第6卷：指数函数与对数函数（教师讲解卷）江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》 第6卷：指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 核心性质（高频考点） （一）指数函数y=aˣ（a>0且a≠1） · 定点：必过(0,1)（x=0时，y=1）。 · 单调性：a>1时，在R上单调递增；0<a<1时，在R上单调递减。 · 核心运算：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ；(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ（中职必背）。 （二）对数函数y=logₐx（a&gt;0且a≠1） · 定点：必过(1,0)（x=1时，y=0）。 · 单调性：a>1时，在(0,+∞)上单调递增；0<a<1时，在(0,+∞)上单调递减。 · 核心运算：logₐ(M·N)=logₐM+logₐN；logₐ(M/N)=logₐM−logₐN；logₐMⁿ=nlogₐM（中职必背）。 【真题精讲】 考点01 指数函数与对数函数的概念 1.（2025·江西·真题T20）函数的定义域为 ． 考点02 指数函数与对数函数的综合应用 2.（2025·江西·真题T26）已知函数（，）的图像过点. (1)求的值； (2)当时，求函数的值域. 3.（2024·江西·真题T26）已知函数. （1）求； （2）解不等式. 考点03 指数函数与对数函数的运算法则 4.（2023·江西·真题T01）……………………………………………………（A B） 【举一反三】 5（2023·江西·真题T27）已知函数(a>0且a≠1)，且. （1）求a的值； （2）若，求x的取值范围. 6.（2023·江西·真题T17）已知函数，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7.（2022·江西·真题T02）已知，，则……………………………………（A B） 8.（2022·江西·真题T16）函数（且）与在同一个坐标系的图像可能是（ ） A． B． C． D． 9.（2022·江西·真题T27）已知函数的图像经过点，. （1）求的解析式；（2）当时，求的取值范围. 3.（2021·江西·真题T09）……………………………………………………………………（A B） 10.（2021·江西·真题T04）函数的图像经过坐标原点…………………………………（A B） 11.（2021·江西·真题T27）已知函数. （Ⅰ）判断的奇偶性，并证明. （Ⅱ）解不等式. 【拓展提升】 1、 是非选择题 12．（25-26高三·江西·模拟预测）…………………（A B） 13．（24-25高三下·江西·二模）若，则…………………（A B） 14．（25-26高三·江西·模拟预测）若函数且恒过定点，则实数…………………（A B） 15．（25-26高三·江西·模拟预测）若不等式成立，则a的取值范围.……（A B） 二、单选题 16．函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   17．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 18．函数，且在同一坐标系上最符合的图像为（    ） A．   B．   C．   D．   19．已知函数，且，若，则（    ） A． B．6 C．8 D． 20．若函数（且）是增函数，则函数 的图像是（     ） A．   B．   C．   D．   21．若关于的二次函数在上是增函数，在上是减函数，则（   ） A．32 B．16 C． D． 三、填空题 22．___________． 23．函数的定义域为______． 24．已知函数，若函数在区间上的值域为，则的取值范围是_________. 25．已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的x都有，当时，，则的值是_______． 四、解答题 26．解不等式 27．已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 28．已知函数. (1)判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. (2)若函数的定义域为，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》专辑，立足江西省三校生对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江西省（三校生对口升学考试）《数学真题同源卷》 第6卷：指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 核心性质（高频考点） （一）指数函数y=aˣ（a>0且a≠1） · 定点：必过(0,1)（x=0时，y=1）。 · 单调性：a>1时，在R上单调递增；0<a<1时，在R上单调递减。 · 核心运算：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ；(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ（中职必背）。 （二）对数函数y=logₐx（a&gt;0且a≠1） · 定点：必过(1,0)（x=1时，y=0）。 · 单调性：a>1时，在(0,+∞)上单调递增；0<a<1时，在(0,+∞)上单调递减。 · 核心运算：logₐ(M·N)=logₐM+logₐN；logₐ(M/N)=logₐM−logₐN；logₐMⁿ=nlogₐM（中职必背）。 【真题精讲】 考点01 指数函数与对数函数的概念 1.（2025·江西·真题T20）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质计算. 【详解】∵函数， ∴根据对数函数的性质，得到. 解一元二次不等式，化简得到，即不等式的解为. 故函数的定义域为. 故答案为：. 考点02 指数函数与对数函数的综合应用 2.（2025·江西·真题T26）已知函数（，）的图像过点. (1)求的值； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数求值即可； （2）根据二次函数和指数函数的单调性求出复合函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像过点， 将其代入得，解得或（舍）. （2）令，则， 对于二次函数，对称轴为，开口向上， 当时，t取最小值：. 当时，， 当时，，所以. 因为函数是增函数， 所以当时，； 当时，， 因此时，函数的值域为. 3.（2024·江西·真题T26）已知函数. （1）求； （2）解不等式. 【答案】(1)19；(2)(log32，+∞). 【解析】(1)f(8)=2×8+log28=16+3=19； (2)因为f(x)=2x+log2x为(0，+∞)上的增函数，由f(3x+2)<f(9x)得3x+2<9x，令3x=t(t>0)， 有t+2<t2，解得t>2或<-1(舍去)，即3x>2，x>log32，故不等式f(3x+2)<f(9x)的解集为(log32，+∞). 考点03 指数函数与对数函数的运算法则 4.（2023·江西·真题T01）……………………………………………………（A B） 【答案】B 【解析】log38-log36=log3=log3 .故选B. 【举一反三】 5（2023·江西·真题T27）已知函数(a>0且a≠1)，且. （1）求a的值； （2）若，求x的取值范围. 【答案】（1）a=2；（2）(-2,1). 【解析】（1）由f(2)=8，得a2+2a=8，解得a=2或a=-4（舍去），∴a=2； （2）由（1）知f(x)=2x+2x，易知f(x)为定义在R上的增函数，所以当f(x2)<f(2-x)时， x2<2-x，解得-2<x<1，所以f(x2)<f(2-x)的解集为(-2,1). 6.（2023·江西·真题T17）已知函数，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当a>1时，函数f(x)=ax-a在R上单调递增，且过定点(0,1-a)，此时1-a<0，图象与y轴交点在y轴下方，B选项符合；当0<a<1时，函数f(x)=ax-a在R上单调递减，且过定点(0,1-a)，此时0<1-a<1，图象与y轴交点在y轴上方且在0到1之间，无选项符合.故选B. 7.（2022·江西·真题T02）已知，，则……………………………………（A B） 【答案】A 【解析】∵a=20.1>20=1，∴a>1，又∵b=log20.1<log21=0，∴b<0，所以a>b.故选A. 8.（2022·江西·真题T16）函数（且）与在同一个坐标系的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在函数y=logax(a>0且a≠1)与y=ax中，当a>1时，函数y=logax过定点(1,0)在(0,+∞)上单调递增， 函数过y=ax原点(0,0)在R上单调递增，倾斜角大于45°，D选项不符，C选项符合. 当0<a<1时，函数y=logax过定点(1,0)在(0,+∞)上单调递减，函数过y=ax原点(0,0)在R上单调递减， 倾斜角小于45°，A、B选项均不符.故选C. 9.（2022·江西·真题T27）已知函数的图像经过点，. （1）求的解析式；（2）当时，求的取值范围. 【答案】（1）f(x)=log2x+1；（2）(1,3). 【解析】（1）依题意有，解得，所以f(x)=log2x+1； （2）由f(m-1)<f(2)，得log2(m-1)+1<log22+1，即log2(m-1)<log22，所以0<m-1<2，得1<m<3， 所以m的取值范围是(1,3). 3.（2021·江西·真题T09）……………………………………………………………………（A B） 【答案】B 【解析】===.故选B. 10.（2021·江西·真题T04）函数的图像经过坐标原点…………………………………（A B） 【答案】A 【解析】因为f(0)=log2(0+1)=log21=0.故选A. 11.（2021·江西·真题T27）已知函数. （Ⅰ）判断的奇偶性，并证明. （Ⅱ）解不等式. 【答案】（1）见解析；（2）(log3,log32). 【解析】（1）函数f(x)=3x+3-x是偶函数. 证明：因为函数f(x)=3x+3-x定义域为R，定义域关于原点对称， 且f(-x)=3-x+3x=f(x)，所以函数f(x)为偶函数； （2）设3x=t，则3-x=，由f(x)<，得t+<，整理得2t2-5t+2<0，(2t-1)(t-2)<0，解得<t<2， 即<3x<2，所以log3<x<log32，故不等式的解集为(log3,log32). 【拓展提升】 1、 是非选择题 12．（25-26高三·江西·模拟预测）…………………（A B） 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：A. 13．（24-25高三下·江西·二模）若，则…………………（A B） 【答案】A 【分析】根据分段函数的表达式求解即可. 【详解】因为. 因为，所以，即. 故答案为：A. 14．（25-26高三·江西·模拟预测）若函数且恒过定点，则实数…………………（A B） 【答案】A 【分析】将定点代入函数，再根据对数运算求解即可. 【详解】因为函数且恒过定点， 所以，即， 因此，解得. 故答案为：A. 15．（25-26高三·江西·模拟预测）若不等式成立，则a的取值范围.………（A B） 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性求解. 【详解】依题意，在上递减， 所以，解得， 故答案为：B. 二、单选题 16．函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合分段函数解析式，逐段分析即可判断. 【详解】当时，单调递增，故排除A、B选项； 当时，单调递减，故排除D选项； 所以C选项正确. 故选：C. 17．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合根式、对数式有意义需满足的条件，即可列式求解. 【详解】因为函数， 所以，解得， 即函数的定义域为. 故选：C. 18．函数，且在同一坐标系上最符合的图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分类讨论和两种情况，结合二次函数与y轴交点纵坐标为2即可判断． 【详解】当时，过定点且单调递减， 二次函数，其与y轴交点纵坐标为2， 其对称轴，， ∴二次函数图象与x轴没有交点， 此时，两个函数的图象大致为：   ； 据此可排除AB； 当时，过定点且单调递增， 二次函数，其与y轴交点纵坐标为2， 其对称轴，正负无法确定， 综上，两个函数的图象大致为：   ， 据此可排除D， 故选：C． 19．已知函数，且，若，则（    ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据题目条件列出等式，再进行计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 因为，所以，解得. 因为，所以，进而. 故选：C. 20．若函数（且）是增函数，则函数 的图像是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据对数函数的性质得到的范围，再结合一次函数的方程、定点及图像求解即可. 【详解】因为函数（且）是增函数， 所以；又因为函数过点， 所以排除选项C,D； 因为，所以函数图像过上方， 因此只有选项A图像符合题意， 故选：A. 21．若关于的二次函数在上是增函数，在上是减函数，则（   ） A．32 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的对称轴公式及二次函数的性质求参数，然后利用指数运算可求. 【详解】二次函数在上是增函数，在上是减函数， 可知二次函数对称轴为， 则有，即，解得； 则； 故选：B. 三、填空题 22．___________． 【答案】2 【分析】根据同底数对数的减法运算法则即可计算：． 【详解】， 故答案为：2． 23．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质计算. 【详解】∵函数， ∴根据对数函数的性质，得到. 解一元二次不等式，化简得到，即不等式的解为. 故函数的定义域为. 故答案为：. 24．已知函数，若函数在区间上的值域为，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】先利用二次函数与指数函数的性质，作出的大致图象，再分别求得与时对应的值，从而结合图象得到的范围，进而得解. 【详解】当时，， 当时，， 利用二次函数与指数函数的性质，作出的大致图象，如图， 令，得或，解得， 令，得或，解得或， 因为在区间上的值域为， 结合图象可得或， 所以当时，；当时，； 综上，，即的取值范围为. 故答案为：. 25．已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的x都有，当时，，则的值是_______． 【答案】0 【分析】根据题意作出函数图像判断函数的周期即可求解. 【详解】因为函数对定义域内任意的x都有， 所以函数图像的对称轴是； 因为当时，， 则的图像如图所示， 所以当时，的图像如图所示； 因为是偶函数， 所以在上的图像，如图所示； 再根据函数图像关于对称，作出函数图像， 再根据函数是偶函数，作出函数图像， …… 可以发现函数的周期是4， 于是． 故答案为：0.    四、解答题 26．解不等式 【答案】 【分析】根据指数函数的性质与二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为， 所以， 由指数函数的单调性可得: , , , ， 所以不等式的解集. 故答案为：. 27．已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点，代入函数解析式，列方程组即可求解； （2）利用对数函数的单调性可求解. 【详解】（1）因为函数的图象过原点，且， 所以，即， 解得. （2）由（1）可知，， 由不等式，可得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 28．已知函数. (1)判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. (2)若函数的定义域为，求的取值范围. 【答案】(1)存在使函数为偶函数，此时函数的值域是 (2) 【分析】（）根据偶函数的定义得出即可得出函数解析式，根据复合型对数函数的性质即可得解. （）根据对数函数的定义域为，可得恒成立，利用判别式即可得解. 【详解】（1）若函数为偶函数，则恒成立， 即，根据对数函数性质可得， 化简得对任意恒成立，所以， 此时，因为，所以， 所以函数的定义域为，且为增函数， 所以，所以函数的值域是. （2）因为函数的定义域为， 所以恒成立， 则二次函数的图像恒在轴上方，即， 展开得，即，因式分解得， 解得， 所以的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $