19.2 二次根式的乘法与除法（思维导图+3知识点+13种题型，讲义）数学新教材人教版八年级下册

第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 知识点一 最简二次根式 定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. [举例] 都是最简二次根式，不是最简二次根式 即学即练 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）若整数能使二次根式为最简二次根式，则的值可以是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知与为最简二次根式且被开方数相同，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 知识点二 二次根式的乘法 法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 【解读】 1）公式中a，b既可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，否则无意义. 2）逆用： 3）拓展： ①二次根式的乘法法则可以由两个二次根式的乘积推广为多个二次根式相乘，如.同理 ②当二次根号前面有系数时，可类比单项式乘单项式法则计算，即系数的积作为积的系数，被开方数的积作为积的被开方数；如果被开方数是带分数，应先化成假分数，运算结果要化为最简形式.如： 即学即练 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果是 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知三角形底边的长是，面积是，则此边上的高为 ． 4．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的 段．（填序号） 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 知识点三 二次根式的除法 法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 【注意】 1）要注意a≥0且b＞0这个前提条件，不要与乘法法则的前提条件混淆. 4）由得到商的算术平方根的性质：，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，这一性质也是二次根式化简的关键. 即学即练 1．（25-26八年级上·山西太原·月考） ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 3．（2025·上海浦东新·三模）已知函数，那么 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 题型01 判断二次根式的乘除是否正确 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2020·江苏泰州·中考真题）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型02 用字母表示二次根式 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，则可以表示为() A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 题型03 二次根式的乘除混合运算 ①结果要化为最简二次根式或整式； ②如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级下·湖北孝感·月考）以下各式：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）计算： ． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）． 4．（24-25八年级下·广东汕头·期末）简化： 5．（24-25八年级上·上海·月考）计算： 题型04 利用二次根式的乘除进行化简 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）化简的结果是 ，化简的结果是 ． 2．（21-22八年级下·福建龙岩·月考）当时，化简的结果是 ． 题型05 利用二次根式的乘除求取值范围 1）只有当a≥0，b≥0时，才成立. 2）只有当a≥0，b＞0时，才成立. 典｜例｜精｜析 1（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是： ． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·湖北黄石·月考）若，那么的取值范围是 ． 2．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）若等式成立，则x的取值范围是 ． 3．（21-22八年级上·上海宝山·期中）使等式成立的条件时，则的取值范围为 ． 题型06 因式的内移 1）因式的内移：若根号外的因式是负的，内移后，要将负号留在根号外. 2）因式的外移：若被开方数中字母的取值范围未指明，则要进行讨论. 典｜例｜精｜析 1．（2023八年级上·全国·专题练习）把根号外的因式移到根号内结果为 ． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·四川眉山·月考）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 2．把下列根号外的因式移到根号内. (1)a; (2)·(x>y>0); (3)ab(0<a<b). 题型07 已知字母或代数式的值求解 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河北沧州·月考）若，且，整数a的值可以是 ．（写出一个即可） 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏扬州·二模）若，，则 ． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）若，为实数，且，则的值 ． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）若计算的结果为，则这个数落在了数轴上的 段． 4．（21-22八年级下·河北邯郸·期中）若，则 ， ． 题型08 二次根式乘除法的应用 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·山西大同·月考）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东江门·月考）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 4．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 题型09 最简二次根式的识别 判断一个二次根式是否是最简二次根式，应从以下三个方面进行:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式;(3)若被开方数是和或差的形式，则先尝试把被开方数写成积的形式，若无法写成积的形式则为最简二次根式，反之不是最简二次根式. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·河北张家口·月考）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若是最简二次根式，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．8 2．（25-26八年级上·上海·月考）在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 题型10 化为最简二次根式 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海普陀·月考）化简： ． 3．（25-26八年级上·上海·月考）化各式为最简二次根式：① ；② ； 题型11 已知最简二次根式求参数 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 2．（24-25八年级上·河北保定·月考）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 题型12 与二次根式乘除法有关的规律探究问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·云南文山·期中）观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·河南开封·期末）观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题．阅读下列解题过程，探求规律： ； 【实践探究】 (1)按照此规律，计算_______； (2)计算：． 题型13 分母有理化 典｜例｜精｜析 1．（23-24八年级下·福建莆田·月考）材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是______． (2)化简：． (3)比较与的大小，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·广西贵港·期末）阅读材料： 【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，． 【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ， ， ， ． 请你根据材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可） (2)计算：； (3)若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 知识点一 最简二次根式 定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. [举例] 都是最简二次根式，不是最简二次根式 即学即练 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义． B、，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式的定义． C、被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义． D、的被开方数3不含分母，且3不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简． 根据二次根式的性质，对各选项进行化简判断即可． 【详解】解：A．，原化简不正确，不符合题意； B．， 原化简不正确，不符合题意； C．，原化简正确，符合题意； D． ，原化简不正确，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）若整数能使二次根式为最简二次根式，则的值可以是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式．将各个选项x的值代入二次根式验证即可． 【详解】解：A：当时，，不符合题意； B：当时，，不符合题意； C：当时，，不符合题意； D：当时，，符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知与为最简二次根式且被开方数相同，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是掌握几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据被开方数相同和根指数为2即可建立方程求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， 故选：A． 知识点二 二次根式的乘法 法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 【解读】 1）公式中a，b既可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，否则无意义. 2）逆用： 3）拓展： ①二次根式的乘法法则可以由两个二次根式的乘积推广为多个二次根式相乘，如.同理 ②当二次根号前面有系数时，可类比单项式乘单项式法则计算，即系数的积作为积的系数，被开方数的积作为积的被开方数；如果被开方数是带分数，应先化成假分数，运算结果要化为最简形式.如： 即学即练 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： ． 【答案】 12 【分析】根据积的乘方和二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法运算，乘法运算，性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算，除法运算，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知三角形底边的长是，面积是，则此边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除； 利用三角形面积公式，代入底边和面积，求出高即可． 【详解】解：设此边上的高为， 由题意得：， 所以， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的 段．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式的化简，估计二次根式的整数部分的值，解题的关键是掌握以上法则． 先进行二次根式的乘法运算，再估计二次根式的整数部分的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴数a落在了如图所示数轴上的③段， 故答案为：③． 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数． 【详解】解：取，则，是有理数，满足条件． 故答案为． 知识点三 二次根式的除法 法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 【注意】 1）要注意a≥0且b＞0这个前提条件，不要与乘法法则的前提条件混淆. 4）由得到商的算术平方根的性质：，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，这一性质也是二次根式化简的关键. 即学即练 1．（25-26八年级上·山西太原·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 根据长方形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个长方形的宽为：． 故答案为：． 3．（2025·上海浦东新·三模）已知函数，那么 【答案】3 【分析】本题考查求函数值，二次根式的运算，把代入函数表达式，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 题型01 判断二次根式的乘除是否正确 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质， 根据二次根式的乘除运算，二次根式的性质求解即可． 【详解】A．，正确； B．，正确； C．，故选项错误； D．，正确． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，错误； 故选：A． 2．（2020·江苏泰州·中考真题）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断． 【详解】解：A、3和不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则． 题型02 用字母表示二次根式 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 又， ． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握相关运算法则是解决问题的关键．，结合已知条件和，直接可得． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 题型03 二次根式的乘除混合运算 ①结果要化为最简二次根式或整式； ②如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级下·湖北孝感·月考）以下各式：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件判断； 【详解】解： ，无意义，①错误； ，②错误； 成立的前提是，③错误；④，④正确； 故选：B 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简；掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据除法法则变换为乘法再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 4．（24-25八年级下·广东汕头·期末）简化： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式性质化简，再变除法为乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 5．（24-25八年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴ ． 题型04 利用二次根式的乘除进行化简 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解： ，， ， 原式， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）化简的结果是 ，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式化简的步骤． 利用二次根式化简的步骤进行化简即可． 【详解】解：； ； 故答案为：，． 2．（21-22八年级下·福建龙岩·月考）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式乘法公式得到，再根据二次根式的性质化简即可得到结论． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法及利用二次根式性质化简代数式，熟练掌握相关性质及公式是解决问题的关键． 题型05 利用二次根式的乘除求取值范围 1）只有当a≥0，b≥0时，才成立. 2）只有当a≥0，b＞0时，才成立. 典｜例｜精｜析 1（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·湖北黄石·月考）若，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式被开方数为非负数列式，求不等式的解集即可求解． 【详解】解：根据题意得到，，， ∴， 故答案为： ． 2．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）若等式成立，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义分别列出不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式有意义的基本条件是解题关键． 3．（21-22八年级上·上海宝山·期中）使等式成立的条件时，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件可得再解不等式组即可得到答案. 【详解】解： 等式成立， 由①得： 由②得： 所以则的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查的是商的算术平方根的运算法则与二次根式有意义的条件，掌握“”是解本题的关键. 题型06 因式的内移 1）因式的内移：若根号外的因式是负的，内移后，要将负号留在根号外. 2）因式的外移：若被开方数中字母的取值范围未指明，则要进行讨论. 典｜例｜精｜析 1．（2023八年级上·全国·专题练习）把根号外的因式移到根号内结果为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·四川眉山·月考）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 2．把下列根号外的因式移到根号内. (1)a; (2)·(x>y>0); (3)ab(0<a<b). 【答案】（1）;（2）;（3）. 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可知a>0，利用二次根式的乘法法则化简； （2）(3)利用二次根式的乘法法则求解即可． 【详解】(1)  ∵>0,∴a>0,a=,∴a·; (2)  ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即>0. ∴, ∴··; (3)  ∵0<a<b,∴ab>0, b-a＞0,∴ab=, ∴ab·. 【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确确定a、b和x的范围是关键． 题型07 已知字母或代数式的值求解 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河北沧州·月考）若，且，整数a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次根式的乘法，根据题意取合理的值即可． 【详解】解：由题意可得， 又， 所以可取， 此时，， 即成立， 故整数a的值可以是， 故答案为：1（答案不唯一） 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏扬州·二模）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，把，代入，求解即可，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）若，为实数，且，则的值 ． 【答案】12 【分析】根据平方的非负性及算术平方根的非负性求出a及b的值，代入计算即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：12 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）若计算的结果为，则这个数落在了数轴上的 段． 【答案】④ 【分析】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的乘法，二次根式的估算，先计算，根据，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴这个数落在了数轴上的④段． 故答案为：④． 4．（21-22八年级下·河北邯郸·期中）若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，可得结果． 【详解】解：∵ 即， ∴ ∴， 故答案为：，2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． 题型08 二次根式乘除法的应用 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·山西大同·月考）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解． 【详解】解：∵长方形彩纸的长为，宽为， ∴长方形彩纸的面积为， ∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍， ∴正方形彩纸的面积为． 故答案为： ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则． 利用二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：根据直角三角形面积公式，另一条直角边长为， 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东江门·月考）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 【答案】的面积为，的面积为 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解题意；根据海伦公式求解的面积，然后利用秦九韶公式求解的面积，然后问题可求解． 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴； ∵的三边长分别为，，， ∴． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意，列出式子并准确计算是解题的关键． 分别求出正方形的空地的面积和4个花坛的总面积，相减即可． 【详解】解：． 答：通道的总面积为． 4．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)会产生危害，严禁高空抛物． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据能量计算公式计算，进一步判断得解． 【详解】（1）解：当时， 答：物体从的高空落到地面的时间为． （2）解：当时，，解得， 已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）的计算公式为，其中为物体质量（单位：），为高度（单位：m） ∴， ∵， ∴这串钥匙在下落到地面时会对人构成伤害，因此严禁高空抛物． 题型09 最简二次根式的识别 判断一个二次根式是否是最简二次根式，应从以下三个方面进行:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式;(3)若被开方数是和或差的形式，则先尝试把被开方数写成积的形式，若无法写成积的形式则为最简二次根式，反之不是最简二次根式. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·河北张家口·月考）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判断一个二次根式是不是最简二次根式，检查各选项是否满足最简二次根式的两个条件． 【详解】解： ①，含平方因数9，不是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式； ④ ，含平方因数9，不是最简二次根式； ⑤ ，不能简化，是最简二次根式； ∴最简二次根式有③和⑤，共2个， 故选C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若是最简二次根式，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵时，，根号下有分母，不是最简二次根式； ∵时，，可化简为整数，不是最简二次根式； ∵时，，可化简，不是最简二次根式； ∵时，，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·月考）在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式”进行逐一判断即可． 【详解】解：对于，是无理数，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式； 对于，被开方数，被开方数不含有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； 对于，被开方数是小数，不满足被开方数的因数是整数这一条件，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对于，它是三次根式，不是二次根式； 对于，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 综上。最简二次根式有、． 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 题型10 化为最简二次根式 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简即可． 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·上海普陀·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则 ， 故答案为 ． 3．（25-26八年级上·上海·月考）化各式为最简二次根式：① ；② ； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 题型11 已知最简二次根式求参数 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 2．（24-25八年级上·河北保定·月考）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 题型12 与二次根式乘除法有关的规律探究问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·云南文山·期中）观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律，二次根式的乘法运算，能根据所给的二次根式，找出被开方数的变化规律是解题的关键．先把前面给定的几个二次根式化为具有相同规律的形式，再总结归纳即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 第个式子是． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·河南开封·期末）观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式规律探究，分式的乘法与加减混合运算观察各等式左边为带分数的平方根，右边为整数乘以分数部分的平方根．通过分析整数部分、分子、分母与n的关系，确定通式． 【详解】解：观察左边结构：每个等式左边为，其中整数部分为，分数部分分子为，分母为．例如： 当时，； 当时，． 验证右边结构：右边为，展开后与左边相等． 例如：当时，； 当时，． 则， 故选：A 2．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题．阅读下列解题过程，探求规律： ； 【实践探究】 (1)按照此规律，计算_______； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）先求被开方数，再求算术平方根即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：原式 ． 题型13 分母有理化 典｜例｜精｜析 1．（23-24八年级下·福建莆田·月考）材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是______． (2)化简：． (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． （1）根据题干求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，可判断与的大小． 【详解】（1）解：由题意知， ∵ ∴的有理化因式可以是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：，理由如下； 由题意知，，， ∵， ∴，即． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·广西贵港·期末）阅读材料： 【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，． 【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ， ， ， ． 请你根据材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可） (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2) (3)11 【分析】（1）根据互为有理化因式的定义，即可求解， （2）将所求式子，进行分母有理化，即可求解， （3）参照学习材料二的步骤即可求解， 本题考查了平方差公式的运用，分母有理化，解题的关键是：利用平方差公式，进行分母有理化． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，， （2）解： ， 故答案为：， （3）解：． ， ， ， 故答案为：11． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $