29.1 投影 讲义2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦“投影”核心知识点，系统梳理投影的定义、平行投影、中心投影及正投影的概念，通过特征分析、异同对比构建知识体系，形成从基础定义到实际应用的学习支架。 资料以“建体系-新知廊-求甚解-练题型”模块设计为亮点，通过定义抽象培养数学眼光，对比平行与中心投影异同发展推理意识，结合路灯高度测量等实际问题强化模型意识与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后例题与变式练习帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题能力。

29.1 投影 目录 题型01 平行投影 4 题型02 中心投影 5 题型03 利用投影解决实际问题 7 建体系 新知廊 知识点1： 投影的定义 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影．照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． 物体投影的形成需要具备两个条件：一是投影线（光源），二是投影面． 【注意】光线、物体、投影面的相对位置发生变化，物体的影子就会相应发生变化． 知识点2： 平行投影 （1）由平行光线形成的投影叫做平行投影．如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行光线．日影的方向可以反映当地时间． （2）平行投影的特征 等高的物体垂直于地面放置时，同一时刻，同一地点，在太阳光下，它们的影子一样长． 等长的物体平行于地方放置时，同一时刻，同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度． 同一物体在太阳光下，不同时刻，不仅影子的大小在改变，而且影子的方向也在改变，就我们所在北半球而言，从早晨到傍晚，物体的影子由西向东绕物体沿顺时针方向转动，其影长的变化规律是：长→短→长． 在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例． 知识点3： 中心投影 （1）由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的特征： ①等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长． ②等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，且都大于物体本身的长度．③点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上． 知识点4： 正投影 投影垂直于投影面产生的投影叫做正投影．物体正投影的形状和大小与它相对于投影面的位置有关． 求甚解 1．平行投影中对应点的连线是互相平行的；反之，物体与其投影的对应点的连线是互相平行的就说明是平行投影． 2．中心投影和平行投影的异同 平行投影 中心投影 相同点 都是投影现象、影子的长度均与物体的长度有关 不 同 点 光线 光线是平行的 光线是从一点发出的，不是平行的 影子的方向 同一时刻、同一地点所有物体的影子的方向都相同 同一时刻、同一地点所有物体的影子的方向不一定相同 对应点连线的方向 物体上的每个点与其影子上的对应点的连线互相平行（或在同一直线上） 物体上的每个点与其影子上的对应点的连线所在的直线交于一点，且交点时光源所在的位置 影响影子长度的因素 同一时刻、同一地点的影子长度与物体长度、物体的摆放方式有光，与物体和光源之间的距离无关 同一时刻、同一地点的影子长度不但与物体长度和物体的摆放方式有光，还与物体和光源之间的距离有关 物体的高度与影长的关系 同一时刻、同一地点物体的影长都与物体高度成比例 同一时刻、同一地点物体的影长与物体高度不一定成比例 3．正投影只要求投影线与投影面之间是垂直的，与物体的位置无关． 4．物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，分物体平行、倾斜、垂直于投影面三种情况． 5．确定投影线的方法 过物体上一点（找关键点，如顶点）与它在投影中的对应点，画一条直线即为投影线． 练题型 题型01 平行投影 典型例题 　（2025秋•三水区月考）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（　　）典例 01 A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆 【答案】D 【分析】根据平行形的投影是平行或重合，即可得出几何图形，并逐个判断即可． 【解答】解：矩形框在水平地面上形成的投影形状可能是矩形，正方形，平行四边形，线段，所以不可能是圆． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•桥东区期末）下列各图中，物体的影子不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式练2】　（2025秋•城关区期末）下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【变式练3】　（2024秋•汝州市期末）下列投影是平行投影的是（　　） A．手电筒照射下小棒的影子 B．太阳光下窗户的影子 C．路灯下行人的影子 D．台灯下纸片的影子 题型02 中心投影 典型例题 　（2025秋•安国市期末）一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（　　）典例 02 A．5cm B．15cm C．20cm D．25cm 【答案】C 【分析】由题意易得△ABC∽△A1B1C1，根据相似比求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，BC＝12cm，B1C1＝24cm， ∴A1C1：AC＝B1C1：BC＝2：1， ∵AC＝10cm， ∴A1C1＝20cm， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•贵阳期末）小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（　　） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 【变式练2】　（2025秋•郫都区期末）如图，一块三角形硬纸板△ABC平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△DEF，若△ABC与△DEF的周长之比为2：3，则OB：BE的值为（　　） A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3 【变式练3】　（2025秋•清新区期末）下列各种现象属于中心投影的是（　　） A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影 C．上午人走在路上的影子 D．早上升旗时地面上旗杆的影子 题型03 利用投影解决实际问题 典型例题 　（2025秋•西安校级期中）如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB＝4m，树影BC＝5m，树与路灯的水平距离BP＝6m．求路灯OP的高度．典例 03 【答案】路灯的高度OP为． 【分析】先证明AB∥OP可得△ABC∽△OPC，再利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB＝4m，树影BC＝5m， ∵OP⊥PC，AB⊥PC， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， ∵AB＝4m，BC＝5m，BP＝6m． ∴PC＝BP+BC＝11， ∴： ∴， ∴路灯的高度OP为． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•滕州市期末）如图，一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′，AB＝4，A′B′＝2，则AB与平面A′B′的夹角为（　　） A．45° B．30° C．60° D．以上都不对 【变式练2】　（2025•汝阳县一模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.25米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（　　） A．7.2米 B．8.2米 C．9.2米 D．10.2米 【变式练3】　（2025秋•任城区期末）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1 投影 目录 题型01 平行投影 4 题型02 中心投影 6 题型03 利用投影解决实际问题 8 建体系 新知廊 知识点1： 投影的定义 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影．照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． 物体投影的形成需要具备两个条件：一是投影线（光源），二是投影面． 【注意】光线、物体、投影面的相对位置发生变化，物体的影子就会相应发生变化． 知识点2： 平行投影 （1）由平行光线形成的投影叫做平行投影．如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行光线．日影的方向可以反映当地时间． （2）平行投影的特征 等高的物体垂直于地面放置时，同一时刻，同一地点，在太阳光下，它们的影子一样长． 等长的物体平行于地方放置时，同一时刻，同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度． 同一物体在太阳光下，不同时刻，不仅影子的大小在改变，而且影子的方向也在改变，就我们所在北半球而言，从早晨到傍晚，物体的影子由西向东绕物体沿顺时针方向转动，其影长的变化规律是：长→短→长． 在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例． 知识点3： 中心投影 （1）由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的特征： ①等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长． ②等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，且都大于物体本身的长度．③点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上． 知识点4： 正投影 投影垂直于投影面产生的投影叫做正投影．物体正投影的形状和大小与它相对于投影面的位置有关． 求甚解 1．平行投影中对应点的连线是互相平行的；反之，物体与其投影的对应点的连线是互相平行的就说明是平行投影． 2．中心投影和平行投影的异同 平行投影 中心投影 相同点 都是投影现象、影子的长度均与物体的长度有关 不 同 点 光线 光线是平行的 光线是从一点发出的，不是平行的 影子的方向 同一时刻、同一地点所有物体的影子的方向都相同 同一时刻、同一地点所有物体的影子的方向不一定相同 对应点连线的方向 物体上的每个点与其影子上的对应点的连线互相平行（或在同一直线上） 物体上的每个点与其影子上的对应点的连线所在的直线交于一点，且交点时光源所在的位置 影响影子长度的因素 同一时刻、同一地点的影子长度与物体长度、物体的摆放方式有光，与物体和光源之间的距离无关 同一时刻、同一地点的影子长度不但与物体长度和物体的摆放方式有光，还与物体和光源之间的距离有关 物体的高度与影长的关系 同一时刻、同一地点物体的影长都与物体高度成比例 同一时刻、同一地点物体的影长与物体高度不一定成比例 3．正投影只要求投影线与投影面之间是垂直的，与物体的位置无关． 4．物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，分物体平行、倾斜、垂直于投影面三种情况． 5．确定投影线的方法 过物体上一点（找关键点，如顶点）与它在投影中的对应点，画一条直线即为投影线． 练题型 题型01 平行投影 典型例题 　（2025秋•三水区月考）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（　　）典例 01 A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆 【答案】D 【分析】根据平行形的投影是平行或重合，即可得出几何图形，并逐个判断即可． 【解答】解：矩形框在水平地面上形成的投影形状可能是矩形，正方形，平行四边形，线段，所以不可能是圆． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•桥东区期末）下列各图中，物体的影子不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据太阳光和灯光进行区别即可． 【解答】解：因为太阳光是一束平行光线，因此，选项B是错误的，符合题意， 故选：B． 【变式练2】　（2025秋•城关区期末）下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【答案】B 【分析】根据平行投影的定义判断即可． 【解答】A．灯是点光源，光线发散，形成中心投影，故此选项不符合题意； B．太阳光近似平行光线，形成平行投影，故此选项符合题意； C．萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影，故此选项不符合题意； D．灯光为点光源，光线发散，形成中心投影，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•汝州市期末）下列投影是平行投影的是（　　） A．手电筒照射下小棒的影子 B．太阳光下窗户的影子 C．路灯下行人的影子 D．台灯下纸片的影子 【答案】B 【分析】根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【解答】解：A、手电筒照射下小棒的影子为中心投影，故此选项不符合题意； B、太阳光下窗户的影子为平行投影，符合题意； C、路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不符合题意； D、台灯下纸片的影子为中心投影，故此选项不符合题意． 故选：B． 题型02 中心投影 典型例题 　（2025秋•安国市期末）一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（　　）典例 02 A．5cm B．15cm C．20cm D．25cm 【答案】C 【分析】由题意易得△ABC∽△A1B1C1，根据相似比求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，BC＝12cm，B1C1＝24cm， ∴A1C1：AC＝B1C1：BC＝2：1， ∵AC＝10cm， ∴A1C1＝20cm， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•贵阳期末）小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（　　） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据中心投影的定义判断即可． 【解答】解：小星观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是逐渐远离路灯． 故选：A． 【变式练2】　（2025秋•郫都区期末）如图，一块三角形硬纸板△ABC平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△DEF，若△ABC与△DEF的周长之比为2：3，则OB：BE的值为（　　） A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3 【答案】C 【分析】根据中心投影性质得△ABC∽△DEF，△OBC∽△OEF，再根据周长比等于位似比即可求解． 【解答】解：由题意可得△ABC∽△DEF，△OBC∽△OEF， ∴，， ∴OB：BE的值为2：1． 故选：C． 【变式练3】　（2025秋•清新区期末）下列各种现象属于中心投影的是（　　） A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影 C．上午人走在路上的影子 D．早上升旗时地面上旗杆的影子 【答案】A 【分析】根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可． 【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为中心投影． 故选：A． 题型03 利用投影解决实际问题 典型例题 　（2025秋•西安校级期中）如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB＝4m，树影BC＝5m，树与路灯的水平距离BP＝6m．求路灯OP的高度．典例 03 【答案】路灯的高度OP为． 【分析】先证明AB∥OP可得△ABC∽△OPC，再利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB＝4m，树影BC＝5m， ∵OP⊥PC，AB⊥PC， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， ∵AB＝4m，BC＝5m，BP＝6m． ∴PC＝BP+BC＝11， ∴： ∴， ∴路灯的高度OP为． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•滕州市期末）如图，一条线段AB在平面Q内的正投影为A′B′，AB＝4，A′B′＝2，则AB与平面A′B′的夹角为（　　） A．45° B．30° C．60° D．以上都不对 【答案】B 【分析】由正投影的知识，可知AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′； 过A作AC⊥BB′，则四边形AA′B′C为矩形，AC∥A′B′，且AC＝A′B′； 进一步分析可知BA与B′A′相交所成的角，就转化为BA与AC相交所成的角，根据锐角的余弦值即可求出角的度数． 【解答】解：过A作AC⊥BB′，交BB′于C点． ∵AB在平面Q内的正投影为A′B′， ∴∠AA′B′＝∠BB′A′＝90°， ∴AC∥A′B′，且AC＝A′B′＝2，则∠BAC即为所求． ∴cos∠BAC， ∴∠BAC＝30°． 故选：B． 【变式练2】　（2025•汝阳县一模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.25米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（　　） A．7.2米 B．8.2米 C．9.2米 D．10.2米 【答案】C 【分析】作CE⊥AB于E点，如图，则四边形BDCE为矩形，BD＝CE＝9，BE＝CD＝2，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到”，求出AE从而可得到AB的长． 【解答】解：作CE⊥AB于E点，如图， 由题意可得：BD＝CE＝9，BE＝CD＝2， ∴， 即， ∴AB＝AE+BE＝7.2+2＝9.2（m）． 故选：C． 【变式练3】　（2025秋•任城区期末）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据投影的定义，作出投影即可； （2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系AB：DE＝BC：EF．计算可得DE＝14（m）． 【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE． ∵∠ABC＝∠DEF＝90° ∴△ABC∽△DEF． ∴AB：DE＝BC：EF， ∵AB＝7m，BC＝4m，EF＝8 ∴7：4＝DE：8 ∴DE＝14（m）． 学科网（北京）股份有限公司 $