6.4.2向量在物理中的应用举例 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 【学习目标】 　　会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题,以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. ◆ 知识点一　向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用　　　　表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为　　　　　　;  (2)通过　　　　　　,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;  (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由　　　　　　　　　表示出来.  (1)证明线线平行或三点共线问题,常用向量平行(共线)的条件:a∥b(b≠0)⇔　　　　(λ∈R)⇔　　　　　　　　(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).  (2)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:a⊥b⇔　　　　⇔　　　　　　(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).   (3)求夹角问题,主要应用向量的夹角公式cos θ=　　　　　　　　　　=　　　　　　　　　(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).   (4)求线段的长度或说明线段相等,可以利用向量的模:|a|=　　　　=　　　　(a=(x,y))或|AB|=||=　　　　　　　　　(A(x1,y1),B(x2,y2)).  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若△ABC为直角三角形,则·=0. (　 ) (2)若向量∥,则AB∥CD. (　 ) (3)在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形ABCD为菱形. (　 ) ◆ 知识点二　向量在物理中的应用 1.向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是　　　　　　　　的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法的　　　　　　　　　法则与位移的合成、力的合成、速度的合成有着密切的联系.   2.用向量法解决物理问题的一般步骤: ①问题的转化:把物理问题转化成数学问题. ②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. ③参数的获取:求出数学模型的相关解. ④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象. 【诊断分析】 用向量法求解物理问题的过程中,在给出答案时除了要考虑向量本身的意义,还要考虑什么? ◆ 探究点一　向量在几何中的应用 角度1　平行(共线)问题 例1 如图,设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC,BD的中点,试用向量的方法证明:PQ∥AB. 变式 如图,M,N是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,且AM=CN,求证:四边形BMDN是平行四边形. 角度2　 垂直问题 例2 在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC. 变式 [2025·江苏海门中学高一月考] 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,E,F分别为边AB,BC上的点,且AE=EB,2BF=FC. (1)用向量方法求证:CE⊥AF; (2)求cos∠AFC的值. [素养小结] 利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、长度等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一个基底,利用基底表示涉及的向量;另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明. ◆ 探究点二　向量在物理中的应用 例3 如图,用两根绳子把重10 N的物体吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量) 变式 一条东西方向的河流两岸平行,河的宽度为250 m,水流的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250 m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6 km/h,当小货船的航程最短时,求小货船航行的速度的大小. [素养小结] 利用向量法解决物理问题有两种思路 (1)几何法:选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则、运算律或性质计算. (2)坐标法:通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,转化为代数运算. 6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 【课前预习】 知识点一 1.(1)向量　向量问题　(2)向量运算 2.向量的线性运算及数量积　(1)a=λb　x1y2-x2y1=0　(2)a·b=0　x1x2+y1y2=0 (3)(|a||b|≠0)　 (4)　　 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)哪个角是直角不确定. (2)AB和CD可能在同一条直线上. 知识点二 1.既有大小又有方向　三角形和平行四边形 诊断分析 解:还要考虑所给出的结果是否符合实际意义. 【课中探究】 探究点一 例1　证明:连接CQ,∵P,Q分别为AC,BD的中点, ∴=(+),=, ∴=-=(+-)=(+). ∵AB∥CD,∴可设=λ(λ<0),∴=, 又||≠||,∴λ≠-1,∴PQ∥AB. 变式　证明:设=a,=b,则=a+b,设=λ(0<λ<1),所以=λa+λb=, 所以=+=a+b-(λa+λb)=(1-λ)a+(1-λ)b,=-=(λa+λb)-a=(λ-1)a+λb,=-=b-(1-λ)a-(1-λ)b=(λ-1)a+λb, 所以=,所以四边形BMDN是平行四边形. 例2　证明:方法一:∵∠CDA=90°,AB∥CD,CD=DA=AB,∴可设=e1,=e2,则|e1|=|e2|,=2e2,=+=e1+e2, ∴=-=(e1+e2)-2e2=e1-e2, 则·=(e1+e2)·(e1-e2)=-=|e1|2-|e2|2=0,∴⊥,即AC⊥BC. 方法二:如图,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系, 设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),∴=(-1,1),=(1,1), ∴·=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0,∴⊥,即AC⊥BC. 变式　解:(1)证明:因为AE=EB,所以=+=-+, 又因为2BF=FC,所以=+=+=+(-)=+. 因为∠BAC=90°,AB=AC=1,所以·=0, 所以·=·=--·+=0, 即·=0,所以CE⊥AF. (2)由题意得·=·(-)=--·+=, ||====, 由勾股定理可得||=BC==, 所以cos∠AFC===. 探究点二 例3　解:设A,B处所受力分别为f1,f2,10 N的重力用f表示,则f1+f2=f. 以重力作用点C为f1,f2的起点,作平行四边形CFWE,使CW为对角线, 则=f1,=f2,=f,则∠ECW=180°-150°=30°,∠FCW=180°-120°=60°, ∴∠FCE=90°,∴四边形CEWF为矩形. ∵||=||cos 30°=10×=5,||=||cos 60°=10×=5, ∴A处所受力的大小为5 N,B处所受力的大小为5 N. 变式　解:由题意,当小货船的航程最短时,航行路线为线段AC, 设小货船的航行速度为v,水流的速度为v1,水流的速度与小货船航行的速度的合速度为v2,则v2=v1+v,如图所示. 由题意得AB=250 m,BC=250 m,在Rt△ABC中,因为tan∠BCA===,所以∠BCA=,所以∠BAC=,则<v1,v2>=+=,又v=v2-v1, 所以|v|====2, 所以小货船航行的速度的大小为2 km/h. 学科网（北京）股份有限公司 $