精品解析：四川省自贡市中等职业学校2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

自贡市中等职业学校2025－2026学年高二年级上学期期末考试 数学试卷 本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共60分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第I卷共1个大题，15个小题．每个小题4分，共60分． 一、选择题（每小题4分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数（为虚数单位）的实部为（ ） A. 2 B. －4 C. D. 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 40 3. 直线在轴上的截距是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 3 4. 椭圆的短半轴长是（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 16 5. 垂直于轴，且过点的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 数列满足，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 7. 若椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 圆心为，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 等差数列中是其前项和，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在等比数列中，公比，，则（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 40 11. 已知直线与圆，“”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 在和16之间插入个数，使之与这两个数共同构成和为88的等差数列，则公差（ ） A. B. C. D. 13. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 14. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 15. 已知双曲线的两个焦点为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 24 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 已知数列的前项和为，且，则_____． 17. 直线的倾斜角为______． 18. 抛物线的焦点为，点为上一点，若，则_____． 19. 已知点在圆上，点在直线上，则的最小值是_____． 20. 九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，解开九连环最少需要移动341次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为_____． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 已知等差数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和，求n的值. 22. 已知中，， （1）求所在的直线方程； （2）求边上高所在的直线方程； （3）求的面积． 23. 已知方程表示圆. （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值. 24. 已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过点P作曲线C的两条切线，求这两条切线的方程． 25. 如图，已知抛物线C：和圆：，过抛物线C上一点作两条直线与圆相切于A，B两点，分别交抛物线于E，F两点，圆心M到抛物线准线的距离为． （1）求抛物线C的方程； （2）当的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率． 26. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． （1）求数列的通项公式： （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市中等职业学校2025－2026学年高二年级上学期期末考试 数学试卷 本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共60分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第I卷共1个大题，15个小题．每个小题4分，共60分． 一、选择题（每小题4分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数（为虚数单位）的实部为（ ） A. 2 B. －4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将给定的复数整理为标准形式，再确定其实部. 【详解】将复数整理为标准形式： 根据定义，实部是，虚部是. 故选：B 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列的性质即可得解. 【详解】等差数列满足，则， 故选：. 3. 直线在轴上的截距是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式求解即可. 【详解】直线在轴上的截距是. 故选：B. 4. 椭圆的短半轴长是（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出值即可得解. 【详解】椭圆， 则，所以短半轴长为， 故选：. 5. 垂直于轴，且过点的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定直线的斜率，再写出直线的方程即可. 【详解】由直线垂直于轴，可知直线的斜率不存在， 又直线过点，故直线的方程为. 故选：D. 6. 数列满足，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的定义得出为等比数列，再由等比数列的通项公式求值即可. 【详解】已知数列满足，即， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 故选：B. 7. 若椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的焦点位置以标准方程的特征列式求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 8. 圆心为，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心和半径确定圆的方程即可. 【详解】已知圆心为，半径为， 则圆的方程为， 故选：B. 9. 等差数列中是其前项和，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求值即可. 【详解】已知为等差数列，则， 所以，则， 故选：A. 10. 在等比数列中，公比，，则（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目已知信息可求，再相加即可求解. 【详解】∵在等比数列中，公比，， ∴ ， ∴. 故选：C. 11. 已知直线与圆，“”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义以及直线和圆的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径. 当时，直线. 圆心到直线的距离为：， 因为，所以直线与圆相切，充分性成立. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即， 即，解得或，必要性不成立. 因此，“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 12. 在和16之间插入个数，使之与这两个数共同构成和为88的等差数列，则公差（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】由题意，可设等差数列为，其中， 故，解得， 故，解得. 故选：C. 13. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，再将点代入求解即可. 【详解】设与直线平行的直线方程为， ∵过点， ∴，解得， ∴直线方程为. 故选：B. 14. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据离心率求出参数，再代入渐近线公式求解即可. 【详解】方程表示双曲线，因此. 方程可化为标准形式： 其中，. 因为离心率，且， 可得， 根据，可得， 即，则， 即， 因为渐近线方程为，代入可得：. 故选：B. 15. 已知双曲线的两个焦点为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，观察可以以为底，以点纵坐标为高，分别求出和点纵坐标即可求出面积. 【详解】由题意如图： 由双曲线方程，得， 即圆的半径为， ∵以线段为直径的圆， ∴圆心为原点， 故圆的方程为， 联立方程， 解得， ∵点为第一象限， ∴点的纵坐标为， 点的纵坐标即的高， ∴， 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 已知数列的前项和为，且，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据数列前项和为和的关系求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：7. 17. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率，设出直线倾斜角根据斜率定义即可得解. 【详解】直线，所以斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 解得， 故答案为：. 18. 抛物线的焦点为，点为上一点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求出点的横坐标，再代入抛物线方程求出. 【详解】在抛物线中，，则，所以准线方程为. 已知点为抛物线上一点，且， 根据抛物线定义，可得，解得， 将代入抛物线方程可得，则. 故答案为：. 19. 已知点在圆上，点在直线上，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合圆的半径，进而求出的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆心到直线距离为， 因为点P在圆上，点Q在直线上，的最小值等于圆心C到直线的距离减去圆的半径， 则的最小值是. 故答案为：. 20. 九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，解开九连环最少需要移动341次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为_____． 【答案】170 【解析】 【分析】先表示出，再根据最少需要移动341次求解出m的值，由此可解. 【详解】∵解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次， 即，且， ∴， ， ， ， ， ， ， ∵解开九连环最少需要移动341次． ∴，解得， ∴.即解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为170． 故答案为：170. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 已知等差数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和，求n的值. 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）根据，求公差，再求通项公式. （2）根据前项和的值求. 【小问1详解】 由题意得， 得， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得. ， ， 解得（舍）或. 22. 已知中，， （1）求所在的直线方程； （2）求边上高所在的直线方程； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式求直线斜率，再由点斜式写出直线方程即可. （2）根据斜率公式求直线斜率，再由两条直线垂直的条件求出高的斜率，再由点斜式写出直线方程即可. （3）根据两点之间的距离公式求出的长，再由点到直线的距离公式求出高，再由面积公式求值即可. 【小问1详解】 已知中，， 则， 所以所在的直线方程，即. 【小问2详解】 已知， 则， 所以边上高所在直线方程为，即. 【小问3详解】 由（1）可知，所在的直线方程为， 则边上的高为，， ， 所以. 23. 已知方程表示圆. （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由方程表示圆的条件，列出式子解得的取值范围； （2）首先确定圆的圆心和半径，结合列出式子，解得. 【小问1详解】 已知方程表示圆， 可得， 解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 由圆的方程， 可知圆心为，半径为， 点到直线的距离为， 由于， 解得. 24. 已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过点P作曲线C的两条切线，求这两条切线的方程． 【答案】（1），C表示以为圆心，为半径的圆 （2）和 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设切线方程为，根据点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：设，由，可得，即， 整理得，即方程可化为， 所以曲线表示以为圆心，为半径的圆． 【小问2详解】 解：由题意，两切线的斜率均存在，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得或， 所以两条切线方程为和． 25. 如图，已知抛物线C：和圆：，过抛物线C上一点作两条直线与圆相切于A，B两点，分别交抛物线于E，F两点，圆心M到抛物线准线的距离为． （1）求抛物线C的方程； （2）当的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义可得求出参数，即可写出抛物线方程； （2）根据已知有H(4,2)，，设、应用斜率的两点式求，进而求直线斜率. 【小问1详解】 由题意，． ∵点M到抛物线准线的距离为， ∴，则抛物线C的方程为． 【小问2详解】 当的角平分线垂直于x轴时H(4,2)，． 设，， ∴，即， ∴， ∴． 26. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． （1）求数列的通项公式： （2）证明：当时，． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式和通项公式列方程求解即可. （2）首先由等差数列的前项和公式列式，再分类讨论，并由作差法比较大小即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 而， 则， ，解得 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 由（1）知，， ，， 当为偶数时，， ， 当时，，故， 当为奇数时， 当时，，故 综上所述，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $