专题03 平方差公式与完全平方公式的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题03平方差公式与完全平方公式的六种模型 题型归纳 目录 题型一：利用乘法公式简便运算1 题型二：通过对完全平方公式变形求值… 题型三：利用完全平方公式求多项式的最值问题 5 .9 题型四：乘法公式中的规律探究问题… 15 题型五：平方差公式与几何图形.22 题型六：完全平方公式与几何图形。 .30 题型专练 题型一：利用乘法公式简便运算 1.(24-25七年级下·全国课后作业)利用完全平方公式计算： (2)19992 2.(25-26六年级下·全国·课后作业)运用乘法公式简便计算： (1)198×202: (2)9982-4」 3.(24-25七年级下山东枣庄·月考)计算：用简便方法计算194×206. 解：194×206 =(200-6(200+6)① =2002-62② =39964 (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用 (填乘法公式的名称)： (2)用简便方法计算：20242-2023×2025. (3)计算：(2m+n-p)(2m-n+p)」 (4)【拓展】计算：(2+川22+2+1(2+小…24+1」 4.(24-25七年级下·全国·课后作业)先阅读例题的解答过程，再解答下面的问题. 例题：用简便方法求195×205的值. 解：195×205 =(200-5)×(200+5)(第①步) 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2002-52(第②步) =39975(第③步)· (1)在例题求解过程中，第②步变形的依据是 (2)用简便方法求9×11×101的值. 5.(24-25七年级下·全国·假期作业)计算： 用简便方法计算194×206. 解：194×206 =(200-6(200+6)① =2002-62② =39964 ()例题的求解过程中，第②步变形是利用_（填乘法公式的名称）： (i)用简便方法计算：20242-2023×2025】 6.(24-25八年级上·河南周口·期中)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“102×98”的讨论 片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务， 小明：102×98=(100+2)×98=100×98+2×98=9800+196=9996： 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： 102×98=(100+2)×100-2)=1002-22=10000-4=9996. 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同 任务： ()小明进行简便计算的原理为乘法分配律：α(b+c=；小军进行简便计算的原理为乘法公式： (2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①29×31： ②20232-2022×2024. 题型二：通过对完全平方公式变形求值 1.(25-26八年级上河南许昌期末)已知x+y=5,y=3,求下列代数式的值： ①x2+y2； (2(x-y2: (3)x4+y4. 2.(25-26八年级上·湖南衡阳·期末)已知a+b=5,ab=6,求下列各式的值： (1)a2+b2: 2/13 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)a-b 3.(25-26八年级上山东济宁·周测)已知(x+y)=20,(x-y)=8,求x2+y2与y的值. 4.(25-26八年级上河北邢台期末)已知(x-a)(x-b)=x2-6mx+9m2-4,其中a>b. (1)求a+b的值（用含m的式子表示）； (2)求a-b的值. 5.(25-26八年级上甘肃平凉期末)已知x+1-3 (④)求+文的值 1 2)求r+产的值 6.(25-26八年级上天津·月考)(1)己知a+b=6,ab=2,求a2+b2,(a-b)+ab的值： (2)已知(x-2025)(2026-x=-6,求(x-2025)2+(2026-x2的值. 题型三：利用完全平方公式求多项式的最值问题 1.(24-25七年级下·浙江台州期中)小博和小雅在求多项式x2-2x+3的最小值时，有如下的思考： 小雅 x2-2x+1可以分解为 那x2-2x+3可变形 (x-1),当x=1时， 小博 成x2-2x+1+2… 它的最小值为0。 (1)根据小博的思路，请完成求多项式x2-2x+3最小值的过程： (2)模仿上述方法，求多项式-x2-6x+8的最值 2.(24-25九年级上·全国随堂练习)先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题 例题：求代数式y2+4y+8的最小值. 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4」 .(y+2)2≥0， ∴.(y+2)2+4≥4， ∴.y2+4y+8的最小值是4. (1)求代数式m2+m+1的最小值. (2)求代数式7-2x2+4x的最大值. 3.(23-24八年级上·河南南阳期中)阅读理解题：在学完乘法公式(a±b)2=a2±2b+b后，王老师向 同学们提出了这样一个问题：你能求代数式x2+2x+3的最小值吗？ 3/13 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【初步思考】同学们经过合作、交流、讨论，总结出如下方法： 解：x2+2x+3=(x2+2x+3=(x2+2x+1-1+3 =x2+2x+1-1+3=x2+2x+1+2=(x+12+2 因为(x+1)2≥0， 所以当=-1时，(x+)的值最小，最小值是0. 所以(x+12+2≥2. 所以当(x+1)=0时，(x+)2+2的值最小，最小值是2. 所以当x=-1时，x2+2x+3的值最小，最小值是2. 请你根据上述方法，解答下列问题：代数式-x2+4x+10有最大值还是最小值？这个值是多少？并求此时x 的值 4.(24-25八年级上·四川乐山期中)请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式2+2x-3的最小值. x2+2x-3=x2+2x+12-12-3=(x+1-4, :(x+12≥0，.当x=-1时，x2+2x-3有最小值-4 请根据上述方法，解答下列问题： (①)x2+6x+10=x2+2×3x+32-32+10=(x+a2+b,则a= b= (2)求证：无论x取何值，代数式-x2+2x-5的值都是负数： (3)若代数式x2-2x+7的最小值为3，求k的值. 5.(23-24八年级上山东济宁·月考)阅读理解： ①求代数式y+6y+14的最小值. 解：：y2+6y+14=y2+6y+9+5=(y+3)2+5, .(y+3)≥0， .(y+3+5≥5， .当y+3=0,即y=-3时，y2+6y+14的值最小，最小值是5. ②求代数式-x2+2x+3的最大值 解：-x2+2x+3=-x2-2x+3=-x2-2x+1-1+3 =-x2-2x+1+1+3=-x2-2x+1+4=-(x-1)2+4, (x-12≥0， 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.-(x-1)2≤0， .-(x-12+4≤4， ∴当x-1=0,即x=1时，-(x-)+4的值最大，最大值是4. 根据上述材料请同学们思考以下问题： (1)代数式m2+2m+3有最大值还是最小值？求出其最值. (2)代数式-n2-4n+4有最大值还是最小值？求出其最值. (3)某养殖场要将一块长为8米宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问： 当x取何值时，长方形区域的面积S最大？最大值是多少？ 6.(23-24七年级下·安徽马鞍山：期末)数学教科书中这样写道： “我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做 如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种 方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求 代数式最大值，最小值等. 例如，求代数式2+2x-3的最小值 x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4 可知，当x=-1时，x2+2x-3有最小值，最小值是一4. 再例如，求代数式7r+6r-3的最大值。 +6x-3=2-2到-3=x-6+18-3=x-6+15. 可知，当=6时，弓×+6x-3有绿大值，最大值是15 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式x2+3x-4与2x2+2x-3的大小，并说明理由： (2)当a,b为何值时，多项式a2+b2-4a+10b+33有最小值，并求出这个最小值： (3)已知a-b=8,ab+c2-4c+20=0,求a+b+c的值. 题型四：乘法公式中的规律探究问题 1.(22-23六年级下·山东威海·期末)我国古代数学的许多发现位居世界前列，“杨辉三角”就是其中之 一.下面的图形给出了(a+b)'展开式的系数规律(n为正整数). 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a+b)=a+b →(a+b)}=a2+2ab+b2 1->(a+b)=a+3a'b+3ab2+b (I)根据上面的规律，直接写出(a+b)和(a+b)的展开式： (2)利用上面的规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1. 2.(23-24七年级下·安徽滁州期中)观察下列等式： ①52-22+32）=2×2×3. ②82-32+52)=2×3×5： ③112-42+72)=2×4×7： ④2-[4+-2]=×4×-2到；… (I)观察等式规律，把等式④补充完整； (2)请你仿写一个与上面各等式不同的等式： (3)用含有a,b的等式表示上述规律。 3.(25-26八年级上·江西赣州期末)【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： 152=15×15=225=(1×2)×100+25: 252=25×25=625=(2×3)×100+25: 352=35×35=1225=(3×4)×100+25: … (1)填空：452=45×45= (2)设个位数字是5的两位数中十位上数字为a,请用含a的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得 到的规律： (3)小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存 在一定的规律，如：53×57=3021,38×32=1216,84×86=7224,71×79=5069....设第一个因数十位数 上数字为a,个位数上数字为b,请你用含a,b的式子表示这个规律，并用这个规律计算：93×97. 4.(24-25八年级上广东东莞·月考)数学活动 活动1：我们在过去的学习中己经发现了如下的运算规律： 15×15=1×2×100+25. 25×25=2×3×100+25, 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35×35=3×4×100+25, (1)写出第4个等式 (2)你能写出一般的规律 (3)你能用所学知识证明你的结论吗？ 活动2 (4)计算下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10），你发现结果有什么 规律？ 53×57,38×32,84×86,71×79 你发现结果有什么规律 (5)你能用所学知识解释这个规律吗？ 5.(25-26八年级上·江西赣州期末)数学活动一一和为定值的两数积的规律. 观察以下两组算式： ①两数和为60时，30×30=900,35×25=875,43×17=731,52×8=416： ②两数和为100时，50×50=2500,53×47=2491,74×26=1924,91×9=819. (1)你发现的规律是：两数和一定时，两数 积越大；两数 ,积最大 (2)请你利用乘法公式解释你发现的规律. (3)规律应用： 用20m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是 m2,此时长方形的长和宽有什么数 量关系？ 由此得出更一般的结论，周长一定的长方形中， 的面积最大 6.(23-24八年级上·全国·课后作业)【数学文化】 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.杨辉三角是1261年我国南宋数 学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个用数字排列起来的三角形阵.由于杨辉在书中引用了贾 宪作的“开方作法本源”图和“增乘开方法”，因此这个三角形也称“贾宪三角”·在欧洲，这个三角形 叫“帕斯卡三角形”，是帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间. 【问题解决】 如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 (a+b)”(n为正整数)的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三 行的三个数1,2,1，恰好对应(a+b)=a+2ab+b2展开式中的系数：第四行的四个数1,3,3,1，恰 好对应着(a+b)°=a+3a2b+3ab2+b展开式中的系数等等. 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 …(a+b) …(a+b)2 1..(a+b) (1)根据上面的规律，写出(a+b)的展开式. (2)利用上面的规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1. 题型五：平方差公式与几何图形 1.(25-26八年级上河南开封·期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后 将剩余部分拼成一个长方形（如图2） 图1 图2 ()上述图1到图2的操作能验证的等式是_· (2)应用所得的公式计算：20242-2023×2025. 2.(25-26八年级上江苏南通期末)图1是一个长为a,宽为b的长方形，将四个这样的长方形拼成如图 2所示的“回”字形图其中四边形ABCD是正方形，中间的四边形EFGH也是正方形. B B H G H G E 6 D (E) D 图1 图2 图3 (①)观察图2，直接写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系式： (2)如果长方形的两条边a,b(a>b)满足：a+b=9,ab=12,求a-b的值： (3)将两个正方形ABCD,EFGH如图3摆放，I是边AD上任意一点，若两个正方形面积之和为34， BH=2,求图中阴影部分面积之和. 3.(25-26八年级上·山东济宁·期末)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性， 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可以帮助理解数学问题. a-b a-b b b a 图1 图2 图3 (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式. 图1： ,图2： ,图3： (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知x-y=5,y=-4,求代数式①x2+y2;②x2-y的值. (3)若(2025-m)(2026-m)=10,求(2025-m)+(2026-m)的值. 4.(25-26八年级上·广西北海·期末)边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩 余部分拼成一个长方形（如图2）· a-> b 一b 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个选项) A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b) D.a2-ab=a(a-b) (2)若x2-y2=12,x+y=4,求x-y的值： 6t算：（-〔101-1-024)〔202) 5.(24-25六年级下·全国·单元测试)推理能力如图①所示，在边长为a的正方形中作一个边长为ba>b) 的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以(a+b)为长、(a-b)为宽的长方形面积，如图②所示. 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+b a-b ① ② 【探究】 (1)请列式表示：图①中阴影部分的面积为 图②中阴影部分的面积为 ；根据 两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式 【应用】 (2)根据(1)中的公式解决如下问题： ①若a+b=4,a-b=2,求a2-b的值. ②计算：(2+(22+1(24+1(2+1小…24+1. 6.(25-26八年级上·安徽芜湖期末)数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性， 可以帮助理解数学问题. S S S2 b 0 图1 图2 图3 图4 (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式 图1： :图2： ；图3： (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题. 例如：如图4，已知a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 方法一：从“数”的角度方法二：从“形”的角度 解：a+b=3, 解：a+b=3, ∴(a+b)2=9,即：a2+2ab+b2=9,又ab=1, 又ab=1.S2=S3=ab=1, a2+b2=7. …S+S4=S大正方形-S2-S3=9-1-1=7. 即a2+b2=7. 即a2+b2=7. 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点C是线段AB上的一点，以AC,BC为边向两侧作正方形，设AB=12,两正方形的面积和 10/13 专题03 平方差公式与完全平方公式的六种模型 目录 题型一：利用乘法公式简便运算 1 题型二：通过对完全平方公式变形求值 5 题型三：利用完全平方公式求多项式的最值问题 9 题型四：乘法公式中的规律探究问题 15 题型五：平方差公式与几何图形 22 题型六：完全平方公式与几何图形 30 题型一：利用乘法公式简便运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练运用完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的运用，注意数字特点，灵活运算； （1）利用平方差公式展开； （2）把改为，利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）计算：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用_______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． (3)计算：． (4)【拓展】计算：． 【答案】(1)平方差公式； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握相关公式特征是解题的关键． （1）由题意观察例题的求解过程，利用乘法公式进行判断匹配即可； （2）将化为，进一步利用平方差公式求解； （3）先将式子变形为，进一步利用平方差公式和完全平方差公式进行计算； （4）给式子前乘以，进一步利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解：例题的求解过程中，第②步变形是利用平方差公式； 故答案为：平方差公式． （2） ． （3） ． （4） ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）先阅读例题的解答过程，再解答下面的问题． 例题：用简便方法求的值． 解： （第①步） （第②步） （第③步）． (1)在例题求解过程中，第②步变形的依据是_______； (2)用简便方法求的值． 【答案】(1)平方差公式 (2) 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用． （1）根据平方差公式的构成分析即可； （2）先化，再依次运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，第②步变形的依据是平方差公式； （2）解：原式 ． 5．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： 用简便方法计算． 解： ① ② ． （i）例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （ii）用简便方法计算：． 【答案】（i）平方差公式；（ii） 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （i）根据公式变形可知其满足平方差公式； （ii）将变形成符合平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：（i）由可知其符合平方差公式， 故答案为：平方差公式； （ii） ． 6．（24-25八年级上·河南周口·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：； 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：_____；小军进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律（乘法分配律），平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算律（乘法分配律）、平方差公式即可直接得出答案； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律：， 小军进行简便计算的原理为乘法公式：， 故答案为：，； （2）解：① ； ② ． 题型二：通过对完全平方公式变形求值 1．（25-26八年级上·河南许昌·期末）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：由（1）得 ∴ ． 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据先求出的值，然后再求的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·山东济宁·周测）已知，求与的值． 【答案】14, 3 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值． 【详解】解：①，②， ①②得：，即； ①②得：，即． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知，其中． (1)求的值（用含的式子表示）； (2)求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了多项式的乘法，完全平方公式． （1）求出，与比较即可得到的值； （2）根据完全平方公式得到，，开平方得到，进而根据得到． 【详解】（1）解：由题意得， ， ，， ； （2）解：，， ， ， ∴， ， ， ． 5．（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）已知 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)7 (2)47 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． （1）根据完全平方公式变形求值即可； （2）由（1）知，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：由， 两边平方得， 所以； （2）解：由（1）知， 两边平方得， 所以． 6．（25-26八年级上·天津·月考）（1）已知，求，的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）32；30；（2）13 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用， （1）利用公式和进行变形求值即可； （2）通过变量代换，将问题转化为已知两数和与积求平方和的问题，同样运用完全平方公式求解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）设， 则 ， 又∵， ∴． 题型三：利用完全平方公式求多项式的最值问题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期中）小博和小雅在求多项式的最小值时，有如下的思考： (1)根据小博的思路，请完成求多项式最小值的过程； (2)模仿上述方法，求多项式的最值． 【答案】(1)当时，的最小值为2 (2)当时，的最大值为17 【分析】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）多项式配方变形后，利用非负数的性质求出最小值，以及此时的值即可． （2）多项式配方变形后，利用非负数的性质求出最大值，以及此时的值即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的最小值为2． （2）解：， ， 当时，的最大值为17． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据，解答即可． （2）根据，解答即可． 本题考查了配方法，实数的非负性，熟练掌握配方和非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故的最小值是． （2）解： ． 故的最大值是9． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）阅读理解题：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最小值吗？ 【初步思考】同学们经过合作、交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是2． 所以当时，的值最小，最小值是2． 请你根据上述方法，解答下列问题：代数式有最大值还是最小值？这个值是多少？并求此时的值． 【答案】代数式有最大值，最大值为14，此时的值为2 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行计算，将变形为，再利用非负数的性质即可得出答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解： ， ， 当时，的值最大，最大值是0． 当时，的值最大，最大值为14， 当时，的值最大，最大值是14， 代数式有最大值，最大值为14，此时的值为2． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式的最小值． ， ∵，∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则________，________； (2)求证：无论x取何值，代数式的值都是负数； (3)若代数式的最小值为3，求k的值． 【答案】(1)3，1 (2)见解析 (3)2或 【分析】本题考查了完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）利用完全平方公式进行配方即可得； （2）先利用完全平方公式进行配方可得，再根据偶次方的非负性即可得证； （3）先利用完全平方公式进行配方可得，再根据最小值可得，利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解： ， 所以， 故答案为：3，1． （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论取何值，代数式的值都是负数． （3）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为， 又∵代数式的最小值为3， ∴， 解得或． 5．（23-24八年级上·山东济宁·月考）阅读理解： ①求代数式的最小值． 解：∵， ∵ ， ∴， ∴当，即时，的值最小，最小值是5． ②求代数式的最大值． 解：∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，的值最大，最大值是4． 根据上述材料请同学们思考以下问题： (1)代数式有最大值还是最小值？求出其最值． (2)代数式有最大值还是最小值？求出其最值． (3)某养殖场要将一块长为8米宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时，长方形区域的面积S最大？最大值是多少？ 【答案】(1)有最小值，最小值为2 (2)有最大值，最大值为8 (3)当时，长方形区域的面积最大，最大为36， 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）把化为，再仿照题意求解即可； （2）把化为，再仿照题意求解即可； （3）根据题意得到，进一步求出，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，的值最小，最小值为2； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，的值最大，最大值为8； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，的值最大，最大为36， ∴当时，长方形区域的面积最大，最大为36． 6．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是－4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)当，时，多项式有最小值4 (3)2 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）计算得，可知，即可比较大小； （2）由变形得，再根据，，可得答案； （3）先得到，然后代入到中得到据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ∵， ∴，即：， ∴； （2） ， ∵，， ∴ ∴当，时，多项式有最小值4； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 题型四：乘法公式中的规律探究问题 1．（22-23六年级下·山东威海·期末）我国古代数学的许多发现位居世界前列，“杨辉三角”就是其中之一．下面的图形给出了展开式的系数规律（n为正整数）．    (1)根据上面的规律，直接写出和的展开式； (2)利用上面的规律计算：． 【答案】(1)； (2)1 【分析】（1）由杨辉三角可得的各项系数依次为1、4、6、4、1；各项系数依次为1、5、10、10、5、1，进而即可得到答案； （2）将写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果． 【详解】（1）解：． ． （2）解： = =． =1． 【点睛】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键． 2．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； ④____________；…… (1)观察等式规律，把等式④补充完整； (2)请你仿写一个与上面各等式不同的等式； (3)用含有a，b的等式表示上述规律． 【答案】(1)2，2 (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查数字的变化规律、完全平方公式等知识，明确题意、发现题目中数字的变化特点、列出相应的式子是解答本题的关键． （1）根据题目中的几个等式的变化特点，即可写出第④个等式； （2）根据题目中的几个等式的变化特点求解即可； （3）根据题目中的式子，归纳规律并验证猜想是否正确即可． 【详解】（1）∵①； ②； ③； ∴④； （2）根据题意得，； （3）根据题意得， ． ∴． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)填空：__________ (2)设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律： (3)小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律_____，并用这个规律计算：． 【答案】(1)， (2)；证明见解析 (3)（，为正整数）， 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，多项式乘以多项式： （1）根据运算规律发现个位数字为5的数的平方，其结果为这个两位数的十位数字与其十位数字加1的数字相乘的结果的100倍再加上25，据此求解即可； （2）利用完全平方公式把展开即可； （3）证明，再利用该结论计算求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； ……， 以此类推可知， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得（，为正整数）， 证明： （，为正整数）； （3）解： ， ∴． 故答案为：（，为正整数）． 4．（24-25八年级上·广东东莞·月考）数学活动 活动1：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ． ， ， （1）写出第4个等式__________________________ （2）你能写出一般的规律______________________________ （3）你能用所学知识证明你的结论吗？ 活动2 （4）计算下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10），你发现结果有什么规律？ ． 你发现结果有什么规律________________________________ （5）你能用所学知识解释这个规律吗？ 【答案】（1）（2）（3）能，见解析（4）十位数字乘比它多1的数再乘100，加上个位数的积（5）见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，数的规律，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项，理解题意是解题的关键． （1）根据前3个等式的规律，即可解答； （2）根据前4个等式的规律，即可解答； （3）将等式左边与右边分别计算，再判断是否相等，即可解答； （4）将4个式子进行计算，再发现规律，即可解答； （5）将等式左边与右边分别计算，再判断是否相等，即可解答． 【详解】解：（1）第1个等式：． 第2个等式：， 第3个等式：， 由前3个等式可知 第4个等式为． 故答案为：． （2）第1个等式：． 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式∶． …… 第n个等式：． 故答案为：． （3）能，理由如下： ∵， ， ∴． （4），，，， 规律是：十位数字乘比它多1的数再乘100，加上个位数的积． 故答案为：十位数字乘比它多1的数再乘100，加上个位数的积． （5）∵， ． ∴． 5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）数学活动一一和为定值的两数积的规律． 观察以下两组算式： ①两数和为60时，，，，； ②两数和为100时，，，，． (1)你发现的规律是：两数和一定时，两数______________，积越大；两数______________，积最大． (2)请你利用乘法公式解释你发现的规律． (3)规律应用： 用20m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是______________m2，此时长方形的长和宽有什么数量关系？______________，由此得出更一般的结论，周长一定的长方形中，______________的面积最大． 【答案】(1)差的绝对值越小，相等 (2)见解析 (3)25，相等，正方形 【分析】本题考查乘法公式的应用，以及数字变化规律，关键是根据材料发现规律； （1）根据材料中①②可以发现规律； （2）先求出两个数的和为定值，再验证（1）的规律； （3）利用（1）（2）可以得出结论． 【详解】（1）解：根据材料中①②可以发现：两数和一定时，两数差的绝对值越小，积越大；两数相等，积最大， 故答案为：差的绝对值越小，相等； （2）解：设两数分别为和（为定值）， ∴， ∴为定值； ， 当越小，则两数差的绝对值越小，且的值越小， ∵，且为定值， ∴为定值， 要使的值最大，则需要的值最小， 当时，最小，此时两数积最大； （3）设长方形的长为m，宽为m， 根据题意可知，，即， 由（1）（2）可知，当时，长方形的面积最大， 此时，最大面积为， 答：当长方形的两条邻边长各为5m时，长方形的面积最大，最大面积是； 此时长方形的长和宽相等，由此得出更一般的结论，周长一定的长方形中，正方形的面积最大， 故答案为：25，相等，正方形． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）【数学文化】 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．杨辉三角是1261年我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个用数字排列起来的三角形阵．由于杨辉在书中引用了贾宪作的“开方作法本源”图和“增乘开方法”，因此这个三角形也称“贾宪三角”．在欧洲，这个三角形叫“帕斯卡三角形”，是帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间． 【问题解决】 如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．    (1)根据上面的规律，写出的展开式． (2)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据材料和b3展开式，进而得出的展开式； （2）根据材料的逆运算可得出答案． 【详解】（1）； （2） ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，整式的乘法运算，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键． 题型五：平方差公式与几何图形 1．（25-26八年级上·河南开封·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形． (1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________； (2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值； (3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，之间的等量关系式是解题的关键. （1）根据大正方形的面积等于个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）设两个正方形，边长分别为，，先根据完全平方公式的变形求出，利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可. 【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于个小长方形面积和小正方形面积之和， ， ； 故答案为：； （2）解：由（1）得， 又∵， ∴； （3）解： 设两个正方形，边长分别为，， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3) 【分析】本题考查乘法公式的几何背景，准确识图，熟练掌握图形的面积计算，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成得面积为，由此可得出答案；根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）①根据图所得出的乘法公式可求出的值； ②根据图及①的结论可求出，再根据图所得出的乘法公式即可求出的值； （3）设，，则，，根据即可得出的值． 【详解】（1）解：∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成， ∴图中的阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成， ∴图中的阴影部分的面积为：， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的左边阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图中的阴影部分的面积为， ∵图中的右边阴影部分的面积是边长的正方形与边长为的正方形的差， ∴图中的右边阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； 故答案为：；；； （2）解：①∵， 又∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为； （3）解：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 4．（25-26八年级上·广西北海·期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 5．（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 6．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)；； (2)12 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式与图形面积的结合，解题的关键是通过图形的分割、拼接，将代数式与几何图形的面积建立联系，利用“数形结合”的思想进行转化求解； （1）图1：通过面积和列等式，得到完全平方和公式；图2：通过大正方形减去两个矩形，再加上重叠的小正方形，得到完全平方差公式；图3：通过面积相等得到平方差公式； （2）设，，根据完全平方公式及条件求出的值，再根据阴影部分是直角三角形，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设，， 则． 因为， 即， ， 即阴影部分的面积为12． 题型六：完全平方公式与几何图形 1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图所示，两个正方形的边长分别为，．如果，． (1)求的值； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、代数式求值，关键是公式变形的灵活应用； （1）根据完全平方公式变形即可得出； （2）先表示出阴影部分面积，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）某学校为了提高学生的实践能力和综合运用知识的能力，计划在其实验基地建立如图所示的种植园．图中阴影部分设计为种植园，该长方形场地的长为，宽为，中间是边长为的正方形空地． (1)用含，的代数式表示该种植园（阴影部分）的面积并化简； (2)学校组织学生种植作物，若，，每平方米的种植成本是40元，则完成种植共需多少元？ 【答案】(1) (2)116000元 【分析】本题考查的是整式的乘法与图形面积，求解代数式的值. （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去正方形的面积可得答案. （2）把，代入（1）中的代数式求解面积，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设阴影部分的面积为，由图可知： ． （2）解：当，时， ∴（元）． 答：完成种植共需116000元． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）某学习小组在一次数学活动中，用若干个正方形和长方形拼出了如下图所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，可得到一个代数恒等式：，利用这个恒等式解决下列问题： (1)已知，，求的值； (2)求证：，并写出等号成立的条件． 【答案】(1)18 (2)见解析，等号成立的条件是： 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）把，代入进行计算即可； （2）由已知条件得，由，，可得代入得故可得结论，等号成立的条件是：． 【详解】（1）解：把，代入得： ， ∴， 解得：； （2）证明：∵， ∴， 又，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 等号成立的条件是：． 4．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【教材原题】 观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； 【知识应用】 （2）根据图2所得的公式：①若，，求的值； ②若，求的值； 【知识拓展】 （3）如图3，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为60平方米，米，求种花区域的面积和． 【答案】（1）；（2）①，②；（3）种花区域的面积和为102平方米 【分析】本题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）①由（1）的结论得，再整体代入计算即可得出答案； ②由，再整体代入计算即可得出答案； （3）设，，，再表示出种草区域的面积和，最后代入后整体求值即可． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， ∴大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为， 又∵阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； ②由（1）的结论得：， 又∵， ∴； （3）设，， ∵于点E，， ∴， ∵种草区域的面积和为：， ∴种花区域的面积和为： ． 答：种花区域的面积和为102平方米． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①，；② 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形求值，矩形与正方形的性质，掌握好相关知识是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）对比完全平方公式确认与，再计算出的值即可； （3）设，，利用完全平方公式求值即可； （4）①根据线段和差关系进行填空； ②由矩形的面积为，可得，利用完全平方公式变形求得，根据正方形面积公式求出阴影面积． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：在完全平方式中，，， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； 综上所述，或； （3）解：设，， ∴，， ， ∴， ∴； （4）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ②∵长方形的面积为， ∴． ∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·山东德州·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_____； 【解决问题】 （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，求的值． ②若满足，求的值； 【拓展提升】 （3）如图丁，在线段上取一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若阴影部分的面积和为17，的面积为11，求的长度． 【答案】（1）①③②；（2）① 73，②185；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，完全平方公式变形求值． （1）分别用两种方法表示出阴影部分的面积即可解答； （2）①利用即可解答；②设，则，由公式即可解答； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，，即，，求出，进而得到，即可解答． 【详解】（1）解：图甲中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 图乙中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 图丙中，由图可知，，也可以表示为， ∴， ∴甲，乙，丙3个图形按顺序排列为①③②； 故答案为：①③②． （2）解：①∵，， ； ②设，则， 由公式，得， 即； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可得，，，即，， ， ， ，， ，即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $