19.3二次根式的加法与减法（思维导图+3知识点+13种题型，讲义）数学新教材人教版八年级下册

第十九章 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 知识点一 同类二次根式 定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 【解读】 1）同类二次根式类似于整式中的同类项，如：是同类二次根式. 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 即学即练 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25八年级下·北京·开学考试）下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则______． 4．（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 知识点二 二次根式的加减法 法则：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即 【解读】 1）合并同类二次根式与合并同类项类似，即只把“系数”相加减，而根号部分不变. [注意]“系数”的结果若不是整数，则应写成假分数的形式，不能写成带分数形式，也不能写成小数形式. 2）二次根式加减运算的实质：合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 即学即练 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）若，则___________． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则正整数的值是________． 知识点三 二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算. 关键：二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 实质：二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.因此: 1）运算顺序与有理式的运算顺序相同； 2）运算律仍然适用； 3）与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算； 4）对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的方法，化分母为整式.例如：， . 即学即练 1．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）估计的运算结果应在（   ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间 2．（24-25八年级下·重庆·开学考试）计算：_________；_________． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）计算： (1) (2) (3) 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： 题型01 判断同类二次根式 判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，若它们的被开方数相同，则它们是同类二次根式，否则它们不是同类二次根式. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 2．（25-26八年级上·上海·月考）下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2025·河北唐山·三模）下列各数中，与的差为有理数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）下列二次根式：①；②；③；④．其中与是同类二次根式的是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 题型02 根据同类二次根式的概念求字母的取值 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·四川南充·月考）最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（   ） A．1 B． C． D．3 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是___________． 题型03 二次函数加减运算 1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号； 2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简； 3）合并被开方数相同的二次根式. 注意：有理数的加法交换律、结合律都适用于二次根式的运算. 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算______ 2．（2025·上海·模拟预测）记，则______． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型04 二次根式混合运算 二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·重庆·期中）估计的值应在（        ）之间 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 变｜式｜巩｜固 1．（2025·山西朔州·模拟预测）计算：______． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·月考）计算：＝_____． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）计算 (1) (2) (3) 题型05 判断二次根式混合运算的错误步骤 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·吉林白城·月考）小明同学计算时，出现了错误，解答过程如下． 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小明同学的解答过程是从第______步开始出现错误的，这一步错误的原因是_____． (2)请写出此题正确的解答过程． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级下·河南·专题练习）下面是小明进行二次根式运算的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：     第一步     第二步         第三步         第四步 任务一：以上步骤中第一步化简依据的性质用文字语言叙述为：____________； 任务二：小明的运算过程从第____________步开始出现错误，小明的错误原因是____________； 任务三：请写出本题正确的运算过程 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式        第一步         第二步 ．        第三步 计算． 解：原式        第一步         第二步 ．        第三步 (1)任务一：以上步骤中，从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (2)任务二：请写出正确的计算过程． 题型06 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山西太原·月考）计算的结果是________． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 2．（25-26八年级上·四川达州·期中）设，，则的值是__________． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）已知．求的值． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，． (1)求的值． (2)求的值． 题型07 比较二次根式的大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 2．（24-25八年级下·四川南充·期末）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得_____．（填“”或“”或“”） 3．（25-26八年级上·上海·月考）比较大小：______．（填“”“ ”或“”） 4．（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 题型08 己知字母的取值化简求值 对于复杂的代数式求值，一般不宜直接代入已知数求值，而是先将代数式化简，然后代入求值. 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）（1）已知，化简：． （2）已知，． ①求的值； ②的值． 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 题型09 己知条件式化简求值 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 题型10 与二次根式有关的整体代入求值问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级下·广西河池·期中）问题解决：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 方法归纳：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用：已知，求代数式的值． 2．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料： 已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法： 解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得． 这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)若，求代数式的值； (2)若，求代数式的值． 题型11 二次根式混合运算的实际应用 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为，宽为的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为的圆柱形玻璃容器中，玻璃容器水面高度上升了，求长方体塑料容器中的水下降的高度．（注意：取3）． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 题型12 二次根式的新定义类问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）对于任意两个非零实数，，定义运算“”如下：，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)计算：______，______． (2)若，求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24七年级下·云南昭通·月考）请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）定义两种新运算，规定：，，其中a、b为实数且． (1)求的值； (2)求的解． 题型13 二次根式的阅读理解类问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 下面是小军的阅读笔记．请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 认识二次根式的两个概念（ⅰ）有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：，．我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”．例如：；． 请完成以下任务： (1)①写出的一个有理化因式：______； ②将分母有理化的结果是______． (2)化简：． (3)计算． 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读材料： 海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为 ． 下面我们对海伦公式进行证明． 分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式． 证明：如图，设，，，，，，，． 根据勾股定理，得 解方程组得 ， ① ② 于是 (1)阅读材料中的解方程组得①______． (2)[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式． (3)[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 知识点一 同类二次根式 定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 【解读】 1）同类二次根式类似于整式中的同类项，如：是同类二次根式. 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 即学即练 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京·开学考试）下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项为最简二次根式，根据其被开方数是否与的被开方数相同即可解答． 【详解】解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意； D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，化简后，令被开方数相等求解． 【详解】解：，所以被开方数为 3； 因为是最简二次根式，且与是同类二次根式， 所以， 解得， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 知识点二 二次根式的加减法 法则：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即 【解读】 1）合并同类二次根式与合并同类项类似，即只把“系数”相加减，而根号部分不变. [注意]“系数”的结果若不是整数，则应写成假分数的形式，不能写成带分数形式，也不能写成小数形式. 2）二次根式加减运算的实质：合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 即学即练 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减运算是合并同类二次根式，合并时系数相加减，被开方数不变，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； C、3与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）若，则___________． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．先合并同类二次根式，然后把两边平方即可得的值． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：8． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则正整数的值是________． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行二次根式的加减运算，然后估算结果的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴正整数的值4． 故答案为：4． 知识点三 二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算. 关键：二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 实质：二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.因此: 1）运算顺序与有理式的运算顺序相同； 2）运算律仍然适用； 3）与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算； 4）对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的方法，化分母为整式.例如：， . 即学即练 1．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）估计的运算结果应在（   ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先算乘法，再算减法，最后用平方法估算平方根的取值范围． 【详解】解： = ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ 结果在 3 到 4 之间． 故选：B． 2．（24-25八年级下·重庆·开学考试）计算：_________；_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．第一题根据二次根式的乘除法法则计算即可；第二题先将括号内的二次根式化简，然后求和，再计算二次根式的除法即可． 【详解】解： ． ． 故答案为：； 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式加法即可； （2）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加法即可； （3）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质．先运用二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 题型01 判断同类二次根式 判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，若它们的被开方数相同，则它们是同类二次根式，否则它们不是同类二次根式. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断．解题的关键在于，需化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同．根据二次根式的化简，化简后再判断出同类二次根式即可． 【详解】选项A：化简 ，化简 ，两式最简形式被开方数均为，为同类二次根式．符合题意； 选项B: 和 ，被开方数分别为 和 ，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项 C: 和 ，被开方数分别为和，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项D: 和 ，化简后不是二次根式，故不是同类二次根式，不符合题意． 故选A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可． 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A：与，被开方数分别为和7，不同，故不是同类二次根式； 选项B：与（其中），可化为，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 选项C：，，两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式； 选项D：，，其中，，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海·月考）下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握同类二次根式，二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质，同类二次根式定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．与是同类二次根式，故选项A不符合题意； B．，是同类二次根式，故选项B不符合题意； C．，是同类二次根式，故选项C不符合题意； D．与不是同类二次根式，故选项D符合题意． 故选：D． 3．（2025·河北唐山·三模）下列各数中，与的差为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，实数，根据二次根式的加减法、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项符合题意； C、是无理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）下列二次根式：①；②；③；④．其中与是同类二次根式的是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识．将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是①④． 故选：C． 题型02 根据同类二次根式的概念求字母的取值 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，先把每个选项中的m的值代入，根据二次根式的性质进行化简，如果和是同类二次根式就可以合并，否则不能合并． 【详解】解：A、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、当时，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； D、当时，，与是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意； 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·四川南充·月考）最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，解决此题的关键是掌握同类二次根式的定义即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 根据最简二次根式，以及同类二次根式的定义，列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故选A． 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， ． 故答案为4． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组求解出和的值，再代入计算． 【详解】解：由题意与是同类二次根式， 故； 与是同类二次根式，故． 得方程组： 化简得： 解得：，， 代入． 故答案为：． 题型03 二次函数加减运算 1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号； 2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简； 3）合并被开方数相同的二次根式. 注意：有理数的加法交换律、结合律都适用于二次根式的运算. 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则． 需依据同类二次根式的定义（被开方数相同的二次根式为同类二次根式）及二次根式加减法则（同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变）来判断各选项计算是否正确． 【详解】解：A选项中与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，计算错误； B选项中，， ，计算正确； C选项中，， 计算错误； D选项中与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，计算错误； 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算______ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（2025·上海·模拟预测）记，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加法运算，根据新定义运算分别求出和，再相加即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解； （2）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解； （3）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型04 二次根式混合运算 二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·重庆·期中）估计的值应在（        ）之间 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算．先根据二次根式的混合运算进行计算，然后通过平方数估计无理数的范围，从而确定整体值的区间． 【详解】解∶ ∵，， ∴， ∴， ∴． 因此，的值在10和11之间， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·山西朔州·模拟预测）计算：______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式计算得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·月考）计算：＝_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则化简运算即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再去括号并计算即可； （2）利用乘法公式和二次根式的除法法则化简，再算加减； （3）利用乘法公式化简，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 4．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先把二次根式化成最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （3）先把二次根式化成最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型05 判断二次根式混合运算的错误步骤 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·吉林白城·月考）小明同学计算时，出现了错误，解答过程如下． 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小明同学的解答过程是从第______步开始出现错误的，这一步错误的原因是_____． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一，没有将带分数化为假分数再化简 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，解决本题的关键是根据二次根式的运算法则进行计算即可． 小明同学在计算第一步时，应先把被开方数化为假分数，然后再进行计算； 首先利用完全平方公式把展开，把的被开方数化为假分数，可得：原式，再根据二次根式的计算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：小明同学的解答过程从第一步开始出现错误， 这一步的错误原因是没有把代分数化为假分数再化简， 故答案为：一，没有把代分数化为假分数再化简； （2）解： ． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级下·河南·专题练习）下面是小明进行二次根式运算的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：     第一步     第二步         第三步         第四步 任务一：以上步骤中第一步化简依据的性质用文字语言叙述为：____________； 任务二：小明的运算过程从第____________步开始出现错误，小明的错误原因是____________； 任务三：请写出本题正确的运算过程 【答案】任务一：两个非负数商的算术平方根等于这两个数算术平方根的商；任务二：二；括号前是“”，去括号时第二项没有变号；任务三：见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； 任务一：根据二次根式的除法法则即可解答； 任务二：根据二次根式的运算法则和去括号法则即可判断； 任务三：根据二次根式的混合运算法则求解即可. 【详解】解：任务一：两个非负数商的算术平方根等于这两个数算术平方根的商； 任务二：小明的运算过程从第二步开始出现错误，小明的错误原因是：括号前是“”，去括号时第二项没有变号； 任务三：解：原式 . 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式        第一步         第二步 ．        第三步 计算． 解：原式        第一步         第二步 ．        第三步 (1)任务一：以上步骤中，从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (2)任务二：请写出正确的计算过程． 【答案】(1)一，乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算 (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）乘除同级运算，应是从左到右运算，即可作答． （2）先运算除法，再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算； （2）解：依题意，正确的计算过程： 原式． 题型06 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山西太原·月考）计算的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的运算、完全平方公式的应用．解题关键是将转化为，再分别计算和的值． 【详解】解： ． 故答案为：10． 2．（25-26八年级上·四川达州·期中）设，，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现和互为倒数，即，从而将原式化简为． 【详解】解：由，， 计算， 所以． 则． 因此． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）已知．求的值． 【答案】18 【分析】求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求代数式的值、二次根式的混合运算、运用平方差公式和完全平方公式进行计算． (1)根据，，可得，，利用完全平方公式变形进行计算； (2)利用平方差公式分解因式可得：，再把，，代入进行计算． 【详解】（1）解：，， ，， ； （2）解：，， ． 题型07 比较二次根式的大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解： ， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·四川南充·期末）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得_____．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，勾股定理，三角形三边的关系，利用勾股定理可求出，由线段的和差关系可得，根据即可得到答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由三角形三边的关系可得，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·月考）比较大小：______．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、实数比较大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先分母有理化，然后根据负数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 题型08 己知字母的取值化简求值 对于复杂的代数式求值，一般不宜直接代入已知数求值，而是先将代数式化简，然后代入求值. 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 【答案】39 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算以及完全平方公式等知识．根据已知条件，先求得，，然后将整理为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）（1）已知，化简：． （2）已知，． ①求的值； ②的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由二次根式的性质化简即可得出结果； （2）先求出，，①再结合完全平方公式计算即可得出结果；②先通分，再整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ①； ②． 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化和代数式的化简是解题的关键． （1）首先将，进行分母有理化，再计算即可； （2）首先对该分式进行化简，最后将，的值代入即可． 【详解】（1）解：化简， ， 故． （2）解：原式 将，代入上式得． 故 题型09 己知条件式化简求值 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可． 本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 题型10 与二次根式有关的整体代入求值问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级下·广西河池·期中）问题解决：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 方法归纳：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用：已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意运用整体思想．按照题中所给的方法得出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 2．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料： 已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法： 解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得． 这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)若，求代数式的值； (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确读懂题意仿照题意进行求解是解题的关键． （1）先求出，进而得到，则，再把整体代入所求式子中求解即可； （2）先仿照题意求出，则，再把变形为，进一步变形为，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型11 二次根式混合运算的实际应用 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为，宽为的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为的圆柱形玻璃容器中，玻璃容器水面高度上升了，求长方体塑料容器中的水下降的高度．（注意：取3）． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体和圆柱体的体积公式以及二次根式的运算，解题的关键是根据倒出的水的体积相等列出方程． 设长方体塑料容器中的水下降的高度为，根据体积列出方程求解即可． 【详解】解：设长方体塑料容器中的水下降的高度为， 根据题意，得， 解得． 当取3时，， 长方体塑料容器中的水下降的高度是． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 【答案】(1) (2) (3)甲的侧面积更小，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得，根据甲，乙两个盒子侧面积可推出，结合即可求解； （3）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴． ∴， ∴甲盒子的侧面积为：， 故答案为： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵甲，乙两个盒子侧面积和为， ∴， 又， ∴． ∴． （3）解：甲的侧面积为：，乙的侧面积为：． ∴ ∵（） ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴当时，甲的侧面积更小， 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为． 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去个花坛面积，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 题型12 二次根式的新定义类问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）对于任意两个非零实数，，定义运算“”如下：，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)计算：______，______． (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，实数的运算，理解题意并列得正确的算式或方程是解题的关键． （1）根据定义的新运算列式计算即可； （2）由题意易得，根据定义的运算列得一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）∵， ∴， 整理得：， 解得：，． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24七年级下·云南昭通·月考）请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3)102 【分析】本题考查数字变化的规律． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知，从1开始连续n个奇数的和等于n的平方， 又∵ ∴． 故答案为：n． （3）原式 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）定义两种新运算，规定：，，其中a、b为实数且． (1)求的值； (2)求的解． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算，二次根式的混合运算，解分式方程． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义得到方程，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， 方程两边同乘 ，得 ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴的解是． 题型13 二次根式的阅读理解类问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 【答案】（1）；（2）；（3）<，> 【分析】本题考查二次根式的运用，熟练掌握二次根式的计算和完全平方公式是解题的关键， （1）利用完全平方公式展开，再利用二次根式计算即可得到答案： （2）利用分母有理化计算即可得到答案； （3）先计算各个数的平方，再利用平方比较大小即可得到答案． 【详解】解：（1）由题可得：， 故答案为：； （2）由题可得：， 整理得：， 移项得：， 解得：， 故答案为：； （3）由题可得：令，， ∴，， ∴， ∴； 令，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：<，>． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 下面是小军的阅读笔记．请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 认识二次根式的两个概念（ⅰ）有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：，．我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”．例如：；． 请完成以下任务： (1)①写出的一个有理化因式：______； ②将分母有理化的结果是______． (2)化简：． (3)计算． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式，分母有理化． （1）根据有理化因式的定义计算解题； （2）进行分母有理化，然后化简解答即可； （3）分别进行分母有理化，然后相加计算解答即可． 【详解】（1）解：①∵， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：； （3）解： ． 2．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）解：① 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 时取等号，即时，原式有最小值4． ② 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读材料： 海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为 ． 下面我们对海伦公式进行证明． 分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式． 证明：如图，设，，，，，，，． 根据勾股定理，得 解方程组得 ， ① ② 于是 (1)阅读材料中的解方程组得①______． (2)[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式． (3)[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题题型属于阅读理解型分式的加减运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可． （1）将代入求解即可； （2）仿照②的运算方法求解即可； （3）根据海伦秦九韶公式求解即可． 【详解】（1）将代入得， ； （2） 于是 ； （3）∵，，， ∴ ∴的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $