专题07 两条相交直线的交点-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题07 两条相交直线的交点 一、知识梳理 （1）两条直线交点的定义 在平面直角坐标系中，若两条直线不平行，则它们必定相交，且有唯一的公共点，这个公共点就是两条直线的交点. 若两条直线平行，则它们无交点（无公共点）；若两条直线重合，则它们有无数个公共点 （2）求两条相交直线交点的方法 求两条直线交点的坐标，本质是求解由两条直线的方程组成的二元一次方程组的解，具体步骤： 1. 设两条直线的方程分别为（不同时为0），（不同时为0）； 2. 联立两条直线的方程，组成二元一次方程组： 3. 解该方程组，若方程组有唯一解，则该解就是两条相交直线的交点坐标；若方程组无解，两条直线平行；若方程组有无数解，两条直线重合. （3）利用交点判断直线的位置关系 设两条直线，，联立方程的解的情况与直线位置关系的对应： 1. 有唯一解（均不为0） 两直线相交； 2. 无解（均不为0） 两直线平行； 3. 无数解（均不为0） 两直线重合. 2、 题型精练 题型1 求两条直线的交点坐标 【典例1】．求直线和的交点坐标为（　） A． B． C． D． 【典例2】．求直线和的交点坐标为______. 题型2 根据交点坐标求直线方程中的参数 【典例1】．已知直线与直线的交点为，则实数的值为（　） A．3 B．-3 C．5 D．-5 【典例2】．已知直线与直线的交点在轴上，则实数的值为______. 题型3 利用交点判断两条直线的位置关系 【典例1】．判断直线和的位置关系为（　） A．相交 B．平行 C．重合 D．无法判断 【典例2】．若直线与相交，则实数的取值范围为______. 题型4 交点问题的综合应用（求过两直线交点的直线方程） 【典例1】．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程为（　） A． B． C． D． 三、知识检测 1．求两条直线交点的本质是求解由两条直线方程组成的（ ）的解 A．一元一次方程 B．二元一次方程组 C．一元二次方程 D．二元二次方程组 2．直线与的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知直线与的交点为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．若直线与的交点为，则的值为（ ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 5．判断直线与的位置关系为（ ） A．相交 B．平行 C．重合 D．垂直 7．直线与的交点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．已知直线过直线与的交点，且过原点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 9．直线与的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 10．若两条直线的方程组成的方程组无解，则这两条直线的位置关系为（ ） A．相交 B．平行 C．重合 D．垂直 11．已知直线与的交点在轴上，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．任意实数 12．判断直线与的位置关系为（ ） A．相交 B．平行 C．重合 D．相交且垂直 13．过直线和的交点，且垂直于轴的直线方程为（ ） A． B． C． D． 14．直线与的位置关系为______，无交点. 15．直线与的交点坐标为______. 16．已知直线与的交点为，则______. 17．已知直线过直线和的交点，且斜率为，则直线的点斜式方程为______. 18．若直线与有唯一解，则系数满足的条件为______（用比例表示）. 19．已知直线，，，且过与的交点，求： （1）与的交点坐标；（2）实数的值. 20．已知直线，，分别求满足下列条件的的值： （1）两直线相交；（2）两直线平行. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 两条相交直线的交点 一、知识梳理 （1）两条直线交点的定义 在平面直角坐标系中，若两条直线不平行，则它们必定相交，且有唯一的公共点，这个公共点就是两条直线的交点. 若两条直线平行，则它们无交点（无公共点）；若两条直线重合，则它们有无数个公共点 （2）求两条相交直线交点的方法 求两条直线交点的坐标，本质是求解由两条直线的方程组成的二元一次方程组的解，具体步骤： 1. 设两条直线的方程分别为（不同时为0），（不同时为0）； 2. 联立两条直线的方程，组成二元一次方程组： 3. 解该方程组，若方程组有唯一解，则该解就是两条相交直线的交点坐标；若方程组无解，两条直线平行；若方程组有无数解，两条直线重合. （3）利用交点判断直线的位置关系 设两条直线，，联立方程的解的情况与直线位置关系的对应： 1. 有唯一解（均不为0） 两直线相交； 2. 无解（均不为0） 两直线平行； 3. 无数解（均不为0） 两直线重合. 2、 题型精练 题型1 求两条直线的交点坐标 【典例1】．求直线和的交点坐标为（　） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查两直线交点的求解，联立直线方程组成方程组，解方程组即可得交点坐标. 详解：联立两直线方程： 将第一个方程代入第二个方程，得，解得，代入得，故交点坐标为. 故选：A. 【典例2】．求直线和的交点坐标为______. 答案： 分析：联立一般式方程组成二元一次方程组，通过消元法解方程组即可. 详解：联立方程组： 得 解得 将代入得 解得 故交点坐标为. 故此题填. 题型2 根据交点坐标求直线方程中的参数 【典例1】．已知直线与直线的交点为，则实数的值为（　） A．3 B．-3 C．5 D．-5 答案：C 分析：交点坐标同时满足两条直线的方程，将交点坐标代入含参数的直线方程，解方程即可求参数. 详解：将交点代入，得，即，解得. 故选：C. 【典例2】．已知直线与直线的交点在轴上，则实数的值为______. 答案：-6 分析：轴上的点纵坐标为0，先设交点坐标为，代入求，再将交点代入求. 详解：设交点为，代入得，解得，即交点为； 将代入，得，解得. 故此题填. 题型3 利用交点判断两条直线的位置关系 【典例1】．判断直线和的位置关系为（　） A．相交 B．平行 C．重合 D．无法判断 答案：B 分析：根据一般式方程的系数比例关系，判断方程组解的情况，进而确定直线位置关系. 详解：已知，， 则，，，满足，故两直线平行. 故选：B. 【典例2】．若直线与相交，则实数的取值范围为______. 答案：且 分析：两直线相交,系数比例为，据此列不等式求解. 详解：由相交条件得（），交叉相乘得，即， 因式分解得，解得且； 验证时，，，两直线相交，符合条件. 综上，的取值范围为且. 故此题填且. 题型4 交点问题的综合应用（求过两直线交点的直线方程） 【典例1】．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程为（　） A． B． C． D． 答案：D 分析：先求两直线的交点坐标，再根据点斜式方程求所求直线方程. 详解：第一步，求和的交点： 联立 ， 解得 ， 即交点为； 第二步，由点斜式求直线方程： 已知斜率，代入点斜式得， 整理得 . 故选：D. 三、知识检测 1．求两条直线交点的本质是求解由两条直线方程组成的（ ）的解 A．一元一次方程 B．二元一次方程组 C．一元二次方程 D．二元二次方程组 答案：B 分析：考查两直线交点的求解本质. 详解：两条直线的交点坐标同时满足两条直线的方程，故需联立组成二元一次方程组求解. 正确选项是B. 2．直线与的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：联立斜截式方程，解方程组求交点. 详解：联立，得，解得，，交点为. 正确选项是A. 3．已知直线与的交点为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：联立一般式方程，用消元法解方程组. 详解：联立 ， 由第二个方程得 代入第一个方程得 解得 将代入，得 交点为. 正确选项是B. 4．若直线与的交点为，则的值为（ ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 答案：A 分析：将交点坐标代入含参数的直线方程，解方程求参数. 详解：将代入，得，解得. 正确选项是A. 5．判断直线与的位置关系为（ ） A．相交 B．平行 C．重合 D．垂直 答案：C 分析：根据一般式系数比例关系判断，时两直线重合. 详解：，，，故两直线重合. 正确选项是C. 7．直线与的交点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 分析：求交点坐标，根据横、纵坐标的符号判断象限. 详解：联立，解得，交点在第二象限. 正确选项是B. 8．已知直线过直线与的交点，且过原点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：先求两直线交点，再根据两点式求过原点和交点的直线方程. 详解：联立，解得，交点为； 过原点和的直线斜率，方程为. 正确选项是A. 9．直线与的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：联立方程组，消元法求解. 详解：联立，由第一个方程得，代入第二个方程得，解得，，交点为. 正确选项是A. 10．若两条直线的方程组成的方程组无解，则这两条直线的位置关系为（ ） A．相交 B．平行 C．重合 D．垂直 答案：B 分析：方程组的解的情况与直线位置关系的对应. 详解：方程组无解，则两直线无公共点，则两直线平行. 正确选项是B. 11．已知直线与的交点在轴上，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．任意实数 答案：A 分析：轴上的点纵坐标为0，设交点坐标为,代入，求出交点坐标，代入求. 详解：设交点坐标为,代入，得，故交点坐标为， 将代入，得，选A. 正确选项是A. 12．判断直线与的位置关系为（ ） A．相交 B．平行 C．重合 D．相交且垂直 答案：B 分析：系数比例，两直线平行. 详解：，，故平行. 正确选项是B. 13．过直线和的交点，且垂直于轴的直线方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：先求交点，垂直于轴的直线方程为交点横坐标. 详解：联立，解得，垂直于轴的直线为. 正确选项是A. 14．直线与的位置关系为______，无交点. 答案：平行 分析：将化为一般式，判断系数比例. 详解：，，，故平行. 故答案为平行. 15．直线与的交点坐标为______. 答案： 分析：联立方程组，消元法求解. 详解：联立，两式相加得，解得，. 故答案为. 16．已知直线与的交点为，则______. 答案：7 分析：将交点代入的方程，解方程求. 详解：将代入，得，. 故答案为7. 17．已知直线过直线和的交点，且斜率为，则直线的点斜式方程为______. 答案： 详解：联立，解得交点，点斜式为. 故答案为. 18．若直线与有唯一解，则系数满足的条件为______（用比例表示）. 答案：（均不为0） 分析：唯一解对应两直线相交，系数比例不相等. 详解：两直线相交的条件为（不为0），若或为0，需单独判断斜率. 故答案为（均不为0）. 19．已知直线，，，且过与的交点，求： （1）与的交点坐标；（2）实数的值. 答案：（1）；（2） 分析：（1）联立和的方程求解交点；（2）将交点代入求. 详解：（1）联立，解得，交点为； （2）将代入，得，解得. 20．已知直线，，分别求满足下列条件的的值： （1）两直线相交；（2）两直线平行. 答案：（1）且；（2）；（3） 分析：根据一般式系数比例关系列方程求解. 详解：（1）由题可知: 得： 解得: 且 （2）由题可知： 解得： 综上，（1）且；（2）. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $