7.解：如解图，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接DE， ∵BC＝CE＝3，AD＝6，∴BE＝AD. 又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形， ∴DE＝AB. 在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝5，∴DE＝5. ∵在△BDE中，点C，M分别是BE，BD的中点， ∴CM为△BDE的中位线，∴CM＝ DE＝ . 解图 8.(1)证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点， ∴DE∥BC，且DE＝ BC，同理，GF∥BC，且GF＝ BC， ∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DGFE是平行四边形； 答案图 (2)解：若平行四边形DGFE是菱形，则OA＝BC. 【解法提示】连接OA，∵平行四边形DGFE是菱形，∴GD＝GF，又∵D、G、F分别是AB、OB、OC边的中点，∴OA＝2GD，BC＝2GF,∴OA＝BC. 9.证明：如答案图，过点E作AB的平行线交BC于点G，连接FG， ∴G为BC的中点， ∵E，F分别为AC，BD的中点， ∴在△ABC中，EG为△ABC的中位线， 在△BCD中，FG为△BCD的中位线， ∴EG∥AB，EG= AB，FG∥CD，FG= CD， 在△EFG中，EF>EG-FG，即EF> AB- CD，∴EF> (AB-CD). 答案图 10.（1）证明：如答案图①，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M， ∵AB∥CD， ∴四边形ABMC为平行四边形． ∴AC＝BM＝BD，∠BDC＝∠M＝∠ACD. 在△ACD和△BDC中 ， ∴△ACD≌△BDC， ∴AD＝BC. 答案图① （2）证明：如答案图②， ∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，连接EH，HF，FG，GE， ∴HE∥AD，且HE＝ AD，FG∥AD，且FG＝ AD， ∴HE∥FG且HE＝FG， ∴四边形HFGE为平行四边形． 由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG，∴▱HFGE为菱形， ∴EF与GH互相垂直平分． 答案图② 11.证明：解法一：如答案图①，过点M作MF⊥CD于点F，记AE与MN交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠C＝∠CFM＝90°， ∴四边形BCFM是矩形， ∴MF＝BC＝AB，∠B＝∠AMF＝∠MFN＝90°. ∵AE⊥MN， ∴∠AMG＋∠MAG＝90°， 又∵∠AMG＋∠FMN＝90°， ∴∠MAG＝∠FMN， 在△ABE和△MFN中， ∴△ABE≌△MFN（ASA）， ∴AE＝MN. 解法二：如答案图②，过点B作BF∥MN交CD于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥DC， ∴四边形MBFN是平行四边形， ∴MN＝BF， ∵AE⊥MN， ∴AE⊥BF， ∴∠FBC＋∠AEB＝90°， 又∵∠FBC＋∠BFC＝90°， ∴∠AEB＝∠BFC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°， 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF， ∴AE＝MN.    答案图①           答案图② 12.解：(1)与∠AED相等的角是∠DAG，∠AFB，∠CDE. (2)选择∠AED＝∠AFB， 正方形ABCD中，∠DAE＝∠B＝90°，AD＝AB， 又∵AF＝DE，∴△ADE≌△BAF，∴∠AED＝∠AFB. 13.解：AE＝MN. 解法一：如答案图①，过点M作MF⊥CD于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝∠CFM＝90°， ∴四边形BCFM是矩形， ∴MF＝BC＝AB，∠ABE＝∠AMF＝∠MFN＝90°. ∵AE⊥MN， ∴∠AMG＋∠MAG＝90°， 又∵∠AMG＋∠FMN＝90°， ∴∠MAG＝∠FMN， 在 ABE和 MFN中 ∴△ABE≌△MFN（ASA）， ∴AE＝MN. 解法二：如答案图②，过点B作BF∥MN交CD于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥DC，∠C＝∠ABC＝90°， ∴四边形MBFN是平行四边形， ∴MN＝BF， ∵AE⊥MN，MN∥BF， ∴AE⊥BF， ∴∠FBC＋∠AEB＝90°， 又∵∠FBC＋∠BFC＝90°， ∴∠AEB＝∠BFC， 在 ABE和 BCF中，  ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF， ∴AE＝MN. 答案图①              答案图② 14.(1)证明：如题图①，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DAB＝90°. ∴∠BAF＋∠GAD＝90°. ∵DE⊥AF，∴∠ADG＋∠GAD＝90°. ∴∠BAF＝∠ADG. 又∵AF＝DE，∴△ABF≌△DAE，∴AB＝AD. ∴矩形ABCD是正方形； (2)解：△AHF是等腰三角形．理由如下： ∵AB＝AD，∠ABH＝∠DAE＝90°，BH＝AE， ∴△ABH≌△DAE，∴AH＝DE. 又∵DE＝AF，∴AH＝AF， 即△AHF是等腰三角形； 类比迁移：解：如答案图，延长CB到点H，使得BH＝AE＝6，连接AH. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝AD， ∴∠ABH＝∠BAD. ∵BH＝AE，∴△ABH≌△DAE. ∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°. 又∵DE＝AF，∴AH＝AF. ∵∠AHB＝60°，∴△AHF是等边三角形， ∴AH＝HF， ∴DE＝AH＝HF＝HB＋BF＝AE＋BF＝6＋2＝8. 答案图 15.解：(1)与∠AED相等的角是∠DAG，∠AFB，∠CDE. (2)选择∠AED＝∠AFB， 正方形ABCD中，∠DAE＝∠B＝90°，AD＝AB， 又∵AF＝DE，∴△ADE≌△BAF，∴∠AED＝∠AFB. 16.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵BG⊥AE， ∴∠BGE＝90°， ∴∠AEB＋∠EBG＝90°， ∴∠BAE＝∠EBG， ∴△ABE≌△BCF(ASA)， ∴BE＝CF； （2）解：∵正方形边长是5， ∴AB＝BC＝CD＝5， ∵BE＝2， ∴由（1）得CF＝BE＝2， ∴DF＝CD－CF＝5－2＝3， 在Rt△ADF中，由勾股定理得 ． 17.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠A＝∠C＝90°， 又∵EH⊥AB，∴∠EHB＝90°， ∴四边形EHBC是矩形， ∴EH＝BC＝AB，∵EF⊥PB， ∴∠FQB＝90°， ∴∠FEH＋∠EFH＝∠ABP＋∠EFB＝90°， ∴∠FEH＝∠ABP， ∴△HEF≌△ABP(ASA)， ∴HF＝AP. (2)解：如解图，连接PF，设PF＝BF＝x，AB＝12，则AF＝12－x， 在Rt△APF中，AP2＋AF2＝PF2，AP＝4， ∴42＋(12－x)2＝x2， 解得x＝ ，即PF＝ ， 在Rt△APB中，BP2＝AP2＋AB2＝42＋122＝160， ∴BP＝4 ， ∴PQ＝2 ， 在Rt△PFQ中，QF＝ ＝ ＝ ， ∵△HEF≌△ABP， ∴EF＝BP＝4 ， ∴EQ＝EF－QF＝4 － ＝ . 解图 18.证明：四边形ABCD是正方形， 又∵ 平分 AC， ∴∠ADR=22.5°，∠BAE= BAC=22.5°， ， 在 和 中 ， 19.证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠DCB＋∠ACF＝90°， ∵CF⊥AE于点F， ∴∠AFC＝90°， ∴∠ACF＋∠EAC＝90°， ∴∠DCB＝∠EAC， 在 DBC和 ECA中 ， ∴△DBC≌△ECA（SAS）， ∴∠DBC＝∠ECA＝90°， 即DB⊥BC． 20.解：(1)AE⊥DF，AE＝DF. 理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠DAF＝90°， ∵BF＝CE，∴AB＋BF＝BC＋CE，即AF＝BE，∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFA， ∵∠EAB＋∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠DFA＝90°，∴∠AOF＝90°，即AE⊥DF； (2)由(1)知△ABE≌△DAF，∴BE＝AF＝AB＋BF＝6＋2＝8，∴AE＝DF＝ ＝10， ∵AE⊥DF，∴∠OAD＋∠ODA＝90°， 又∵∠CDM＋∠ODA＝90°，∴∠OAD＝∠CDM， 又∵AD＝DC，∠ADN＝∠DCM＝90°，∴△ADN≌△DCM(ASA)，∴S△ADN＝S△DCM，∴S△ADN－S△ODN＝S△DCM－S△ODN，即S△AOD＝S四边形OMCN， 在Rt△ADF中，AO⊥DF，S△AFD＝ AD·AF＝ DF·AO，∴AO＝ ＝ ，∴OD＝ ＝ ，∴S四边形OMCN＝S△AOD＝ OA·OD＝ . 21.解：如答案图，过点E分别作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∴EM＝EN， 又∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是正方形， ∵EF⊥DE，四边形DEFG是矩形， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＋∠MEF＝∠MEF＋∠FEN＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF(ASA)， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＋∠ADE＝∠CDE＋∠ADE， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE(SAS)， ∴AG＝CE， ∴AG＋AE＝EC＋AE＝AC＝ AD＝4 . 答案图 22.解：（1） ； 【解法提示】因为∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，所以∠C＝90°，所以DB⊥AB，DC⊥AC，因为AD平分∠BAC，所以DB＝DC. （2）如答案图①，过D点作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 因为AD平分∠BAC， 所以DE＝DF， 因为∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCF＝180°， 所以∠B＝∠DCF， 在△BDE和△CDF中， ， 所以△BDE≌△CDF（AAS）， 所以DB＝DC； 答案图① （3）如答案图②，过D点作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点， 因为AD平分∠BAC， 所以DE＝DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， 所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， 所以∠B＝∠DCF＝70°， 所以∠ACD＝180°﹣∠DCF＝180°﹣70°＝110°．         答案图② 23.（1）解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 在△ABH和△ACM中，  ， ∴△ABH≌△ACM（SAS）， ∴AH＝AM，∠BAH＝∠CAM， ∴∠HAM＝∠HAE＋∠CAM＝∠HAE＋∠BAH＝∠BAC＝60°， ∴△AHM为等边三角形， ∴HM＝AH＝3， ∴BM＝BH＋HM＝2＋3＝5； （2）证明：如答案图，过点F作FM⊥BE于点M，FN⊥AD，交AD的延长线于N， ∴∠FMB＝∠FND＝90°， ∵HF平分∠BHD， ∴FM＝FN， 在Rt△FBM和Rt△FDN中，  ， ∴Rt△FBM≌Rt△FDN（HL）， ∴∠BFM＝∠DFN， ∴∠BFD＝∠BFM＋∠MFD＝∠DFN＋∠MFD＝∠MFN， 在四边形HMFN中，∠FMH＝∠FNH＝90°， ∴∠BHD＋∠MFN＝180°， ∴∠BHD＋∠BFD＝180°， ∵∠BFD－∠BHD＝60°， ∴∠BFD＝120°，∠BHD＝60°， ∴∠BAD＋∠ABE＝∠BHD＝60°， 又∵∠ABE＋∠CBE＝∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝∠CBE， 在△ABD和△BCE中，  ， ∴△ABD≌△BCE（ASA）， ∴BD＝CE． 答案图 24.解：(1)AE＝AF； 【解法提示】如解图①，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.∵∠B＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠B，∠BAC＝60°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF. 解图① (2)BE－DF＝EF. 理由：如解图②，在BC上取点F′，使得BF′＝DF. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°. 在△ABF′和△ADF中， ∴△ABF′≌△ADF(SAS)，∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF. ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＋∠DAF＝∠DAE＋∠BAF′＝45°，∴∠EAF′＝45°. 在△AEF′和△AEF中， ∴△AEF′≌△AEF(SAS)，∴EF′＝EF. ∵BE－BF′＝EF′，∴BE－DF＝EF. 解图② 25.证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°， 即∠DOF＋∠COF＝90°， ∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°， ∴∠COE＝∠DOF， ∴△COE≌△DOF(ASA) ∴CE＝DF. 26.证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G. ∵四边形ABCD是正方形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝90°，OF＝OG，∴∠FOG＝90°. ∵OA⊥OE，∴∠AOE＝90°，∴∠AOE－∠FOE＝∠FOG－∠FOE，即∠AOF＝∠EOG. 又∵OF＝OG，∠AFO＝∠EGO＝90°，∴△AOF≌△EOG(ASA)，∴OA＝OE. 根据正方形的性质，得AD＝DC，∠ADO＝∠CDO， 又∵OD＝OD，∴△ADO≌△CDO(SAS)，∴OA＝OC，∴OC＝OE. 解图 27.解：如答案图，过点O作OH⊥BC于点H，OI⊥CD于点I， ∴∠OHM=∠OIN=∠OIC=90°. ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， ∴CA平分∠BCD，∠BCD=120°， ∴∠HOI=360°－∠OHM－∠OIC－∠BCD=60°，OH=OI. ∵∠MON=60°， ∴∠HOI－∠MOI=∠MON－∠MOI，即∠HOM=∠ION， ∴△HOM≌△ION（ASA）， ∴HM=IN. ∵OH=OI，OC=OC， ∴Rt△COH≌Rt△COI（HL）， ∴CH=CI， ∴HM＋CM=CN－NI， ∴2NI=CN－CM=2， 解得NI=1， ∴CI=2. ∵∠COI= ∠HOI=30°，OI⊥CD， ∴OC=2CI=4. 答案图 28.（1）解：性质是  ． （2）证明：如答案图，过点D作  交BC的延长线于点M，  于点N， 平分  ，  ，  ， ， ， ， ， ， ∴  ， ， 在  和  中， ， ， ， ∴四边形  是等邻边四边形， 又  ， ∴等邻边四边形  是完美等邻边四边形． 答案图 29.解：如答案图，过点D作DG⊥BC，交BC于点G， ∵CD平分∠ACB，∠A＝90°， ∴DG＝DA，∠DGC＝∠A＝90°， ∴Rt△ACD≌Rt△GCD(HL)， ∴AC＝CG， ∵∠DEC与∠DFC互补， ∴∠DEA＝∠DFG， 又∵∠DAE＝∠DGF＝90°， ∴△ADE≌△GDF(AAS)， ∴AE＝GF， ∴CF＝CG＋GF＝AC＋AE. 答案图 30.证明：(1)如答案图，过点D作DF⊥AC交AC延长线于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， ∴DE＝DF； ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ， ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)； ∴∠ABD＝∠DCF， ∵∠DCF＋∠ACD＝180°， ∴∠ABD＋∠ACD＝180°； 答案图 (2)在 ADE和 ADF中 ， ∴△ADE≌△ADF(AAS)， ∴AE＝AF＝AC＋CF， 又∵BE＝CF， ∴AE＝AC＋BE， ∵AE＝AB－BE， ∴AB－BE＝AC＋BE， ∴8－BE＝4＋BE，解得BE＝2， ∴AE＝AB－BE＝6． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $