精品解析：黑龙江省鸡西市第一中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

2025~2026学年度高一年级第二学期开学考试 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是（ ） （参考数据：，，） A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足：，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 关于的方程恰有5个解 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 已知，且，则的最大值为__________. 14. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）若是第一象限角，且，求的值. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若，且，求的值. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 18. 已知函数，函数. （1）求的定义域； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，使得成立，求的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数. （1）求的解析式； （2）已知函数. （i）证明：函数有且只有一个零点； （ii）记函数的零点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高一年级第二学期开学考试 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进而判断角所属象限即可. 【详解】已知角，所以，故角为第二象限角. 故选:B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求出集合，结合交集的概念求解即可. 【详解】由题意知. 因为，所以. 故选：C. 3. 若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得该函数周期，即可得. 【详解】因为函数图象的相邻两个对称中心的距离为， 所以的最小正周期，又，所以. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系，将、转化为、即可求解． 【详解】因为，所以， 所以 ． 故选：D． 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例即可求解充分性，根据正弦函数的性质即可求解必要性. 【详解】若，此时，但是，故“”不是“”的充分条件； 若，由函数的定义知，若，则必有，而时，能推出， 故“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是（ ） （参考数据：，，） A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出函数关系式，结合对数函数知识解不等式即可. 【详解】取2026年是第1年，根据题意得第年该公司全年投入的科研经费为. 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则， 则第4年，即2029年该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元. 故选：C. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将表达式平方并利用余弦函数值域即可求出函数的值域. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以，所以， 即函数的值域为. 故选：D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由指数函数、对数函数的基本性质判断a、b、c的大致范围，据此可以得到a与b、c的大小关系，再根据可得，将其转化为与的交点问题即可判断b、c的大小． 【详解】因为，而当时，，当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得， 所以为和图象交点的横坐标， 为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出和的图象，如图所示， 由图可得，综上，． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例即可求解AC，利用作差法即可求解B，利用不等式的性质即可求解D. 【详解】对于A，当时，显然不成立，故A错误； 对于B，因为，所以，即，故B正确； 对于C，当满足，但是，故，故C错误； 对于D，因为，所以，而，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数满足：，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 关于的方程恰有5个解 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用及的表达式求判断A，依据推出周期判断B，再求表达式判断奇偶性以判断C，作函数图象判断方程解的个数以判断D. 【详解】在中， 令，得， 又当时，， 所以， 所以， 解得，故A错误； 由，得， 所以， 所以是周期为2的周期函数，故B正确； 当时，， 又，显然当时，函数为偶函数， 又因为函数的周期为2， 所以函数是实数集上的偶函数，故C正确； 函数的图象如下图所示： 由图可知函数的图象与的图象有6个交点， 故关于的方程恰有6个解，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：结合函数的对称性及图像平移判断即可. 选项B：结合函数的单调性判断即可. 选项C：结合函数的单调性及余弦函数的性质判断即可. 选项D：结合作差法及基本不等式求解即可. 【详解】因为关于原点对称，所以关于对称，所以的图象是中心对称图形，故A正确； ， 又，均在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 易得在上单调递增，又当时，，所以，所以，所以，故C错误； 由，得，即， 又，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数运算、对数运算法则计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为： 13. 已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用换元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由在区间上恰有两个零点，得到在区间上有两个实数解，得到，由得到在上有两个不同的实数解，由的范围得到的范围，从而得到的不等式组，计算出的取值范围. 【详解】函数在区间上恰有两个零点， 则在区间上有两个实数解， 由可得， 又，故有在上有两个不同的实数解， 而当时，，所以， 解得，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）若是第一象限角，且，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用诱导公式求得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子，可得结果. （2）由同角三角函数关系及倍角公式即可求解. 【详解】（1）由题意知， 所以. （2）因为，是第一象限角， 易得， 所以. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差公式、倍角公式、辅助角公式将函数化为，利用复合函数的单调性即可求解； （2）将拆成，利用和差公式即可求解. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为， 令， 解得，所以函数的单调递减区间为 【小问2详解】 由题意知， 又，所以，又，所以. 若，则，不符合题意； 所以，所以， 所以 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合表格中的点代入求解即可. （2）结合正弦型函数的图形求解即可. （3）根据函数图象的平移得到的图象，结合求出的对称中心，得到的代数式，进而求出最小值. 【小问1详解】 由题意知，解得，， 又，解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，所以， 解得， 即不等式的解集为. 【小问3详解】 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 因为，所以的图象关于中心对称， 所以，解得， 因为，所以当时，此时取得最小值为. 18. 已知函数，函数. （1）求的定义域； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令后，解出即可得； （2）任取，且，再得到的正负即可得； （3）由题意可得，结合（2）中所得可得，再分与，计算出即可得解. 【小问1详解】 由题意知，整理得， 所以，解得，即的定义域为； 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 又，所以，所以， 即，所以在上单调递增； 【小问3详解】 若，使得成立，则. 由（2）知在上单调递增，所以， 记， 因为，所以，所以， 当时，， 则，所以，所以或，又，所以； 当时，， 则，所以，所以，又，所以； 综上，的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数. （1）求的解析式； （2）已知函数. （i）证明：函数有且只有一个零点； （ii）记函数的零点为，证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义得到，根据奇函数的定义得到，这两个等式相加计算得到. （2）（i）求出，分类讨论，和范围内的零点个数，结合单调性和零点存在性定理求解.（ii）由题意知，且，整理得到，令，由的范围结合二次函数的图像和性质得到证明. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以， 所以， 又是奇函数， 所以，所以， 所以，即. 【小问2详解】 （i）由题意知 ， 当，则， 此时在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以在上有 唯一零点； 当，所以， 所以在上没有零点； 当时，，所以，所以， 所以在上没有零点. 综上，有且只有一个零点. （ii）由题意知，且， 所以， 所以， 令， 因为，所以，又， 则， 所以 ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $