精品解析：2026年山东省春季高考第一次模拟考试数学试题

2026年山东省春季高考第一次模拟考试 数学试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟，考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题20小题，每题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的运算求解. 【详解】已知集合，， 则. 故选：D. 2. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】若，则，故A错误， 已知，，若， 则，故B错误， 若，则，故C错误， 因为，且，所以，故D正确， 故选：D. 3. 若复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的减法运算求解即可. 【详解】∵复数，， ∴. 故选：C. 4. 已知函数，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】∵函数，， ∴函数的对称轴，且图像开口向下， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数有最小值，为. 则的最小值是1. 故选：B. 5. 在等差数列中，已知，，则公差等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式可求解. 【详解】设等差数列的公差为， ，解得. 故选：A. 6. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量代数运算的坐标表示可得，再根据向量内积的坐标表示可求解. 【详解】由题可得，，且， 所以. 故选：A. 7. 在中，，则点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数在象限中的符号即可解答. 【详解】因为在中，， 由三角形内角和为，则， 所以， 则点所在象限是第二象限. 故选：B. 8. 若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直的性质以及点斜式方程求解. 【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直，所以直线的斜率为. 又因为直线过点，所以直线为， 整理得. 故选：A 9. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性结合一元一次不等式的解法求解. 【详解】因为不等式， 则有，解得， 所以不等式的解集为，即. 故选：D. 10. 在数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，如图所示，该“阳马”的三视图中的俯视图大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图的画法即可解答. 【详解】该“阳马”从上方向下看， 为一个矩形，且有一条实线对角线， 如图所示， 故选：A. 11. 函数，的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数在上单调递减 B. 该函数在区间上的最大值为3，最小值为 C. 该函数在上有最大值2，有最小值 D. 当时，直线与函数的图像有交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性的定义可判断A错误；由函数的值域可知B、C错误；利用函数的值域及数形结合可判断D正确. 【详解】对A选项，函数在上先减后增，即在单调递减，在单调递增，故错误； 对B选项，函数在区间的值域为，无最大值，也无最小值，故错误； 对C选项，函数在的值域为，且当时，取得最小值，当时，取得最大值，故错误； 对D选项，由图可知，函数在定义域的值域为，所以当时，直线与函数的图像有交点，故正确. 故选：D 12. 在如图所示的方格纸中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合平行四边形法则即可得解. 【详解】如图所示， 根据平行四边形法则可知，，而. 故选：. 13. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数以及古典概型概率公式求解即可. 【详解】从7张抽奖券中一次性随机抽出2张抽奖券，方法数为， 小李能获得奖品的情况为一张有奖，一张没奖或两张有奖，方法数为， ∴小李能获得奖品的概率是. 故选：C. 14. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由任意角的三角函数的定义得出的值，再由二倍角的余弦公式求值即可. 【详解】已知角的终边过点， 则，所以， . 故选：A. 15. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标，利用切线性质求出切线的斜率，代入点即可求得圆的切线方程. 【详解】由圆可得圆心坐标为， 将点带入圆的方程为， 所以点为圆上的点， 又直线的斜率为，切线与直线垂直， 所以切线的斜率不存在，又切线过点， 所以圆的切线方程为. 故选：D. 16. 在的二项展开式中，含项的二项式系数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先列出二项展开式的通项公式，再令的指数为1列方程求解即可. 【详解】已知，其中， 令，解得， 则含项的二项式系数是， 故选：C. 17. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： 若，，则；若，，则； 若，，则；若，，则． 其中正确命题的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面平行、垂直的判定与性质求解． 【详解】对于①，若，，则或与可能相交，故不正确； 对于②，若，，则或与可能相交正方体共顶点的三个平面，故不正确， 对于③，，，，故正确； 对于④，，，过作平面，，则， 又，，，故④正确； 故选：B． 18. 小文买了新手机后下载了，，，共4个APP，手机桌面上每排有4个位置，每个位置可以任意摆放一个APP.现将这4个APP随机放到如图所示的两排位置中，要求两排都需要放APP.若和放在同一排，则所有不同排放方法的种数是（ ） A. 288 B. 336 C. 384 D. 672 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列组合公式求解. 【详解】和单独放一排，有： 种排列方式， 和与或其中一个放一排，有： 种， 所以不同的排列方式有种； 故选：D. 19. 若随机变量的分布列如表所示： 4 6 8 则数学期望（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由概率之和为1列方程求出的值，再由数学期望公式求值即可. 【详解】如表格可知，， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先设，则可表示，再根据双曲线的定义可得与，再根据斜率可得倾斜角的正切值，再由同角三角函数的平方关系可得余弦值，结合余弦定理求解即可. 【详解】双曲线如图所示： ∵，设，则， 由双曲线的定义可知，，， 设直线的倾斜角为， ∵直线的斜率为，则， ∴， 且，即， ∴，可得， ∵，则， 则，即， ∴， 在中，，，， ∴， 则有，即， 整理可得， 在中，，，， ∴， 则有，即， 整理可得， ∴，则有， ∴，可得， ∴双曲线的离心率. 故选：B. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 21. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为5，则该圆锥的侧面积等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，母线长为5， 则该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 22. 内角，，的对边分别为，，，若，，，则_____. 【答案】 【解析】 分析】根据正弦定理求值即可. 【详解】已知，，， 由正弦定理得，即， 得. 故答案为：. 23. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】先根据抛物线方程确定准线方程，再利用抛物线的定义求出的值. 【详解】抛物线的准线方程为. 已知点在抛物线上， 根据抛物线定义可知，等于点到准线的距离， 所以， 故答案为：4. 24. 某地为了解12000名高二学生的体能素质情况，在高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成频率分布直方图（如图所示）.根据此频率分布直方图，估计该地体能成绩在的学生数约是_____人. 【答案】 【解析】 【分析】根据所有矩形的面积之和为1，可得，进而求出体能成绩在的频率，频率与该地总人数之积为所求. 【详解】由图可知， ，解得， 所以高二1000名学生体能成绩在的频率为：， 则该地12000名高二学生体能成绩在的频率约为， 所以该地体能成绩在的学生数约是人. 故答案为：. 25. 已知是定义在上的增函数，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性求解取值范围即可. 【详解】当时，指数函数若为增函数，则； 当时，二次函数若为增函数， 则有该函数图像开口向下，则，解得， ∵函数是定义在上的增函数， ∴，解得或， ∴，故实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共40分. 26. 设数列是各项均为正实数的等比数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求解等比数列的公比，再由等比数列的通项公式求解即可； （2）先表示出数列的通项公式，再由等差数列的前n项和公式求解即可. 【小问1详解】 设各项均为正实数的等比数列的公比为， ∵，， ∴，即， 解得（负值舍掉）， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， ∵，且， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 即. 27. 已知是定义域为R的奇函数，当时，，求： （1）的值； （2）的解析式． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性，先计算内层，再计算外层，即可求解. （2）根据函数的奇偶性，即可求解. 【小问1详解】 由题意知当时，， 所以， 因为是定义域为R的奇函数， 所以， 所以. 【小问2详解】 由题意知当时，， 因为是定义域为R的奇函数， 所以当时，必有； 当时， 令，根据奇函数可得， ， 将代入，得， 综上：. 28. 已知函数的部分图像如图所示.求： （1）函数的解析式； （2）函数的单调减区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图像的最高点确定，根据最高点、最低点横坐标的距离，可求周期，进而得，将点代入求； （2）在中，根据正弦函数的单调性，令，解不等式可求解. 【小问1详解】 由图可知， ，， 此时 又因为经过最高点，所以， 解得，又，所以 ； 【小问2详解】 在中， 令，可得 ， 所以函数的单调减区间为. 29. 如图所示，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，为的中点，.求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形对角线的特点与三角形中位线的性质，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理证明出平面，再由线面垂直的定义得出，最后由线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为侧面为正方形， 所以是的中点， 且为的中点，在中，， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为侧面为正方形， 所以，因为是直三棱柱， 所以平面，平面， 所以，， 且，平面， 所以平面，平面， 所以，且， 平面， 所以平面. 30. 已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线交椭圆于，两点，的中点为，射线交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （2）分直线斜率存在和直线斜率不存在两种情况分别讨论，写出直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理结合圆锥曲线与直线的位置关系即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆过点， 所以代入点为，即， 又椭圆的离心率为，即，又在椭圆中， 解得，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由椭圆方程可得椭圆的右焦点坐标为， 当直线斜率不存在时，因为直线过点，所以直线的方程为， 联立，解得或，则点A、B分别为， 因为四边形为平行四边形，则，所以， 即，因为点不在椭圆上，与题意不符，所以直线斜率存在； 当直线斜率存在时，设直线的斜率为， 又直线过点，直线的方程为， 联立，得，设， 则，所以， 设点，则，所以， 因为点D在椭圆上，所以，解得， 所以直线的方程为或，即为或. 综上所述：直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省春季高考第一次模拟考试 数学试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟，考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题20小题，每题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3 若复数，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 1 C. 3 D. 5 5. 在等差数列中，已知，，则公差等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知向量，，，则（ ） A 1 B. 0 C. D. 7. 在中，，则点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 在数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，如图所示，该“阳马”的三视图中的俯视图大致是（ ） A. B. C. D. 11. 函数，的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数在上单调递减 B. 该函数在区间上的最大值为3，最小值为 C. 该函数在上有最大值2，有最小值 D. 当时，直线与函数的图像有交点 12. 在如图所示的方格纸中，则（ ） A B. C. D. 13. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程是（ ） A. B. C. D. 16. 在的二项展开式中，含项的二项式系数是（ ） A. B. 5 C. D. 17. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： 若，，则；若，，则； 若，，则；若，，则． 其中正确命题的个数是（    ） A. B. C. D. 18. 小文买了新手机后下载了，，，共4个APP，手机桌面上每排有4个位置，每个位置可以任意摆放一个APP.现将这4个APP随机放到如图所示的两排位置中，要求两排都需要放APP.若和放在同一排，则所有不同排放方法的种数是（ ） A 288 B. 336 C. 384 D. 672 19. 若随机变量的分布列如表所示： 4 6 8 则数学期望（ ） A. B. C. 7 D. 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 2 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 21. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为5，则该圆锥的侧面积等于_____. 22. 内角，，的对边分别为，，，若，，，则_____. 23. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则_____. 24. 某地为了解12000名高二学生的体能素质情况，在高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成频率分布直方图（如图所示）.根据此频率分布直方图，估计该地体能成绩在的学生数约是_____人. 25. 已知是定义在上的增函数，则实数的取值范围是_____. 三、解答题：本大题共5小题，共40分. 26. 设数列是各项均为正实数的等比数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 27. 已知是定义域为R的奇函数，当时，，求： （1）的值； （2）的解析式． 28. 已知函数的部分图像如图所示.求： （1）函数的解析式； （2）函数的单调减区间. 29. 如图所示，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，为的中点，.求证： （1）平面； （2）平面 30. 已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线交椭圆于，两点，的中点为，射线交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $