第2章 综合·融通(一) 小船渡河和关联速度问题（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理必修第二册（鲁科版）

小船渡河和关联速度问题 (融会课——主题串知综合应用) 综合•融通(一) 小船渡河问题和关联速度问题是运动的合成与分解原理在实际问题中的应用。通过本节课的学习，要学会分析过河时间最短和渡河位移最短问题，掌握通过细绳连接或细杆连接的两个物体间速度关系分析方法。 主题(一)　小船渡河问题　 主题(二)　关联速度问题 01 02 CONTENTS 目录 课时跟踪检测 03 主题(一)　小船渡河问题 1.明确两个分运动 (1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。 (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行，速度大小等于水流速度。 2.区别三个速度 (1)分速度v水：水流的速度； (2)分速度v船：船在静水中的速度； (3)合速度v：表示船的实际航行的速度。 知能融会通 3.掌握两类最值问题 类型 矢量图解 过河方法 渡河 时间 最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin= 渡河 位移 最短 如果v船>v水，当船头朝向上游与河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船<v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 续表 [典例]　一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度为v1=2.5 m/s。船在静水中的速度为v2=5 m/s，求： (1)小船渡河的最短时间为多少?此过程位移多大? [答案]　(1)36 s 90 m 　 [解析]　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时， 如图甲所示， 合速度为倾斜方向，垂直河岸分速度为 v2=5 m/s， 最短时间为t=== s=36 s 合速度大小为v合== m/s 位移s=v合t=90 m。 (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向?用多长时间? [答案]　(2)偏向上游与河岸成60°角　24 s [解析]　(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β。 如图乙所示，由v2sin α=v1，得α=30°。所以当船头朝上游与河岸成一定角度β=60°时航程最短，最短位移s'=d=180 m 所用时间t'=== s=24 s。 [变式拓展]　对应[典例]中的情境，如果水流速度变为v1=6.25 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向?此时最短航程为多少?(sin 37°=0.6) [答案]　船头与河岸上游夹角θ=37°　225 m [解析]　因为v1=6.25 m/s>v2=5 m/s，合速度方向不可能垂直于河岸，如图所示， 当船头与河岸上游夹角θ满足cos θ===，故θ=37°，此时渡河最短位移为smin==225 m。 1.(2025·重庆高一阶段练习)2025年3月4日，重庆市大中小学国家安全教育工作推进会在重庆市育才中学举行。会后，几名同学就如何以最短时间过河救人进行了讨论。假设在一条笔直的河道中，水流方向如图所示，智能动力救生船由A点渡河，河宽200 m，水流速度2 m/s，救生船在静水中航行的速度为5 m/s。救生船渡河的最短时间为 (　 ) A.40 s　 B. s　 C. s　 D.100 s 题点全练清 √ 解析：当救生船的船头垂直河对岸渡河时，时间最短，则最短渡河时间为t== s=40 s。 2.(双选)如图所示，一条两岸平直宽为L=120 m的小河，河水流速的大小处处相等，一人驾驶小船由渡口A驶向渡口B，船头始终朝向河对岸，已知船在静水中航速恒定，且船在静水中的速度与河水的流速之比为2∶1，若该船到达对岸需要60 s。若以地面为参考系，则下列说法正确的是 (　 ) A.河水流速为2 m/s B.船的速度为 m/s C.船在渡河时轨迹是一条直线，且与河岸下游方向所成夹角为60° D.船在渡河时轨迹是一条直线，且与河岸下游方向所成夹角大于60° √ √ 解析：船在静水中的速度v静==2 m/s，河水流速为v水=v静=1 m/s，船的速度为v船== m/s，A错误，B正确；船在渡河时轨迹是一条直线，与河岸下游方向所成夹角为θ，有tan θ==2>tan 60°=，C错误，D正确。 主题(二)　关联速度问题 1.“关联”速度 绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，与绳的两端点相连的物体或者杆两端的物体的速度通常是不一样的，但两端物体的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度。 2.关联速度的特点 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 知能融会通 3.常见的模型 (1)只分解一端的速度(如图甲、乙) (2)分解两端的速度(如图丙、丁) 4.常用的解题思路和方法 (1)确定合运动的方向，即物体实际运动的方向。 (2)分析这个合运动所产生的效果(一方面使绳或杆伸缩，另一方面使绳或杆转动)，以确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分速度和垂直于绳或杆方向的分速度)。 (3)作出速度分解的示意图，即根据平行四边形定则，作出合速度与分速度的平行四边形，把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)两个方向的分量。 [典例]　质量为m的物块P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着物块P与小车，物块P与定滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v0水平向右做匀速直线运动。当小车与定滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，重力加速度为g，下列判断正确的是 (　 ) A.物块P的速率为v0sin θ2 B.物块P的速率为v0cos θ1 C.细绳对物块P的拉力恒为mgsin θ1 D.细绳对物块P的拉力大于mgsin θ1 √ [解析]　细绳相连的物体，沿绳子方向速度相等，把小车速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，物块P的速度沿绳子方向，即物块P的速率vP=v0cos θ2，A、B错误；小车向右运动，细绳和水平方向的夹角减小，物块P的速率增大，故物块P的加速度沿斜面向上，由牛顿第二定律FT-mgsin θ1=ma，可知细绳拉力大于mgsin θ1，C错误，D正确。 题点全练清 1.如图所示，在粗糙水平滑杆上套着一个小环，小环与细绳的一端相连，细绳的另一端吊着一重物。若使小环匀速向左运动，则在将小环从右侧一定距离处运动至定滑轮的正上方的过程中，重物的速度 (　 ) A.不变 B.变大 C.变小 D.先变小后变大 √ 解析：如图所示，把小环水平运动的速度v沿绳和垂直绳方向进行正交分解，设细绳与水平杆的夹角为θ，重物的速度大小等于环在沿绳方向的分速度，即v1=vcos θ，小环从右侧一定距离处运动至定滑轮的正上方的过程中，θ变大，v1变小，故C正确。 2.(2025·重庆万州高一期中)如图所示，竖直面内有一个半开口的“L”形光滑滑槽，轻杆两端分别连接小球A、B。初始时，轻杆竖直，由于微小的扰动，小球A竖直下滑，小球B水平向右滑动。当轻杆与竖直方向的夹角为60°时，小球A、B的速度大小的比值为 (　 ) A.　　　　　 B. C. D.2 √ 解析：将两球相对地面的速度沿杆、垂直杆方向正交分解，两球沿杆方向速度相同，则vAcos 60°=vBsin 60°，故=tan 60°=。 课时跟踪检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.如图，甲、乙两只小船同时从A点沿着与河岸不同夹角的方向渡河，甲船船头与河岸上游的夹角为60°，乙船船头与河岸下游的夹角为30°，水流速度恒定。要使两船同时到达对岸，则甲船在静水中的速度大小与乙船在静水中的速度大小之比为 (　 ) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶ 　 D.∶1 √ 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 解析：两船同时到达对岸，则两船静水速度沿垂直两岸方向的分速度相等，即v甲sin 60°=v乙sin 30°，得v甲∶v乙=1∶，故选C。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 2.如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速率为 (　 ) A.vsin θ B. C.vcos θ 　 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：将重物的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为v绳=vcos θ；而绳子速率等于小车的速率，则小车的速率为v车=v绳=vcos θ，故选C。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 3.如图所示，一轻杆两端分别固定两个可视为质点的小球A和B，将其放到一个光滑的球形容器中并在竖直面上运动，当轻杆到达A球与球形容器球心等高时，A球速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ=30°角，B球的速度大小为v2，则 (　 ) A.v2=v1 B.v2=2v1 C.v2= D.v2=v1 √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：根据题意，将A球的速度沿着杆与垂直于杆两方向分解，同时将B球的速度也沿着杆与垂直于杆两方向分解，A球：v0=v1sin θ，B球：v0'=v2sin θ，由于是同一轻杆，则有v1sin θ=v2sin θ，所以v2=v1，故A正确，B、C、D错误。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 4.如图所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA'方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α=60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β=30°。下列说法正确的是 (　 ) A.小船沿AB、AC过河的时间相等 B.小船沿AC过河的时间更长 C.v1∶v2=1∶2 D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60° √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：因船头始终垂直于河岸，可知船过河的时间为t=，即小船沿AB、AC过河的时间相等，A正确，B错误；由题意可知tan 60°=，tan 30°=，解得v1∶v2=1∶3，C错误；当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角的余弦值为cos θ==，则θ≠60°，D错误。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5.(双选)自由泳是竞技游泳比赛项目之一。某运动员在一次渡河训练中，向某方向以自由泳泳姿匀速运动，因水流原因，实际运动路径与河岸夹角为30°，如图所示。已知河水水流速度v水=0.6 m/s，以下说法正确的是 (　 ) 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 A.该运动员相对静水的速度可能为0.1 m/s B.该运动员相对静水的速度可能为0.6 m/s C.若该运动员相对于静水的速度为0.5 m/s，该运动员的实际渡河路径可能垂直河岸 D.若该运动员加大双腿打水频率以提高游泳速度，会缩短渡河时间 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：根据运动的合成和分解可知，当运动员沿垂直于虚线向上游方向运动时，具有最小速度，则有v=v水sin 30°，解得v=0.3 m/s，只要运动员速度大于等于0.3 m/s，调整适当的角度，均可以沿虚线方向到达对岸，故A错误，B正确；运动员要垂直到达正对岸，根据运动的合成和分解可知，运动员在沿河岸方向的合速度为零，设此时运动员游泳的方向与岸边夹角为θ，则有vcos θ=v水，解得v= m/s≥0.6 m/s，由此可知要垂直到达正对岸，运动员的最小速度应大于0.6 m/s，故C错误；若该运动员加大双腿打水频率以提高游泳速度，在垂直河岸方向的速度增大，河宽一定，所以会缩短渡河时间，故D正确。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 6.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速度vA=20 m/s匀速向右运动，在绳子与轨道成α=30°角时，物体B的速度大小vB为 (　 ) A.10 m/s B. m/s C.40 m/s D.10 m/s √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：将B的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，则有vA=v2=vBcos 30°，解得vB== m/s，故B正确。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 7.如图所示绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为37°、53°，两物体的速率分别为vA、vB，且此时vA+vB= m/s，sin 37°=，cos 37°=，则vA的大小为(　 ) A. m/s B. m/s C.2 m/s D.4 m/s √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：设此时绳子的速率为v绳，将A、B的速度分别沿绳的方向和垂直绳的方向分解，可得v绳=vAsin 37°，v绳=vBcos 53°，结合vA+vB= m/s，解得vA= m/s，故选A。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 8.如图所示，黑色小球套在一个光滑圆环上，在绳子拉力作用下，沿着环运动，已知绳子另一端通过定滑轮，且以恒定的速度v水平向右拉动，则当θ为多少度时，小球的速度最小 (　 ) A.接近180°时 B.90° C.60° D.小球速度始终不会改变 √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：小球的速度设为v1，把v1沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，在沿绳方向上有v1cos(90°-θ)=v，所以v1=，所以当满足θ=90°，小球的速度v1有最小值，故B正确。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 9.(12分)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与离一侧河岸的距离d的关系如图乙所示，求： (1)小船渡河的最短时间；(6分) 答案：(1)100 s　 解析：(1)由图像可知，v船=3 m/s， 河宽d=300 m，船头正对河对岸，则渡河时间最短， 故tmin==100 s。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (2)小船以最短时间渡河的位移大小。(6分) 答案： (2)100 m 解析：(2)当小船船头正对河对岸行驶时，d=v船tmin， 结合图像可知v水先随时间线性增大，后线性减小， 垂直河岸分位移s1=d=300 m， 沿河岸方向分位移s2=2··=200 m， 总位移大小s==100 m。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 10.(14分)如图所示，河宽d=120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动。若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点。求： (1)小船在静水中的速度v1的大小；(4分) 答案： (1)0.25 m/s 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析： (1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时沿v1方向的位移为d， 故有v1== m/s=0.25 m/s。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (2)河水的流速v2的大小；(4分) 答案： (2)0.15 m/s　 　 解析： (2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，若船头指向B点开始渡河，恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2=v1cos α，此时渡河时间为t=， 所以sin α==0.8，故v2=v1cos α=0.15 m/s。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (3)在第二次渡河中，小船被冲向下游的距离sCD。(6分) 答案： (3)72 m 解析： (3)在第二次渡河中，小船被冲向下游的距离为 sCD=v2tmin=72 m。 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $