第六章 三角计算（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章三角计算的单元测试卷，主要梳理和考查了三角函数图像及三角函数公式计算等常见考点。 第六章 三角计算 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.计算的值为（ ） A. B. C. D. 2.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3.计算的值为（ ） A. B. C. D. 4.已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.正弦型函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 6.函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 7.余弦型函数的图像与的图像相比（ ） A. 横坐标伸长为原来的2倍 B. 横坐标缩短为原来的 C. 纵坐标伸长为原来的2倍 D. 纵坐标缩短为原来的 8.在中，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9.在中，已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10.在中，已知，，，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 1.下列关于二倍角公式的说法正确的有（ ） A. B. C. D. 2.关于正弦型函数，下列说法正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 最大值为3 C. 是奇函数 D. 图像过点 3.下列等式中，利用两角和与差公式成立的有（ ） A. B. C. D. 4.在中，下列关于正弦定理的应用正确的有（ ） A. 已知两角及一边，可求其他边和角 B. 已知两边及其中一边的对角，可求其他边和角 C. 已知三边，可直接用正弦定理求角 D. 已知两边及夹角，可先用电余弦定理求第三边，再用正弦定理求角 5.下列关于三角计算应用的说法正确的有（ ） A. 测量底部可到达的物体高度时，可通过测量仰角和水平距离，用正切函数求解 B. 测量两个不可到达点之间的距离时，可构造三角形，用正弦定理或余弦定理求解 C. 航海中确定航向时，可利用两角和与差公式计算方位角 D. 求三角形的面积时，只能用 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 1.计算_________。 2.已知，则_________。 3.正弦型函数的最小正周期为_________。 4.在中，，，，则的面积为_________。 5.在中，，，，则_________。 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 1.计算下列各式的值： （1） （2） 2.已知，求和的值（为锐角）。 3.在中，已知，，，求： （1）的度数； （2）的面积。 4.某职校建筑专业的学生需要设计一个屋顶结构，其侧面可视为一个等腰三角形 ，其中 ，屋顶高度 垂直于底边 ， 为垂足。已知屋顶跨度 ，屋顶坡度（即 ）为 。 （1）求屋顶斜边 的长度； （2）求屋顶高度 的长度； （3）若要在屋顶上铺设防水材料，每平方米材料费用为 120 元，求铺设该屋顶一个侧面所需的材料费用（结果保留整数）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章三角计算的单元测试卷，主要梳理和考查了三角函数图像及三角函数公式计算等常见考点。 第六章 三角计算 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查两角和的余弦公式，需掌握公式及特殊角的三角函数值。 【详解】根据两角和的余弦公式： 代入特殊角三角函数值：，，， 计算得：，选项A正确。 2.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查两角差的正弦公式，需牢记公式结构。 【详解】两角差的正弦公式为，令，，则： ，与选项C一致，故C正确。 3.计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查两角和的正切公式，需掌握公式及特殊角正切值。 【详解】特殊角正切值：， 代入两角和的正切公式： 分母有理化：，选项D正确。 4.已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查二倍角的正弦公式，需掌握公式。 【详解】根据二倍角正弦公式：，选项B正确。 5.正弦型函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查正弦型函数的周期性质，需掌握正弦型函数的最小正周期公式。 【详解】对于函数，其中，代入周期公式得：，选项B正确。 6.函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查正弦型函数的最值性质，需明确的取值范围是。 【详解】因为的取值范围是，所以的取值范围是，故最大值为，选项B正确。 7.余弦型函数的图像与的图像相比（ ） A. 横坐标伸长为原来的2倍 B. 横坐标缩短为原来的 C. 纵坐标伸长为原来的2倍 D. 纵坐标缩短为原来的 【答案】A 【分析】本题考查余弦型函数的图像变换，需掌握与的图像关系。 【详解】对于余弦型函数，当时，图像横坐标伸长为原来的倍。本题中，故横坐标伸长为原来的倍，选项A正确。 8.在中，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查三角形面积公式，需掌握两边及夹角的面积公式。 【详解】代入三角形面积公式：，选项B正确。 9.在中，已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查正弦定理，需掌握正弦定理公式。 【详解】根据正弦定理：，变形得 代入已知条件：，， 计算得：，选项A正确。 10.在中，已知，，，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查余弦定理，需掌握余弦定理公式。 【详解】代入余弦定理公式：，选项A正确。 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 1.下列关于二倍角公式的说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【分析】本题考查二倍角公式的记忆，需准确掌握正弦、余弦、正切的二倍角公式。 【详解】二倍角公式： - 正弦：，故D错误； - 余弦：，故A、B正确； - 正切：，故C正确。 答案为ABC。 2.关于正弦型函数，下列说法正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 最大值为3 C. 是奇函数 D. 图像过点 【答案】ABD 【分析】本题考查正弦型函数的性质，需结合周期、最值、奇偶性及特殊点判断。 【详解】对于函数： - 周期：，A正确； - 最大值：，B正确； - 奇偶性：代入得，非奇函数，C错误； - 特殊点：当时，，，图像过，D正确。 答案为ABD。 3.下列等式中，利用两角和与差公式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【分析】本题考查两角和与差公式的应用，需结合特殊角拆分及公式结构判断。 【详解】 - A选项：，代入两角和的余弦公式，正确； - B选项：，代入两角差的正弦公式，正确； - C选项：，代入两角和的正切公式，正确； - D选项：，故，D错误。 答案为ABC。 4.在中，下列关于正弦定理的应用正确的有（ ） A. 已知两角及一边，可求其他边和角 B. 已知两边及其中一边的对角，可求其他边和角 C. 已知三边，可直接用正弦定理求角 D. 已知两边及夹角，可先用电余弦定理求第三边，再用正弦定理求角 【答案】ABD 【分析】本题考查正弦定理的应用条件，需结合正弦定理的适用场景判断。 【详解】 - A选项：已知两角及一边，由三角形内角和求第三角，再用正弦定理求其他边，正确； - B选项：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理求另一对角，再求第三角和第三边，正确； - C选项：已知三边，优先用余弦定理求角，而非直接用正弦定理，C错误； - D选项：已知两边及夹角，余弦定理求第三边后，正弦定理求角，正确。 答案为ABD。 5.下列关于三角计算应用的说法正确的有（ ） A. 测量底部可到达的物体高度时，可通过测量仰角和水平距离，用正切函数求解 B. 测量两个不可到达点之间的距离时，可构造三角形，用正弦定理或余弦定理求解 C. 航海中确定航向时，可利用两角和与差公式计算方位角 D. 求三角形的面积时，只能用 【答案】ABC 【分析】本题考查三角计算的实际应用场景，需结合不同问题的求解方法判断。 【详解】 - A选项：底部可到达的物体高度（为水平距离，为仰角），正确； - B选项：构造三角形后，利用正弦定理或余弦定理求不可到达点距离，正确； - C选项：航海中方位角的计算常结合两角和与差公式，正确； - D选项：三角形面积公式还有、及海伦公式等，D错误。 答案为ABC。 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 1.计算_________。 【答案】 【分析】考查两角差的余弦公式应用，需代入特殊角三角函数值计算。 【详解】根据两角差的余弦公式： 代入，： 。 2.已知，则_________。 【答案】 【分析】考查二倍角的正切公式，直接代入公式计算。 【详解】二倍角正切公式： 代入：。 3.正弦型函数的最小正周期为_________。 【答案】 【分析】考查正弦型函数的周期公式，需明确的值。 【详解】正弦型函数的周期，本题中，故。 4.在中，，，，则的面积为_________。 【答案】3 【分析】考查直角三角形的面积公式，结合三角函数或直接用直角三角形面积公式求解。 【详解】，故面积（或直接用直角边×直角边）。 5.在中，，，，则_________。 【答案】 【分析】考查余弦定理的应用，需明确对应的公式。 【详解】余弦定理：，代入得：。 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 1.计算下列各式的值： （1） （2） 【答案】 （1） （2） 【分析】考查两角和与差公式的应用，将非特殊角拆分为特殊角的差或和。 【详解】 （1）将拆分为，利用两角差的余弦公式： 代入特殊角三角函数值：。 （2）将拆分为，利用两角和的正切公式： 分母有理化：。 2.已知，求和的值（为锐角）。 【答案】， 【分析】考查二倍角公式的综合应用，需先由求和，再计算二倍角的值。 【详解】 步骤1：求和的值 因为为锐角，，设，（） 由得：→→ 故，。 步骤2：计算 二倍角正切公式：。 步骤3：计算 二倍角正弦公式：。 3.在中，已知，，，求： （1）的度数； （2）的面积。 【答案】 （1） （2） 【分析】考查余弦定理和三角形面积公式的应用，需先用电余弦定理求角，再求面积。 【详解】 步骤1：求的度数 根据余弦定理： 代入已知条件： 因为，所以。 步骤2：求的面积 利用面积公式， 代入得：。 4.某职校建筑专业的学生需要设计一个屋顶结构，其侧面可视为一个等腰三角形 ，其中 ，屋顶高度 垂直于底边 ， 为垂足。已知屋顶跨度 ，屋顶坡度（即 ）为 。 （1）求屋顶斜边 的长度； （2）求屋顶高度 的长度； （3）若要在屋顶上铺设防水材料，每平方米材料费用为 120 元，求铺设该屋顶一个侧面所需的材料费用（结果保留整数）。 【答案】 （2） （3）1108 元 【详解】（1）求 的长度 由于 是直角三角形，，， 根据余弦公式： （约 ）。 （2）求 的高度 在 中，使用正弦公式： （约 ）。 （3）求铺设费用 屋顶侧面 的面积： 材料费用： 计算数值： 铺设一个侧面所需的材料费用约为 1108 元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $