专题01 二次根式及其性质【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题01 二次根式及其性质 （重难点题型专训） 【知识考点 二次根式及其性质】 1.二次根式的概念 （1）定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫作二次根式，“”叫作二次根号，a叫作被开方数．二次根式也是代数式。 （2）二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． （3）二次根式有意义的条件：被开方数为非负数. 2.二次根式的性质 （1）（a≥0）（二次根式具有双重非负性： （2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． （3）即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 【重难点常考题型概览】 【题型01】二次根式的识别 【题型02】二次根式有意义的条件 【题型03】二次根式的求值 【题型04】利用二次根式的双重非负性化简求值 【题型05】利用二次根式的性质化简 【题型06】利用二次根式的性质,-,化简 【题型07】利用二次根式的性质求参数（整数问题） 【题型08】利用二次根式的性质化简综合 【题型09】二次根式的规律和新定义问题 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】二次根式的识别 【例1】（2024-2025八年级下·四川成都·专题练习）下列各式一定属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·广西桂林·专题练习）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【题型02】二次根式有意义的条件 【例2】（2024-2025八年级下·广东江门·阶段练习）二次根式中字母x的取值范围是 ． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·云南红河·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·四川绵阳·阶段练习）代数式有意义时，x的取值范围是 ． 【变式2-3】（2024-2025八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子有意义，则的取值范围是 【题型03】二次根式的求值 【例3】（2024-2025八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·江苏苏州·期中）已知，求的值． 【题型04】利用二次根式的双重非负性化简求值 【例4】（2024-2025八年级下·黑龙江牡丹江·月考）若，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式4-1】（2024-2025八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·浙江·阶段练习）已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为 ． 【变式4-3】（2024-2025八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数x，y满足 ，则的值为 ． 【题型05】利用二次根式的性质化简 【例5】（2024-2025八年级下·四川泸州·期中）已知，求a、b、c的值． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·浙江金华·阶段练习）已知的三边长、、满足，求的周长． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·甘肃武威·期中）挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【题型06】利用二次根式的性质,-,化简 【例6】（2024-2025八年级下·广西百色·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　 　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【变式6-1】（2024-2025八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·吉林延边·期末）计算： ． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【题型07】利用二次根式的性质求参数（整数问题） 【例7】（2024-2025八年级下·甘肃甘南·月考）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·云南昭通·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【变式7-3】（2023-2024八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【题型08】利用二次根式的性质化简综合 【例8】（2024-2025八年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（  ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式8-1】（2024-2025八年级下·上海徐汇·月考）如果方程无实数解，那么k的取值范围是 ． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知实数x满足，则 ． 【变式8-3】（2024-2025八年级下·湖北咸宁·期末）已知关于，的二元一次方程组，有一个解为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【题型09】二次根式的规律和新定义问题 【例9】（2024-2025八年级下·广东清远·月考）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 【变式9-1】（2024-2025七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题： ①；②；③；… (1)根据上述规律，写出第5个等式：________． (2)请写出第个（为正整数）等式：________，并证明你的结论． (3)运用上述结论，计算：． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·江苏扬州·期末）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 【特训01】拓展培优强化 1.（2024-2025八年级下·江苏泰州·阶段练习）设，，则与的关系为（  ） A． B． C． D． 2．（2023-2024八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（   ） A．9 B．12 C．16 D．18 3．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设，求不超过的最大整数 ． 4.（2024-2025八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 5.（2024-2025八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 6.（2024-2025八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 7．（2024-2025八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（  ） A． B． C．0 D．2 2．（2024·广西钦州·中考真题）已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（   ） A．8 B． C． D． 3．（2024·山东德州·中考真题）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（  ） A．2 B． C． D．-2 5．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 9．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 10．（2024·福建厦门·中考真题）已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为 ． 11．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式及其性质 （重难点题型专训） 【知识考点 二次根式及其性质】 1.二次根式的概念 （1）定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫作二次根式，“”叫作二次根号，a叫作被开方数．二次根式也是代数式。 （2）二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． （3）二次根式有意义的条件：被开方数为非负数. 2.二次根式的性质 （1）（a≥0）（二次根式具有双重非负性： （2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． （3）即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 【重难点常考题型概览】 【题型01】二次根式的识别 【题型02】二次根式有意义的条件 【题型03】二次根式的求值 【题型04】利用二次根式的双重非负性化简求值 【题型05】利用二次根式的性质化简 【题型06】利用二次根式的性质,-,化简 【题型07】利用二次根式的性质求参数（整数问题） 【题型08】利用二次根式的性质化简综合 【题型09】二次根式的规律和新定义问题 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】二次根式的识别 【例1】（2024-2025八年级下·四川成都·专题练习）下列各式一定属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【解答】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、不能确定的正负，故A选项不符合题意； B、，二次根式没有意义，故B选项不符合题意； C、是二次根式，故C选项符合题意； D、，二次根式没有意义，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【解答】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·广西桂林·专题练习）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【答案】，，，是二次根式；，），不是二次根式． 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一排除即可，解题的关键是正确理解满足二次根式的条件有三个：含有根号；根指数是；被开方数是非负数，三个条件缺一不可． 【解答】解：（）是二次根式； （）中，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）立方根，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，不是二次根式； ∴，，，是二次根式；，，不是二次根式． 【题型02】二次根式有意义的条件 【例2】（2024-2025八年级下·广东江门·阶段练习）二次根式中字母x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握有意义的条件是解题的关键．根据被开方数是非负数，分式有意义的条件计算即可． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴且， 解得． 故答案为：． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·云南红河·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件作答即可． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·四川绵阳·阶段练习）代数式有意义时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据题意可得，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 【变式2-3】（2024-2025八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子有意义，则的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为零）和二次根式有意义的条件（被开方数非负）列式求解即可． 【解答】解：∵式子有意义， ∴， ∴ 且 故答案为：且． 【题型03】二次根式的求值 【例3】（2024-2025八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【解答】当时， ， 故选：C． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【解答】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【解答】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·江苏苏州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，由二次根式有意义的条件得，即得，进而得到，再代入代数式计算即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【解答】解：由题意得， ∴， ∴， ∴． 【题型04】利用二次根式的双重非负性化简求值 【例4】（2024-2025八年级下·黑龙江牡丹江·月考）若，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的非负性；根据根号下的表达式必须非负，从而确定，代入原方程求出，最后计算的值． 【解答】解：∵和在实数范围内有定义， ∴且， ∴且， ∴． 代入原方程： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·浙江·阶段练习）已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了绝对值的性质和二次根式的性质， 先根据二次根式有意义的条件可得，再分两种情况讨论即可得出答案． 【解答】解：根据题意，得， 解得． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴． 综上所述，m的最小值为3． 故答案为：3． 【变式4-3】（2024-2025八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数x，y满足 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性、解一元一次不等式组、代数式的求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，解出的值，进而求出的值，再代入代数式即可求解． 【解答】解：由题意得，， 解得：， ， ． 故答案为：． 【题型05】利用二次根式的性质化简 【例5】（2024-2025八年级下·四川泸州·期中）已知，求a、b、c的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式性质． 根据，得出，即可得出，，，求出结果即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， 解得：，，． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据三角形三边关系求出的范围，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可，根据三角形三边关系确定出的取值范围是解题的关键． 【解答】解：，，是三角形的三边长， ， 即， ， 故答案为：． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·浙江金华·阶段练习）已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用非负数的性质即可求解． 【解答】解：， ∴， ，，， ，，， ． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·甘肃武威·期中）挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二次根式有意义的条件，挖掘出隐含条件． （1）由根号内的数据大于等于0，得，解得，再根据，去根号，化简求解即可； （2）由根号内的数据大于等于0，得，且，解得，将的值代入式子，得的取值范围，再对进行去根号，化简即可． 【解答】（1）解：由题意，得 ， ， ， 解得． （2）解：由题意，得 ，且， 且， ， ，， ，， ． 【题型06】利用二次根式的性质,-,化简 【例6】（2024-2025八年级下·广西百色·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　 　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解． 【解答】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 【变式6-1】（2024-2025八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把式子化为，再根据二次根式的性质得出，求出即可． 本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当时，，当时， 【解答】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·吉林延边·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质及应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键，根据二次根式的性质求解即可得到答案． 【解答】解： ∵， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质，结合的范围，进行化简即可； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【解答】（1）解：∵， ∴ ； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵， ∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意； ∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：； 综上：或． 【题型07】利用二次根式的性质求参数（整数问题） 【例7】（2024-2025八年级下·甘肃甘南·月考）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【解答】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【解答】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·云南昭通·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【解答】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 【变式7-3】（2023-2024八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 【题型08】利用二次根式的性质化简综合 【例8】（2024-2025八年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（  ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键． 本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【解答】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 故选：C． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·上海徐汇·月考）如果方程无实数解，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，二次根式有意义的条件，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 移项后得出，根据方程无实数解得出，再求出k的范围即可． 【解答】解：， ， ∵方程无实数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知实数x满足，则 ． 【答案】2013 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2013． 【变式8-3】（2024-2025八年级下·湖北咸宁·期末）已知关于，的二元一次方程组，有一个解为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式的应用，绝对值与二次根式的化简． （1）先求出方程组的解，再根据有一个解为正数列出不等式，求解即可； （2）由得到，，再根据绝对值与二次根式的性质进行化简即可． 【解答】（1）解：解方程组得， ∵方程组有一个解为正数， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 【题型09】二次根式的规律和新定义问题 【例9】（2024-2025八年级下·广东清远·月考）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】（1）；；；（2）（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】本题考查数字类规律探索、分式的加减、二次根式的性质，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）将各式计算后即可求得答案； （2）根据已知等式总结规律并证明即可； （3）利用规律将原式化简后进行计算即可． 【解答】解：（1）， ， ， 故答案为：；；； （2）第个等式为（为正整数），证明如下： ； （3）原式 ． 【变式9-1】（2024-2025七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质及数字规律，熟练掌握二次根式的性质及数字规律是解题的关键；由题意易得每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字，由此问题可求解． 【解答】解：由数阵可知：每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字， ∴第（是整数，且）行最后一个数是，第一个数字是， ∴从左向右数第个数是； 故选A． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题： ①；②；③；… (1)根据上述规律，写出第5个等式：________． (2)请写出第个（为正整数）等式：________，并证明你的结论． (3)运用上述结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律、二次根式性质和运算法则，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式求解即可； （2）分析所给的等式的形式，总结出规律即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【解答】（1）解：根据题意得第5个等式为： ； 故答案为：； （2）解：第1个等式：；， 第2个等式：；， 第3个等式：；， 由以上等式可以猜想第n个等式是： ； 证明：； 故答案为：； （3）解： ＝ ＝ ＝． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·江苏扬州·期末）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、不等式、解方程、二次根式性质等知识点，题目较为新颖，理解题“整数区间”的定义是解题的关键． （1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得、，得出，进而得出、，两式相减可得，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【解答】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是． 故答案为：，． （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． ∴的值为2或． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∴、， 两式相减，得，即， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“整数区间”是． 【特训01】拓展培优强化 1.（2024-2025八年级下·江苏泰州·阶段练习）设，，则与的关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得． 【解答】解：∵， =， =， =1， ， =， =， =1， ∴M=N， 故选C． 【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质． 2．（2023-2024八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（   ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式与实数的应用，完全平方公式，平方根，代数式求值． 将等式两边平方，利用有理数与无理数的对应关系，结合x、y、p为正整数的条件，解出x、y、p的值． 【解答】解：∵，且为正整数， ∴， 即，， ∵为正整数， ∴， 即， ∴， ①当时，，不符合题意，舍去； ②当时，，不符合题意，舍去； ③当时，，即或（不符合题意，舍去）； ∴． 故选B． 3．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设，求不超过的最大整数 ． 【答案】 【分析】先对每一项的根式进行化简，找出规律，再将所有项相加求和，最后确定不超过和的最大整数．本题主要考查了二次根式的化简以及裂项相消法求和，熟练掌握二次根式的化简方法和裂项相消法是解题的关键． 【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ 故答案为：． 4.（2024-2025八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【解答】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 5.（2024-2025八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【解答】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 6.（2024-2025八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【解答】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 7．（2024-2025八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【解答】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（  ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【解答】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2．（2024·广西钦州·中考真题）已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（   ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查三角形的三边关系，化简绝对值及二次根式，熟练掌握三角形三边关系得到k的取值范围是解题的关键， 先根据三角形三边关系得到，再根据绝对值及二次根式的性质化简计算即可． 【解答】解：∵三角形的三条边长为3，5，k， ∴，即， ∴ 故选A． 3．（2024·山东德州·中考真题）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，由，则，所以，从而可得，然后求解即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得， 故选：． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（  ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【解答】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 5．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【解答】解：根据题意可得： ， 解得， ∴使代数式有意义的整数有，，0，1． 共有4个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单． 6．（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【解答】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 8．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 9．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【解答】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 10．（2024·福建厦门·中考真题）已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二次根式的性质和奇数的定义．根据奇数的定义得到，则，所以，，根据二次根式的性质化简，然后去绝对值后合并即可． 【解答】解： ，是两个连续的正奇数，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当时，没有意义，解不等式，即可解答． 【解答】解：当时，没有意义， 解得， 为正整数， 可取1，2， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $