第5卷：分段函数与函数应用（教师讲解卷）江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》 第5卷：分段函数与函数应用 （教师讲解卷） 【概念回顾】 模块 具体内容 一、分段函数（核心） 定义：定义域不同区间有不同解析式，本质是一个函数（非多个）。 核心要素（必记）：1. 定义域：各分段区间并集，端点不重复、不遗漏； 2. 解析式：区间与解析式一一对应； 3. 值域：各分段值域的并集。 高频题型：1. 求函数值：判区间→代解析式→算结果； 2. 求定义域/值域：定义域合并区间，值域分段求再合并； 3. 画图象：按区间画，注意端点实心/空心。 易错点：1. 误将分段函数当作多个函数； 2. 代错区间解析式，混淆端点虚实。 二、函数应用（重点） 核心思路：实际问题→数学函数（一次/二次/分段）→用函数性质求解。 高频题型（必掌握）：1. 一次函数：行程、计费、产量成本（y=kx+b）；2. 二次函数：利润、最值、面积（y=ax²+bx+c），求最值看定义域； 3. 分段函数：阶梯计费、分段计价，按标准列解析式求解。 解题关键+易错点：关键：找准自变量/因变量，系数贴合实际，优先考虑定义域；易错：忽略自变量实际范围，二次函数最值未结合定义域。 三、复习总结（必背） 1. 分段函数：找准区间、对应解析式，定义域/值域合并； 2. 函数应用：转化为函数，牢记定义域符合实际意义。 【真题精讲】 考点01 函数的概念 1.（2025·江西·真题T14）已知函数，则（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由分段函数的解析式及对数的运算代入求值即可. 【详解】因为函数， 所以，. 故选：C. 考点02 函数的综合应用 2.（2025·江西·真题T17）有一块手表每小时比准确时间慢3分钟，在早晨与准确时间对准，若当天上午手表指示的时间为，则准确时间应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合手表与准确时间的速度关系，结合手表走过的时间，即可列式求解. 【详解】由题意，手表从早晨到当天上午，手表走过的时间为3小时10分钟，即190分钟， 因为手表每小时比准确时间慢3分钟，即手表走57分钟，准确时间走60分钟， 设准确时间走了x分钟，则， 解得， 即准确时间走了200分钟，即3小时20分钟， 故准确时间应该是. 故选：C. 考点03 函数的图象与性质 3.（2021·江西·真题T16）函数的减区间为（ ）. A.(- ∞,1] B.[1,2] C.(-∞,2] D.[2,+∞) 【答案】B 【解析】本题考查分段函数的单调性. 当x<1时，f(x)=x+1，f(x)在(-∞,1)上单调递增； 当x≥1时，f(x)=x2-4x+5，对称轴为x=2，且开口向上，所以f(x)在[1,2]单调递减， 在[2,+∞)单调递增； 综上所述，函数f(x)的减区间为[1,2].故选B. 【举一反三】 4.（2023·江西·真题T16）函数的值域为（ ）. A.(0,+∞) B．[1,+∞) C．[0,+∞) D．(1,+∞) 【答案】A 【解析】分段函数值域为各段值域的并集. 当x<0时，f(x)=-，值域为(0,+∞)；当x≥0时，f(x)=2x，值域为[1,+∞)， 综上，函数f(x)的值域为(0,+∞).故选A. 5.（2022·江西·真题T17）若函数，则函数的值域为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分段函数值域为各段值域的并集. 当x≤0时，f(x)=ex，值域为(0,1]；当0<x<1时，f(x)=，值域为(,1)， 综上，函数f(x)的值域为(0,1].故选B. 6．某人驾驶汽车出行，在途中休息一段时间后继续驾驶直达目的地，假设途中汽车匀速行驶，则汽车行驶的路程y关于时间x的函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程与时间的关系分析即可求解. 【详解】某人驾驶汽车出行，随着时间增加路程也增加，所以图像上升， 在途中休息时，随着时间增加，路程不变，故图像为一条直线； 继续行驶以后随着时间增长路程也持续增加，故图像上升. 故选：A. 【拓展提升】 1、 是非选择题 7．函数 的图像与x 轴有两个交点………（A B） 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，令，求出x的值即可判断. 【详解】由题意，令， 则，或，， 解得， 所以函数的图像与x 轴有一个交点. 故答案为：B. 8．（25-26高三·江西·模拟预测）已知函数，则的值为3………（A B） 【答案】A 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：A. 二、单选题 9．已知函数下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将自变量的值代入到分段函数对应的解析式中，即可求解. 【详解】因为函数， 可得，，. 故选：C 10．设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】运用分段函数知识，分别计算和的值即可求得结果. 【详解】根据题意，函数， 则， ， 则. 故选：B 11．已知函数则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意代入对应的解析式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 12．已知函数，若，则（         ） A．23 B．9 C．3 D．1 【答案】B 【分析】由分段函数解析式列出方程即可得解. 【详解】函数， 所以,, ， 解得， 故选：. 13．已知分段函数，（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先将代入合适的解析式中求出的值，再将的值代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知分段函数， 则， ， 故选：D. 14．设，若仅有二个解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数图像，根据值观察交点个数即可解得. 【详解】由题意，作出图像如下： 由图，当时，函数图像由上下平移得到， 当时，函数图像由轴左侧的部分右移一个单位得到， 当时，与恰有两个交点，若向上平移则会出现第三个交点， 向下平移直至又变为一个交点， 故仅有两个解的取值范围是， 故选：C 15．已知函数，若函数的值域是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数在单调性，然后分别计算在处的值，进一步计算出函数的最小值，依据题意比较大小计算可得结果. 【详解】由题可知：函数在递增，在递减，且 当时，有；当时，有；当时，有 函数在递减，在递增， 所以函数的最小值为， 由函数，若函数的值域是 所以 故选：A 三、填空题 16．已知函数，则 _______. 【答案】 【分析】根据分段函数和复合函数的概念求函数值即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 17．已知函数，若，则__________. 【答案】-3 【分析】分和两种情况讨论，根据函数值的结果求出即可. 【详解】当时， 则有解得，其中与矛盾， 所以. 当时， 则有解得与矛盾， 所以舍去. 故答案为：. 18．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）从A地到B地有300km的公路相连，其中有坡路（上坡，下坡）100km，其余为平路.假设一辆小汽车在上坡、平路、下坡的公路上每行驶100km平均消耗燃油分别为10L、8L、5L，那么驾驶这辆小汽车从A地到B地，再返回A地，共须消耗燃油______L． 【答案】47 【分析】根据题意，往返中走了平路400，上坡路100，下坡路100，据此可求解. 【详解】由题意可知， 从A地到B地，再返回A地，共走了平路400，上坡路100，下坡路100， 所以共消耗燃油：（L）. 故答案为：47. 19．已知函数，则_______． 【答案】3 【分析】由分段函数的解析式和定义域，代入求解即可. 【详解】因为函数， 又，所以. 故答案为：3. 四、解答题 20．已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）解一元一次不等式和一元二次不等式易得答案； （2）求二次函数和幂函数的最值易得答案. 【详解】（1）时，不等式化为： 或 解得或 所以不等式解为； （2）当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 21．如图所示，某学校要建矩形运动场地，场地相邻两边借用两面墙，另两条边长的和为，设矩形的长为．    (1)求矩形运动场地面积关于的函数解析式，并指出函数定义域； (2)当为何值时，场地面积最大?最大面积是多少? 【答案】(1) (2)8；64 【分析】（1）根据题意，由面积公式得到函数解析式 （2）由二次函数的值域的求法求解即可. 【详解】（1）因为矩形的长为.则宽为. 所以解得. 所以. （2）因为. 所以当时，场地面积最大，最大面积为. 22．已知函数． (1)求的值； (2)求函数的定义域和值域． 【答案】(1) (2)定义域：；值域： 【分析】（1）将代入对应的解析式求出结果，再将其结果代入对应的解析式求解即可； （2）根据分段函数定义域和值域的求法求解即可. 【详解】（1）函数， 当时，， 当时，， 所以. （2）由分段函数的解析式可知， 其定义域为全体实数，即； 当时，因为，，所以此时， 当时，因为，，所以此时， 因此分段函数的值域为. 23．某职校毕业生小李一次性支出万元购厂创业，同年另需投入经费万元，以后每年比上一年多投入万元，假设每年的销售收入都是万元，现用表示前年的总利润.（前年的总收入-前年的总支出-购厂支出）. (1)问小李最短需要多长时间才能收回成本； (2)若干年后，为了转型升级，小李进行二次创业.现有如下两种处理方案：方案一，年平均利润最大时，以万元出售该厂；方案二，纯利润总和最大时，以万元出售该厂，请问哪个方案更好. 【答案】(1)小李最短需要2年时间才能收回成本； (2)方案一更好 【分析】（1）由前年的总收入-前年的总支出-购厂支出即可得结果； （2）由（1）可得两种方案的相关函数式，经二次函数的最值可得结果. 【详解】（1）由题意得： ， 收回成本即可获得纯利润要求， 所以，小李最短需要年时间才能收回成本； （2）方案一：年平均利润， 当且仅当即时，年平均利润最大为万元， 总利润为万元； 方案二：， 当时，纯利润总和最大万元，此时总利润为万元； 因为，且方案一需用时间年，二方案二需用时间年， 故综合考虑方案一更好. 24．如图，校区内有一个矩形场地，矩形长10米，宽8米，中间做一个矩形草坪，四周小正方形的长与宽均为，设中间草坪面积为平方米 .    (1)求中间草坪面积与的函数关系式； (2)中间草坪面积大于矩形面积时，求的取值范围. 【答案】(1). (2), 【分析】（1）根据题意，可求出函数得定义域，结合矩形的面积公式，即可求得函数解析式. （2）根据题意，结合二次不等式的解法，即可列式求解. 【详解】（1）由题意，，即， 中间草坪面积， 所以函数关系式为. （2）因为中间草坪面积大于矩形面积， 即， 所以， 分解因式得， 解得或， 又， 所以， 即的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》 第5卷：分段函数与函数应用 （教师讲解卷） 【概念回顾】 模块 具体内容 一、分段函数（核心） 定义：定义域不同区间有不同解析式，本质是一个函数（非多个）。 核心要素（必记）：1. 定义域：各分段区间并集，端点不重复、不遗漏； 2. 解析式：区间与解析式一一对应； 3. 值域：各分段值域的并集。 高频题型：1. 求函数值：判区间→代解析式→算结果； 2. 求定义域/值域：定义域合并区间，值域分段求再合并； 3. 画图象：按区间画，注意端点实心/空心。 易错点：1. 误将分段函数当作多个函数； 2. 代错区间解析式，混淆端点虚实。 二、函数应用（重点） 核心思路：实际问题→数学函数（一次/二次/分段）→用函数性质求解。 高频题型（必掌握）：1. 一次函数：行程、计费、产量成本（y=kx+b）；2. 二次函数：利润、最值、面积（y=ax²+bx+c），求最值看定义域； 3. 分段函数：阶梯计费、分段计价，按标准列解析式求解。 解题关键+易错点：关键：找准自变量/因变量，系数贴合实际，优先考虑定义域；易错：忽略自变量实际范围，二次函数最值未结合定义域。 三、复习总结（必背） 1. 分段函数：找准区间、对应解析式，定义域/值域合并； 2. 函数应用：转化为函数，牢记定义域符合实际意义。 【真题精讲】 考点01 函数的概念 1.（2025·江西·真题T14）已知函数，则（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 考点02 函数的综合应用 2.（2025·江西·真题T17）有一块手表每小时比准确时间慢3分钟，在早晨与准确时间对准，若当天上午手表指示的时间为，则准确时间应该是（　　） A． B． C． D． 考点03 函数的图象与性质 3.（2021·江西·真题T16）函数的减区间为（ ）. A.(- ∞,1] B.[1,2] C.(-∞,2] D.[2,+∞) 【举一反三】 4.（2023·江西·真题T16）函数的值域为（ ）. A.(0,+∞) B．[1,+∞) C．[0,+∞) D．(1,+∞) 5.（2022·江西·真题T17）若函数，则函数的值域为（ ）. A． B． C． D． 6．某人驾驶汽车出行，在途中休息一段时间后继续驾驶直达目的地，假设途中汽车匀速行驶，则汽车行驶的路程y关于时间x的函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【拓展提升】 1、 是非选择题 7．函数 的图像与x 轴有两个交点………（A B） 8．（25-26高三·江西·模拟预测）已知函数，则的值为3………（A B） 二、单选题 9．已知函数下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知函数则（    ） A． B．1 C． D．3 12．已知函数，若，则（         ） A．23 B．9 C．3 D．1 13．已知分段函数，（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．设，若仅有二个解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，若函数的值域是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．已知函数，则 _______. 17．已知函数，若，则__________. 18．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）从A地到B地有300km的公路相连，其中有坡路（上坡，下坡）100km，其余为平路.假设一辆小汽车在上坡、平路、下坡的公路上每行驶100km平均消耗燃油分别为10L、8L、5L，那么驾驶这辆小汽车从A地到B地，再返回A地，共须消耗燃油______L． 19．已知函数，则_______． 四、解答题 20．已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 21．如图所示，某学校要建矩形运动场地，场地相邻两边借用两面墙，另两条边长的和为，设矩形的长为．    (1)求矩形运动场地面积关于的函数解析式，并指出函数定义域； (2)当为何值时，场地面积最大?最大面积是多少? 22．已知函数． (1)求的值； (2)求函数的定义域和值域． 23．某职校毕业生小李一次性支出万元购厂创业，同年另需投入经费万元，以后每年比上一年多投入万元，假设每年的销售收入都是万元，现用表示前年的总利润.（前年的总收入-前年的总支出-购厂支出）. (1)问小李最短需要多长时间才能收回成本； (2)若干年后，为了转型升级，小李进行二次创业.现有如下两种处理方案：方案一，年平均利润最大时，以万元出售该厂；方案二，纯利润总和最大时，以万元出售该厂，请问哪个方案更好. 24．如图，校区内有一个矩形场地，矩形长10米，宽8米，中间做一个矩形草坪，四周小正方形的长与宽均为，设中间草坪面积为平方米 .    (1)求中间草坪面积与的函数关系式； (2)中间草坪面积大于矩形面积时，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $