第二十章 勾股定理 单元综合能力提升卷-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 单元综合能力提升卷（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列四组数是勾股数的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 3．若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 4．如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 5．如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 6．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 8．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 10．如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有____________；可构成直角三角形的有____________．（填序号） 12．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 13．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，则正方形的面积之和为___________． 14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 15．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 16．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为，斜边为，图3中阴影部分的面积为，那么的值为_______． 三、解答题 17．如图，在中，点D在边上，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)过点作于点，求线段的长． 19．直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 20．如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数． (1)数轴上点所表示的数为 ； (2)求代数式的值． 21．如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 23．如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 24．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 单元综合能力提升卷（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列四组数是勾股数的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握勾股数的必备条件是解题关键． 勾股数需满足两个条件：三个数为正整数且符合勾股定理，据此对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：都是负数，不是正整数，不符合勾股数定义； 选项：都是小数，不是整数，不符合勾股数定义； 选项：含无理数，不符合勾股数定义； 选项：，，均为正整数，且，满足勾股数定义． 故选：． 2．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理在平面直角坐标系中的应用． 【详解】解：由勾股定理得，点到原点的距离为， 故选：C． 3．若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 4．如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定是斜边，、是直角边，再利用勾股定理代入已知的和的长度计算即可得到的长． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∴． 即， 解得． 故选：C． 5．如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的直角边长的平方即为相应的正方形的面积． 由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：， ∵正方形的面积分别为36，64， ∴，， ， ． 故选：A． 6．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意． 故选：C． 7．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 8．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 9．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 10．如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，等腰三角形的判定和性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，连接， 由勾股定理，得， ，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由图可知：与不平行； 综上：只有选项A正确； 故选A． 二、填空题 11．给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有____________；可构成直角三角形的有____________．（填序号） 【答案】 ①③④⑥⑦ ①④⑥⑦ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的三边关系定理的应用，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据三角形三边关系定理和勾股定理逐一判断每组数据． 【详解】解：根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，可判断： ①，，，能构成三角形； ②，不大于，不能构成三角形； ③，，，能构成三角形； ④，，，能构成三角形； ⑤，不大于，不能构成三角形； ⑥，，，能构成三角形； ⑦，，，能构成三角形. 故可构成三角形的有①③④⑥⑦. 对于能构成三角形的组，应用勾股定理判断： ①，是直角三角形； ③，不是直角三角形； ④，是直角三角形； ⑥，是直角三角形； ⑦，是直角三角形， 故可构成直角三角形的有①④⑥⑦. 故答案为：①③④⑥⑦；①④⑥⑦． 12．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形， 且． 13．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，则正方形的面积之和为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和． 【详解】解：如图， 根据勾股定理知： ，，， ∴． 故答案为：． 14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 15．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 16．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为，斜边为，图3中阴影部分的面积为，那么的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可． 【详解】如图，依题意，阴影部分由四个与全等的三角形和一个边长为的正方形组成， 由题意得：，，， ∴，则 ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题 17．如图，在中，点D在边上，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形，利用勾股定理逆定理证明为直角三角形； （2）在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么，根据勾股定理直接求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 18．如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)过点作于点，求线段的长． 【答案】(1)是直角三角形，见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由勾股定理求出，得出，从而求解； （）由，即，所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由： ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵是直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.5千米 (3) 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 20．如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数． (1)数轴上点所表示的数为 ； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而得到的长，然后根据两点间的距离求出点所表示的数即可； （2）根据题意，求出，再将，的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为不超过的最大整数， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，无理数大小估算，不等式的性质，代数式求值，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键． 21．如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数大小比较，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，进而得，再根据点在轴的负半轴上即可得出点所表示的数； （2）在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为； （3）先计算，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， 点在轴的负半轴上， 点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为，如图所示： 理由如下： 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 故点表示的数为； （3）解：，， 又， ， ． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 23．如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)14 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，然后结合已知条件得到，再根据角平分线的逆定理即可证明； （2）过点作于点，先由直角三角形全等的判定定理证明，则，同理可证明，可得，同理可证明，由勾股定理求解，则，即可求解四边形的周长； （3）由翻折可得，，先证明，则，由（2）知，则，然后证明，再代入证明即可． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：过点作于点， 在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， 同理可证明， ∴， ∵，，， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长； （3）解：，理由如下： 由翻折可得，， ∵， ∴（直角三角形全等的判定定理） ∴ 由（2）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 24．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $