精品解析：广西壮族自治区柳州市柳南区柳州市壶西实验中学2025-2026学年九年级下学期 学情自测数学试题

2025-2026学年度下学期初三开学考质量检测试卷 数学 （全卷满分120分，学生闭卷作答，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 整数和分数统称为有理数 B. 一个有理数的绝对值一定大于它本身 C. x与y的和除以x的商是 D. 相反数等于本身的数只有0和1 2. 小莹同学 10 个周综合素质评价成绩统计如下： 成绩(分) 94 95 97 98 99 100 周数(个) 1 2 2 3 1 1 这 10 个周的综合素质评价成绩的中位数和众数分别是( ) A. 97.5 97 B. 97 97 C. 97.5 98 D. 97 98 3. 下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（　　） A. 圆柱 B. 球 C. 三棱柱 D. 圆锥 4. 将数据“145亿”用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 5. 某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（ ）． A. 超过标准线 B. 低于标准线 C. 不超过标准线 D. 不低于标准线 6. 如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是(　　) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 7. 一次函数的图象与x轴交点的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，，直线分别交，于，两点，于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，分别是抛物线与x轴交点的横坐标，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 一次函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委的批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率）随充电时间（分钟）变化的函数图．下列说法中正确的个数有（ ）个． ①本次充电持续时间是120分钟 ②本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 ③若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 ④本次充电60分钟，汽车电池含电率达到 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 计算：________． 14. 写出一个x取任意实数时，一定有意义的分式：________． 15. 一不法药贩把外表完全相同的盒假药与盒真药混在一起出售，以达到以假乱真的效果，不知情的顾客从中随机拿一盒药，拿到真药的概率为______． 16. 如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则________°． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，已知火车站的坐标为，文化宫的坐标为． （1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系； （2）写出市场、超市的坐标； （3）若小明家的坐标为，在平面直角坐标系中标出小明家的位置，设火车站为点A，超市为点B，小明家为点C，判断的形状，并说明理由． 19. 某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球等五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如表： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 a 12 36 18 b 解答下列问题： （1）______，______； （2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； （3）该学校将组织趣味运动会，某班决定从2名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的4名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由． 20. 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画射线交于，则是的平分线，说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，，求的面积． 21. 图1是构成纸魔方的一个三棱柱，图2是图1的展开图，尺寸数据如下（单位：．阴影部分为内部粘贴角料，计算面积时忽略不计），图3是数学活动课上制作的纸魔方变化出的一种形状． （1）做一个三棱柱（图2）需要纸片______，做一个图3纸魔方一共需要纸片______；（直接用含的式子表示） （2）当，时，图3纸魔方一共用纸片多少？ （3）若图1纸魔方用纸片，且，求的值． 22. 综合与实践 【项目主题】探究小车轮的形状原理 【项目背景】在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作的方式开展项目式学习，探究小车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 （1）探究甲组：车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的，如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为 ． （2）探究乙组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化，如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为 ． （3）探究丙组：如图，有一个等边三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 【探究发现】车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． （4）探究丁组：使“莱洛三角形”以图为初始位置沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，大致为 ．（填写对应的字母） 23. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图1，若，则的面积为 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期初三开学考质量检测试卷 数学 （全卷满分120分，学生闭卷作答，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 整数和分数统称为有理数 B. 一个有理数的绝对值一定大于它本身 C. x与y的和除以x的商是 D. 相反数等于本身的数只有0和1 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据有理数的分类，绝对值，列代数式，相反数相关知识点进行判断即可． 【详解】解：A、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意； B、一个有理数的绝对值一定大于它本身错误，由于0和正数的绝对值等于本身，故不符合题意； C、x与y的和除以x的商是，故原说法错误，不符合题意； D、相反数等于本身的数只有0，故原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的分类，绝对值，列代数式，相反数相关知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 小莹同学 10 个周综合素质评价成绩统计如下： 成绩(分) 94 95 97 98 99 100 周数(个) 1 2 2 3 1 1 这 10 个周的综合素质评价成绩的中位数和众数分别是( ) A. 97.5 97 B. 97 97 C. 97.5 98 D. 97 98 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列，中位数是第5和第6个数的平均数， 则中位数是， ∵98出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是98； 故选：C． 【点睛】本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数． 3. 下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（　　） A. 圆柱 B. 球 C. 三棱柱 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据各图形左视图判断即可． 【详解】A、圆柱体的左视图是矩形,不符合题意； B、球的左视图是圆,符合题意； C、直三棱柱的左视图是矩形且中间有一条纵向的实线,不符合题意； D、圆锥的左视图是三角形,不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查图形的左视图,关键在于牢记基础知识． 4. 将数据“145亿”用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：“145亿”用科学记数法表示为． 故选：B 5. 某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（ ）． A. 超过标准线 B. 低于标准线 C. 不超过标准线 D. 不低于标准线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列不等式，需根据“≥”的含义结合标准线判断横线处的描述． 【详解】解：∵“≥”在实际情境中表示“不低于”（即大于或等于）， 又∵不等式为，其中是标准线， ∴横线处应填“不低于标准线”， ∴故选：． 6. 如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是(　　) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】∵点A(，3)在第一象限， ∴AB=3，OB=t， 又∵tanα==， ∴t=2. 故选C. 7. 一次函数的图象与x轴交点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令y=0可求得x的值，可求得与x轴的交点坐标． 【详解】解：当x=0时，3x-6=0，解得x=2， 所以一次函数的图象与x轴的交点坐标为（2，0）． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象与x轴的交点：求出函数值为0时的自变量的值即可得到一次函数与x轴的交点坐标． 8. 如图，，直线分别交，于，两点，于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质求出，进而即可得到答案. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：D. 9. 已知，分别是抛物线与x轴交点的横坐标，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，再计算倒数和即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标， 是方程的两根， ∴，， ∴． 故选：B． 10. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 根据因式分解的常用方法（提公因式法和公式法），验证每个选项的因式分解是否正确即可． 【详解】解：A、，故此选项因式分解正确，不符合题意； B、，故此选项因式分解正确，不符合题意； C、，故此选项因式分解错误，符合题意； D、，故此选项因式分解正确，不符合题意； 故选：C． 11. 一次函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交点横坐标，结合图象写出解集即可． 【详解】解：根据图象可知：当时，的函数值小于5，且的函数值大于的函数值， ∴不等式的解集为． 12. 小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委的批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率）随充电时间（分钟）变化的函数图．下列说法中正确的个数有（ ）个． ①本次充电持续时间是120分钟 ②本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 ③若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 ④本次充电60分钟，汽车电池含电率达到 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义，由函数图象读取信息是解题的关键．仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可得出答案． 【详解】解：仔细观察汽车电池含电率（电池含电率随充电时间（分钟）变化的函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答如下： A．由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，符合题意； B．由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，符合题意； C．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量千瓦时，即本次耗电56千瓦时，故该选项错误，不符合题意； D．由函数图象可知，本次充电60分钟，汽车电池含电率达到，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 计算：________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算除法，再计算乘法即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 写出一个x取任意实数时，一定有意义的分式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式以及有意义的条件，熟练掌握分母不等于0是解决本题的关键． 写出的分式使分母不等于0恒成立即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可写分式， ∵， ∴恒成立， ∴无论x取任何实数，分式一定有意义． 故答案为： 15. 一不法药贩把外表完全相同的盒假药与盒真药混在一起出售，以达到以假乱真的效果，不知情的顾客从中随机拿一盒药，拿到真药的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算．根据等可能事件的概率计算思路，先确定所有等可能结果的总数与拿到真药这一事件对应的结果数，再代入概率公式求解． 【详解】解：药的总盒数为：（盒）， 根据等可能事件的概率公式（其中为所有等可能结果的总数，为事件包含的结果数）， 其中事件（拿到真药）包含的结果数为，所有等可能结果的总数为， ∴拿到真药的概率为，化简得． 故答案为：． 16. 如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则________°． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知，利用，求出，从而利用三角形的内角和求出，也就是的角度，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵是等边三角形， ， 由折叠的性质可知：，， 又， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先计算零次幂，二次根式，负整数指数幂，再计算加减即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 18. 如图，已知火车站的坐标为，文化宫的坐标为． （1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系； （2）写出市场、超市的坐标； （3）若小明家的坐标为，在平面直角坐标系中标出小明家的位置，设火车站为点A，超市为点B，小明家为点C，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）市场、超市 （3）是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了写出直角坐标系中点的坐标，用勾股定理解三角形，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系写出各场所的坐标即可； （3）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：市场、超市； 【小问3详解】 解：是等腰直角三角形． 理由：，， ， ， 是等腰直角三角形． 19. 某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球等五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如表： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 a 12 36 18 b 解答下列问题： （1）______，______； （2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； （3）该学校将组织趣味运动会，某班决定从2名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的4名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由． 【答案】（1）30，24 （2）150人 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值； （2）用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可； （3）通过列表即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率． 【小问1详解】 解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人）， （人）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：2名喜欢乒乓球的同学分别记为甲和乙，1名喜欢羽毛球的同学记为丙，1名喜欢篮球的同学记为丁， 画树状图如下， 由树状图得共有12种等可能结果，其中甲和乙（喜欢乒乓球的同学）被抽到的情况有2种， ∴被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是． 20. 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画射线交于，则是的平分线，说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先证明，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）过点P作，交于点H．由角平分线的性质得到，再由计算即可． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴． ∵点O与点重合， ∴， ∴是的平分线； 【小问2详解】 解：如图，过点P作，交于点H． ∵是的平分线，，，， ∴． ∵，， ∴． 21. 图1是构成纸魔方的一个三棱柱，图2是图1的展开图，尺寸数据如下（单位：．阴影部分为内部粘贴角料，计算面积时忽略不计），图3是数学活动课上制作的纸魔方变化出的一种形状． （1）做一个三棱柱（图2）需要纸片______，做一个图3纸魔方一共需要纸片______；（直接用含的式子表示） （2）当，时，图3纸魔方一共用纸片多少？ （3）若图1纸魔方用纸片，且，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把三棱柱的5个面的面积相加即可；由图3需要16个这样的三棱柱可得面积和； （2）把，代入（1）中代数式计算即可； （3）根据制作图1的纸魔方用纸片，结合列出关于a的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：做一个三棱柱需要纸片， 做一个图3纸魔方一共需要纸片； 【小问2详解】 解：当，时， ； 【小问3详解】 解：∵图1纸魔方用纸片，且， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 22. 综合与实践 【项目主题】探究小车轮的形状原理 【项目背景】在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作的方式开展项目式学习，探究小车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 （1）探究甲组：车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的，如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为 ． （2）探究乙组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化，如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为 ． （3）探究丙组：如图，有一个等边三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 【探究发现】车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． （4）探究丁组：使“莱洛三角形”以图为初始位置沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，大致为 ．（填写对应的字母） 【答案】（）；（）；（）；（）． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，等边三角形的性质，圆的弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用圆的有关性质解答即可； （）利用正方形的性质，点的运动轨迹的特征解答即可； （）由题意画出符合题意的图形，类比得到点的轨迹，再利用圆的弧长公式解答即可； （）利用“莱洛三角形”的特征，分别对“最高点”和“车轮轴心”的运动轨迹进行分析即可得出结论． 【详解】解：（）连接并延长交于点，如图， ∵车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变， ∴轴心到地面的距离为， ∵圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离不变等于圆的直径， ∴车轮最高点到地面的距离始终为， 故答案为：； （）过点作于点，以点为圆心，为半径画弧交正方形的边于点，如图， ∵为正方形的中心，， ∴中心距离地面的最低距离为， 由勾股定理得：， ∵点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的弧， ∴点为车轮轴心距离地面的最高点， ∵ ∴车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为 故答案为：； （）连接，，过点作于点，如图，     ∵为等边三角形的中心， ∴， ∵为等边三角形的中心， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长， ∴车轮在地面上无滑动地滚动一周，点经过的路径长为； （）由题意得：当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动时，在滚动过程中，其“最高点”与水平线距离保持不变， ∴其“最高点”的移动路径是水平的， ∵“车轮轴心”到水平平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环， ∴其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为：， 故答案为：． 23. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图1，若，则的面积为 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）存在，点B的坐标为或 【解析】 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令得，， ； 【小问3详解】 解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点， 则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ∴点B的坐标为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $