1.1.1两角和与差的余弦公式 - 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析卷）

中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 1.1.1两角和与差的余弦公式 一、知识梳理 (1)公式：cos(a±B)=cosacos/β干sinasinB,(口诀：同名积，符号反) 注意： 1.公式中三角符号的顺序ccss; 2.公式中角的顺序aBaB; 3.公式中的运算符号 (2)预备知识 度 30° 459 60° 孤度 4 君 sina 5 2 2 cosa 2 2 2 tand 3 5 二、题型精练 题型1套公式 【典例1】：c0s75o 【费例21：c0s 12 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型2公式逆用 【典例1】：cos80°cos20°+sin80°sin20o 【典例2】：cos35°cos25°-sin35sin25o 【典例3】：化简：cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB 题型3公式应用 4 5 cos B=-- ,B是第三象限角，求 13 cos(a-β) 题型4公式凑角 8 【典例1：己知cos(a+B)=- 7sinB=,且a,B都是锐角.求coso 【典例2】：已知sina= 4 5 ≥。y2r，πsi(±B)三2，，求cosB 13 题型5公式求角 【典例1：若cos&=2V5 5,sin B=v10 10 ,且o,B均为锐角，求a+B的值。 5，c0sB=3i0 【奥例21已知锐角a,B满足如a=5,。 ,求+B的值。 10 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型5余弦判断三角形形状 【典例1】：在△ABC中，若sin Asin B<cos A cos B,则△ABC的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【典例2】：在△ABC中，若cos A cos B=sin Asin B则△ABC为 三角形 三、知识检测 1.cos15 o 2.cosl05。 3c0s(-T) 12 4.cos75°cos30°+sin75°sin30o 5.cosl7°cos28o-sinl7osin28。 6.c0s54°cos240+sin54°sin24o 7.c0s22.5°c0s22.5o-sin22.50sin22.5o 8.cosl40°cos20o+sinl40°sin20o ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 9.化简：cos(a+B)cosB-sin(a+B)sinβ 12 10.已知sina= 73·osB三4，x,B都是说角求cos+B) nwa=a小 13已知cos(a+B)=4 .simB=12 3 ,且a,B都是锐角，求cos0 1 4已知sin(a-B)3cosp=且a,B都是锐角，求coso 5 15已知cos(π+a)=子cs(a+B)=4,且a,B药为悦角，求B的销 14 16.在△ABC中，∠C为最大角，若c0 s Acos B>si血Asin B,则△ABC的形状为() 可原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 17.在△ABC中，∠C为最大角，若cos Acos B<sin A sin B,则△ABC的形状为( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 18.在△ABC中，tanA·tanB=1,则△ABC的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究：中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 1.1.1两角和与差的余弦公式 一、知识梳理 (1)公式：cos(a±B)=cosacos/β干sinasinB,(口诀：同名积，符号反) 注意： 1.公式中三角符号的顺序ccss; 2.公式中角的顺序aBaB; 3.公式中的运算符号 (2)预备知识 度 30 459 60° 孤度 4 sina 5 2 2 cosa 2 1 2 tand 3 5 二、题型精练 题型1套公式 【典例1】：cos75° 【答案】6-反 4 【分析】根据两角和的余弦公式求解 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【详解】cos75°=c0s(30°+45)=cos30c0s45°-sin30°sin45° √5√21.√26-2 2222 4 故答案为： √6-√2 4 【典例2】：cos 5π 12 【答案】 6-V2 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】 5π =cos(交+5)=cos cos--sin sin nπ3,21，V26-2 cos ● 12 64 6 4 642222 4 故答案为： 6-√2 4 题型2公式逆用 【典例1】：cos80°cos20o+sin80osin20o 【答案】 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】cos80°cos20°+sin80°sin200=cos(80°-20)=cos60°= 故首笑为司 【典例2】：1.cos35°cos25o-sin35°sin25o 【答案】 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】c0s35c0s250-sin35sin250=c0s350+25)=c0s600= 故答案为： 2 【典例3】：化简：cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinβ ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【答案】cos 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinβ=cos(a+B)-B)=cosa 故答案为：coso 题型3公式应用 、3 3 【典例1】：已知cos0=二cos0=二，cosB=二，且u,B是第四象限角，求 5 5 cos(a+β) 【答案】-25 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角a,B的范围，可求出sin心，sinB的值， 再根据两角和差的余弦公式求解即可 3 3 【详解】因为cosa=亏cosB=亏且a,B是第四象限角，所以 5 sina=-v1-cosa=_4 5smB=-1-cos2B三-4 所以cos(a+B)=cosacosB--sinasin B=3.3 Γ55（← 4、 4 9-16_7 25 25 7 故答案为： 25 2元 π 【典例2】：已知sina= cos B=-- 5 ,B是第三象限角，求 13 cos(a-β) 【答案】 33 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角a,B的范围，可求出sin,sinB的值， 再根据两角和差的余弦公式求解即可 【详解】因为sina= 4 5.ae/ π cosB=- 5 1 ,B是第三象限角。 所以cos0=-V1-sin2a=- 5 sin B=-1-cos2B = 3 12 13 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 所以 cos(a-β)=cosa cosβ+sin a sin B =( .(-5)+4(-12)=15+48.- 5 65 65 33 故答案为：一 65 题型4公式凑角 【典例1】：已知cos(a+B)=- sinB=子且a,B都是锐角.求cosa 8 4 【答案】 3 85 【分析】根据两角和的余弦公式求解 解因为cosC+B)8sinB且a,B都是锐角.所以0<a十B 所以cosB-l-sm2B-子s血(a+B)--cos2(a+p-5所以 17 cosa cos(a+B)-B)=cos[(a+B)cosB +sin (a+B)sinB] =(-8).3+15.4=-24+6036 175175 85 85 36 故答案为： &s π 【典例2】：已知sina= π sau+-加c ,求cosβ 【答案】 【分析】根据两角和的余弦公式求解 4 【详解】因为sina=-,u∈ 2π， π sin(Q+)=3BoD所2 <a+B<37 π 2 所以cas&=-h-sna=号cox(a+B)=--ma+月-日 所以 13 cosB cos(a+B)-a)=cos[(a+B)cosa+sin (a+B)sina] =(-12)(-3+54-36+20-6 135135-65-65 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 故答案为： 56 65 题型5公式求角 【典例1】：若cosa= 2W5 sin B=v10 10 ,且u,B均为锐角，求au+B的值。 【络划 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】因为若cosu= 25 5simB=10，且c,B均为锐角 10 所以cosB=V-sin'B=3i -sin a =v1-cos2 a ,所以 10 cos (a+B)=cosacosB-sinasinB-2510510 510510 650-√505V50V2 50 502 因为0<a+B<π，所以a+B=T 4 故答案为： 元 4 【典例2】：已知锐角au,B满足sina= 5 ’C0sB= V10 ,求+B的值。 10 【答案】 4 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】因为若sina= cos B=310 ,且a,B均为锐角， 5 10 所以snB=-esB=D,csa=-na-25,所以 10 cos (a+B)-cosacosB-sinasinB=25.3105 10 510510 6V50-V505V50√2 50 502 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 因为0<a+B<π，所以a+B=乃 4 故答案为：乃 题型5余弦判断三角形形状 【典例1】：在△ABC中，若sin Asin B<cos A cos B,则△ABC的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式和诱导公式求解 【详解】因为sin Asin B<cos Acos B, sin A sin B-cos A cos B<0, 所以cos A cos B-sin A sin B=cos（A+B)>0, 因为0<4+8<，所以0<A+B<分，所以C=-(d+8)> 2 ,所以△ABC为钝角三角形 故选：C 【典例2】：在△ABC中，若cos A cos B=sin A sin B则△ABC为 三角形 【答案】直角三角形 【分析】根据两角和的余弦公式和诱导公式求解 【详解】因为cos Acos B=sin Asin B, 所以cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=0, 因为0<A+B<,所以A+B=子所以C=T-(+B)-牙 ,所以△ABC为直角三角形 故选：B 三、知识检测 1.cos15 【答案】6+② 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】c0s15°=c0s(45°+30)=c0s45°cos30°+sin45°sin30° 2,32,16+2 22224 故答案为： √6+√2 4 2.cos105 o 【答案】2-V6 4 【分析】根据两角和的余弦公式求解 cos105°=cos(45°+60)=cos45°cos60°-sin45°sin60° 【详解】√2,1√2.√32-√6 ● ● 2222 4 故答案为： 2-V6 4 3.c0s(- 12 【答案】2+V6 x 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】 cos ( 3-sin 4sin )=cos()=coscos π 12 43 n 4sin 3 V2,12,5_2+6 2222 4 故答案为： 2+6 4 4.cos75°cos30°+sin75°sin30。 【答案】 2 2 【分析】根据两角和的余弦公式求解 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： > 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【i详解】cos75cas300+sin755in30°=60s75°-309)=c045°=Y2 故答案为： 2 2 5.cos17 cos28 -sin17 sin28 【答案】 2 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】cos17c0s28°-sinl7sin28°=c0s(17°+28)=c0s450=】 2 故答案为： 2 3 6.c0s54°cos240+sin54°sin24o 【答案】 2 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】cos54°cos24°+sin54sin24°=cos(54°-24)=cos30o= 故答案为： √3 2 7.cos22.5°cos22.50-sim22.5°sin22.5o 【答案】V2 2 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【i详解】c0s25c0s225°-sin2.5sin225°=60s2.5°+259=0s45°=Y 2 故答案为： 2 8.cosl40°cos20o+sinl40°sin20 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 SAI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【防案】 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】cos140°cos20°+sin140sin20°=cos(140°-20)=cos120°=- 成答案为：月 9.化简：cos(a+β)cosp-sin(a+β)sinβ 【答案】cos(2a+β) 【分析】根据两角和的余弦公式求解 【详解】cos(a+B)cosB-sin(a+β)sinβ=cos(a+B)+B)】=cos(2a+β) 故答案为：cos(2a+β) 1 10.已知sino 13coSB=5,B都是锐角，求cos(a+B) 4 【答案】-16 5 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角a,B的范围，可求出sin&,sinB的值， 再根据两角和差的余弦公式求解即可 【详解】因为sina=2cosB=4,且a,B都是锐角所以 12 131 osa=1-sna名mB=-cosB3 所以cos(a+B)=cosa cosB-sina sinB= 5412320-36_16 13513565 65 故答案为： 16 65 3 11.己知c0sa=- 2 则cos(+a) 【答案】 -3-45 10 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角a,B的范围，可求出sin,sinB的值， 再根据两角和差的余弦公式求解即可 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.CO zhijiao.xkw.com 【详解】因为cosa=- ae所以sma=-a- 3 4 3 sin B=1-cos2 B= 51 所以cos〈胥+a)=6 os-i如sina=(3-54-3-45 π π 1 P 3 2 5 2510 故答案为： -3-4V5 10 12.己知c0s0= 5.ae .sin B=- 元，3π 求cos(a-B) 【1得 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角o,B的范围，可求出sinc,sinB的值， 再根据两角和差的余弦公式求解即可 【详解】因为co0sa=-4.a 5.ae/ π 2π sin B=- 3π 2 3 所以sina=V1-cos2a 12 5'cosB=v1-sin2B=_ 13 所以 cos(a-β)=cos a cos B+sin a sinβ =(-4(-2+（-5)=48+-153 13513 65 故答案为： 33 65 4 店已知cos(a+)=5sinB= 12 13 ,且a,B都是锐角，求cos0 【19 【分析】根据两角和的余弦公式求解 因为cosa+B)三-5sinB=七且c,B都是锐角，所以0< 13 所以cosB=V1-sin2B= ,sin(a+B)=-cos2(a+B=3,所以 5 13 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10