专题02 矩形的性质与判定重难点题型专训（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 矩形的性质与判定重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 矩形的判定定理理解 题型三 添一条件使四边形是矩形 题型四 求矩形在坐标系中的坐标 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 证明四边形是矩形 题型七 根据矩形的性质与判定求角度 题型八 根据矩形的性质与判定求线段长 题型九 根据矩形的性质与判定求面积 拓展训练一 矩形的最值问题 拓展训练二 矩形的存在性问题 拓展训练三 矩形的折叠问题 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）矩形不一定具备的性质是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：矩形的对边相等，对角相等，对角线也相等，但是矩形的对角线不一定互相垂直， 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则 cm． 【答案】12 【分析】根据矩形对角线相等性质即可求得BD的长． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AO=6cm， ∴BD=AC=2AO=12cm， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相互平分且相等是关键． 知识点二：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．利用矩形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·广西玉林·期中）矩形的长和宽分别是3与2，则它的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的面积等于长乘以宽，进行计算即可． 【详解】解：由题意，矩形的面积为； 故答案为：6． 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）添加一个条件： ，使平行四边形成为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：根据矩形的判定，添加的条件可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·月考）下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质和菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．根据矩形的性质和菱形的性质进行判断即可． 【详解】解：矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等， 故矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选B． 【例2】（24-25八年级下·四川自贡·月考）广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的对角线互相平分且相等即可得到答案． 【详解】解：第一条对角线用了21盆花，还需要运来盆花， 第一条对角线用了21盆花，中间一盆为对角线交点， 故还需要盆； 如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来24盆花； 第一条对角线用了24盆花，矩形的对角线互相平分且相等， 故还需要运来24盆花． 故答案为：，． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）将6张宽为1的小长方形按如图摆放在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C．32 D． 【答案】C 【分析】过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，由图形可知AE = CF= AF= CE = 4，DE=BF=4，则BC=8，即可得出结论． 【详解】解：过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD与E，如图所示； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC， ∴AF⊥AD，CE⊥BC， ∴四边形AFCE是矩形， ∴AE=CF， ∴DE = BF， 由图形可知： AE =CF=AF=CE=4，DE=BF=A， ∴BC= BF + CF = 8， ∴平行四边形ABCD的面积=BC·AF=8×4=32， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）有一个角是 的 叫做矩形． 矩形的 个角都是直角． 矩形的对角线 ． 矩形既是 对称图形，又是 对称图形，它至少有 条对称轴． 有 个角是直角的四边形是矩形． 对角线相等的 是矩形． 【答案】 直角 平行四边形 四 相等 中心 轴 两 三 平行四边形 【分析】根据矩形的定义、判定及性质：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴．有三个角是直角的四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形．逐题解答即可得到答案． 【详解】解：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． ②矩形的四个角都是直角． ③矩形的对角线相等． ④矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴． ⑤有三个角是直角的四边形是矩形． ⑥对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：直角；平行四边形；四；相等；中心；轴；两；三；平行四边形． 【点睛】本题考查矩形的定义、判定及性质，熟记矩形的定义、判定及性质是解决问题的关键． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，矩形的顶点都是格点．先画的高，再过点C画的平行线． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．根据网格的特点和相关判定和性质进行作图即可． 【详解】解：如图，即为所求， 证明：设正方形网格的边长为1个单位长度， 由网格特征可知，，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为的高； ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ 【经典例题二 矩形的判定定理理解】 【例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】 （24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D在边上，，，则当 时，四边形是矩形．    【答案】45° 【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质，可得∠A=90°，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵当四边形是矩形时，∠A=90°， 又∵， ∴∠C= ． 故答案是：45°． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的对角线相等，且互相平分，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形有三个， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）在平行四边形中，、是两条对角线．现有四个条件：①；②；③；④．其中可以推出平行四边形是矩形的有 ．（写出符合题意的全部序号） 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，还涉及菱形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定定理分析即可． 【详解】解：如图， ①∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，不是矩形，不符合题意； ②∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，符合题意； ③∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，符合题意； ④∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，不是矩形，不符合题意； 故答案为：②③． 3．（24-25九年级上·山东青岛·月考）已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图--复杂作图，矩形的判定，尺规作垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据要求作出图形即可． 【详解】解：如图，矩形即为所求， 【经典例题三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形添加条件判定矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合添加各选项的条件逐一判别即得． 【详解】解：A、， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， 故A能判定，该选项不符合题意； B、， ∴平行四边形为矩形， 故B能判定，该选项不符合题意； C、 ∴是直角三角形， ， ∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意； D、添加， 不能判定或， ∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意． 故选： D． 【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A． ∵，∴，即，平行四边形不是矩形 B． ，无法判定平行四边形是矩形 C． ，无法判定平行四边形是矩形 D． ∵，∴，平行四边形是矩形 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）的对角线相交于点O，当满足 时，四边形是矩形．（只添加一个条件） 【答案】或或或等（答案不唯一） 【分析】本题考查了由平行四边形判定矩形．熟练掌握由平行四边形判定矩形的定理，是解题的关键． 根据矩形的判定定理推出即可． 【详解】添加，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定是矩形； 添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）； 添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）； 添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）． 故答案为：或或或 3．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． (1)添加的条件是_______； (2)请给出证明过程． ________________________________ 【答案】(1) (答案不唯一) (2)见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． （1）根据题意添加合适的条件即可； （2）证明，则，又由，即可证明四边形是平行四边形，又由即可证明四边形成为矩形． 【详解】（1）添加的条件是； 故答案为： (答案不唯一) （2）证明∶ ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【经典例题四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ． 【答案】（，） 【分析】由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝90°， ∵AC∥x轴， ∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°， ∵AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴OA＝OC＝3， ∴OD＝OA＝， ∴AD＝OD＝， ∴点A的坐标是（，）； 故答案为：（，）． 【点睛】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键． 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，坐标与图形；根据题意求得点，根据旋转的性质可得分别对应，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，矩形的周长为12， ∴， ∴，， ∵的中点为坐标原点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点逆时针旋转后与点重合， 将绕着点逆时针旋转得到， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 2．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）已知长度，即可求出周长； （2）由题意得：，根据此式可求出的长度，即可得出答案； （3）画出图形，根据即可求出． 【详解】（1）解：长方形的周长为：； （2）解：由题意得：， 设，则， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，    由题意得：，， ∴，，， ∴； 【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练使用面积转化的方法表示三角形的面积是解题关键． 【经典例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】 （24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（     ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质、直角三角形的性质，根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，点，在对角线上，请添加一个条件，使得结论“”成立，你添加的一个条件是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】由矩形的性质知，，，得到，再结合全等三角形的判定方法添加即可． 【详解】可以添加条件为： 在矩形中，，， ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）求证：矩形的两条对角线相等． 已知：如图，四边形ABCD为矩形．求证：． 以下是排乱的证明过程： ①∵， ②∴，． ③∵四边形ABCD是矩形， ④∴． ⑤∴． 证明步骤正确的顺序是（    ） A．①②③⑤④ B．③①②⑤④ C．①⑤②③④ D．③②①⑤④ 【答案】D 【分析】根据矩形的性质,先证明三角形全等,根据性质得到结论． 【详解】∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ，． ∵， ∴． ∴． 故顺序是③②①⑤④， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·北京东城·月考）如图，E是矩形的边上一点，，P是对角线上任意一点，，垂足分别为F和G，则一定与图中哪条线段的长度相等： ． 【答案】或 【分析】连接， 根据，，，可得，根据矩形的性质可得，根据三角形面积相等即可解得． 【详解】证明：连接，如图 ∵，，， ∴ ， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，面积法求线段的数量关系，连接，用两种方法表示出的面积是解答本题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中作出矩形的对称轴，使； (2)在图2中作出菱形，使得点，，分别在，，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接二线交于点O，作直线，利用三角形中位线定理可以判定直线即为所求． （2）根据矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定，画图即可． 【详解】（1）解：根据题意，连接二线交于点O，作直线， 则直线即为所求． （2）解：根据三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的判定和性质，画图如下： 则菱形即为所求． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【经典例题六 证明四边形是矩形】 【例1】（25-26九年级上·全国·期末）四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ） A．， B．，， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，矩形的判定需满足对角线互相平分且相等，或有一个直角的平行四边形. 选项D中，说明对角线互相平分且相等，可判定矩形． 【详解】解：A选项：，，四边形是平行四边形，但是不能判定四边形是矩形，故A选项不符合题意； B选项：，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，故B选项不符合题意； C选项：，，无法判定四边形是平行四边形或矩形，故C选项不符合题意； D选项：，四边形的对角线相等且互相平分，可以判定四边形是矩形，故D选项符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，为了检查平行四边形书架是否为矩形，工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架就是矩形，请你说出其中的数学原理 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形），解题的关键是明确已知图形为平行四边形，再结合对角线相等的条件，匹配对应的矩形判定定理． 先确定书架是平行四边形，工人师傅测量得其对角线与长度相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理，即可判断该平行四边形书架为矩形，由此得出所用的数学原理． 【详解】解：已知书架是平行四边形，工人师傅通过测量发现其对角线；   根据矩形的判定定理，当平行四边形的对角线相等时，该平行四边形为矩形；   因此，所用的数学原理是“对角线相等的平行四边形是矩形”．   故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 1．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形的常用判定方法有：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是90度的平行四边形是矩形；有三个角是90度的四边形是矩形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项符合题意； C、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； D、由，，，无法判断四边形是矩形，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建·期中）如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，矩形的判定和性质逐一判定即可． 【详解】在矩形中，， ∵B，P两点重合，折痕为， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，①是正确的； ∵点B，P的对应点分别为，，折痕为l， ∴，②是正确的； 由第一次折叠可得：， 由矩形得：， ∴， ∴，④是正确的； 由第一次折叠可得：， 由第二次折叠可得：， ∴，⑤是正确的； 不能判定③，正确的有：①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，于点，过点作，且，连接、、．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，平行线的判定，由，，得，所以，又，可证四边形为平行四边形，最后通过矩形的判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【经典例题七 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【例2】（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么 度． 【答案】105 【分析】过点C作CH⊥AB于H，由旋转和线段垂直平分线的性质可得EF＝BE＝AE，则△BEF是等腰直角三角形，可得∠EBF＝45°，证明四边形EFCH是矩形，可得CH＝EF＝AB＝AC，可得出∠CAH＝30°，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处， ∴AE＝EF， ∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC， ∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°， ∴EF＝BE＝AE， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠EBF＝45°， ∵DE⊥AB，CF AB， ∴CF⊥DE， ∵DE⊥AB，CH⊥AB， ∴四边形EFCH是矩形， ∴CH＝EF＝AB＝AC， ∴∠CAH＝30°， ∴∠AGB＝180°−∠EBF−∠CAH＝180°−45°−30°＝105°． 故答案为：105． 【点睛】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，求出∠EBF＝45°，∠CAH＝30°是解题的关键． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·吉林通化·期末）如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． 证明平行四边形是矩形，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 【经典例题八 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，连接，根据矩形的性质得到，当最小时，最小，当时，的值最小，根据矩形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当最小时，最小， 当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为2， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图，图③是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：．则在图③时，点，之间的距离为 ． 【答案】20 【分析】连接，先证明四边形是矩形，即可得到．本题考查矩形的判定，解答时涉及平行线的判定，平行四边形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 故答案为：20． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为边上一动点．过点P分别作于点于点为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．4.8 B．4 C．3 D．2.4 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键． 根据矩形的性质就可以得出，互相平分，且，根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可． 【详解】解：， ， 四边形为矩形． 为矩形对角线的中点， 延长应过点P，如图所示， ． 由勾股定理，得． 当为斜边上的高，即时，有最小值，则也有最小值． 此时， ， 的最小值是2.4． 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是一个含角的三角板，，，将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，点A与点 D对应，点 B与点E 对应，当边与原三角板的一边平行时，则点A 与点 E 的距离为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，再利用相关性质解题．据题意画出图形，分将三角板绕着点 C 顺时针旋转 及两种情况讨论，进行求解即可． 【详解】解：中，，， ， 由旋转性质可得：， 如图所示， 将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，， 此时； 如图所示， 将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：或5． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    【答案】当时，四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用．根据矩形的性质得出，，，当时，四边形是矩形，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 所以当时，四边形是矩形． 【经典例题九 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】 （24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 【例2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了矩形的判定和性质．先证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线相等，且相互平分， ∴四边形为矩形， ∵相邻两边的边长分别为，即矩形的长、宽分别为， ∴四边形的面积为 故答案为：6 1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 【详解】解：如图，连接交于G，交于H， 平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ． ∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积 ， 故答案为： 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证得，再根据可得四边形为平行四边形，然后由得，进而得，再由得，据此可得出结论； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，证明四边形为矩形得，然后表示，，可得，，的等量关系． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，如下图所示： 证明四边形为矩形得， ∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形 ∴， ∵，，， ∴， 即． 【拓展训练一 矩形的最值问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）在长方形中，，，，P是线段上的动点，分别是边，上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三点在同一条直线上分析即可得到结论． 【详解】解：∵P是线段上的动点，分别是边，上的动点， ∴当三点在同一条直线上，且时，的值最小， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·甘肃兰州·月考）如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，取得最小值， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且，． (1)求证：四边形CEDF是矩形； (2)连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由三个角是直角的四边形是矩形可证四边形CEDF是矩形； （2）连接CD，由矩形的性质可得CD＝EF，当CD⊥AB时，CD有最小值，即EF有最小值，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°， ∴∠DFB＝∠C＝90°， ∴∠DFC＝90°＝∠C， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C， ∴四边形CEDF是矩形； （2）解：连接CD，如图所示： 由（1）可知，四边形CEDF是矩形， ∴CD＝EF， ∴当CD有最小值时，EF的值最小， ∵当CD⊥AB时，CD有最小值， ∴CD⊥AB时，EF有最小值， ∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5， ∴CD的最小值为5， ∴EF的最小值为5． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质以及最小值问题，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山西阳泉·月考）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； 分析； (3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 【答案】(1)1，大，2 (2)1，大，5，1，5，5 (3)当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查配方法的应用： （1）根据完全平方的非负性，进行作答即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性，进行求解即可； （3）设花园与墙垂直的边长为，利用矩形的面积公式，求出面积，利用配方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当，即：时，有最大值为2； 故答案为：1，大，2； （2）， ∵， ∴当时，有最大值为5； 故答案为：1，大，5，1，5，5； （3）设花园与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为：， ∴花园的面积， ∵， ∴当时，有最大值为：50； 答：当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 3．（24-25八年级上·吉林长春·月考）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)2 (2)①见解析② (3)的最大值为，最小值为1 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）在中，由勾股定理得出，由折叠得，从而可求出； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点A时，此时最小；当折痕所在直线经过点C时，最大，，由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵矩形纸片中，， ∴， 由折叠得，点落在对角线上的点E处， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：①证明：由折叠得 在和中， ， ∴， ②设， 由折叠的性质得：，， ∵ ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：当折痕所在直线经过点A时，如图所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点C时，如图所示： 此时最大，， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，最小值为1． 【拓展训练二 矩形的存在性问题】 【例1】（2025·安徽安庆·二模）如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，求出，再由勾股定理结合折叠的性质可得，，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴，，， ∵的面积为24， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， 故选：B． 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】①存在无数个平行四边形，故①正确； ②平行四边形的包含矩形、菱形图形，故②正确； ③平行四边形不一定是矩形，故③正确； ④存在无数个平行四边形ABEF，故④正确； 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，熟记各定理是解题的关键． 1．（24-25八年级下·广东广州·月考）已知△ABC的三边BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足|a﹣|++（c﹣3）2＝0．如图，P为BC边上一动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：四边形AMPN是矩形； （2）在点P的运动过程中，MN的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）存在，． 【分析】(1)根据“矩形的定义”证明结论； (2)连结AP．当AP⊥BC时，AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求MN的值． 【详解】解：(1)证明：∵|a﹣|++（c﹣3）2＝0， ∴a＝，b＝2，c＝3， ∵b2+c2＝22+32＝13＝a2， ∴∠BAC＝90°， ∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N， ∴∴∠AMP＝∠ANP＝90°， ∴∠BAC＝∠AMP＝∠ANP＝90°， ∴四边形AMPN是矩形； (2)存在．理由如下： 连结AP． ∵四边形AMPN是矩形， ∴MN＝AP． ∵当AP⊥BC时，AP最短． ∴2×3＝•AP． ∴AP＝， ∴MN的长度的最小值． 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等和面积法是解题的关键． 2．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当时，四边形是矩形，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）可求，，从而得到答案； （2）四边形是矩形，从而可得，可求解； （3）可求，，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：， （2）解：存在， 在四边形中：，， 当时，四边形是矩形， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）解：不存在， 如图，过点D作，垂足为E， 则四边形为矩形， ，， 由题意得： ，， ，，， ， 当时，，， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 四边形不可能为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法及性质、勾股定理等知识，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 3．（2025九年级·陕西·专题练习）问题探究 （1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； （2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分． 问题解决 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由 【答案】问题探究（1）见解析；（2）见解析；  问题解决：存在，y= 【分析】（1）矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分． （2）连接AC，BD中心点位P，过P点的直线分矩形为相等的两部分． （3）假如存在，过点D的直线只要作DA⊥OB与点A，求出P点的坐标，设直线PH的表达式为y=kx+b，解出点H的坐标，求出斜率k和b．若k和b存在，直线就存在． 【详解】解：（1）如图① （2）如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求． （3）    如图③存在直线l 过点D的直线只要作 DA⊥OB与点A 则点P(4，2)为矩形ABCD的对称中心， ∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可． 易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分． 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积 即直线 PH为所求直线l 设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4，2)， ∴2=4k+b 即b=2-4k ∴y=kx+2-4k ∵直线OD的表达式为y=2x ∴ ，解得 ∴点H的坐标为（ ） ∴PH与线段AD的交点F（2，2-2k） ∴0＜2-2k＜4 ∴-1＜k＜1 ∴S△DHF= ∴解之得．（舍去） ∴b=8- ∴直线l的表达式为y=． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，前两问还是比较容易，但是最后一问比较麻烦，容易出错，做的时候要认真． 【拓展训练三 矩形的折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为长方形(如图1)；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图2），在两次折叠过程中，两条折痕、所成的角的度数为（    ）      A． B．45° C． D．不确定 【答案】B 【分析】先过作于.再由折叠的性质找到角的数量关系，列出方程，由此即可得到结论． 【详解】如图，过作于点，如图所示：    设，，由折叠的性质可知：，， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】此题考查了折叠的性质，解题的关键熟练掌握和理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【例2】（2025·山东威海·一模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（ ） A．AF=BC B．四边形ACDE是矩形 C．图中与△ABC全等的三角形有4个 D．图中有4个等腰三角形 【答案】D 【详解】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC， 由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE， ∴AE=CD，AD=CE， ∵点B、A、E在同一条直线上， ∴AE∥CD， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∴AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形， ∴△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC， ∴图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确； ∵BC=CE， ∴△BCE是等腰三角形， ∵四边形ACDE是矩形， ∴AF=EF=CF=DF， ∴△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形， ∴图中有5个等腰三角形，故D错误； 故选D． 考点：1.平行四边形的性质；2.折叠的性质；3.等腰三角形的判定和性质 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E． （1）试判断△BDE的形状，并说明理由； （2）若AB＝6，AD＝8，求△BDE的面积． 【答案】（1）△BDE是等腰三角形；（2）18.75． 【分析】（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD∥BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，等腰三角形即可证明； （2）设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值． 【详解】解：（1）△BDE是等腰三角形， 由折叠可知，∠CBD＝∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， 即△BDE是等腰三角形； （2）设DE＝x，则BE＝x，AE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2即62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝， 所以S△BDE＝DE×AB＝××6＝18.75． 【点睛】本题考查矩形的性质和折叠问题，解题突破口是设DE=x，再由勾股定理计算出x的值. 2．（2025·上海杨浦·一模）小明正在对纸进行探究： (1)小明将纸沿翻折，点E翻折至点G，交于点M，他发现：．求纸长宽之比． (2)取中点G，将三角形沿着翻折，点E对应点H，求证：点H一定在纸的对角线上． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了矩形与折叠的性质，解直角三角形的有关计算等知识． （1）根据题意画出图形，设，，则，由矩形和折叠的性质得出，由等角对等边得出，由勾股定理求出，进而可得出答案． （2）根据题意画出图形，连接．由（1）可知，，由矩形的性质和正切的定义得出，进一步证明即可． 【详解】（1）解∶如图1中， ∵ ∴设，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴， ∴， ∴ ∴纸长宽之比． （2）证明∶如图2中， 连接． 由（1）可知，， ∵G是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴点H一定在纸的对角线上． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． A基础训练 1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知的对角线，相交于点，若从下列选项中再添加一个条件，能使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定． 根据证明平行四边形是矩形的条件作答即可． 【详解】A：是平行四边形固有性质，不能判定为矩形； B：是平行四边形固有性质，不能判定为矩形； C：不是矩形固有性质，不能判定为矩形； D：，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形； 故选：D． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是结合折叠的性质与长方形对边平行的性质，通过角度间的数量关系推导的度数． 【详解】解：如图， 长方形纸片沿折叠，设折叠后与对应的角为，根据折叠性质可知：，． 长方形对边互相平行，折叠后原长方形的边仍保持平行关系． 可得 即． ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，对角线相交于点O，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（2025·河南驻马店·一模）如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点的变化特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转，则8次一个循环，，第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上，由此可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 5．（24-25八年级下·全国·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接、，若，，则图中阴影面积为（　　） A．16 B．18 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，过点P作于，延长交于，证明四边形、均为矩形，由矩形的性质可得，，，求出，即可得解，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：过点P作于，延长交于， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形、均为矩形， 由矩形的性质可得，，， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 即图中阴影面积为． 故选：B． B 提高训练 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为 时，四边形ABCD是矩形． 【答案】2.5 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键.，根据折叠的性质可得，结合平角的定义即可得出，即可得出，由此即可求解. 【详解】解：∵由折叠的性质可得， ∴点恰好在同一条直线上， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】利用矩形的性质和面积转化思想，通过证明三角形面积相等，将分散的阴影部分面积整合为一个规则图形的面积来计算． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形、四边形和四边形都是矩形． ∴，，，，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和面积转化思想，解题关键是通过三角形面积相等的关系，将分散的阴影面积整合为可直接计算的矩形面积． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形为矩形． 【答案】5 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质的运用是关键，根据题意，只需，即，由此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ， 设最快后，四边形为矩形， 要使四边形为矩形， 只需，即， 解得， 故最快后，四边形为矩形， 故答案为：． C 培优训练 11．（24-25八年级下·天津和平·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 故的度数为． 12．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点E处，求D、E两点的坐标． 【答案】， 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理等知识点，先根据勾股定理求出的长，进而可得出的长，求出E点坐标，在中，由及勾股定理可求出的长，进而得出D点坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上D点坐标为、E点坐标为． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知四边形为平行四边形，于点，点为上一点，连接，请你添加一个条件，使得四边形为矩形．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是__________； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1)；；； (2)证明见解析． 【分析】（）根据题意添加条件即可； （）先得到四边形是平行四边形，然后再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行推理； 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）；；； 故答案为：；；； （2）， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； ， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴，即 ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，为的一条中线，点为的延长线上一点，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形是矩形．    (1)你添加的条件是______________； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据等腰三角形的性质和矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：添加的条件是， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：，是边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 15．（24-25九年级上·山东青岛·期中）问题提出： 我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形的面积等于对角线乘积的一半．那么我们日常生活中常见的风筝的形状即“筝形”是不是也可以用这种方法求面积呢？ 如图1，四边形是我们常见的风筝的图案，其中对角线长为，长为，垂直平分，垂足为E，求：筝形的面积． 解析：由已知： 我们发现这个结论对于筝形依然成立． 类比探究： 满足什么条件的图形可以通过这种方法求面积呢？让我们先研究下面图形的面积： 如图2，四边形的对角线、互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E，求四边形的面积．（请写出求解过程） 由此，我们可以得出一个结论： 结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于______________________． 拓展提高： 由上述的结论1给我们的启示：对于两条对角线不垂直的四边形的面积如何求解呢？下面让我们一起来研究 如图3所示四边形的对角线长为，点A到的距离与点C到的距离之和为，求四边形的面积．（请写出求解过程） 结论2：任意四边形的面积等于______________________． 问题解决： （1）如图4，矩形中，，，，点G、H分别是、上任一点，则四边形的面积等于________． （2）如图5，四边形放在了一组平行线中，已知，四边形的面积为，则两条平行线间的距离为_______． 【答案】类比探究：两对角线积的一半 拓展提高：作于、作，利用计算可得结论 问题解决：（1）12；（2）2 【分析】类比探究：利用计算可得结论； 拓展提高：一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的距离之和的积的一半 问题解决：（1）过作于，过作于，求，根据三角形的面积公式求出即可； （2）过作于，过作于，根据三角形的面积求出，即可得出答案． 【详解】解：类比探究：如图2， ， 结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半． 拓展提高：如图3，连接，过作于，过作于， ， 即任意四边形的面积等于一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的距离之和的积的一半． 问题解决：（1）如图4，过作于，过作于， 四边形是矩形， ，，，， ， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 同理， ， ； （2）如图5，过作于，过作于， ， 即， 解得：， 即两条平行线间的距离为． 【点睛】本题考查了三角形的面积，矩形的性质和判定的应用，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 矩形的性质与判定重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 矩形的判定定理理解 题型三 添一条件使四边形是矩形 题型四 求矩形在坐标系中的坐标 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 证明四边形是矩形 题型七 根据矩形的性质与判定求角度 题型八 根据矩形的性质与判定求线段长 题型九 根据矩形的性质与判定求面积 拓展训练一 矩形的最值问题 拓展训练二 矩形的存在性问题 拓展训练三 矩形的折叠问题 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）矩形不一定具备的性质是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则 cm． 知识点二：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25八年级下·广西玉林·期中）矩形的长和宽分别是3与2，则它的面积是 ． 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）添加一个条件： ，使平行四边形成为矩形． 【经典例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·月考）下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线平分一组对角 【例2】（24-25八年级下·四川自贡·月考）广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）将6张宽为1的小长方形按如图摆放在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C．32 D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）有一个角是 的 叫做矩形． 矩形的 个角都是直角． 矩形的对角线 ． 矩形既是 对称图形，又是 对称图形，它至少有 条对称轴． 有 个角是直角的四边形是矩形． 对角线相等的 是矩形． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，矩形的顶点都是格点．先画的高，再过点C画的平行线． 【经典例题二 矩形的判定定理理解】 【例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D在边上，，，则当 时，四边形是矩形．    1．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）在平行四边形中，、是两条对角线．现有四个条件：①；②；③；④．其中可以推出平行四边形是矩形的有 ．（写出符合题意的全部序号） 3．（24-25九年级上·山东青岛·月考）已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 【经典例题三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）的对角线相交于点O，当满足 时，四边形是矩形．（只添加一个条件） 3．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，，对角线相交于点O，点O是的中点．请你添加一个条件(不另加辅助线)使四边形成为矩形． (1)添加的条件是_______； (2)请给出证明过程． ________________________________ 【经典例题四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ． 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 【经典例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】 （24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（     ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，点，在对角线上，请添加一个条件，使得结论“”成立，你添加的一个条件是 ．    1．（24-25八年级下·河北承德·期末）求证：矩形的两条对角线相等． 已知：如图，四边形ABCD为矩形．求证：． 以下是排乱的证明过程： ①∵， ②∴，． ③∵四边形ABCD是矩形， ④∴． ⑤∴． 证明步骤正确的顺序是（    ） A．①②③⑤④ B．③①②⑤④ C．①⑤②③④ D．③②①⑤④ 2．（24-25八年级下·北京东城·月考）如图，E是矩形的边上一点，，P是对角线上任意一点，，垂足分别为F和G，则一定与图中哪条线段的长度相等： ． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中作出矩形的对称轴，使； (2)在图2中作出菱形，使得点，，分别在，，上． 【经典例题六 证明四边形是矩形】 【例1】（25-26九年级上·全国·期末）四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ） A．， B．，， C．， D． 【例2】（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，为了检查平行四边形书架是否为矩形，工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架就是矩形，请你说出其中的数学原理 ． 1．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 2．（24-25九年级上·福建·期中）如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有 ． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，于点，过点作，且，连接、、．求证：四边形是矩形． 【经典例题七 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么 度． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林通化·期末）如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【经典例题八 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图，图③是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：．则在图③时，点，之间的距离为 ． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为边上一动点．过点P分别作于点于点为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．4.8 B．4 C．3 D．2.4 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是一个含角的三角板，，，将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，点A与点 D对应，点 B与点E 对应，当边与原三角板的一边平行时，则点A 与点 E 的距离为 ． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    【经典例题九 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】 （24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【例2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为 ． 1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【拓展训练一 矩形的最值问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）在长方形中，，，，P是线段上的动点，分别是边，上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【例2】（24-25九年级上·甘肃兰州·月考）如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为 ． 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且，． (1)求证：四边形CEDF是矩形； (2)连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值． 2．（24-25九年级上·山西阳泉·月考）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； 分析； (3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 3．（24-25八年级上·吉林长春·月考）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【拓展训练二 矩形的存在性问题】 【例1】（2025·安徽安庆·二模）如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是 ． 1．（24-25八年级下·广东广州·月考）已知△ABC的三边BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足|a﹣|++（c﹣3）2＝0．如图，P为BC边上一动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：四边形AMPN是矩形； （2）在点P的运动过程中，MN的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 3．（2025九年级·陕西·专题练习）问题探究 （1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； （2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分． 问题解决 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由 【拓展训练三 矩形的折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为长方形(如图1)；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图2），在两次折叠过程中，两条折痕、所成的角的度数为（    ）      A． B．45° C． D．不确定 【例2】（2025·山东威海·一模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（ ） A．AF=BC B．四边形ACDE是矩形 C．图中与△ABC全等的三角形有4个 D．图中有4个等腰三角形 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E． （1）试判断△BDE的形状，并说明理由； （2）若AB＝6，AD＝8，求△BDE的面积． 2．（2025·上海杨浦·一模）小明正在对纸进行探究： (1)小明将纸沿翻折，点E翻折至点G，交于点M，他发现：．求纸长宽之比． (2)取中点G，将三角形沿着翻折，点E对应点H，求证：点H一定在纸的对角线上． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． A基础训练 1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知的对角线，相交于点，若从下列选项中再添加一个条件，能使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，对角线相交于点O，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南驻马店·一模）如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接、，若，，则图中阴影面积为（　　） A．16 B．18 C．22 D．24 B 提高训练 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为 时，四边形ABCD是矩形． 7．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 °． 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形为矩形． C 培优训练 11．（24-25八年级下·天津和平·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 12．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点E处，求D、E两点的坐标． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知四边形为平行四边形，于点，点为上一点，连接，请你添加一个条件，使得四边形为矩形．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是__________； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，为的一条中线，点为的延长线上一点，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形是矩形．    (1)你添加的条件是______________； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 15．（24-25九年级上·山东青岛·期中）问题提出： 我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形的面积等于对角线乘积的一半．那么我们日常生活中常见的风筝的形状即“筝形”是不是也可以用这种方法求面积呢？ 如图1，四边形是我们常见的风筝的图案，其中对角线长为，长为，垂直平分，垂足为E，求：筝形的面积． 解析：由已知： 我们发现这个结论对于筝形依然成立． 类比探究： 满足什么条件的图形可以通过这种方法求面积呢？让我们先研究下面图形的面积： 如图2，四边形的对角线、互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E，求四边形的面积．（请写出求解过程） 由此，我们可以得出一个结论： 结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于______________________． 拓展提高： 由上述的结论1给我们的启示：对于两条对角线不垂直的四边形的面积如何求解呢？下面让我们一起来研究 如图3所示四边形的对角线长为，点A到的距离与点C到的距离之和为，求四边形的面积．（请写出求解过程） 结论2：任意四边形的面积等于______________________． 问题解决： （1）如图4，矩形中，，，，点G、H分别是、上任一点，则四边形的面积等于________． （2）如图5，四边形放在了一组平行线中，已知，四边形的面积为，则两条平行线间的距离为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $