专题07 完全平方公式和平方差公式（专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07完全平方公式和平方差公式 目录一 A题型建模·专项突破 题型一、完全平方公式的相关计算. 题型二、 1 平方差公式的相关计算. 题型三、整式的混合运算… 16 32 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、完全平方公式的相关计算 1.小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+y+81y2=(x惠9}2”时，“(x高9y)2”中的运算 符号被墨迹染黑了，则k的取值是() A.9 B.9 C.18 D.±18 2.若式子x2+mx+400是一个完全平方式，则m的值为() A.20 B.-40 C.±40 D.±20 3.(24-25七下·黑龙江大兴安岭期末)若x2+2(m-1刂x+9是一个完全平方式，则m的值为() A.±1 B.+3 C.4或-2 D.4 4.已知x2-2m-1刂x+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为() A.4 B.±4 C.4或-2 D.-4或2 5.(24-25七下上海期末)若x2+a+16可以写成一个完全平方式，则k的值为() A.4 B.±4 C.8 D.±8 6.(24-25七下·广西南宁·月考)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三 角”.这个三角形给出了(a+b)“(n=1,2,3,4,…的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 11 (a+b)'=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 14641 (a+b)4=a+4ab+6a2b2+4ab3+b9 。。。。。 。。。。 请根据上述规律，则(x+1展开式中含x202项的系数是() A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 7.下面运算正确的是() 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.ata=a2 B.(a+b2=a2+b2 C.a6÷a2=a3 D.a2+a2=2a2 8.设a>b>0'a+h2=46'则亿4 的值为() ab A.2 B.4 C.6 D.8 9.下列运算正确的是() A.(x+y)(y-x)=x2-y2 B.(-x+y)2=-x2+2y-y2 C.(（-x-y)2=-x2-2y-y2 D.(x+y(-y+x)=x2-y2 10.小明将(2023x+2024)2展开后得到a,x2+bx+G,小亮将(2024x-2023)2展开后得到a,x2+b,x+c若 两人计算过程无误，则9-C2的值为 11.利用完全平方公式计算：20212-2021×4044+20222=一· 12.己知(x+y)2=18,(x-y2=12,那么y的值为一 13.(24-25七下·内蒙古呼和浩特期末)若(a+b)2=25,(a-b)2=9,则ab=一 14.(24-25七年级下.上海金山期末)如果2y-x+1=0,那么x2-4y+4y2+3=一. 15.2425七下天淮北辰月考)若x+=18,则7+=· 16.已知(+y)2=12,(x-y)2=8,计算下列各式的值： (1)y=: (2)(x2+1y2+1= 17.(24-25七下上海金山期末)如果关于x的整式x2-2(m+1)x+25=(x+n川2，那么常数m-n的值是 18.(1)已知x-y=9,y=3,求x2+y2的值： (2)若a2-a-6=0,求(4+a(3-a+2a+2的值. 19.(24-25七年级下湖北荆门期末)已知a,b是实数，定义关于“△”的一种运算如下： asb=(a+b)2-(a-b)2. (1)化简：aab=_ (2)若ab=-20,a+b=4,求下列式子的值： ①a2+b2: ②a-b; 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若(2025-m)4m-2026)=-24,求(2025-m)2+(m-2026)2的值. 20.(24-25七下陕西西安期末)若x+y=4,且x+1(y+1)=8. (1)求的值： (2)求x2+y2的值： 21.[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直 观化. B a b b2 A ab A B ab B B 图甲 图乙 图丙 图1 图2 图3 [问题解决] (1)填空：根据图1所示图形的面积关系.可以写出的一个乘法公式是_： (2)如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求a+b的值： [拓展应用] (3)如图3，有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得到图甲，将A,B并列放置后构造新的正方形得 到图乙.设正方形A的边长为x,正方形B的边长为y(x>y>0),且图甲和图乙中阴影部分的面积分别 为6和28.现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积. 22.所谓完全平方式，就是对于一个整式A,如果存在另一个整式B,使A=B2,则称A是完全平方式， 例如：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,所以a2+2ab+b2,a2-2ab+b就是完全平方式. 请解决下列问题： (1)已知a2+b=8,(a+b)2=20,则ab= 2)如果x之-(k+)x+9是一个完全平方式，则k的值为 3)若x满足(2024-+(x-2027)=169,求(2024-x(x-2027)的值. (4)如图所示，在长方形ABCD中，AB=10,AD=6,点E,F分别是BC,CD上的点，且BE=DF=x, 分别以FC,CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN. 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G H D E ①CF= CE= (用含x的式子表示) ②若长方形CEPF的面积为32，求图中阴影部分的面积和. 23.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到 (a+b)2=a2+2ab+b2.请解答下列问题： a b c a D 6 a□a 图① 图② 图③ 图④ (1)写出图②中所表示的数学等式： (2)小明同学用图③中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张长为b、宽为a的长方 形纸片拼出一个面积为(2a+b(a+2b)的长方形图形，则x+y+z= (3)如图④，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B,C,G三点在同一条直线上，连接AG和GE. 若两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出图中阴影部分的面积. 24.阅读材料并回答问题： 我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形 式表示，如(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图①或图②中图形的面积表示. 6 b2 ab ab 6 ab ab b2 d ab ab 3 ab ab a ab b ab a b2 b ab a b2 a 品 b a 6 6 ③ (1)请写出图③所表示的代数恒等式. (2)试画一个几何图形，使它的面积可用(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2表示. (3)请依照上述方法另写一个含有a,b的代数恒等式，并画出它对应的几何图形. 25.在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个. (1)请你补全完全平方公式的推导过程： 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ +b2=a2+」 +b2; (2)如图，将边长为a+b的正方形分割成I,Ⅱ，Ⅲ，IⅣ四部分.请结合图形给出完全平方公式的几何解释. 6 IV 2 题型二、平方差公式的相关计算 1.(24-25七下广东广州期末)已知m+n=2,m-n=3,则计算m2-n2的结果为(). A.-1 B.1 C.5 D.6 2.下列多项式的乘法可用平方差公式计算的是() A.(2a-b)-2a+b B.(1+x)(x+1) c.（-2a+b)(-2a-b) D.(m-a(n+a) 3.已知x=2-5,则代数式2+2+VB)x+4W5的值是() A.8 B.83 C.2+V5 D.7 4.计算：(3+2)×32+22）×3+2×3+2）=() A.1 B.316-216 C.-1 D.332-22 5.计算：20252-2024×2026=() A.-1 B.1 C.4048 D.4050 6.下面计算(-7+a+b)(-7-a-b)正确的是() A.原式=[-(-7-a-b][-(7+a+b]=72-(a+b)2 B.原式=[-(-7+a)+b][-(7+a-b]=(7+a2-b c.原式=(-7+a+b)[-7-(a+b]=72-(a+b)月 D.原式=(-7+a+b[-7-(a+b)]=7+a+b 7.在下列式子中，能用平方差公式计算的是() 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（a+1(a-1B.(-a+b(a-b c.(a-1(1-a D.（-a-b)a+b创 8.(24-25七下湖南株洲期末)若a+b=3,a2-b2=15,则a-b的值为 9.计算：(x-1)÷2(x-1°(x+1)=. 10.观察：(2+1=(2-1(2+1=22-1；(2+1(22+1=(2-1(2+川22+1=24-1，那么， (2+1(22+2+(28+1(26+1= 11.用简便方法计算5002-499×501的结果是-. 12.己知a+b=13,a-b=3,则2a2-2b2=一 18.若0-=。a+6=京则。-6的值为一 14.(24-25七下·上海宝山期末)计算：1002025×1002027-10020262=_ 15.(24-25七下山东期末) 〔1-0102ej01-0 2012×20102-9×2014 16.计算： 2007×20132-1 17.18×(3+(32+1(3+134+1+9的个位数字为一 18.(24-25七下·黑龙江大庆·期末)化简： (1)4x+1)2-2x+5(2x-5): (22x+y+3)2x-y+3) 19.(24-25七下·广西北海·期末)边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部 分拼成一个长方形（如图2）. -b一 b 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是」 (请选择正确的一个选项) A.a2-2ab+b2=(a-b)2B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b) D.a-ab=a(a-b) (2)若x2-y2=12,x+y=4,求x-y的值： 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t第：（0--)0〔02)： 20. (24-25七下河北邯郸期末)已知A=(2y-x(-2y-x),B=4y(x-2y). (1)对A,B进行整式乘法运算： (2)甲、乙两位同学用如下方法比较A,B的大小. 作差法：a-b与0比 较：若大于0，则a 大：小于0，则b大： 等于0，相等。 甲认为：A大于B; 乙认为：A不小于B. 通过计算判断谁的说法正确。 21.推理能力如图①所示，在边长为a的正方形中作一个边长为b(a>b)的正方形，则余下的阴影部分面 积等于一个以(a+b)为长、(a-b)为宽的长方形面积，如图②所示. 6 a+b a-b ① ② 【探究】 (1)请列式表示：图①中阴影部分的面积为 图②中阴影部分的面积为」 根据 两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式」 【应用】 (2)根据(1)中的公式解决如下问题： ①若a+b=4,a-b=2,求a2-b2的值. ②计算：(2+1川22+1川24+1(2+124+1。 22.(24-25七下·全国课后作业)观察下列各式： (x-1(x+1=x2-1: (x-1x2+x+1=x3-1: (x-10(x3+x2+x+1=x4-1: 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据前面的规律可求得x-(x”+x+…+x+= (其中n为正整数)· (2)根据上述规律求1+2+2+23+…+22+23的值， 23.(24-25七下·广东河源·期中)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩 余部分拼成一个长方形（如图2）· a b 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (填字母). A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C,a2+ab=a(a+b) (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值： ②计算： 〔0)-0-2) ③计算： 〔++〔+++声 24.(24-25七下广东汕尾·期末)【探究】(1)如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小 正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积， 我们可以得到乘法公式： (用含a,b的等式表示). b b 图① 图② 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (2)已知9m2-n2=24,3m+n=8,则3m-n的值为 (3)计算：2027×2025-20262. 【拓展】(4)计算：1002-992+982-972++42-32+22-12. 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(24-25七下辽宁抚顺期末)【阅读材料】若x满足(8-x)(x-3)=4,求(8-x)2+(x-3)的值. 解：设8-x=a,x-3=b.则(8-x(x-3)=ab=4,a+b=8-x+(x-3)=5. .(8-x)2+(x-3)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17. 这里用到了完全平方公式的变形： a2+b2=(a+b)2-2ab,或2ab=(a+b)2-a2+b2）, 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： (a-b)2=(a+b)2-4ab,(a+b)2=(a-b)2+4ab. 【类比探究】解决下列问题： (1)若(n-2022)2+(2026-m)2=4,求(n-2022)2026-n)的值. 【拓展应用】 (2)如图，已知正方形ABCD的边长为x,E、F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3,长方形 EMFD的面积是24，分别以MF,DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH.求阴影部分的面积. B M E G O R 26.(24-25七下·北京门头沟期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将 剩余部分拼成一个长方形（如图2） a 图1 图2 (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是. (2)应用所得的公式计算：20242-2023×2025】 (3)应用所得的公式计算：9×(10+1)102+1)104+1)10+1)1016+1)-102. 题型三、整式的混合运算 1.(24-25七下-山西长治期末)若2r-y=5,则代数式[x+y+2(x-川-(x-门]÷2y的值为() 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.-5 C.10 D.-10 2.计算[(a-b)2-(a+b)2]÷4ab的结果是() A.9ti 4 B.a-b 4 C.-1 D.2ab 3.(24-25七下浙江金华期末)有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形.若要求阴 影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度() D G W M A.AB B.A0 C.AH D.AE 4.(24-25七下福建泉州期末)若2x2-4x-1=0,则代数式2x4-6x3+4x2-x+1的值是-. 5.若a2+a-2025=0,代数式a2-2025(a+1)的值是 a&b 6.(24-25七下山东滨州期中)四个 a,b.c,d排列成c&d 我们称之为“二阶行列式”，规定它的运 a&b 算法则为 c&d =ad-bc.若 -2&x+3 x+1&x-2 =13,则 Y= 7.(1)先化简，再求值：(x+2y2-xx-4y)-42,其中x=-2,y=2 (2)已知2a2+3a-6=0,求代数式3a2a+-(2a+1(2a-1)的值 (3)先化简，再求值：（x+2y)-y(x+3y+(x-x+÷(2x),其中x=-3,y=2. 8.(24-25七下.四川资阳期末)先化简，再求值：[(x+2yx-2y)+x(x-4y)+4(x-y)2]÷6x,其中 x=2,y=-1. 9.某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型.为了向全校同学宣传自己的 科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，己知宣传版画（阴影部分） 的尺寸如图所示 10/14 专题07 完全平方公式和平方差公式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、完全平方公式的相关计算 1 题型二、平方差公式的相关计算 16 题型三、整式的混合运算 32 B综合攻坚・能力跃升 题型一、完全平方公式的相关计算 1．小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ∴， 故选D． 2．若式子是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．20 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求完全平方式中字母的系数． 根据完全平方式的结构特征，即可得的值． 【详解】解：∵式子是一个完全平方式， ∴， ∴的值为． 故选：C． 3．（24-25七下·黑龙江大兴安岭·期末）若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义得到，进而计算即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 整理得， 即 解得：或． 故选：C． 4．已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式，表达式应为的形式，比较系数进行列式求解，即可作答． 【详解】解：∵是某个整式的平方的展开式， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得m的值为4或， 故选：C． 5．（24-25七下上海·期末）若可以写成一个完全平方式，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】该题考查了完全平方式，根据完全平方式即可求出k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故选：D． 6．（24-25七下·广西南宁·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 【详解】解：由题意可得展开式中含项为第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为， 的展开式中含项的系数是2023， 故选：C． 7．下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的基本运算，需运用合并同类项法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式对各选项逐一分析判断． 【详解】解：∵ 合并同类项时，同类项的系数相加，字母及指数不变； ∴ A选项中，，选项原运算错误； B选项中，根据完全平方公式，，选项原运算错误； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ C选项中，，选项原运算错误； D选项中，，运算正确． 故选：D 8．设，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】将所求表达式展开，利用已知条件代入计算． 【详解】解：， . 又 ，且 ， ， . 故选：C． 【点睛】本题考查分式的值，解决本题的关键是将所求表达式展开，利用已知条件代入计算． 9．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行计算，根据平方差公式和完全平方公式对各选项逐一计算判断即可，熟练掌握运用平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 10．小明将展开后得到 ，小亮将展开后得到 若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】4047 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式． 根据完全平方公式将两式展开后得到、的值，进而根据平方差公式计算即可． 【详解】解：，即， ，即， ∴． 故答案为：4047． 11．利用完全平方公式计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式识别为完全平方公式的形式，从而简化计算． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 1． 12．已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过计算与的差得到，进而求出的值，即可作答． 【详解】解：，． 将两式相减，得， 即， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七下·内蒙古呼和浩特·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式展开，然后通过两式相减消去平方项，得到关于的等式化简即可得到答案． 【详解】解：①， ②， 由①②得， 即， 解得， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海金山·期末）如果，那么 ． 【答案】4 【分析】此题考查了完全平方公式，代数式求值， 首先由得到，然后将所求代数式通过完全平方公式变形，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 15．（24-25七下·天津北辰·月考）若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握知识点是解题的关键． 将已知等式左边用完全平方公式展开，得到关于的表达式，再通过代数运算求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：16． 16．已知，，计算下列各式的值： （1） ； （2） ． 【答案】 1 12 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键． （1）已知两等式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出的值； （2）已知两等式左边利用完全平方公式展开，相加即可求出的值，然后展开，最后将、整体代入即可． 【详解】解：（1）， 得，， ，， ， 解得：， 故答案为：； （2）， 得，， ，， ， 解得：， ，， ∴原式， 故答案为：． 17．（24-25七下 上海金山·期末）如果关于的整式，那么常数的值是 ． 【答案】或9 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 将右边展开后比较系数，得到关于m和n的方程，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 由得或， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则． 故答案为：或9． 18．（1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）87；（2）8． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，整式的化简求值，整体代入思想，掌握完全平方公式的变形，整式化简后结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形，代入已知数值计算； （2）先展开并化简代数式，得到含的式子，再结合已知条件整体代入求值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2） ． ∵， ∴，即， ∴原式． 19．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据新定义，化简计算即可； （2）因为，由（1）知，则，又已知，则变形计算即可：①②； （3）令，则，由得，求即求即可． 【详解】（1）解：由新定义运算可知： ； 故答案为：； （2）解：∵ 由（1）知， 即， ， 又∵， ①； ②， ∴； （3）解：令 则， 由得， ∴， 即． 20．（24-25七下·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 21．[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）62 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为6和28得到，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28，即，， ∴， ∴ ． 22．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①，；② 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形求值，矩形与正方形的性质，掌握好相关知识是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）对比完全平方公式确认与，再计算出的值即可； （3）设，，利用完全平方公式求值即可； （4）①根据线段和差关系进行填空； ②由矩形的面积为，可得，利用完全平方公式变形求得，根据正方形面积公式求出阴影面积． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：在完全平方式中，，， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； 综上所述，或； （3）解：设，， ∴，， ， ∴， ∴； （4）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ②∵长方形的面积为， ∴． ∵， ∴， ∴． 23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图①，可以得到．请解答下列问题： (1)写出图②中所表示的数学等式：___________________________． (2)小明同学用图③中张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片，张长为、宽为的长方形纸片拼出一个面积为的长方形图形，则____________． (3)如图④，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一条直线上，连接和．若两个正方形的边长满足，，请求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)9 (3)20 【分析】（1）图②是一个边长为的大正方形，可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）先展开多项式，再与图③中各类纸片的面积对应，求出、、的值； （3）阴影部分面积可通过两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：大正方形的边长为，其面积为． 同时，大正方形由个边长为的正方形、个边长为的正方形、个边长为的正方形，以及个、个 、个的长方形组成． 因此，面积和为． ∴图②表示的数学等式为：． （2）解：先展开多项式： ． 与图③中各类纸片面积对应： 边长为的正方形面积为，需要张，故； 边长为的正方形面积为，需要张，故； 长为、宽为的长方形面积为，需要张，故． 因此，． （3）解：阴影部分面积可表示为： ． 代入面积公式： =． 已知，， ∴． 将，代入阴影面积表达式： ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式以及代数式求值。解题关键是利用“面积法”，通过对图形面积的不同表示方法，推导出代数恒等式或进行计算． 24．阅读材料并回答问题： 我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如就可以用图①或图②中图形的面积表示． (1)请写出图③所表示的代数恒等式． (2)试画一个几何图形，使它的面积可用表示． (3)请依照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出它对应的几何图形． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)，作图见解析（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，考查几何意义，抓住面积不变是解题的关键． （1）大长方形的长为，宽为，所以面积表示为；大长方形的面积还可以表示为6个图形面积的和，从而得到等式； （2）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可； （3）可以写一个恒等式为：，图形是长为，宽为的大长方形． 【详解】（1）解：． （2）解：如图1所示： （3）解：代数恒等式是：，如图2所示： 25．在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个． (1)请你补全完全平方公式的推导过程： ____________________________________； (2)如图，将边长为的正方形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分．请结合图形给出完全平方公式的几何解释． 【答案】(1)，，； (2)见解析． 【分析】（1）依据多项式乘多项式法则，即可得到结果； （2）依据边长为的正方形分割成四部分，即可得到完全平方公式的几何解释． 【详解】（1）解：． 故答案为：,,； （2）解：边长为的正方形的面积，等于边长分别为和的两个小正方形的面积，再加上两个长为，宽为的长方形的面积的和． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，解决本题的关键是通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 题型二、平方差公式的相关计算 1．（24-25七下·广东广州·期末）已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，利用平方差公式进行化简是解题的关键． 首先利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 故选：D． 2．下列多项式的乘法可用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：C 3．已知，则代数式的值是（   ） A．8 B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算与代数式求值，解题关键是利用平方差公式简化 的计算，抵消含的项． 【详解】解：， ，， ， 故选：A． 4．计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．根据平方差公式解答即可． 【详解】解：∵ ∴原式 故选：B． 5．计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将式子变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 6．下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用； 先将原式变形为符合平方差公式的形式，再利用公式计算判断选项即可． 【详解】解：∵， 又∵平方差公式为，令，， ∴原式， ∴故选：C． 7．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用．平方差公式的形式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A． 中，是相同项，与互为相反数，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； B． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：A 8．（24-25七下·湖南株洲·期末）若，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查平方差公式，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平方差公式将已知条件转换，代入求解即可． 【详解】解： ． 已知 ，， ∴ ， ∴． 故答案为 ：5． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 先利用同底数幂的除法法则计算除法部分，化简后再进行多项式乘法，最后应用平方差公式简化． 【详解】解： = 故答案为：． 10．观察：；，那么， ． 【答案】/ 【分析】本题考查平方差公式的应用．通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 11．用简便方法计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的简便运算，熟记平方差公式是解题的关键． 先整理，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式正确变形是解题关键．利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为： 13．若，，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七下·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式特点并灵活运用是关键； 观察到1002025、1002026和1002027是三个连续整数，设，则，，原式，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：设，则，， 原式， ， 故答案为． 15．（24-25七下·山东·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 16．计算： ． 【答案】 2013 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解的计算，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 利用平方差公式因式分解分子和分母中的表达式，然后约分计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2013． 17．的个位数字为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算．先利用平方差公式计算，化简算式得到，再分析的个位数字规律，最后确定整个表达式的个位数字． 【详解】解： ， ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， ， ∴的个位数字为1， ∴的个位数字为9， 故答案为：9． 18．（24-25七下·黑龙江大庆·期末）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25七下·广西北海·期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 20．（24-25七下·河北邯郸·期末）已知，． (1)对，进行整式乘法运算； (2)甲、乙两位同学用如下方法比较，的大小． 作差法：与0比较；若大于0，则大；小于0，则大；等于0，相等． 甲认为：大于； 乙认为：不小于． 通过计算判断谁的说法正确． 【答案】(1)、 (2)乙说得对 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算得，运用单项式乘多项式得，即可作答． （2）利用作差法得，又因为，故，即可作答． 【详解】（1）解：， ； ； （2）解： =， ， ∴， ∴ ∴乙说得对． 21．推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 22．（24-25七下·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据前面的规律可求得________（其中为正整数）． (2)根据上述规律求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘多项式及其规律问题等知识点，认真观察各式、归纳出规律是解题的关键． （1）由已知等式可得出x的指数为即可解答； （2）将所求代数式乘以，再根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； …… ． 故答案为：． （2）解： ． 23．（24-25七下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 24．（24-25七下·广东汕尾·期末）【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 【答案】（1）；（2）3；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3） ； （4） ． 25．（24-25七下·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 26．（24-25七下·北京门头沟·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将原式变形为，再由平方差公式计算即可； （3）将原式变形为，再连续使用平方差公式计算． 【详解】（1）解：图1中，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形， 则剩余部分面积为：； 将剩余部分拼成一个长方形，则长为，宽为， 所以面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： 题型三、整式的混合运算 1．（24-25七下·山西长治·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先简化代数式，发现它等于，然后代入已知条件即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键．直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故选C． 3．（24-25七下浙江金华·期末）有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，准确用代数式表示阴影部分的面积是关键．设长方形纸片的长为a，宽为b，表示出阴影部分的面积为，再计算即可得到答案． 【详解】解：设长方形纸片的长为a，宽为b，由图可得，阴影部分的面积为 ∴要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度， 故选：D 4．（24-25七下·福建泉州·期末）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值和单项式乘多项式等，掌握降幂求解是解题的关键． 先将进行化简，再对进行降幂求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．若，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，掌握整体代入的方法，通过已知方程变形直接代入代数式，避免了复杂的解方程过程，是解题的关键． 由已知方程 变形得到 ，代入代数式化简，利用 求值． 【详解】解：由 ，得 ． 代入代数式 ． 又∵ ，即 ， ∴ ． 故答案为：． 6．（24-25七下·山东滨州·期中）四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确弄清新定义的运算规则是解题的关键． 按规定的运算可得关于x的方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 化简得， 解得． 故答案为∶ ． 7．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后整体代入求值即可； （3）先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解：（1）， 当，时，原式． （2）， 因为，所以，所以原式． （3） ， 当，时，原式． 8．（24-25七下·四川资阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及化简求值．先根据平方差公式和完全平方公式计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ． 当，时，原式． 9．某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）． (2)若，，求宣传版画的总面积． 【答案】(1) (2)72 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据宣传版画的总面积为上面的三角形的面积+中间梯形的面积+下面梯形的面积，列式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式得出，再整体代入即可得解． 【详解】（1）解：（1）由图可得， 宣传版画的总面积为 ． （2）解：，， ， ∴宣传版画的总面积为 ． 10．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中m表示行数，n表示列数），每个位置（第m行和第n列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写：①________； 通过观察归纳得：； ②________； 归纳得________（用含n的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数n，有 设（且n为正整数）， 若，求n的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：________（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）①10；②25；③；（2）6；（3） 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字类和图形类规律探索，整式的运算，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律直接计算即可；观察，得，根据规律及加法交换律得，两式相加可得，进而可得答案； （2）由可得，，再求和计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】解：（1）①； ②； 观察，得， 则， ∴ ， ； （2）由（1）知，，， 则，， ∴， 由得，解得（负值不合题意，已舍去）； 所以的值为6； （3）观察，得， ， ， ； 由，，， 根据规律知． 1．（2025·云南·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了合并同类项，同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：无法合并，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意， 故选：D． 2．（2024·广东·模拟预测）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式、平方差公式、同底数幂乘法以及积的乘方与幂的乘方等知识，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算正确，故此选项不符合题意； B、，原选项计算错误，故此选项符合题意； C、，原选项计算正确，故此选项不符合题意； D、，原选项计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的， 的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用． 模仿材料中的方法，将 写成一个差的完全平方的形式，然后根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 的算术平方根是 ． 故答案为：． 4．（2022·江苏宿迁·三模）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：（，不可以验证平方差公式． 故答案为：①②． 5．（2025·湖南衡阳·模拟预测）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式的运用，先将括号里的式子通分，再将除法变为乘法约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【答案】(1)65； (2)该图形中共有325个黑色小正方形 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，一元一次方程，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有个黑色小正方形． （1）根据题干找到规律即可解答； （2）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 7．（2025·福建福州·模拟预测）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）因为，所以，将这个式子代入到中，可得原式，据此证明以为非负数； （2）因为m，n为两个连续的正整数，且，所以，，所以，因为m，n为两个连续的正整数，所以是奇数，据此得证． 本题考查了整式的混合运算、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根，解决本题的关键是先将要计算的式子进行化简． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以 = = ， 因为， 所以， 所以为非负数． （2）因为， 且m，n为两个连续的正整数，且， 所以，， 所以 = = = ， 因为m，n为两个连续的正整数， 所以是奇数， 所以c一定是奇数． 8．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【答案】(1)2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点 （1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【详解】（1）解：不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则：， 因数分解可能为或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； （2）①设奇数，令，，则：，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确， ④设被4除余2的数是，若存在a，b使得， ∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； （3）证明：，b是“树人数”． 设，是整数 或 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 9．（2025·广东深圳·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步进行的运算是______． A．整式乘法 B．因式分解 ②第______步开始出现错误． 任务二：请写出完整的解题过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】任务一：①B；②四；任务二：过程见解析， 【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 任务一：①根据分解因式的定义求解；②根据去括号法则进行判断； 任务二：先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：任务一： ①第一步将原式这一项变形为，属于分子分母因式分解； 故选：B； ②第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：第二个括号去括号时后两项没有变号， 故答案为：四； 任务二： 原式 = = = = ， 且且， 可以取2， 当时，原式， 10．（2025·河南郑州·三模）小伍提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． (1)举例验证：当，，则______；（请你补上空格所缺内容）； (2)推理证明：小陆同学做了如下的证明： 设， ，是连续的正整数， ． ， ______． 一定是正整数的平方数请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容； (3)类比探究： 小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方”，请证明该结论． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查利用完全平方公式，整式的乘法等知识，掌握完全平方公式和整式乘法是解题的关键． （1）代入计算，求算术平方根即可； （2）将整体代入消元即可得解； （3）将整体代换消元即可得解． 【详解】（1）解：当，时， ， 故答案为：； （2）设， ，是连续的正整数， ， ， ， 一定是正整数的平方数， 故答案为：； （3）证明：设，是连续的正整数，且， ， ， ， 一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $