精品解析：山东省2026年职教高考青岛市第一次质量检测试卷数学试题

2026年职教高考青岛市第一次质量检测试卷 数学试题 2026.01 满分120分，考试时间120分钟 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】集合，则， 故选：. 2. 复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的几何意义得出相应点的坐标，列不等式组求解即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，且该点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 3. 如果，则正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可. 【详解】若，则，故A正确， 若，时，，故B错误， 若，时，则，故C错误， 若，时，则，故D错误， 故选：A. 4. 等比数列中，，则 （ ） A. 32 B. 24 C. 20 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式，求出公比，据此可得解. 【详解】设等比数列的公比为，由题可得 ，解得， 所以. 故选：A 5. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据自变量范围代值求解即可. 【详解】函数， 则， . 故选：C. 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的换底公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为已知，且， 所以. 故选：B. 7. 直线的倾斜角分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】已知直线的倾斜角分别为， 所以， 若，当时，不成立，故充分性不成立， 若，则，必要性成立， 所以直线的倾斜角分别为， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 8. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量线性运算的坐标表示求得，再根据向量内积的坐标表示可得解. 【详解】由题可得， ， 所以. 故选：B 9. 若偶函数在区间内的图像如下图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为偶函数，对于任意成立，再结合图象得到函数在的单调性，逐个判断选项得到答案. 【详解】已知函数为偶函数，对于任意，成立 ， 由图可知，对于，函数单调递增，可得 ， 且，， 则，， 故选：A. 10. 已知两点，则直线AB的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 因为倾斜角的取值范围是，且， 所以直线AB的倾斜角为． 故选：C. 11. 已知随机变量，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布公式即可解得. 【详解】根据二项分布公式，得． 故选：A 12. 已知二次函数与轴没有交点，则函数和函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在二次函数中，由可得，再根据反比例函数和一次函数的图像和性质可判断结果. 【详解】因为二次函数与轴没有交点， 所以，解得. 所以反比例函数的图像是位于二、四象限的双曲线； 在一次函数中，，，所以其图像是单调递减的直线，且与y轴的正半轴相交. 因此只有C选项符合要求. 故选：C 13. 在中，为的中点，为的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解. 【详解】 如图所示，作出图像， 因为为的中点，为的中点， 则， 故选：. 14. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的一般方程求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】圆可化为， 所以圆心坐标为， 则圆心到直线的距离为. 故选：D. 15. 在的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的二项式系数是（ ） A. 10 B. 35 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件求出n的值，然后利用二项式定理可求得第4项的系数. 【详解】因为第2项与第5项的二项式系数相等， 所以，解得， 所以第4项的二项式系数为. 故选：A. 16. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义求出和的值，再利用两角和的余弦公式计算. 【详解】已知角的终边经过点，则， 则，， 则. 故选：B. 17. 定义新运算“*”：对于任意正实数，都有，则的值为（ ） A. 16 B. 64 C. 67 D. 259 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合对数的定义及指数幂的运算即可得解. 【详解】对于任意正实数，都有， 则. 故选：. 18. 意大利数学家斐波那契（Fibonacci）研究兔子繁殖问题时，得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，….此数列从第3项开始、每一项都等于前两项之和，被称为“斐波那契数列”.现从3，5，7，9，11，13，15中任取一个数，则该数是“斐波那契数列”的项的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式即可求解. 【详解】由题可知：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…. 在数3，5，7，9，11，13，15中是斐波那契数列的数为3，5，13，有3种， 从3，5，7，9，11，13，15中任取一个有7种情况， 所以该数是“斐波那契数列”的项的概率为. 故选：B. 19. 如图，在三棱锥中，已知，点分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的个数是（ ） ①平面 ②平面平面 ③是直线与直线所成的角 ④是与平面所成的角 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据面平面的判定定理，线面垂直的判定定理，线面角的定义即可求解. 【详解】对①，在三棱锥中，因为， 又平面，所以平面，故①正确. 对②，点分别是所在棱的中点，， 又平面平面， 所以平面平面，故②正确. 对③，因为是中点，所以， 则是直线与直线所成的角，故③正确. 对④，因为平面，所以平面，垂足， 则是在平面的投影，所以是与平面所成的角，故④错误. 即正确的个数有个. 故选：C. 20. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义化简可得出，再由余弦定理整理得，最后由离心率公式求值即可. 【详解】因为， 由双曲线的定义可得， 所以，， 因为， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 所以，即. 故选：A. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知样本的平均值为3，则样本的平均值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的计算方法即可求解. 【详解】由题意得，，则 . 故答案为：. 22. 如图所示，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个组合体的体积是________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的体积公式求值即可. 【详解】已知底面圆的直径， 则底面圆的半径为， 且圆柱体部分的高，圆锥体部分的高 所以这个组合体的体积是， 故答案为：. 23. 从2位男生，3位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有___________种. 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数的计算得出总安排方法数，再计算没有男生入选的方法数即可得解. 【详解】从2位男生，3位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，共有种， 没有男生入选的安排方法有中， 所以至少有1位男生入选，则不同安排方法有种. 故答案为：. 24. 已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出的值，进而得到焦点到准线的距离. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为 抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为10， 由抛物线的定义可得，该点到抛物线的准线的距离也为10， 即，解得， 所以焦点到准线的距离为. 故答案为：. 25. 已知函数的图像过和，且在上单调递减，若对任意的，都有恒成立，则实数的最小值为_____________. 【答案】3 【解析】 【分析】先求出函数最值，再根据取最值时的值及函数单调性，结合函数最小正周期求出，代值求出，即可得到函数解析式， 进而求出函数在给定区间内的最值，结合恒成立问题求出参数范围. 【详解】因为函数的最大值为，最小值为， 由题可知，，， 所以，其中为函数最小正周期， 且在上单调递减， 所以，即，解得， 所以函数即， 且时，，即， 且，所以时，满足题意， 所以函数即， 当时，， 则当即时，函数有最大值为， 当即时，函数有最小值为， 所以对任意的，都有， 又因为恒成立，所以, 则实数的最小值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5个小题，共40分） 26. 已知二次函数在是偶函数，且二次函数图像过. （1）求二次函数解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得到函数对称轴，从而求出，再代值求出即可. （2）根据指数函数单调性得到指数部分的大小关系，解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 因为二次函数在是偶函数， 所以，且函数对称轴为轴， 即，解得， 所以， 又因为二次函数图像过， 所以，解得， 所以二次函数解析式为：. 【小问2详解】 不等式即不等式， 因为指数函数单调递增，所以可得：， 即，即， 整理得：，解得， 故不等式的解集为. 27. 在等差数列中，为数列的前项，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前10项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式及求和公式，列方程组求出，的值，据此可求解； （2）采用并项求和法，即将相邻两项并成一项即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题可得， ，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知可得， 所以数列的前10项和： . 28. 在中，已知. （1）求内角的大小； （2）设函数，求的最大值和的取值集合. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可求解； （2）根据正弦函数的图像和性质可求解. 【小问1详解】 由题意，根据余弦定理可得， ， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，取得最大值， 此时，解得， 所以的取值集合为， 即最大值为，此时的取值集合为. 29. 如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，分别是线段的中点.求证： （1）； （2）平面. 【答案】（1） 证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定定理，先证平面，即可证明. （2）取的中点，连接，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理即可求证. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是的中点，所以. 因为是中点，四边形是矩形，则， 所以，所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，不在平面内，所以平面. 30. 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆上任意一点到距离之和为4，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为的直线交椭圆于两点，点的坐标为，若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义及离心率公式求出的值即可得解. （2）设出直线方程，联立方程组，利用韦达定理及弦长公式求出，结合点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 椭圆的左右焦点分别为， 椭圆上任意一点到距离之和为4，则， 椭圆的离心率为，则，解得， 则，椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立方程组， 设， 由韦达定理可知，，， 则， 点到直线的距离为， 的面积为，则， 两边平方并整理得， 令，则， 解得，即， 解得， 所以直线方程为或， 化为一般式方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年职教高考青岛市第一次质量检测试卷 数学试题 2026.01 满分120分，考试时间120分钟 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 如果，则正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 等比数列中，，则 （ ） A. 32 B. 24 C. 20 D. 16 5. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 直线的倾斜角分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 9. 若偶函数在区间内的图像如下图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知两点，则直线AB的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 11. 已知随机变量，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数与轴没有交点，则函数和函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 13. 在中，为的中点，为的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 14. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 15. 在的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的二项式系数是（ ） A. 10 B. 35 C. D. 16. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 17. 定义新运算“*”：对于任意正实数，都有，则的值为（ ） A. 16 B. 64 C. 67 D. 259 18. 意大利数学家斐波那契（Fibonacci）研究兔子繁殖问题时，得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，….此数列从第3项开始、每一项都等于前两项之和，被称为“斐波那契数列”.现从3，5，7，9，11，13，15中任取一个数，则该数是“斐波那契数列”的项的概率为（ ） A. B. C. D. 19. 如图，在三棱锥中，已知，点分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的个数是（ ） ①平面 ②平面平面 ③是直线与直线所成的角 ④是与平面所成的角 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 20. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知样本的平均值为3，则样本的平均值为____________. 22. 如图所示，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个组合体的体积是________________. 23. 从2位男生，3位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有___________种. 24. 已知抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为______________. 25. 已知函数的图像过和，且在上单调递减，若对任意的，都有恒成立，则实数的最小值为_____________. 三、解答题（本大题共5个小题，共40分） 26. 已知二次函数在是偶函数，且二次函数图像过. （1）求二次函数解析式； （2）求不等式的解集. 27. 在等差数列中，为数列的前项，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前10项和. 28. 在中，已知. （1）求内角的大小； （2）设函数，求的最大值和的取值集合. 29. 如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，分别是线段的中点.求证： （1）； （2）平面. 30. 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆上任意一点到距离之和为4，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为的直线交椭圆于两点，点的坐标为，若的面积为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $