第2章 综合·融通(一) 小船渡河和关联速度问题（Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理必修第二册（鲁科版）

综合·融通(一)　小船渡河和关联速度问题 (融会课主题串知综合应用) 　　小船渡河问题和关联速度问题是运动的合成与分解原理在实际问题中的应用。通过本节课的学习，要学会分析过河时间最短和渡河位移最短问题，掌握通过细绳连接或细杆连接的两个物体间速度关系分析方法。 主题(一) 小船渡河问题 [知能融会通] 1.明确两个分运动 (1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。 (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行，速度大小等于水流速度。 2.区别三个速度 (1)分速度v水：水流的速度； (2)分速度v船：船在静水中的速度； (3)合速度v：表示船的实际航行的速度。 3.掌握两类最值问题 类型 矢量图解 过河方法 渡河 时间 最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin= 渡河 位移 最短 如果v船>v水，当船头朝向上游与河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船<v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 　　[典例]　一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度为v1=2.5 m/s。船在静水中的速度为v2=5 m/s，求： (1)小船渡河的最短时间为多少?此过程位移多大? (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向?用多长时间? [解析]　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时， 如图甲所示， 合速度为倾斜方向，垂直河岸分速度为 v2=5 m/s， 最短时间为t=== s=36 s 合速度大小为v合== m/s 位移s=v合t=90 m。 (2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β。 如图乙所示，由v2sin α=v1，得α=30°。所以当船头朝上游与河岸成一定角度β=60°时航程最短，最短位移s'=d=180 m 所用时间t'=== s=24 s。 [答案]　(1)36 s　90 m (2)偏向上游与河岸成60°角　24 s [变式拓展]　对应[典例]中的情境，如果水流速度变为v1=6.25 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向?此时最短航程为多少?(sin 37°=0.6) 解析：因为v1=6.25 m/s>v2=5 m/s，合速度方向不可能垂直于河岸，如图所示， 当船头与河岸上游夹角θ满足cos θ===，故θ=37°，此时渡河最短位移为smin==225 m。 答案：船头与河岸上游夹角θ=37°　225 m [题点全练清] 1.(2025·重庆高一阶段练习)2025年3月4日，重庆市大中小学国家安全教育工作推进会在重庆市育才中学举行。会后，几名同学就如何以最短时间过河救人进行了讨论。假设在一条笔直的河道中，水流方向如图所示，智能动力救生船由A点渡河，河宽200 m，水流速度2 m/s，救生船在静水中航行的速度为5 m/s。救生船渡河的最短时间为 (　 ) A.40 s　 B. s　 C. s　 D.100 s 解析：选A　当救生船的船头垂直河对岸渡河时，时间最短，则最短渡河时间为t== s=40 s。 2.(双选)如图所示，一条两岸平直宽为L=120 m的小河，河水流速的大小处处相等，一人驾驶小船由渡口A驶向渡口B，船头始终朝向河对岸，已知船在静水中航速恒定，且船在静水中的速度与河水的流速之比为2∶1，若该船到达对岸需要60 s。若以地面为参考系，则下列说法正确的是 (　 ) A.河水流速为2 m/s B.船的速度为 m/s C.船在渡河时轨迹是一条直线，且与河岸下游方向所成夹角为60° D.船在渡河时轨迹是一条直线，且与河岸下游方向所成夹角大于60° 解析：选BD　船在静水中的速度v静==2 m/s，河水流速为v水=v静=1 m/s，船的速度为v船== m/s，A错误，B正确；船在渡河时轨迹是一条直线，与河岸下游方向所成夹角为θ，有tan θ==2>tan 60°=，C错误，D正确。 主题(二) 关联速度问题 [知能融会通] 1.“关联”速度 绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，与绳的两端点相连的物体或者杆两端的物体的速度通常是不一样的，但两端物体的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度。 2.关联速度的特点 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 3.常见的模型 (1)只分解一端的速度(如图甲、乙) (2)分解两端的速度(如图丙、丁) 4.常用的解题思路和方法 (1)确定合运动的方向，即物体实际运动的方向。 (2)分析这个合运动所产生的效果(一方面使绳或杆伸缩，另一方面使绳或杆转动)，以确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分速度和垂直于绳或杆方向的分速度)。 (3)作出速度分解的示意图，即根据平行四边形定则，作出合速度与分速度的平行四边形，把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)两个方向的分量。 　　[典例]　质量为m的物块P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着物块P与小车，物块P与定滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v0水平向右做匀速直线运动。当小车与定滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，重力加速度为g，下列判断正确的是 (　 ) A.物块P的速率为v0sin θ2 B.物块P的速率为v0cos θ1 C.细绳对物块P的拉力恒为mgsin θ1 D.细绳对物块P的拉力大于mgsin θ1 　　[解析]　细绳相连的物体，沿绳子方向速度相等，把小车速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，物块P的速度沿绳子方向，即物块P的速率vP=v0cos θ2，A、B错误；小车向右运动，细绳和水平方向的夹角减小，物块P的速率增大，故物块P的加速度沿斜面向上，由牛顿第二定律FT-mgsin θ1=ma，可知细绳拉力大于mgsin θ1，C错误，D正确。 [答案]　D [题点全练清] 1.如图所示，在粗糙水平滑杆上套着一个小环，小环与细绳的一端相连，细绳的另一端吊着一重物。若使小环匀速向左运动，则在将小环从右侧一定距离处运动至定滑轮的正上方的过程中，重物的速度 (　 ) A.不变 B.变大 C.变小 D.先变小后变大 解析：选C　如图所示，把小环水平运动的速度v沿绳和垂直绳方向进行正交分解，设细绳与水平杆的夹角为θ，重物的速度大小等于环在沿绳方向的分速度，即v1=vcos θ，小环从右侧一定距离处运动至定滑轮的正上方的过程中，θ变大，v1变小，故C正确。 2.(2025·重庆万州高一期中)如图所示，竖直面内有一个半开口的“L”形光滑滑槽，轻杆两端分别连接小球A、B。初始时，轻杆竖直，由于微小的扰动，小球A竖直下滑，小球B水平向右滑动。当轻杆与竖直方向的夹角为60°时，小球A、B的速度大小的比值为 (　 ) A.　　　　　 B. C. D.2 解析：选C　将两球相对地面的速度沿杆、垂直杆方向正交分解，两球沿杆方向速度相同，则vAcos 60°=vBsin 60°，故=tan 60°=。 学科网（北京）股份有限公司 $