6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例（分层作业，8大知识点）高一数学人教A版必修第二册

6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 知识点一 力的合成问题 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为该物体静止，即受力平衡，三个力的合力为，即， 所以.故选：A. 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 所以，故选：C． 3．（24-25高一下·湖南岳阳·月考）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵三个力平衡，∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即，解得故选：A 4．（24-25高一下·江苏南京·月考）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，得， 而，解得，所以.故选：A 5．（24-25高一下·湖北随州·月考）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 【答案】(1)（1+）N；(2) 【解析】（1）因为三个力平衡，所以， 所以 , 故的大小为. （2）解法一：设与的夹角为θ， 则， 即=，解得， 因为，所以. 解法二：设与的夹角为θ，得， 因为，所以. 知识点二 功与动量的计算 1．（23-24高一下·江苏无锡·月考）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，求对该物体所做的功为（    ） A．－28 B．－23 C．23 D．28 【答案】C 【解析】由题意可知，，, , 所以对该物体所做的功为.故选：C 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为______． 【答案】15 【解析】由，，所以，又， ∴对物体做的功． 3．（24-25高一下·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为_________ 【答案】16 【解析】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 4．（24-25高一下·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为______． 【答案】－5 【解析】两个力，作用于同一个质点， 其合力大小为， 从点移到点，其位移， 则这两个力的合力对质点所做的功为． 5．（24-25高一下·上海·月考）一物体在力的共同作用下从点移动到点．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________ J． 【答案】 【解析】由，得合力， 而位移，所以合力所做的功为（）. 知识点一 速度与位移的合成 1．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】A 【解析】 设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去）.故选：A 2．（24-25高一下·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解析】如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误．故选：B. 3．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成________（填弧度数）方向前进，速度为_____km/h 【答案】；8 【解析】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成. 4．（24-25高一上·河北·月考）一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为__________. 【答案】 【解析】解析设船的速度为，水流速度为，则船的实际航行速度为， 于是有， 所以，则经过2h，船的实际航程为. 5．（24-25高一下·河北沧州·月考）长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题. (1)当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由. (2)当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？ 【答案】(1)游船航行到达北岸的位置在的左侧，理由见解析 (2)当时，游船能垂直到达对岸.即需要航行小时 【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系，并确定和的位置. ，. ， 设游船航行到达北岸的位置在点F， 则直线AF的方程为， 令，得到F点的坐标为， 所以F在距离左侧约千米处， 所以：游船航行到达北岸的位置在的左侧. （2）要使游船能垂直到达对岸，即与垂直，也即， 所以，即， 所以，解得， 所以，当时，游船能垂直到达对岸. 由同角关系可知， ， 即需要航行小时. 知识点二 用向量解决平面几何中的平行问题 1．如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【解析】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 2．如图，已知是平行四边形对角线的交点，过点的两条直线分别交四边于四点，用向量证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】证法1：因为，， 且，所以． 因为，且和不共线，所以， 同理， 所以四边形是平行四边形． 证法2：根据角边角可得，， 所以，，所以， 所以四边形是平行四边形． 3．如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】由题设，且是的角平分线，则，， 由，所以， 由和分别是和的中点，则， ，所以， 所以，即． 4．（23-24高一下·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1)；(2)证明过程见解析 【解析】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 知识点三 用向量解决平面几何中的垂直及问题 1．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 2．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在中，，分别为边上的点，且． (1)若，用向量方法求证：； (2)延长到，若（为常数），，求的长度． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）证明：因为，所以． 又因为，所以． 因为，所以． 所以， 即，得证． （2）因为三点共线， 设， 又因为， 所以，可得． 由在边上，可得，即． 又，则． 3．（23-24高一下·广西崇左·月考）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）. （2）， ，. 4．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且. (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)是线段的中点 【解析】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 5．（24-25高一下·广东广州·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在． 【解析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角． 的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 知识点四 利用向量求线段的长度 1．（25-26高一上·海南·开学考试）如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则， 则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得（舍，此时）或，则； 方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即． 故选：C 2．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【解析】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8.故选：C 3．（24-25高三下·浙江宁波·月考）在四边形中，已知，若，则的长度为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【解析】如图，设分别为的中点， 则， 所以， 两式相加得，① 同理可得，② 由①②得，③ 因为为的中点， 所以， 则，④ 而，则，⑤ 由④⑤得，⑥ 由③⑥可得， 即， 又因为， 所以，所以两点重合， 所以互相平方，所以四边形为平行四边形， 则， 故，即， 所以， 因为， 所以， 所以，即.故选：D. 4．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在等腰中，已知，，分别是边上的点，且，，其中，且，若线段的中点分别为，则的最小值是__________ 【答案】 【解析】在等腰中，由，可得. 分别是线段的中点， ,， ， ， ， . 其中，所以， 所以当时，为最小值，即的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)8 【解析】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 知识点五 利用向量求几何夹角 1．（24-25高一下·广东佛山·月考）在中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以的角平分线与垂直，所以， 因为，,所以， 则．故选：A 2．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 3．如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长交与点， 设， ， 同理可得，， 又，， 又，， 不妨设，其中， ， ，解得或， 当时，此时，则都是钝角， 则，矛盾. 故，则，是锐角，， 于是，解得.故选：A. 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，已知，点满足，．设线段与交于点，则_______． 【答案】 【解析】如图，由题意，是线段的中点，， 则， 且， 所求为向量与向量的夹角， 则， 所以. 5．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为__________． 【答案】 【解析】点在线段上，设， 则， ， 当时，取得最大值为， 此时， . 知识点一 奔驰定理及其应用 1．（24-25高一下·广东·月考）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ） A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即，故C正确； 对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确.故选：ACD. 2．（24-25高一下·安徽·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【解析】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 3．（24-25高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号） ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【解析】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点，    所以， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 4．（24-25高一下·广东广州·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则， 由可得，所以， 又， 则，所以， 两式相加可得，化简可得， 又，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 知识点一 力的合成问题 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 3．（24-25高一下·湖南岳阳·月考）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·月考）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北随州·月考）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 知识点二 功与动量的计算 1．（23-24高一下·江苏无锡·月考）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，求对该物体所做的功为（    ） A．－28 B．－23 C．23 D．28 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为______． 3．（24-25高一下·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为_________ 4．（24-25高一下·全国·期中）两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为______． 5．（24-25高一下·上海·月考）一物体在力的共同作用下从点移动到点．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________ J． 知识点一 速度与位移的合成 1．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 2．（24-25高一下·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 3．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成________（填弧度数）方向前进，速度为_____km/h 4．（24-25高一上·河北·月考）一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为__________. 5．（24-25高一下·河北沧州·月考）长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题. (1)当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由. (2)当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？ 知识点二 用向量解决平面几何中的平行问题 1．如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 2．如图，已知是平行四边形对角线的交点，过点的两条直线分别交四边于四点，用向量证明四边形是平行四边形． 3．如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：． 4．（23-24高一下·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 知识点三 用向量解决平面几何中的垂直及问题 1．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：． 2．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在中，，分别为边上的点，且． (1)若，用向量方法求证：； (2)延长到，若（为常数），，求的长度． 3．（23-24高一下·广西崇左·月考）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 4．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且. (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 5．（24-25高一下·广东广州·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 知识点四 利用向量求线段的长度 1．（25-26高一上·海南·开学考试）如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 3．（24-25高三下·浙江宁波·月考）在四边形中，已知，若，则的长度为（    ） A．4 B． C．5 D． 4．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在等腰中，已知，，分别是边上的点，且，，其中，且，若线段的中点分别为，则的最小值是__________ 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 知识点五 利用向量求几何夹角 1．（24-25高一下·广东佛山·月考）在中，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，已知，点满足，．设线段与交于点，则_______． 5．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为__________． 知识点一 奔驰定理及其应用 1．（24-25高一下·广东·月考）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ） A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 2．（24-25高一下·安徽·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 3．（24-25高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号） ①是的垂心；②； ③；④ 4．（24-25高一下·广东广州·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为__________. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $