09 有余数的除法-三年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

知途引航 导航知识——科学提分 09有余数的除法 📋 核心方法论与知识体系构建 1 1.知识体系全景梳理 1 2.有余数除法解题方法速记表 1 3.奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：余数与除数的关系（求最大/最小余数、除数范围） 2 📌 考点二：逆向求被除数（已知除数、商、余数） 2 📌 考点三：求除数与商（已知被除数、余数） 3 📌 考点四：商余相等与除数商相等（最值与构造） 3 📌 考点五：周期与应用（至少/最多、周期余数） 4 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 4 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 5 🌱 基础夯实篇（8题） 5 🚀 能力进阶篇（6题） 5 🧠 思维跃迁篇（6题） 6 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 7 🌱 基础夯实篇（8题） 7 🚀 能力进阶篇（6题） 9 🧠 思维跃迁篇（6题） 10 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 1.知识体系全景梳理 有余数的除法核心是余数＜除数与被除数=除数×商+余数两大支柱。三年级重点覆盖余数范围、逆向求被除数、除数与商的推导、商余相等/除数商相等的构造，以及“至少/最多”的实际应用与周期问题，核心突破口为余数的取值边界与数量关系的逆向运算。 题型类型 核心突破口 核心公式 关键限制 余数范围 除数定余数，余数定除数 余数最大=除数-1；除数最小=余数+1 1≤余数＜除数 逆向求被除数 除数×商+余数 被除数=除数×商+余数 余数＜除数 求除数与商 （被除数-余数）=除数×商 除数=(被除数-余数)÷商；商=(被除数-余数)÷除数 除数＞余数，商为正整数 商余相等/除数商相等 设相等量，定最小除数 被除数=a×(除数+1)（商余=a）；被除数=b²+c（除数商=b，余数=c） 除数＞余数 周期与应用 余数定位置，进一/去尾 周期位置=总数÷周期数……余数；至少=商+1；最多=商 余数非零时进一，去尾取商 2.有余数除法解题方法速记表 解题方法 核心技巧 记忆口诀 适用题型 边界法 抓余数最大/除数最小，锁定范围 余数最大除数减一，除数最小余数加一 余数范围、最值问题 公式法 正向计算，逆向验证 被除数=商乘除数加余数，验算必用此公式 逆向求被除数、验算 分解法 拆（被除数-余数）为除数×商，枚举因数 先减余数再分解，因数配对找除数 求除数与商 设元法 设相等量，定最小除数，求被除数 商余相等设为a，除数最小a加一 商余相等、除数商相等 周期法 总数除周期，余数定结果 总数除以周期数，余数对应第几数 周期位置、至少最多 3.奥数思维提升 ① 边界优先：先根据余数＜除数确定余数或除数的最值，再计算其他量； ② 公式必用：所有逆向题均以被除数=除数×商+余数为核心，验算必不可少； ③ 分解枚举：求除数时，先算被除数-余数，再枚举其因数，筛选出大于余数的除数； ④ 设元构造：商余相等或除数商相等时，设元后定最小除数，再求被除数； ⑤ 应用辨析：“至少”用进一法（商+1），“最多”用去尾法（取商），周期题余数为0对应最后一个。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：余数与除数的关系（求最大/最小余数、除数范围） ✨ 典型例题 在□÷7=□……□中，余数最大是多少？在□÷□=8……5中，除数最小是多少？ ✅ 解题步骤 ① 余数最大：根据余数＜除数，除数=7，余数最大=7-1=6； ② 除数最小：根据除数＞余数，余数=5，除数最小=5+1=6； ③ 验证：6＜7，6＞5，均符合规则。 🔄 方法总结 余数最大=除数-1，除数最小=余数+1，直接应用边界规则。 📌 考点二：逆向求被除数（已知除数、商、余数） ✨ 典型例题 一个数除以9，商是12，余数是7，求这个数。 ✅ 解题步骤 ① 套用公式：被除数=除数×商+余数； ② 计算：9×12+7=108+7=115； ③ 验算：115÷9=12……7，余数7＜9，正确。 🔄 方法总结 已知除数、商、余数，直接用公式求被除数，验算确保余数合规。 📌 考点三：求除数与商（已知被除数、余数） ✨ 典型例题 29÷□=□……5，求除数与商。 ✅ 解题步骤 ① 算除数×商：29-5=24； ② 枚举24的因数对：(1,24)、(2,12)、(3,8)、(4,6)、(6,4)、(8,3)、(12,2)、(24,1)； ③ 筛选除数＞余数5：除数=6、8、12、24，对应商=4、3、2、1。 🔄 方法总结 先减余数得积，再枚举因数对，筛选除数＞余数的组合。 📌 考点四：商余相等与除数商相等（最值与构造） ✨ 典型例题 在□÷□=a……a中，a=4，求被除数最小是多少？ ✅ 解题步骤 ① 设商=余数=a=4； ② 定除数最小：除数＞余数4，除数最小=5； ③ 求被除数：5×4+4=24。 🔄 方法总结 商余相等时，除数最小=余数+1，再用公式求被除数。 📌 考点五：周期与应用（至少/最多、周期余数） ✨ 典型例题 38名同学划船，每条船坐4人，至少要租几条船？ ✅ 解题步骤 ① 计算：38÷4=9……2； ② 辨析：剩余2人也需1条船，用进一法； ③ 结果：9+1=10条。 ④验算：10×4=40（人），40≥38，能容纳所有同学，结果正确。 🔄 方法总结 “至少”问题余数非零时，商+1；“最多”问题直接取商。 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 余数≥除数 □÷6=3……7 牢记余数＜除数，余数最大=除数-1 逆向漏加余数 □÷8=5……3，被除数=8×5=40 必用被除数=除数×商+余数，验算 除数≤余数 □÷□=6……4，除数=4 除数最小=余数+1，筛选因数时严格把关 应用法错误 38÷4=9……2，至少租9条 “至少”进一，“最多”去尾，结合实际 周期余数为0 20÷5=4……0，对应第0个 余数为0对应周期最后一个，非第0个 商余相等漏定除数 □÷□=3……3，被除数=3×3+3=12 除数必须＞3，最小除数=4，被除数=16 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8题） 1． 在□÷8=□……□中，余数最大是多少？ 2． 在□÷□=7……3中，除数最小是多少？ 3． 一个数除以6，商是15，余数是4，求这个数。 4． 47÷□=□……2，求除数与商（写出一组即可）。 5． 25个苹果，每袋装6个，最多装几袋？还剩几个？ 6． 周期为5，第18个数是几？ 7． 在□÷9=□……□中，余数最小是多少？ 8． 验算：53÷7=7……4，是否正确？ 🚀 能力进阶篇（6题） 9． 在□÷7=□……□中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ 10． 在□÷□=□……6中，被除数最小是多少？ 11． 68÷□=□……8，求所有符合条件的除数与商。 12． 商和除数相等，余数是5，被除数最小是多少？ 13． 45名同学坐车，每车坐6人，至少要几辆车？ 14． 周期为4，第30个数是几？ 🧠 思维跃迁篇（6题） 15． 在□÷□=12……□中，被除数最小是多少？ 16． 商余相等，被除数是42，求除数与商。 17． 在□÷□=□……9中，除数商相等，被除数是90，求除数与商。 18． 周期为7，第100个数是几？ 19． 一堆糖，平均分给5人余3颗，平均分给7人余3颗，这堆糖最少有几颗？ 20． 在□÷□=□……□中，除数是一位数，商是两位数，余数是8，被除数最大是多少？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 🌱 基础夯实篇（8题） 1.【答案】7 ✅ 解题步骤 ① 余数＜除数，除数=8； ② 余数最大=8-1=7； ③ 验证：7＜8，符合规则。 【知识点睛】余数最大=除数-1，直接应用边界规则。 2.【答案】4 ✅ 解题步骤 ① 除数＞余数，余数=3； ② 除数最小=3+1=4； ③ 验证：4＞3，符合规则。 【知识点睛】除数最小=余数+1，锁定除数下限。 3.【答案】94 ✅ 解题步骤 ① 被除数=除数×商+余数； ② 6×15+4=90+4=94； ③ 验算：94÷6=15……4，余数4＜6，正确。 【知识点睛】逆向求被除数，公式必用，验算必不可少。 4.【答案】除数=9，商=5（或除数=5，商=9；除数=15，商=3；除数=45，商=1） ✅ 解题步骤 ① 47-2=45； ② 45的因数对：(1,45)、(3,15)、(5,9)、(9,5)、(15,3)、(45,1)； ③ 筛选除数＞2，任取一组即可。 【知识点睛】先减余数得积，再枚举因数对，筛选除数＞余数。 5.【答案】最多装4袋，剩1个 ✅ 解题步骤 ① 25÷6=4……1； ② “最多”用去尾法，取商4； ③ 验证：4×6+1=25，正确。 【知识点睛】“最多”问题直接取商，结合实际验证。 6.【答案】第3个数 ✅ 解题步骤 ① 18÷5=3……3； ② 余数3对应周期第3个数； ③ 验证：3×5+3=18，正确。 【知识点睛】周期问题，余数定位置，余数非零对应余数序号。 7.【答案】1 ✅ 解题步骤 ① 余数≥1且＜除数； ② 除数=9，余数最小=1； ③ 验证：1＜9，符合规则。 【知识点睛】余数最小为1，牢记取值范围。 8.【答案】正确 ✅ 解题步骤 ① 验算：7×7+4=49+4=53； ② 余数4＜除数7； ③ 结果与被除数一致，正确。 【知识点睛】有余数除法的验算核心是“除数×商+余数=被除数”且余数＜除数。 🚀 能力进阶篇（6题） 9.【答案】8、16、24、32、40、48 ✅ 解题步骤 ① 设商=余数=a，a=1,2,3,4,5,6（a＜7）； ② 被除数=7×a+a=8a； ③ 分别计算：a=1→8，a=2→16，a=3→24，a=4→32，a=5→40，a=6→48。 【知识点睛】商余相等时，被除数=除数×a+a，a＜除数。 10.【答案】13 ✅ 解题步骤 ① 余数=6，除数最小=7； ② 商最小=1； ③ 被除数=7×1+6=13。 【知识点睛】求最小被除数，除数与商均取最小值，除数＞余数。 11.【答案】除数=10，商=6；除数=12，商=5；除数=15，商=4；除数=20，商=3；除数=30，商=2；除数=60，商=1 ✅ 解题步骤 ① 68-8=60； ② 60的因数对：(1,60)、(2,30)、(3,20)、(4,15)、(5,12)、(6,10)、(10,6)、(12,5)、(15,4)、(20,3)、(30,2)、(60,1)； ③ 筛选除数＞8，得到所有组合。 【知识点睛】完整枚举因数对，严格筛选除数＞余数，避免遗漏。 12.【答案】61 ✅ 解题步骤 ① 余数=5，除数最小=6； ② 除数=商=6； ③ 被除数=6×6+5=36+5=61。 【知识点睛】除数商相等时，除数最小=余数+1，再求被除数。 13.【答案】8辆 ✅ 解题步骤 ① 45÷6=7……3； ② “至少”用进一法，7+1=8； ③ 验证：8×6=48≥45，正确。 【知识点睛】“至少”问题，余数非零时商+1，确保全部容纳。 14.【答案】第2个数 ✅ 解题步骤 ① 30÷4=7……2； ② 余数2对应周期第2个数； ③ 验证：7×4+2=30，正确。 【知识点睛】周期问题，余数定位置，熟练应用除法运算。 🧠 思维跃迁篇（6题） 15.【答案】25 ✅ 解题步骤 ①求最小被除数，需余数、除数均取最小值，余数最小=1； ②根据除数＞余数，除数最小=2； ③套用公式：被除数=2×12+1=25； ④验证：25÷2=12……1，除数2＞余数1，符合规则。 【知识点睛】求最小被除数，余数与除数均取最小值，除数＞余数。 16.【答案】除数=13，商=3；除数=20，商=2；除数=41，商=1 ✅ 解题步骤 ①设商=余数=a，由被除数=除数×a+a得：a×(除数+1)=42； ②分解42的正整数因数对（a为余数，取正整数且a＜除数）：(1,42)、(2,21)、(3,14)、(6,7)； ③筛选：a=1时，除数+1=42→除数=41（41＞1，符合）；a=2时，除数+1=21→除数=20（20＞2，符合）；a=3时，除数+1=14→除数=13（13＞3，符合）；a=6时，除数+1=7→除数=6（6=6，不符合，舍）； ④最终结果：除数13、商3；除数20、商2；除数41、商1。 【知识点睛】商余相等时，结合因数分解，筛选除数＞余数的组合。 17.【答案】除数=10，商=10 ✅ 解题步骤 ①余数=9，根据除数＞余数且除数=商，得除数=商最小=10； ②套用公式：被除数=10×10+9=90； ③验证：90÷10=10……9，除数10＞余数9，符合规则。 【知识点睛】除数商相等时，先减余数，确保除数＞余数。 18.【答案】第2个数 ✅ 解题步骤 ① 100÷7=14……2； ② 余数2对应周期第2个数； ③ 验证：14×7+2=100，正确。 【知识点睛】大数周期问题，除法运算求余数，快速定位。 19.【答案】38颗 ✅ 解题步骤 ① 平均分给5人余3，平均分给7人余3，说明糖数-3是5和7的公倍数； ② 5和7的最小公倍数=35； ③ 糖数最少=35+3=38； ④ 验证：38÷5=7……3，38÷7=5……3，正确。 【知识点睛】同余问题，先求最小公倍数，再加余数。 20.【答案】899 ✅ 解题步骤 ① 余数=8，除数是一位数，除数最大=9； ② 商是两位数，商最大=99； ③ 被除数最大=9×99+8=891+8=899； ④ 验证：899÷9=99……8，余数8＜9，符合规则。 【知识点睛】求最大被除数，除数、商均取最大值，结合余数规则。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $