第4章 综合·融通 应用万有引力定律解决三个热点问题（Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理必修第二册（鲁科版）

本讲义聚焦万有引力定律应用的三个热点问题，在学生已掌握天体质量密度计算、宇宙速度及卫星运动参量分析的基础上，进一步深入学习卫星变轨问题、同步卫星/近地卫星/赤道物体运动参量比较及双星和三星模型，搭建递进式学习支架。 该资料以“知能融会通”系统梳理变轨过程、三类卫星特点及双星三星模型等核心内容，结合典例分析与高考真题（如2024湖北高考题），培养学生模型建构与科学推理能力。课中助力教师系统教学，课后通过题点练习帮助学生查漏补缺，强化物理观念与问题解决能力。

综合·融通　应用万有引力定律解决三个热点问题 　　　　(融会课主题串知综合应用) 　　通过上一节课的学习我们已经初步掌握天体质量和密度的计算、宇宙速度的理解和计算、不同轨道的卫星运动参量的分析与比较，这节课将进一步学习卫星变轨问题，同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动参量比较，双星和三星模型。 主题(一) 卫星变轨问题 [知能融会通] 1.变轨问题概述 2.变轨过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。 3.变轨过程各物理量分析 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ>vⅡB，vⅡA>vⅠ。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。 (3)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅠ>vⅢ。 (4)不同轨道上运行周期T不相等。根据开普勒第三定律=k知，内侧轨道的周期小于外侧轨道的周期。图中TⅠ<TⅡ<TⅢ。 (5)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ=aⅡB，aⅡA=aⅠ。 　　[典例]　(双选)2024年5月3日，成功发射的长征五号遥八运载火箭携带嫦娥六号探测器以及巴基斯坦的卫星和法国的科学探测仪，于5月8日成功被月球俘获并顺利进入环月轨道飞行。如图所示，探测器在前往月球的过程中，首先进入“停泊轨道”绕地球匀速转动，在P点变速进入“地月转移轨道”，接近月球时，被月球引力“俘获”，再通过变轨实现在“工作轨道”上匀速绕月飞行，然后择机降落。则探测器 (　 ) A.在“停泊轨道”上的绕行速度小于7.9 km/s B.在P点通过点火减速，变轨到“地月转移轨道” C.在“地月转移轨道”上运行时经过P点的速度比Q点的速度大 D.在“工作轨道”上匀速绕月飞行时处于平衡状态 　　[解析]　7.9 km/s是地球卫星最大的环绕速度，所以嫦娥六号探测器在“停泊轨道”上的绕行速度小于7.9 km/s，故A正确；嫦娥六号探测器在P点加速，做离心运动，然后变轨到“地月转移轨道”，故B错误；根据开普勒第二定律可知，在“地月转移轨道”上运行时经过P点的速度比Q点的速度大，故C正确；嫦娥六号探测器在“工作轨道”上匀速绕月飞行，做匀速圆周运动，加速度为向心加速度，不为零，则不处于平衡状态，故D错误。 [答案]　AC [题点全练清] 1.(2024·湖北高考)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则 (　 ) A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 解析：选A　空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为变轨后轨道的半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的运动周期大，故B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，故C错误；由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的速度大，比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的速度小，故D错误。 2.如图所示，虚线Ⅰ、Ⅱ分别表示地球卫星的两条轨道，其中轨道Ⅰ为近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道。起初卫星在轨道Ⅰ上运行，经过a点成功变轨进入轨道Ⅱ，b点为轨道Ⅱ的远地点，b点与地心的距离为轨道Ⅰ半径的2倍，卫星在轨道Ⅱ上运行时经过a点的速率为va，经过b点的速率为vb，则 (　 ) A.卫星在轨道Ⅰ上经过a点变轨进入轨道Ⅱ时应减速 B.在轨道Ⅱ上，卫星在b点的机械能小于在a点的机械能 C.vb=2va D.卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行的周期平方之比为8∶27 解析：选D　依题意，卫星在轨道Ⅰ上经过a点变轨进入轨道Ⅱ时属于从低轨道向高轨道变轨，做离心运动，应加速，故A错误；在轨道Ⅱ上，卫星只受万有引力作用，其机械能守恒，所以在b点的机械能等于在a点的机械能，故B错误；卫星在轨道Ⅱ上运动，a点为近地点，b为远地点，根据开普勒第二定律可知va>vb，故C错误；设轨道Ⅰ的轨道半径为r，则轨道Ⅱ的半长轴为，由开普勒第三定律，有=，解得=，故D正确。 3.(2025·安徽高考)(双选)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M、半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则 (　 ) A.r= B.r=+R C.M= D.M= 解析：选BC　对于卫星甲和卫星乙，根据开普勒第三定律有=，解得r=+R，故A错误，B正确；对于卫星乙，根据万有引力提供向心力可得=r，解得M=，故C正确，D错误。 4.(2025·北京高考)2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2、B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是 (　 ) A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C.在轨道2上的机械能与在轨道1上相等 D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 解析：选A　探测器在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理可知，动能逐渐减小，A正确；由G=ma，解得a=G，探测器在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G=mr，解得M=，已知引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 主题(二) 同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动参量比较 [知能融会通] 1.近地卫星 近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，其线速度大小为v1=7.9 km/s，角速度、向心加速度最大，周期最小。 2.地球同步卫星 (1)“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期。 (2)特点 ①定周期：所有同步卫星周期均为T≈24 h。 ②定点：相对地面静止且在赤道上的某点的正上方。 ③定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东。 ④定高度：由G=m=m(R+h)可得，同步卫星离地面高度为h=-R≈3.58×107 m≈6R。 ⑤定速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此线速度、角速度大小均不变。 ⑥定加速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小也不变。 3.近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动的比较 (1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，均等于地球半径，同步卫星的轨道半径较大。 (2)运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同，由T=2π可知，近地卫星的周期小于同步卫星的周期。 (3)向心加速度：由a=G知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度。由a=ω2r=r知，同步卫星的加速度大于赤道上物体的加速度。 (4)向心力：近地卫星和同步卫星都只受万有引力作用，由万有引力提供向心力，满足由万有引力提供向心力的天体的运行规律。赤道上的物体由万有引力和地面支持力的合力提供向心力，它的运动规律不同于卫星的规律。 　　[典例]　如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C、D是与A在同一平面内三颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C、D是两颗地球同步卫星。下列说法中正确的是 (　 ) A.卫星C加速就可以追上同一轨道上前方的卫星D B.卫星A、B、C的线速度大小关系为vA>vB>vC C.卫星A、B、C的向心加速度大小关系为aA>aB>aC D.卫星A、B、C的周期大小关系为TA=TC>TB 　　[解析]　对绕地球做匀速圆周运动的卫星，据万有引力提供向心力：G=ma=m=mr，得a=，v=，T=，由此可得aB>aC=aD，vB>vC=vD，TB<TC=TD，C、D均为地球同步卫星，A物体静止在赤道上随地球自转一起运动，所以ωA=ωC=ωD，TA=TC=TD，据：v=ωr，a=ω2r得vA<vC，aA<aC，故选项B、C错误，选项D正确；C、D在同一轨道上，速度相等，但若C加速，它会到更高的轨道上以更小的速度运行，不可能追上它前方的卫星D，选项A错误。 [答案]　D [题点全练清] 1.(双选)如图所示，a为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，b为近地轨道卫星，c为同步轨道卫星，d为高空探测卫星。若a、b、c、d绕地球转动方向相同，且均可视为匀速圆周运动。则 (　 ) A.a、b、c、d中，a的向心加速度最大 B.a、b、c、d中，b的线速度最大 C.a、b、c、d中，d的周期大于24小时 D.c可以经过地球两极上空 解析：选BC　由题意可知a、c角速度相同，根据a=ω2r，可知a的向心加速度小于c的向心加速度，故A错误；根据v=ωr，可知c的线速度大于a的线速度，对b、c、d，根据=m，可得v=，故轨道越低线速度越大，因此b的线速度最大，故B正确；c为同步轨道卫星，周期为24小时，根据=mr，可得T=2π，可知轨道越高周期越大，因此d的周期大于24小时，故C正确；c在赤道平面做匀速圆周运动，因此不能经过地球两极上空，故D错误。 2.(双选)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方(已知地球同步卫星距地面高度比卫星A大很多)，下列说法正确的是 (　 ) A.物体B与卫星A的向心加速度大小之比为 B.卫星A的线速度为2ω0R C.卫星A的角速度大于ω0 D.物体B受到地球的引力为mR 解析：选AC　卫星A运动过程中，万有引力充当向心力，故有G=maA，解得aA=，物体B的向心加速度aB=R，因此向心加速度之比为=，A正确；绕地卫星受到的万有引力提供向心力，=mω2r，解得ω=，和同步卫星相比，卫星A的轨道半径远小于同步卫星轨道半径，故卫星A的运行角速度大于同步卫星的运行角速度，而同步卫星的运行角速度和地球自转角速度相等，所以卫星A的角速度大于ω0，C正确；卫星A的线速度v=ω·2R>ω0·2R，B错误；物体B受到万有引力分解为两个分力，一分力为重力，另一分力为随地球自转需要的向心力，而向心力为mR，D错误。 3.(2025·无锡高一期中)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是 (　 ) A.b卫星的线速度大于7.9 km/s B.c卫星的向心加速度最小 C.a、b做匀速圆周运动的周期相同 D.在b、c中，b的线速度大 解析：选D　由G=m，解得vb==7.9 km/s，故b卫星的线速度等于7.9 km/s，故A错误；对a、c，由a=rω2，其中rc>ra，ωa=ωc，可得ac>aa，对b、c，由万有引力提供向心力有G=ma，解得a=，因为rc>rb，所以ac<ab，故a卫星的向心加速度最小，故B错误；由万有引力提供向心力有=，解得T=，因c的轨道半径更大，可知Tc>Tb，故Ta=Tc>Tb，故C错误；对b、c，由万有引力提供向心力有G=m，可得v=，因为rc>rb，所以vc<vb，故在b、c中，b的线速度大，故D正确。 主题(三) 双星和三星模型 　　　　　　　　　　　　　　　　 [知能融会通] 双星模型 三星模型 情境图 运动 特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 受力 特点 两星间的万有引力提供两星圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力 规律 =m1ω2r1 =m2ω2r2 +=ma向 ×cos 30°×2=ma向' 关键点 m1r1=m2r2 r1+r2=L r'= 　　[典例]　(2025·滨州高一期中)在轨运行的哈勃太空望远镜，曾拍摄到天狼星A和天狼星B组成的双星系统在轨运行图像，如图所示。它们在彼此间的万有引力作用下同时绕某点(公共圆心)做匀速圆周运动，已知mA=bmB，且b>1，则下列结论正确的是 (　 ) A.天狼星A和天狼星B的绕行方向可能相反 B.天狼星A和天狼星B的公共圆心可以不在重心连线上 C.天狼星A和天狼星B的向心加速度大小之比为b∶1 D.天狼星A和天狼星B的线速度大小之比为1∶b 　　[解析]　双星系统由彼此之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，二者角速度相同，且绕行方向必须相同，公共圆心必须在重心连线上，两星才能稳定运行，故A、B错误；双星系统由彼此之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，二者角速度相同，有G=mAω2rA=mBω2rB，则mArA=mBrB，得==，根据a=ω2r，得===，根据v=ωr，得==，故C错误，D正确。 [答案]　D [题点全练清] 1.我国的“天眼”是世界上最大的射电望远镜，通过“天眼”观测到的某三星系统可理想化为如下模型：如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行。若三颗星质量均为M，引力常量为G，则 (　 ) A.甲星所受合外力为 B.甲星的线速度为 C.甲星的周期为2πR D.甲星的向心加速度为 解析：选A　甲星同时受到乙星和丙星的引力作用，故甲星所受合外力为F合=+=，选项A正确；设甲星做匀速圆周运动的线速度为v，周期为T，向心加速度为a，根据牛顿第二定律有=Ma=M=MR，解得a=、v=、T=4πR，选项B、C、D错误。 2.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。 (1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。 (2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少? 解析：(1)对于第一种运动情况，以某个做圆周运动的星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有 F1=，F2= F1+F2= ① 星体运动的线速度v= ② 设周期为T，则有T= ③ T=4π ④ (2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为 R'= ⑤ 由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿第二定律有 F合=2cos 30° ⑥ F合=mR' ⑦ 由④⑤⑥⑦式得r=R。 答案：(1)　4π　(2)R 学科网（北京）股份有限公司 $