第八章 成对数据的统计分析章末综合检测-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第8章 成对数据的统计分析章末综合检测卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（    ） A．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B．图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C．图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D．图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断两个变量是否有相关关系、判断正、负相关、根据散点图判断是否线性相关 【分析】根据散点图中点集的分布变化趋势判断正负相关性、是否为线性关系，但从点的分布密度无法判断（2）（3）的相关性强弱，即可得答案. 【详解】由题图，（1）中点没有明显的变化趋势， （2）中点有从左下向右上的线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为线性关系， （3）中点有从左上向右下的线性变化趋势，y和x之间呈现负相关且为线性关系， （4）中点有从左下向右上的非线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为非线性关系， 但（2）（3）相关性强弱不能从图中点的分布密度直接分析得出，故（2）的相关性不一定比（3）强， 综上，A、B、D对，C错. 故选：C 2. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量X与Y独立 B．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C．变量X与Y不独立 D．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】独立性检验的概念及辨析、独立性检验的基本思想 【分析】利用独立性检验规则来进行判断即可。 【详解】因为，所以没有充分的证据推断变量X与Y不相互独立，即认为变量X与Y独立，故BCD错误，A正确； 故选：A. 3. 已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（    ） A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z正相关 D．x与y正相关，x与z负相关 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断正、负相关 【分析】根据已知条件，结合回归方程可判断x与y正相关，再由变量y与z负相关，即可判断x与z负相关. 【详解】根据回归方程可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关， 由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关. 故选：D 4. 下列命题正确的是（    ） A．线性回归直线必过样本数据的中心点； B．当相关系数时，两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断正、负相关、线性回归、决定系数的计算及分析 【分析】利用回归直线的性质,相关系数和决定系数的规定及残差分析的分析方式，逐项判断即可. 【详解】选项A:回归直线的定义规定回归直线必过样本数据的中心点，所以选项A正确； 选项B：当相关系数时，说明两个变量正相关，所以选项B错误； 选项C:模型的决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好,, 所以模型甲的拟合效果更好，所以选项C错误； 选项D:残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，说明观测值与预报值之间的差距越大，数据分布越分散， 因此回归方程的预报精确度就越差，所以选项D错误． 故选：A. 5. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差. 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为， 时，得到预估值为3.15， 所以样本点在处的残差为. 故选：B. 6. 某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 100 合计 200 若根据列表得，则这200名教师中，去年未体检的人数为（   ）（附：，） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】独立性检验解决实际问题 【分析】据独立性检验的原理与知识，列式计算即可得结论． 【详解】由于（*）， 又， 则可得，代入（*）式可得： ，解得或（舍）. 故选：D. 7. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率（单位: 次/分钟）的对应数据. 根据生物学常识和散点图得出与近似满足 （ 为参数），令 ，计算得到. 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，则的值为（    ） A． B．0.4 C． D．0.2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据样本中心点求参数、求回归直线方程 【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出. 【详解】因为，两边取对数可得， 又， 依题意回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得，所以. 故选：A. 8. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：， 则下列选项不正确的是（    ） A． B．由散点图知变量和正相关 C．相关系数的绝对值越接近0，表示的线性相关程度越弱 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算样本的中心点、相关系数的意义及辨析、求回归直线方程、判断正、负相关 【分析】对于A，根据条件，直接求出，即可求解；对于B，根据条件，画出散点图，即可求解；对于C，根据相关系数的定义判断即可；对于D，利用线性回归直线方程过样本中心，代入计算，即可求解. 【详解】对于选项A，由题知， ，故选项A正确； 对于选项B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，所以选项B正确； 对于选项C，相关系数的绝对值越接近0，表示的线性相关程度越弱，故选项C正确； 对于选项D，因为样本中心点为，又， 所以不是关于的线性回归直线方程，故选项D不正确. 故选：D 二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分。 9. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（    ） A．以频率估计概率，有 B．以频率估计概率，有 C．若取，可以认为疗效与疗法独立 D．若取，可以认为疗效与疗法独立 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、完善列联表 【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD. 【详解】由题设求出表格 疗法 疗效 总数 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 总数 21 115 136 以频率估计概率，有，故A正确； 以频率估计概率，有，故B正确； 零假设：认为疗效与疗法独立，由题且， 所以若取小概率值，则零假设不成立，即不可以认为疗效与疗法独立； 若取小概率值，则没有充分的证据推翻零假设，故可以认为疗效与疗法独立，故C错误，D正确. 故选：ABD 10. 下列命题成立的是（    ） A．已知，若，则 B．若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D．对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】非线性回归、指定区间的概率、相关系数的意义及辨析、独立性检验的基本思想 【分析】A.根据，由判断；B.由题意知这组数据完全线性相关，再根据直线斜率的正负判断；C.由两边取自然对数求解判断；D.根据值越大，“与有关系”的可能性越大判断. 【详解】A.已知，且，则，故正确； B.若一组样本数据对应的样本点都在直线上，说明这组数据完全线性相关，又因为直线斜率是负相关，所以这组样本数据的相关系数为-1，故正确； C.由两边取自然对数得，求得线性回归方程为，所以，，则，故错误； D.对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，“与有关系”的可能性越大，所以判断“与有关系”的把握性越大，故错误； 故选：AB 11. 已知，其中．下列说法正确的是（    ） A．已知一组数据：，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的第75百分位数，则的展开式中的系数为 B．数据(1，2，3，…，10)组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量，则函数为偶函数 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】计算样本的中心点、求指定项的系数、指定区间的概率、卡方的计算 【分析】先求出值，再写出的展开式中通项，求出的系数，即可判断A；根据回归直线方程必过样本的中心点，求出，再求出去除异常点后的及，即可判断B；由随机变量，分析出其图象关于对称，找到关于的对称区间，根据正态曲线的对称性得到，即可判断C；根据的计算公式计算即可判断D. 【详解】对于A，将原数据按照从小到大的顺序排序为， 因为上四分位数就是第75百分位数，因为，所以， 因为的二项展开式的通项为， 令，解得，所以的展开式中的系数为， 故A正确； 对于B，因为回归直线方程为过样本的中心点， 所以， 所以去除一个异常点后，，， 所以新的回归直线必过点，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以其图象关于对称， 所以关于对称轴的对称点为，即， 关于对称轴的对称点为，即， 根据正态曲线的对称性可知 因为，所以， 所以，所以函数为偶函数，故C正确； 对于D，在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则 ， 所以变为原来的3倍，故D错误. 故选：ABC 三、填空题: 本大题共3小题,每小题5分,共计15分. 12. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号). 【答案】④ 【难度】0.85 【知识点】非线性回归 【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律． 【详解】根据表中数据，画出图象如下：    通过图象可看出，能比较近似的反映这些数据的规律． 故答案为：④． 13. 某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示），________． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相关系数的计算、求回归直线方程 【分析】首先计算和 ，再比较参考公式，即可求解. 【详解】， ， 由条件可知， 得， 所以， 故答案为：. 14. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】独立性检验解决实际问题、卡方的计算 【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令， 设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则，由，解得， 由题知应为6的整数倍， 而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 四、解答题: 本题共5小题, 共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示. 年份 年份代码 (1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱） . (2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）； (3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求? 附：相关数据：，，，. 相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，. 【答案】(1)图见解析，，线性相关很强 (2) (3)符合研发要求 【难度】0.65 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、用回归直线方程对总体进行估计、相关系数的意义及辨析 【分析】（1）根据表格数据可绘制折线图，结合公式可求得相关系数r，对比已知线性相关强度判断依据即可得到结论； （2）采用最小二乘法即可求得回归直线； （3）将代入回归直线可求得，进而计算得到预算为500万元时的研发费用的预估值，由此可得结论. 【详解】（1）折线图如下： 由题意得：， ， ， ， ，与线性相关很强. （2）由题意得：， ， 关于的回归直线方程为. （3）年对应的年份代码，则当时，， 预测年用在“芯片”上的研发费用约为（万元）， ，符合研发要求. 16. （15分）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100      62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， (2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关 【难度】0.65 【知识点】非线性回归、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 17. （15分）随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 (1)小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； (2)利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，|r|越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：． 参考数据：,(其中)． 【答案】(1) (2)模型更有价值 【难度】0.65 【知识点】决定系数的计算及分析、相关系数的计算、求回归直线方程 【分析】（1）将两边取对数，只需结合所给公式求出的值即可得解； （2）只需计算出两个相关系数，然后它们和0.75这三个数之间比较大小即可作出结论. 【详解】（1）将两边取对数，得，令， 由题意得， 所以， 所以， 所以，即， 所以． （2）因为回归直线方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以该经验回归方程有价值． 因为， 所以， 所以与线性相关性强，其经验回归方程有价值， 又， 所以模型更有价值. 18. （17分）近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲､乙两名同学一起收集了6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型①；模型②.对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表： 种植面积亩 2 3 4 5 7 9 每亩种植管理成本/百元 25 24 21 22 16 14 模型① 估计值 25.27 23.62 21.97 17.02 13.72 残差 0.38 0.28 模型② 估计值 26.84 20.17 18.83 17.31 16.46 残差 0.83 3.17 注：表中. (1)将以上表格补充完整，判断哪个模型拟合效果更好，并简要说明理由； (2)视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求其经验回归方程. 参考公式：. 【答案】(1)表格见解析，模型①拟合效果更好. (2) 【难度】0.65 【知识点】决定系数的计算及分析、残差的计算、求回归直线方程 【分析】（1）根据回归模型①②分别代入求出相应每亩种植管理成本的估计值，再由实际值与估计值的差求出相应残差，然后分别计算残差平方和，比较大小判断拟合效果即可； （2）根据残差的绝对值剔除异常数据，由参考公式求解可得经验回归方程. 【详解】（1）当时， 当时，， 完成表格如下： 注：表中. 种植面积亩 2 3 4 5 7 9 每亩种植管理成本/百元 25 24 21 22 16 14 模型① 估计值 25.27 23.62 21.97 20.32 17.02 13.72 残差 0.38 1.68 0.28 模型② 估计值 26.84 22.39 20.17 18.83 17.31 16.46 残差 1.61 0.83 3.17 模型①的残差平方和为5.0994， 模型②的残差平方和为24.4832， 因为， 即模型①的残差平方和比模型②的残差平方和小，所以模型①拟合效果更好. （2）由题意及（1）可知，模型①中仅第四组数据残差的绝对值超过1.5， 故应剔除第四组数据，剔除后， 则， ， 则， 所以所求经验回归方程为. 19. （17分）《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《SuperBrain》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这100人中随机抽取1个不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4． (1)请将上述列联表补充完整； (2)判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由； (3)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》．现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)答案见解析 (2)有关，理由见解析 (3)分布列见解析， 【难度】0.4 【知识点】独立性检验解决实际问题、完善列联表、超几何分布的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据概率的定义求出不喜欢《最强大脑》的大学生人数，其中已知不喜欢《最强大脑》的男生的人数，可求出不喜欢《最强大脑》的女生的人数，从而得到列联表； （2）由表中数据求出，从而得到结论； （3）法一：写出的取值范围．分别求出的可能取值的概率，从而得到的分布列和数学期望．法二：由服从超几何分布，直接利用公式求出． 【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4， 所以不喜欢《最强大脑》的大学生人数为， 其中已知不喜欢《最强大脑》的男生有10人， 则不喜欢《最强大脑》的女生有30人，列联表补充如下： 喜欢 不喜欢 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 （2）由表中数据得， 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下能认为喜欢《最强大脑》与性别有关． （3）法一：的取值范围为． 所以，，． 所以的分布列为 0 1 2 故数学期望． 法二：依题意知，服从超几何分布，故． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 成对数据的统计分析章末综合检测卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（    ） A．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B．图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C．图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D．图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 2. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量X与Y独立 B．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C．变量X与Y不独立 D．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 3. 已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（    ） A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z正相关 D．x与y正相关，x与z负相关 4. 下列命题正确的是（    ） A．线性回归直线必过样本数据的中心点； B．当相关系数时，两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 5. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 6. 某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 100 合计 200 若根据列表得，则这200名教师中，去年未体检的人数为（   ）（附：，） A．20 B．30 C．40 D．50 7. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率（单位: 次/分钟）的对应数据. 根据生物学常识和散点图得出与近似满足 （ 为参数），令 ，计算得到. 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，则的值为（    ） A． B．0.4 C． D．0.2 8. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：， 则下列选项不正确的是（    ） A． B．由散点图知变量和正相关 C．相关系数的绝对值越接近0，表示的线性相关程度越弱 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分。 9. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（    ） A．以频率估计概率，有 B．以频率估计概率，有 C．若取，可以认为疗效与疗法独立 D．若取，可以认为疗效与疗法独立 10. 下列命题成立的是（    ） A．已知，若，则 B．若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D．对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 11. 已知，其中．下列说法正确的是（    ） A．已知一组数据：，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的第75百分位数，则的展开式中的系数为 B．数据(1，2，3，…，10)组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量，则函数为偶函数 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍 三、填空题: 本大题共3小题,每小题5分,共计15分. 12. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数：①；②；③；④；⑤，请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号). 13. 某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示），________． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 14. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 四、解答题: 本题共5小题, 共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示. 年份 年份代码 (1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱） . (2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）； (3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求? 附：相关数据：，，，. 相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，. 16. （15分）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100      62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. （15分）随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 (1)小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； (2)利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，|r|越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：． 参考数据：,(其中)． 18. （17分）近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲､乙两名同学一起收集了6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型①；模型②.对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表： 种植面积亩 2 3 4 5 7 9 每亩种植管理成本/百元 25 24 21 22 16 14 模型① 估计值 25.27 23.62 21.97 17.02 13.72 残差 0.38 0.28 模型② 估计值 26.84 20.17 18.83 17.31 16.46 残差 0.83 3.17 注：表中. (1)将以上表格补充完整，判断哪个模型拟合效果更好，并简要说明理由； (2)视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求其经验回归方程. 参考公式：. 19. （17分）《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《SuperBrain》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这100人中随机抽取1个不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4． (1)请将上述列联表补充完整； (2)判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由； (3)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》．现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为，求的分布列与数学期望． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $