专题03 菱形的性质与判定重难点题型专训（3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 菱形的性质与判定重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 求平行线间的距离 题型二 利用平行线间距离解决问题 题型三 添一个条件使四边形是菱形 题型四 利用菱形的性质证明 题型五 根据菱形的性质求角度 题型六 根据菱形的性质求线段长 题型七 根据菱形的性质求面积 题型八 根据菱形的性质与判定求角度 题型九 根据菱形的性质与判定求线段长 题型十 根据菱形的性质与判定求面积 拓展训练一 菱形的最值问题 拓展训练二 菱形的翻折问题 拓展训练三 菱形中存在性问题 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下面四个定义不正确的是（    ） A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 D．对角线相互垂直的平行四边形叫做菱形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的定义，根据相关概念逐一判断选项表述的正误即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴该选项定义正确，不符合题意； 、∵菱形的定义是有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，而选项中未说明是平行四边形，仅表述为四边形，不符合菱形定义， ∴该选项定义错误，符合题意； 、∵正方形的定义为有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形， ∴该选项定义正确，不符合题意； 、∵对角线互相垂直的平行四边形叫做菱形是菱形的判定定理，符合定义要求， ∴该选项定义正确，不符合题意； 故选：． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）有一组 的平行四边形叫做菱形． 【答案】邻边相等 【解析】略 知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【即时训练】 1．（2025九年级上·重庆·专题练习）菱形的周长为，那么菱形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形四边相等求解即可． 【详解】解：∵菱形的四边相等，周长为， ∴边长， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的面积．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半进行解答即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为 故答案为： 知识点三：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理以及折叠的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 利用菱形的判定定理即可判定丝巾的形状． 【详解】解：由题意可知，这块丝巾的两组对角分别相等，且邻边相等，故这块丝巾的形状一定是菱形． 故选：B． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，要使是菱形，需添加的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出答案． 【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：或． 故答案为∶ 或 【经典例题一 求平行线间的距离】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是6． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为 ． 【答案】7或3 【分析】本题考查了平行线间的距离，分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：如图，直线在直线与直线外时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 如图，直线在直线与直线之间时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 综上所述，与之间的距离为或， 故答案为：7或3． 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质及应用，熟练掌握垂线的性质是解题的关键，根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴线段的长度是直线a，b之间的距离， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是 ．    【答案】5 【分析】直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为； 【详解】如图，∵直线 ∴ ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为 故答案是：5． 【点睛】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线间的距离，运用等积法求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 【经典例题二 利用平行线间距离解决问题】 【例1】（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）把一个平行四边形任意分成两个梯形，这两个梯形的（    ）一定相等． A．周长 B．面积 C．高 D．上、下底的和 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．由于平行四边形的两组对边是平行的，它的高有无数条且都是相等的，所以无论怎样分割成两个梯形，它们的高都是相等的，据此即可解答． 【详解】解：把一个平行四边形任意分割成两个梯形后，两个梯形的高还等于原平行四边形的高； 由于平行四边形有无数条高且都是相等的，所以两个梯形的高是相等的； 答：这两个梯形的高总是相等． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离，根据平行线间距离处处相等得到，则，得到，由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（    ) A．32 B．34 C．35 D．36 【答案】B 【分析】该题主要考查了图形的面积计算，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线之间距离相等解答． 作，连接，算出，即可求解； 【详解】解：如图，作，连接，则， 可知， 因此有：， 而； 因此，． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，，点、在直线上，点、、在直线上，如果，的面积为60，那么的面积是 ． 【答案】40 【分析】由，可得出．根据，即可知与的高相等，从而可得出，即可求出结果． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴与的高相等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点睛】此题考查了平行线间的距离以及三角形的面积，解题时注意：等高的两个三角形的面积比等于它们的底边长的比． 3．（2025八年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【分析】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． 【经典例题三 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故B不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故C不符合题意； 无法证明四边形是菱形， 故D符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25九年级·全国·假期作业）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定平行四边形ABCD为菱形的是 ． A．AC⊥BD    B．∠ABD＝∠CBD    C． AB＝BC    D．AC＝BD 【答案】ABC 【分析】根据菱形的判定可直接求解． 【详解】解：当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形； 当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形； 当∠ABD＝∠CBD时， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； 当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，不是菱形； 故答案为：ABC． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． 1．（24-25九年级上·山西太原·月考）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．①对角相等 B．③对边相等 C．②对角线互相垂直 D．④邻角互补 【答案】C 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可求解，掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、平行四边形的对角都相等但不一定是矩形，该选项错误； 、矩形的对边都相等但不一定是正方形，该选项错误； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项正确； 、菱形的邻角都互补但不一定是正方形，该选项错误； 故选：． 2．（24-25九年级上·四川达州·月考）如图2，四边形的对角线相交于点O，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形为菱形．你添加的条件是 ．    【答案】互相平分 【分析】根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：当互相平分时，有 ∵ ∴ ∴, ∴ ∴四边形为菱形． 故添加的条件是互相平分 故答案为：互相平分. 【点评】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（或③） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定． （1）根据题意选择条件即可求解； （2）选①或③，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． 【详解】（1）解：①（或③） （2）解：选①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【经典例题四 利用菱形的性质证明】 【例1】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠的性质、菱形的性质、矩形的性质，证出，即可求的度数． 【详解】解：由折叠的性质得， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：A． 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）在菱形中，分别以点和点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，，直线与直线交于点，且，则的值是 ． 【答案】或 【分析】依据题意进行分情况画图，再根据所画图形，利用垂直平分线和菱形的性质推出角度相等，然后再根据内角和或者外角即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，①当为锐角时，连接，   以点和点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，，直线与直线交于点， 垂直平分， ， ． 为菱形， ． 设．， ， ， ， ， ． ②当为钝角时，分别延长和于点，连接，   以点和点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，，直线与直线交于点， 垂直平分， ， ． 为菱形， ． ， 设，则， ， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质．解题的关键在于是否能想得到菱形是可变的导致的分情况讨论． 1．（2026·福建厦门·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，旋转的性质，先根据菱形的性质推出、、、全等，再根据旋转的性质得绕点O旋转得到的是． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点O， ∴，，，， ∴、、、全等， ∴由绕点O旋转得到的是． 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，得出与的数量关系是解题关键． 直接利用菱形的性质得出进而得出答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点， ∴， ∵为的中点，且， ∴． 故答案为：4． 3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，点是边的中点，延长至点，使得，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质证明是解题的关键； 根据菱形的性质可得，，进而可得，结合题意可得，即可证明，从而可得结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 根据菱形的性质求角度】 【例1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质；菱形的邻角互补，对角线平分一组对角，可得，，再由得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 设菱形相邻两个内角的度数分别为m，n． （1）若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度” ； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及新定义，利用“接近度”定义求出是解题关键． （1）利用菱形的“接近度”定义为，进而代入求出即可； （2）根据当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，进而得出答案． 【详解】解：（1）若菱形的一个内角为， 该菱形的相邻的另一内角的度数， “接近度”等于； （2）当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度， 则菱形是正方形； 故答案为：；1． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知线段，用直尺和圆规作菱形： ①以A为顶点，任意作一条射线； ②以A为圆心，长为半径画弧交射线于点D； ③分别以B，D为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点C，连接，． 根据作图步骤及痕迹回答下列问题： (1)能得到四边形是菱形的依据是（   ） A．一组邻边相等的四边形是菱形    B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形    D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质； （1）根据尺规作图步骤可得，即可得到菱形； （2）根据菱形的性质可得，根据求解即可． 【详解】（1）解：根据作图步骤可得， ∴四边形是菱形，依据是四边相等的四边形是菱形， 故选：B； （2）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【经典例题六 根据菱形的性质求线段长】 【例1】（2025九年级上·广东深圳·专题练习）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据菱形的面积可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为16， ∴， ∴， ∵点O为的中点，， ∴； 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角． 直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形的周长为16， ∴， ∴， ∴， 而，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：3． 1．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为10，面积为12．则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，根据菱形的性质得，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为菱形，菱形的周长为10， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京顺义·开学考试）如图1，菱形纸片的面积为，对角线的长为，将这个菱形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形按图2所示的方法拼成正方形．则大正方形中空白小正方形的边长是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， 在菱形中，，，， ∵菱形纸片的面积为，对角线的长为， ，， ， ∴， ∴大正方形中空白小正方形的边长为：． 故答案为：1． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期中） 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了矩形、菱形的判定与性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证的四边形是平行四边形，再由菱形的性质求得，则可证得四边形是矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再由菱形的对角线互相平分求得的长，再结合（1）中结论即可求出答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， 即， 四边形是矩形． （2）四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：2． 【经典例题七 根据菱形的性质求面积】 【例1】（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是10，面积是12．则的值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，根据菱形的性质得，，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形的周长为10， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则的值为． 故选：B． 【例2】（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知菱形的周长为，，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、菱形面积的计算、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，结合含角的直角三角形的性质求出菱形的高，根据菱形面积公式即可解题． 【详解】 如图所示，过点作于点， 菱形的周长为， ， 在中，，， ， 菱形的面积是, 故答案为：． 1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）两张等宽的纸条按照如图方式交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论错误的是（    ） A．四边形是菱形 B． C．AC⊥BD D．四边形面积 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，然后根据菱形的性质和面积公式即可判断． 【详解】解：设两张等宽的纸条的宽为h， 纸条的对边平行， ，， ∴四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形， ， A选项说法正确，故该选项不符合题意； B选项说法正确，故该选项不符合题意； 菱形的对角线垂直且互相平分， ， 选项C正确，故该选项不符合题意； 、是菱形的对角线， 四边形ABCD面积， D选项说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，直线EF经过菱形ABCD的对角线的交点O．若，四边形AEFB的面积为，则CF的长为 ，菱形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形是中心对称图形的性质以及全等三角形的判定和性质，构造正确的辅助线是解题的关键． 根据菱形是中心对称图形可得，进而可证，故；根据菱形是中心对称图形可得，，故 【详解】解：如图，连接 是对角线的交点，且菱形是中心对称图形， 点和点关于点中心对称，点和点关于点中心对称， ． ， (SAS)． ． 菱形是中心对称图形，点是对称中心， 过对称中心的直线把菱形分为面积相等的两部分 ， 故答案为：①② 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图是由一边重合的一个矩形和一个菱形构成的组合图形，请用无刻度直尺画一条直线，使得直线既能平分图中矩形的面积，又能平分图中菱形的面积．（不写画法，保留画图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，菱形的性质，矩形的性质，中心对称，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 作出矩形，菱形的中心，，过点，作直线即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 【经典例题八 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·新疆巴州·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点E，F，连接，．若 则 ． 【答案】/59度 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识， 首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． ∵， ， ∴， ， 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 【答案】(1)菱形 (2) 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，正确理解作图是解题的关键． （1）根据四边形相等的四边形是菱形即可证明； （2）根据菱得到，由平行得到，再由邻补角即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 证明：由作图可得， ∴四边形是菱形， （2）解：四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题九 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的对角线相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形． 四边形为矩形， ， ， 是菱形， ， 菱形的周长为． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，已知正方形的面积为2，点、在对角线上且，若四边形的面积为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，设正方形的对角线交于点，根据正方形的对角形相等且垂直平分，面积等于对角线乘积的一半，求出的长，证明四边形为菱形，根据菱形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：设正方形的对角线交于点， 则：，，， ∴正方形的面积， ∴（负值舍去）； ∵，， ∴， ∴，互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积， ∴； 故答案为：1． 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的面积公式，理解纸条等宽的条件是解题关键． 先由纸条对边平行判定四边形为平行四边形，再结合纸条等宽，利用面积公式推导出邻边相等，确定其为菱形，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长． 【详解】解：如图，过点作于点E，于点F，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长为． 故选：． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线． 【第一次操作】 作的平分线交于点M，过点M作，交于点N，则四边形为菱形，且另一个四边形为平行四边形． 【第二次操作】 作【第一次操作】所得的某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形． 【第三次操作】 作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形． ……重复上述操作． （1）若四边形是菱形，则x的最小正整数值为 ； （2）若对进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有 个不同的取值． 【答案】 2 4 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质． （1）根据题意第一次操作后四边形为平行四边形，当四边形是菱形时，则，结合即可得出结果； （2）根据题意画出示意图，利用菱形的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵第一次操作后四边形为菱形，四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 则x的最小正整数值为； （2）根据题意：对进行第三次操作后，得到四个菱形，共有四种可能结果如图所示： ①， 则； ②， 则； ③， 则； ④， 则； 综上，x有个不同的取值． 3．（2025·吉林长春·二模）如图①，小颖为新房买了一盏简单而精致的吊灯．其正面的平面图如图②所示，四边形是一个菱形的内部框架，对角线相交于点，四边形是其外部框架，且点在上，． (1)求证：四边形外部框架为菱形． (2)若外部框架的周长为，，，则内部框架的边长为_____cm． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是关键． （1）先证明四边形是平行四边形．再根据即可证明平行四边形是菱形； （2）连接，交于点O，，求出证明，再求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）四边形是菱形， ． ， ． 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， ． 平行四边形是菱形． （2）如图，交于点O， ∵四边形外部框架为菱形，周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：30. 【经典例题十 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（    ）    A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：B 【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开并顺次连接折痕端点后得到四边形．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查矩形与折叠，菱形的判定和性质，根据矩形和折叠的性质，推出四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形对折， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴四边形均为矩形， ∴，互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积为； 故答案为：6． 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴四边形 是菱形， ∴设 和 交于点O， ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）所图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝5cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积是 cm2. 【答案】 【分析】通过证明四边形是一个菱形，作出高，求出高，即可求得相应的面积． 【详解】解：由题意可得，， ∴四边形是平行四边形， 作于E，于F， ∵， ∴， ∵纸条等宽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， 在Rt中，，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质的应用；判断出图形的形状是解决本题的关键． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，矩形的对角线相交于点，且． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)24 【分析】本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法，解题的关键是熟记菱形的各种判断方法． （1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分可得，由此可判定四边形是菱形； （2）连接，通过证四边形是平行四边形是平行四边形，得，根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由： ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接， 四边形是矩形， ， 由（1）可得， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形的面积． 【拓展训练一 菱形的最值问题】 【例1】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值是（    ） A．5 B． C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，分析出当菱形面积最大时的图形是解题的关键；由于菱形的高是矩形的宽，即菱形的高一定，当底最大时，菱形的面积最大，即当两矩形对角线重合时面积最大，据此画图，设，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理列方程求，再根据菱形的面积求解即可． 【详解】解：∵菱形的高是矩形的宽，即菱形的高一定， ∴当菱形的底最大时，菱形的面积最大，即当两矩形对角线重合时面积最大， 如图，此时菱形的面积最大， 由题意知：，，， 设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 解得， ， 菱形的最大面积为， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·山东德州·月考）将两张宽度相等的矩形叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD，则四边形ABCD是 形，若两张矩形纸片的长都是10，宽都是4，那么四边形ABCD周长的最大值= ． 【答案】 菱形； 23.2． 【分析】易得四边形是平行四边形，再根据宽度相等，利用面积的不同求法可得一组邻边相等，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断出四边形的形状； 菱形的周长最大，那么边长应最大，即纸条的长度减去菱形的长与菱形长，纸条宽构成直角三角形，求出边长后乘4即为最大周长． 【详解】解：如图， ∵AD∥BC，DC∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F． ∵两张矩形纸片的宽度相等， ∴AE=DF， 又∵AE•BC=DF•AB=S▱ABCD， ∴BC=AB， ∴▱ABCD是菱形； 四边形ABCD周长的最大时， 设菱形的边长是x，则x2=（10-x）2+16，解得x=5.8， 所以四边形ABCD周长的最大值=23.2． 故答案为菱形，23.2． 【点睛】本题考查菱形的判定，及运用矩形，菱形的性质进行综合运算的能力． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，求AB的值． 【答案】2． 【分析】连接DE，根据菱形的性质和三角形边长关系可得，DE的长就是PB＋PE的最小值，即可求解． 【详解】解：∵∠ABC＝120° ∴∠BCD＝∠BAD＝60°； ∵菱形ABCD中， AB＝AD ∴△ABD是等边三角形； 又∵E是AB边的中点， B关于AC的对称点是D，DE⊥AB 连接DE ，DE与AC交于P，PB＝PD ； 由三角形三边关系可得： DE的长就是PB＋PE的最小值； 设AE＝，AD＝， DE＝，所以，AB＝． 【点睛】此题主要考查了菱形的有关性质，涉及了三角形三边关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形． (1)证明：四边形是菱形； (2)如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形的周长的最大值为_______，最小值为________． 【答案】(1)见详解 (2)17，8 【分析】本题考查了菱形的判定，及运用矩形，菱形的性质进行综合运算的能力．   （1）由，可得四边形ABCD是平行四边形．然后分别过点A、D作  A E ⊥ B C �� �� ⊥ �� ��  于E，  D F ⊥ A B �� �� ⊥ �� ��  于F．又由两张矩形纸片的宽度相等，即可得，又由面积问题，可得，即可得四边形为菱形； （2）由题意可判断，当为菱形纸片的对角线时，菱形的周长有最大值 ．当时，菱形为正方形，菱形周长最小值． 【详解】（1）  解：如图，∵，   ∴四边形是平行四边形．   分别过点A、D作于E，于F．   ∵两张矩形纸片的宽度相等，   ∴，   又∵，   ∴，   ∴是菱形；   （2）当为菱形纸片的对角线时，设．如图，   在中，，   即 ． 解得 ∴菱形的周长的最大值为 当时，菱形为正方形，宽最小值为2， 菱形的周长的最小值为； 故答案为17，8 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，的面积为与交于点，分别过点作的平行线相交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，及三角形的中位线等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，找准有最小值时的P点位置是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，再证明，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，则，再证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 平行四边形为菱形； （2）解：点是的中点，点是四边形边上的动点， 当垂直于菱形的一边时，有最小值． 过点作于点， 当点为的中点时，连接， 则为的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形， ， 即， 解得：， ， 即的最小值是． 故答案为：． 【拓展训练二 菱形的翻折问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为2，则菱形的面积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BD，过点E 作EM⊥AB，设BD与AC交于点O，根据角平分线的性质得EO=EM，利用等面积法，求出OE的长，进而即可求解． 【详解】解：连接BD，过点E 作EM⊥AB，设BD与AC交于点O， 由菱形和正方形的轴对称性，可知：E、F在BD上， ∵正方形的边长为2， ∴BO=DO=AO=CO=2÷= ， ∵折叠， ∴AE是∠BAC的平分线， 又∵EO⊥AC，EM⊥AB， ∴EO=EM， ∴，即：， ∴OE=， ∴EF=， ∴菱形的面积=××=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和正方形的性质以及折叠的性质，掌握正方形的对角线互相平分且垂直，相等，是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点D恰好落在边上的点E处，折痕为．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】先证明，，再证明四边形AEFD为菱形，再根据菱形的性质结合线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵根据折叠可得∠D=∠FEA， ∴∠B=∠FEA， ∴； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形AEFD是平行四边形， 根据折叠可得AE=DA， ∴四边形AEFD为菱形， 所以 故答案为2 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，证明“四边形AEFD为菱形”是解本题的关键． 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，将锐角三角形纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后沿折叠，使点A落在点D处，折出折痕，沿剪开，则将部分展开后得到的图形为（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查剪纸问题，菱形的判定、折叠的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据折叠性质即可证明． 【详解】解：如图，根据折叠可得， 故展开得到菱形． 故选：A． 2．（2025·山东威海·一模）在数学课上，老师提出如下问题： 如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F.使得四边形DECF恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D;(2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F. 老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样折叠的依据是 ． 【答案】对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【详解】解：如图，连接DF、DE． 根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF． 则四边形DECF恰为菱形． 所以小明这样折叠的依据是: 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 3．（2025·黑龙江·模拟预测）折纸是同学们非常熟悉的手工活动之一，同样一张纸通过不同的折法，可以得出不同的图案． 如图①，在矩形纸片中，，． 活动一： （1）如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，四边形是______形； 活动二： （2）如图③，将图①中的矩形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，点不与点和点重合，点落在点处，连接，请猜想四边形是什么特殊四边形，并证明你的猜想； 活动三： （3）如图④，将图①中的矩形纸片沿直线折叠，使点的对应点落在点处，点落在点处，连接，四边形的面积是______； （4）如图⑤，连接图④中的与交于点，则______． 【答案】（1）正方；（2）四边形是菱形，理由见解析；（3）15；（4） 【分析】（1）根据折叠的性质与矩形的性质，得到，由∠BAE=90°得出结论； （2）根据折叠得到对应角、对应边相等，再根据矩形的对边平行得到内错角相等，等量代换以后得到等角对等边，最后得出四条边相等； （3）根据（2）证明过程可以得到四边形是菱形，利用勾股定理求出底边长为5，然后计算出面积； （4）作于H，根据（3）中得出的结论，利用面积法和勾股定理求出，，，再根据直角三角形的性质等量代换出边相等，最后得出结论． 【详解】解：（1）∵矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为， ∴，∠ABE =∠A’BE， ∵BA’//AE， ∴∠A’BE=∠AEB， ∴， ∵∠BAE=90°， ∴四边形是正方形； （2）四边形是菱形． 证明：由折叠的性质可得，，． 四边形是矩形， ． ． ， ． ． ，， ． 四边形是菱形． （3）根据（2）的证明过程可以得出四边形是菱形，则有： AE=EC=CF=FA， 设FC=x，则BF=9-x， ∴， ∴， 解得：x=5， ∴四边形的面积是：5×3=15cm2 （4）如图所示，作于H， 由（3）可知， 在Rt△中，由面积公式可得：， 在Rt△中，由勾股定理得：， ∵BC//AD, ∴∠B’GH=∠B’DE, ∵∠FB’H+∠HB’C=∠B’GH+∠B’DC=90°， ∴∠HB’C=∠B’DC， ∴∠FB’H =∠B’GH=∠B’DE， ∴HG=GF-FH=4-= ， 在Rt△中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题、菱形的判定与性质，关键在于熟练运用矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理来证明是菱形． 【拓展训练三 菱形中存在性问题】 【例1】（24-25八年级下·湖南永州·期末）在平行四边形中，为的中点，点，为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线与交于点，的延长线与交于点．下面四个推断：①；②；③若平行四边形是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的平行四边形，可能存在无数个四边形是矩形，其中，所有结论中错误的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，菱形的性质及判定，矩形的判定；解题关键是熟练掌握平行四边形及特殊四边形的性质和判定，动态问题可以通过分类讨论以及数形结合思想来解决． 由题意，先证和全等，从而可得，同理可证，进而可证四边形是平行四边形，则①和②均可判定； 对于③，根据四边形是菱形，可比较与的大小，进而可判定； 对于④，根据已证的四边形是平行四边形及矩形的判定定理，可判定． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 同理得， ∴四边形是平行四边形， ∴，但与不一定相等，故①错误，②正确； 若四边形是菱形， 则， ∴， ∵点，为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合）， ∴， ∴不存在四边形是菱形，故③错误； 由题意知存在，则， ∴可能存在无数个四边形是矩形，故④正确； 综上所述，以上结论错误的是①③， 故选：． 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】①存在无数个平行四边形，故①正确； ②平行四边形的包含矩形、菱形图形，故②正确； ③平行四边形不一定是矩形，故③正确； ④存在无数个平行四边形ABEF，故④正确； 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，熟记各定理是解题的关键． 1．（2026八年级下·全国·专题练习）在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向终点A运动，点Q是边上的一点．若四边形是矩形，，点P运动的时间为，在线段上是否存在一点G，使得以B、Q、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，3或8 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理；当点G在点P的左侧时，由菱形的性质得，由勾股定理得，求出，即可求解；当点G在点P的右侧时，同理可求． 【详解】解：如图①，当点G在点P的左侧时， ∵四边形是菱形， ． 又， 四边形是矩形， ， ， （）， ∴； 如图②，当点G在点P的右侧时， 同理可求， （）， ∴． 综上，t的值为3或8． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，四边形中，于点O，且，点P为线段上的一个动点． (1)填空：　　　． (2)过点P分别作于M点，作于H点． ①试说明为定值． ②连接，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)13 (2)①，说明见解析；②的最小值为，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形综合．熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式，垂线段性质，是解决问题的关键． （1）判定四边形为棱形，为直角三角形．由勾股定理得； （2）①连接，根据，得．得；②根据为定值，可知当最短时，最小．由垂线段最短可知，当点P与点O重合时, 最短，最小值为：． 【详解】（1）∵于点O，， ∴四边形为棱形，为直角三角形． ∴． 故答案为：13． （2）①如图所示：连接． ∵， ∴． 即． ∴． ∴． ②∵为定值， ∴当最短时，有最小值． ∵由垂线段最短可知， 当时，最短． ∴当点P与点O重合时, 有最小值． 最小值为：． 3．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，使为菱形 (2) (3)不存在，使为正方形 【分析】本题考查四边形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置 （）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：不存在，理由： ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； （2）如图，∵，； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）由当时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形不能是正方形， 即不存在时间，使四边形是正方形 A基础训练 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形中，，可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，故本选项正确； B、平行四边形中，，可证明平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； C、平行四边形中，本来就有，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； D、平行四边形中，∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误． 故选：A． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，先证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， ∵两张纸条宽度相同， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 而由四边形是菱形不能得出， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 3．（25-26九年级上·全国·期中）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键．先确定的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示： ， 又∵， ， ∵， ∴， ， 故选：D． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）在下列方案中，能够得到是的平分线的是（  ） 方案Ⅰ： 取，以A，B为顶点作平行四边形，连接． 方案Ⅱ： 取，以A，B为顶点作矩形，连接，交于点C，连接． A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、矩形的性质，解题的关键是正确推理． 根据菱形的性质与判定和矩形的性质证明即可． 【详解】解：方案Ⅰ： 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， （菱形的性质）， 是的平分线； 方案Ⅱ： 矩形， （矩形的性质）， ，， ， ， 是的平分线； 综上所述，方案Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选：B． 5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，中，，，，平行四边形内放着两个菱形，菱形和菱形，它们的重叠部分是平行四边形．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意由平移的性质可得的周长=的周长=的周长=，过点I作IP⊥EF，然后结合菱形性质和含30°直角三角形的性质求得IP，从而求解． 【详解】解：由题意的周长为 又∵三个阴影平行四边形的周长相等， ∴由平移的性质可得：的周长=的周长=的周长= ∴ ∴ 又∵，，且四边形和四边形是菱形， ∴，，， 过点I作IP⊥EF ∴在Rt△IJP中，， ∴平行四边形的面积为 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，平移的性质及含30°直角三角形的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． B 提高训练 6．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是 °． 【答案】120 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，可得是等边三角形，由菱形可得平分，继而可得． 【详解】解：连接，由题意得， ∵菱形的边长， ∴，平分， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：120． 8．（2025·北京·模拟预测）图中菱形的两条对角线长分别为和，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图所示的图形，则图中菱形的面积等于 ；图中间的小四边形的面积等于 ． 【答案】 24 1 【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积． 【详解】∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴菱形的面积等于×6×8＝24， 菱形的边长等于＝5， ∴图2中间的小四边形的面积等于25−24＝1． 故答案为：24，1． 【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 9．（2025·四川雅安·二模）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用菱形的性质得出，，进而利用三角形等面积法列方程求出答案． 【详解】解：菱形的周长为20，面积为， ，， ∴， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 故答案为：6． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接．若，四边形的面积为，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查菱形的判定与性质．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：由作图知， 四边形为菱形， ， 四边形的面积为， ， ， 故答案为：6． C 培优训练 11．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，是菱形的对角线，点E在边上，连接，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据菱形的性质可知，，因为，则可求，进而可求． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见详解 (2)8 【分析】该题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据矩形对角线相等且互相平分可得进而可以解决问题； （2）在矩形中，，则，结合，得出，则，，根据，得出，则，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线与相交于点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵在矩形中，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 13．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到即可得证； （2）三线合一，得到，进而得到四边形是菱形，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴， ∵点在上， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形， ∴． 故答案为：5． 14．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）如图1，在中，，，，，相交于点O，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点P，连接，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，矩形的性质及判定，勾股定理，解题关键是熟练掌握特殊四边形的判定及性质． （1）由条件先证四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理，即可求解； （2）由条件先证四边形是矩形，再利用对角线相等即可证明； （3）过点D作于点H，通过菱形的等面积法求出，再利用勾股定理求． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴四边形是平行四边形． 由（1）可知四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． （3）如图，过点D作于点H， ∴， ∵菱形的面积， ∴， ∴解得， 在中，由勾股定理，得， 由（2）可得四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 15．（24-25八年级下·福建泉州·期末）（1）探究：如图1，在中，，线段是边上的中线． ①请通过测量，试猜想与的数量关系是__________； ②证明你的猜想； （2）应用（1）的结论解决问题：如图2，在菱形中，对角线和相交于点，，过点作直线，点在线段上且不与点重合，以为边作矩形，使得点在直线上（点不与点重合），连接，试求的度数． 【答案】（1）①；②见解析；（2）的度数为或 【分析】（1）①根据题意测量的长，猜想； ②延长到点，使，连接，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得证； （2）连接交于点，连结，可得四边形是菱形①当点在的同侧时，②当点在的异侧时，结合图形，即可求解． 【详解】解：（1）①测量后猜测， 故答案为：． ②证明：延长到点，使，连接 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． （2）证明：连接交于点，连结 四边形是矩形， ， 四边形是菱形 ，即， 直线， ， ， ， ， ， ， ， ， ①当点在的同侧时， ②当点在的异侧时， 综上所述，的度数为或 【点睛】本题考查了矩形的性质与潘多拉，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 菱形的性质与判定重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 求平行线间的距离 题型二 利用平行线间距离解决问题 题型三 添一个条件使四边形是菱形 题型四 利用菱形的性质证明 题型五 根据菱形的性质求角度 题型六 根据菱形的性质求线段长 题型七 根据菱形的性质求面积 题型八 根据菱形的性质与判定求角度 题型九 根据菱形的性质与判定求线段长 题型十 根据菱形的性质与判定求面积 拓展训练一 菱形的最值问题 拓展训练二 菱形的翻折问题 拓展训练三 菱形中存在性问题 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下面四个定义不正确的是（    ） A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 D．对角线相互垂直的平行四边形叫做菱形 2．（2025九年级上·全国·专题练习）有一组 的平行四边形叫做菱形． 知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【即时训练】 1．（2025九年级上·重庆·专题练习）菱形的周长为，那么菱形的边长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ． 知识点三：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，要使是菱形，需添加的条件是 ． 【经典例题一 求平行线间的距离】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【例2】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为 ． 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 2．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是 ．    3．（24-25八年级下·全国·课后作业）几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【经典例题二 利用平行线间距离解决问题】 【例1】（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）把一个平行四边形任意分成两个梯形，这两个梯形的（    ）一定相等． A．周长 B．面积 C．高 D．上、下底的和 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 1．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（    ) A．32 B．34 C．35 D．36 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，，点、在直线上，点、、在直线上，如果，的面积为60，那么的面积是 ． 3．（2025八年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【经典例题三 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级·全国·假期作业）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定平行四边形ABCD为菱形的是 ． A．AC⊥BD    B．∠ABD＝∠CBD    C． AB＝BC    D．AC＝BD 1．（24-25九年级上·山西太原·月考）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．①对角相等 B．③对边相等 C．②对角线互相垂直 D．④邻角互补 2．（24-25九年级上·四川达州·月考）如图2，四边形的对角线相交于点O，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形为菱形．你添加的条件是 ．    3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【经典例题四 利用菱形的性质证明】 【例1】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）在菱形中，分别以点和点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，，直线与直线交于点，且，则的值是 ． 1．（2026·福建厦门·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为 ． 3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，点是边的中点，延长至点，使得，连接、，求证：． 【经典例题五 根据菱形的性质求角度】 【例1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为 ． 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 设菱形相邻两个内角的度数分别为m，n． （1）若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度” ； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知线段，用直尺和圆规作菱形： ①以A为顶点，任意作一条射线； ②以A为圆心，长为半径画弧交射线于点D； ③分别以B，D为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点C，连接，． 根据作图步骤及痕迹回答下列问题： (1)能得到四边形是菱形的依据是（   ） A．一组邻边相等的四边形是菱形    B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形    D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 (2)连接，若，求的度数． 【经典例题六 根据菱形的性质求线段长】 【例1】（2025九年级上·广东深圳·专题练习）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【例2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ． 1．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为10，面积为12．则的值为（   ） A． B． C．3 D． 2．（24-25八年级下·北京顺义·开学考试）如图1，菱形纸片的面积为，对角线的长为，将这个菱形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形按图2所示的方法拼成正方形．则大正方形中空白小正方形的边长是 ． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期中） 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，则的长为 ． 【经典例题七 根据菱形的性质求面积】 【例1】（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是10，面积是12．则的值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【例2】（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知菱形的周长为，，则菱形的面积是 ． 1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）两张等宽的纸条按照如图方式交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论错误的是（    ） A．四边形是菱形 B． C．AC⊥BD D．四边形面积 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，直线EF经过菱形ABCD的对角线的交点O．若，四边形AEFB的面积为，则CF的长为 ，菱形ABCD的面积为 ． 3．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图是由一边重合的一个矩形和一个菱形构成的组合图形，请用无刻度直尺画一条直线，使得直线既能平分图中矩形的面积，又能平分图中菱形的面积．（不写画法，保留画图痕迹） 【经典例题八 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 1．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·新疆巴州·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点E，F，连接，．若 则 ． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 【经典例题九 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的对角线相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 【例2】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，已知正方形的面积为2，点、在对角线上且，若四边形的面积为1，则 ． 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线． 【第一次操作】 作的平分线交于点M，过点M作，交于点N，则四边形为菱形，且另一个四边形为平行四边形． 【第二次操作】 作【第一次操作】所得的某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形． 【第三次操作】 作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形． ……重复上述操作． （1）若四边形是菱形，则x的最小正整数值为 ； （2）若对进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有 个不同的取值． 3．（2025·吉林长春·二模）如图①，小颖为新房买了一盏简单而精致的吊灯．其正面的平面图如图②所示，四边形是一个菱形的内部框架，对角线相交于点，四边形是其外部框架，且点在上，． (1)求证：四边形外部框架为菱形． (2)若外部框架的周长为，，，则内部框架的边长为_____cm． 【经典例题十 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（    ）    A．2 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开并顺次连接折痕端点后得到四边形．若，，则四边形的面积为 ． 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）所图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝5cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积是 cm2. 3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，矩形的对角线相交于点，且． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，求四边形的面积． 【拓展训练一 菱形的最值问题】 【例1】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值是（    ） A．5 B． C．12 D．15 【例2】（24-25八年级下·山东德州·月考）将两张宽度相等的矩形叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD，则四边形ABCD是 形，若两张矩形纸片的长都是10，宽都是4，那么四边形ABCD周长的最大值= ． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，求AB的值． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形． (1)证明：四边形是菱形； (2)如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形的周长的最大值为_______，最小值为________． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，的面积为与交于点，分别过点作的平行线相交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是_______． 【拓展训练二 菱形的翻折问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为2，则菱形的面积为（ ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点D恰好落在边上的点E处，折痕为．若，，则的长为 ． 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，将锐角三角形纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后沿折叠，使点A落在点D处，折出折痕，沿剪开，则将部分展开后得到的图形为（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 2．（2025·山东威海·一模）在数学课上，老师提出如下问题： 如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F.使得四边形DECF恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D;(2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F. 老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样折叠的依据是 ． 3．（2025·黑龙江·模拟预测）折纸是同学们非常熟悉的手工活动之一，同样一张纸通过不同的折法，可以得出不同的图案． 如图①，在矩形纸片中，，． 活动一： （1）如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，四边形是______形； 活动二： （2）如图③，将图①中的矩形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，点不与点和点重合，点落在点处，连接，请猜想四边形是什么特殊四边形，并证明你的猜想； 活动三： （3）如图④，将图①中的矩形纸片沿直线折叠，使点的对应点落在点处，点落在点处，连接，四边形的面积是______； （4）如图⑤，连接图④中的与交于点，则______． 【拓展训练三 菱形中存在性问题】 【例1】（24-25八年级下·湖南永州·期末）在平行四边形中，为的中点，点，为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线与交于点，的延长线与交于点．下面四个推断：①；②；③若平行四边形是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的平行四边形，可能存在无数个四边形是矩形，其中，所有结论中错误的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是 ． 1．（2026八年级下·全国·专题练习）在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向终点A运动，点Q是边上的一点．若四边形是矩形，，点P运动的时间为，在线段上是否存在一点G，使得以B、Q、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，四边形中，于点O，且，点P为线段上的一个动点． (1)填空：　　　． (2)过点P分别作于M点，作于H点． ①试说明为定值． ②连接，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． A基础训练 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期中）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）在下列方案中，能够得到是的平分线的是（  ） 方案Ⅰ： 取，以A，B为顶点作平行四边形，连接． 方案Ⅱ： 取，以A，B为顶点作矩形，连接，交于点C，连接． A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，中，，，，平行四边形内放着两个菱形，菱形和菱形，它们的重叠部分是平行四边形．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 7．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是 °． 8．（2025·北京·模拟预测）图中菱形的两条对角线长分别为和，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图所示的图形，则图中菱形的面积等于 ；图中间的小四边形的面积等于 ． 9．（2025·四川雅安·二模）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接．若，四边形的面积为，则的长为 ． C 培优训练 11．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，是菱形的对角线，点E在边上，连接，若，，求的度数． 12．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 13．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则______． 14．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）如图1，在中，，，，，相交于点O，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点P，连接，求的长． 15．（24-25八年级下·福建泉州·期末）（1）探究：如图1，在中，，线段是边上的中线． ①请通过测量，试猜想与的数量关系是__________； ②证明你的猜想； （2）应用（1）的结论解决问题：如图2，在菱形中，对角线和相交于点，，过点作直线，点在线段上且不与点重合，以为边作矩形，使得点在直线上（点不与点重合），连接，试求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $