专题06 直线的一般式方程-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题06 直线的一般式方程 一、知识梳理 （1）直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，我们把方程（其中、不同时为0）称为直线的一般式方程. 核心注意：、不能同时为0，若且，方程可化为，表示与轴平行的直线；若且，方程可化为，表示与轴平行的直线. （2）直线各种形式方程的转化 直线的点斜式、斜截式均可转化为一般式，转化原则为：将所有项移至等式左边，整理为（、不同时为0）的形式，通常使A为非负数，且A、B、C为互质的整数. 1.斜截式转化为一般式：移项得（、为常数）； 2.点斜式转化为一般式：展开移项得（为常数）. （3）一般式方程的特征与直线位置关系 已知直线的一般式方程（、不同时为0）： 1.当时，直线方程为：，该直线与轴平行或重合； 2.当时，直线方程为：，该直线与轴垂直； 3.当时，该直线方程为，直线的斜率为，纵截距为. 二、题型精练 题型1 直线的点斜式、斜截式转化为一般式 【典例1】．将直线的斜截式方程转化为一般式方程为（　） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查斜截式转化为一般式，将斜截式所有项移至左边，整理为形式即可. 详解：由移项得，符合一般式要求. 故选：A. 【典例2】．将直线的点斜式方程转化为一般式方程为______. 答案： 分析：本题考查点斜式转化为一般式，先展开点斜式，再移项整理，若有分数则两边同乘分母化为整数，保证为非负数. 详解：展开得: 移项: 两边同乘2得: 故此题填. 题型2 由一般式方程求直线的斜率和截距 【典例1】．已知直线的一般式方程为，则该直线的斜率、纵截距、横截距分别为（　） A．，3，-2 B．，-3，2 C．，3，-2 D．，-3，2 答案：A 分析：本题考查由直线的一般式方程求斜率、纵截距和横截距，将一般式化为斜截式求斜率和纵截距，分别令、求纵、横截距. 详解：将方程化为斜截式：， 即 ， 斜率，纵截距； 令，得，解得，横截距. 故选A. 【典例2】．已知直线的一般式方程为，则该直线的斜率为______，纵截距为______，直线过______点. 答案：；0；原点 分析：本题考查由直线的一般式方程求斜率、纵截距和横截距.时直线过原点，纵、横截距均为0，将一般式化为斜截式即可求斜率. 详解：方程化为斜截式：，斜率，纵截距；因，直线过坐标原点. 故此题依次填；0；原点. 题型3 判断二元一次方程是否为直线的一般式 【典例1】．下列方程中，不是直线的一般式方程的是（　） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查直线的一般式方程的定义，根据直线一般式的定义，中、不同时为0，据此判断即可. 详解：A、B、D中、均不同时为0，符合一般式要求；C中且，不满足定义，不是直线的一般式方程. 故选C. 题型4 由一般式方程判断直线的位置特征 【典例1】．已知直线的一般式方程为，则该直线的位置特征为（　） A． 与轴平行 B．与轴平行 C．过原点 D．与轴相交于点 答案：A 分析：本题考查由直线的一般式方程判断直线的位置特征，一般式中，时，直线方程可化为常数，与轴平行，据此判断. 详解：方程可化为，，，表示与轴平行的直线. 故选A. 【典例2】．已知直线的一般式方程为，则该直线与轴的交点为______，与轴的交点为______. 答案：； 分析：本题考查由直线的一般式方程求直线与坐标轴交点坐标，求与轴交点令，求与轴交点令，分别代入方程求解即可. 详解：令，得，解得，与轴交点为； 令，得，解得，与轴交点为. 故此题依次填；. 题型5 一般式方程的综合应用（求定点、判断点在直线上） 【典例1】．已知直线的一般式方程为，判断点和是否在该直线上. 答案：点在直线上，点不在直线上 分析：本题考查判断点是否在直线上的知识点，将点的坐标代入一般式方程，若等式左右两边相等，则点在直线上；否则不在. 详解：将代入：，等式成立，故在直线上； 将代入：，等式不成立，故不在直线上. 【典例2】．已知直线经过点，则______. 答案：6 分析：本题考查利用直线上的点的坐标求直线一般式方程中参数代数式的值，将定点坐标代入一般式方程，化简即可得到代数式的值. 详解：将代入方程得，整理得. 故此题填6. 题型6 由直线的位置特征求一般式方程中的参数 【典例1】．已知直线的一般式方程为，若该直线过坐标原点，则实数的值为（　） A．0 B．2 C．-2 D．3 答案：A 分析：本题考查根据直线过定点的位置特征求直线一般式方程中参数，直线过原点，则原点满足方程，将其代入方程求解参数即可. 详解：将代入方程得，解得. 故选A. 三、知识检测 1．直线的一般式方程为，其中、的取值要求是（ ） A．， B．， C．、均不为0 D．、不同时为0 答案：D 分析：本题考查直线一般式方程的定义. 详解：根据一般式定义，中、不同时为0，否则方程无意义. 正确选项是D. 2．将直线的斜截式方程转化为一般式方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查直线的斜截式方程转化为一般式方程，斜截式转一般式，移项后消去分数，保证为非负数. 详解：移项得： 两边同乘3，得： 正确选项是A. 3．已知直线的一般式方程为，则其斜率为（ ） A．2 B．-2 C． D． 答案：C 分析：本题考查由直线的一般式方程求斜率，一般式中时，斜率，直接计算即可. 详解：，，斜率. 正确选项是C. 4．将直线的点斜式方程转化为一般式方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查直线的点斜式方程转化为一般式方程，展开点斜式，再移项整理为一般式. 详解：展开得，移项得. 正确选项是A. 5．已知直线的一般式方程为，则该直线（ ） A．与轴平行 B．与轴平行 C．过原点 D．纵截距为2 答案：C 分析：本题考查由直线的一般式方程判断直线位置特征及求纵截距，一般式中时，直线过坐标原点，据此判断. 详解：方程中，表示过原点的直线；、均不为0，既不与轴平行，也不与轴平行；纵截距. 正确选项是C. 6．直线的位置特征为（ ） A．与轴平行 B．与轴平行 C．过点 D．斜率为1 答案：B 分析：本题考查由直线的一般式方程判断直线位置特征，一般式中，时，直线方程为常数，与轴平行. 详解：即，，，表示与轴平行的直线，斜率不存在，过点. 正确选项是B. 7．已知直线的一般式方程为，则其横截距为（ ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 答案：B 分析：本题考查由直线的一般式方程求横截距，横截距为直线与轴交点的横坐标，令求解即可. 详解：令，得，解得，横截距为5. 正确选项是B. 8．下列方程中，属于直线一般式方程的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查直线的一般式方程的定义及判定的知识点，根据一般式定义，判断是否为且、不同时为0的形式. 详解：A是二元二次方程，不是直线方程；B是截距式，未整理为一般式；C是斜截式的变形，未整理为一般式；D符合且、不同时为0，是一般式. 正确选项是D. 9．已知直线的一般式方程为，则其纵截距为（ ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 答案：A 分析：本题考查由直线的一般式方程求纵截距，纵截距为直线与轴交点的纵坐标，令求解即可. 详解：令，得，解得，纵截距为3. 正确选项是A. 10．将直线转化为一般式方程为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查特殊直线方程转化为一般式方程，直线是与轴平行的直线，移项即可化为一般式. 详解：由移项得，即，最简一般式为. 正确选项是A. 11．已知直线的一般式方程为，则该直线的斜率为（ ） A．1 B．-1 C．7 D．-7 答案：B 分析：本题考查由直线的一般式方程求斜率，根据一般式求斜率公式计算. 详解：，，斜率. 正确选项是B. 12．已知直线经过点，则的值为（ ） A．3 B．-3 C．1 D．-1 答案：B 分析：本题考查利用直线上的点的坐标求直线一般式方程中参数代数式的值，将定点坐标代入方程，化简即可得到的值. 详解：将代入得，整理得. 正确选项是B. 13．直线与轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查由直线的一般式方程求直线与 y 轴交点坐标，求与轴交点令，代入方程求解即可. 详解：令，得，解得，交点坐标为. 正确选项是A. 14．将直线的点斜式方程转化为一般式方程为（ ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查直线的点斜式方程转化为一般式方程,展开点斜式，消去分数后移项整理为一般式. 详解：展开得: ， 移项得: ， 两边同乘4,得: 正确选项是C. 15．已知直线的一般式方程为，化简后为（ ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查直线的一般式方程化简,一般式化简为最简形式，移项后系数化为1，保留一般式特征. 详解：两边同除以5得，是最简一般式；B是斜截式形式，非一般式. 正确选项是D. 16．已知直线的斜截式方程为，其一般式方程为______. 答案： 分析：本题考查直线的斜截式方程转化为一般式方程,斜截式移项直接化为一般式即可. 详解：由移项得. 故答案为. 17．直线与轴的交点为______，与轴的交点为______. 答案：； 分析：本题考查由直线的一般式方程求直线与 x 轴、y 轴交点坐标，令求与轴交点，令求与轴交点. 详解：令，得，解得：，交点； 令，得，解得：，交点. 故答案依次为；. 18．已知直线的一般式方程为，其斜率为______. 答案：3 分析：本题考查由直线的一般式方程求斜率，一般式求斜率，先将方程化为最简，再用计算. 详解：方程化简为，，，斜率. 故答案为3. 19．将直线转化为一般式方程为______. 答案： 分析：本题考查特殊直线方程转化为一般式方程，与轴平行的直线，移项即可化为一般式. 详解：由移项得. 故答案为. 20．已知直线的斜率为，则实数的值为______. 答案：2 分析：本题考查利用直线的斜率求直线一般式方程中参数，根据一般式斜率公式列方程求解. 详解：，解得. 故答案为2. 21．判断点是否在直线上，结果为______（填“在”或“不在”）. 答案：不在 分析：本题考查判断点是否在直线上，将点的坐标代入一般式方程，验证等式是否成立. 详解：代入得，等式不成立，点不在直线上. 故答案为不在. 22．已知直线的一般式方程为，其纵截距为______. 答案：2 分析：本题考查由直线的一般式方程求纵截距，令，求解的值即为纵截距. 详解：令，得，解得：，纵截距为2. 故答案为2. 23．若直线是轴所在直线，则、、的取值为______. 答案：，， 分析：本题考查根据直线的位置特征确定直线一般式方程中参数取值，轴所在直线方程为，对应一般式的参数特征. 详解：轴方程为，即，故，，. 故答案为，，. 24．已知直线经过点和，先求其斜截式方程，再转化为一般式方程. 答案：斜截式：；一般式： 分析：本题考查由直线上两点求斜截式方程，再将斜截式方程转化为一般式方程，先求斜率，再根据纵截距得斜截式，最后移项化为一般式. 详解：斜率，纵截距，斜截式为；移项得一般式. 25．已知直线的一般式方程为，若该直线过原点，求： （1）实数的值；（2）直线的斜率和纵截距. 答案：（1）；（2）斜率为，纵截距为0 分析：本题考查根据直线过定点的位置特征求直线一般式方程中参数，以及由直线的一般式方程求斜率和纵截距，（1）将原点代入方程求；（2）将代入方程，化为斜截式求斜率和纵截距. 详解：（1）将代入得，解得； （2）将代入方程得，化简为，斜率，纵截距. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线的一般式方程 一、知识梳理 （1）直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，我们把方程（其中、不同时为0）称为直线的一般式方程. 核心注意：、不能同时为0，若且，方程可化为，表示与轴平行的直线；若且，方程可化为，表示与轴平行的直线. （2）直线各种形式方程的转化 直线的点斜式、斜截式均可转化为一般式，转化原则为：将所有项移至等式左边，整理为（、不同时为0）的形式，通常使A为非负数，且A、B、C为互质的整数. 1.斜截式转化为一般式：移项得（、为常数）； 2.点斜式转化为一般式：展开移项得（为常数）. （3）一般式方程的特征与直线位置关系 已知直线的一般式方程（、不同时为0）： 1.当时，直线方程为：，该直线与轴平行或重合； 2.当时，直线方程为：，该直线与轴垂直； 3.当时，该直线方程为，直线的斜率为，纵截距为. 二、题型精练 题型1 直线的点斜式、斜截式转化为一般式 【典例1】．将直线的斜截式方程转化为一般式方程为（　） A． B． C． D． 【典例2】．将直线的点斜式方程转化为一般式方程为_________________. 题型2 由一般式方程求直线的斜率和截距 【典例1】．已知直线的一般式方程为，则该直线的斜率、纵截距、横截距分别为（　） A．，3，-2 B．，-3，2 C．，3，-2 D．，-3，2 【典例2】．已知直线的一般式方程为，则该直线的斜率为______，纵截距为______，直线过______点. 题型3 判断二元一次方程是否为直线的一般式 【典例1】．下列方程中，不是直线的一般式方程的是（　） A． B． C． D． 题型4 由一般式方程判断直线的位置特征 【典例1】．已知直线的一般式方程为，则该直线的位置特征为（　） A． 与轴平行 B．与轴平行 C．过原点 D．与轴相交于点 【典例2】．已知直线的一般式方程为，则该直线与轴的交点为______，与轴的交点为______. 题型5 一般式方程的综合应用（求定点、判断点在直线上） 【典例1】．已知直线的一般式方程为，判断点和是否在该直线上. 【典例2】．已知直线经过点，则______. 题型6 由直线的位置特征求一般式方程中的参数 【典例1】．已知直线的一般式方程为，若该直线过坐标原点，则实数的值为（　） A．0 B．2 C．-2 D．3 三、知识检测 1．直线的一般式方程为，其中、的取值要求是（ ） A．， B．， C．、均不为0 D．、不同时为0 2．将直线的斜截式方程转化为一般式方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知直线的一般式方程为，则其斜率为（ ） A．2 B．-2 C． D． 4．将直线的点斜式方程转化为一般式方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线的一般式方程为，则该直线（ ） A．与轴平行 B．与轴平行 C．过原点 D．纵截距为2 6．直线的位置特征为（ ） A．与轴平行 B．与轴平行 C．过点 D．斜率为1 7．已知直线的一般式方程为，则其横截距为（ ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 8．下列方程中，属于直线一般式方程的是（ ） A． B． C． D． 9．已知直线的一般式方程为，则其纵截距为（ ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 10．将直线转化为一般式方程为（ ） A． B． C． D． 11．已知直线的一般式方程为，则该直线的斜率为（ ） A．1 B．-1 C．7 D．-7 12．已知直线经过点，则的值为（ ） A．3 B．-3 C．1 D．-1 13．直线与轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 14．将直线的点斜式方程转化为一般式方程为（ ） A． B． C． D． 15．已知直线的一般式方程为，化简后为（ ） A． B． C． D． 16．已知直线的斜截式方程为，其一般式方程为_________________. 17．直线与轴的交点为______，与轴的交点为______. 18．已知直线的一般式方程为，其斜率为______. 19．将直线转化为一般式方程为__________________. 20．已知直线的斜率为，则实数的值为______. 21．判断点是否在直线上，结果为______（填“在”或“不在”）. 22．已知直线的一般式方程为，其纵截距为______. 23．若直线是轴所在直线，则、、的取值为______. 24．已知直线经过点和，先求其斜截式方程，再转化为一般式方程. 25．已知直线的一般式方程为，若该直线过原点，求： （1）实数的值；（2）直线的斜率和纵截距. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $