1.5.1 数量积的定义及计算课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.5 向量的数量积 1.5.1 数量积的定义及计算 第1章 平面向量及其应用 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的数量积 1 数量积的定义 设,是任意两个向量，，是它们的夹角，则定义（不能表示为 或. ），为与 的数量积.（两个向量的数量积是一个实数.） 由平面向量夹角的定义可知，, 的取值范围为 . 由数量积的定义可知:或或 . . . . . . . 6 图1.5.1-1 （1）当,均不为 时，如图1.5.1-1所示. . （2）当或 时，由于零向量与任意向量垂直，因 而仍有.因此， （互为充要条件，证明两 向量垂直只需要说明其数量积为0）对所有情形均成立. . . 7 2 投影 图1.5.1-2 如图1.5.1-2，作向量, ，两个向 量的夹角为 .过点作于点 ，则 ，其中与 共线. 我们把称为在 方向上的投影向量，投 影向量的长度 称为投影长.#1.2 设是与方向相同的单位向量，则, . 当，即与同向时， . 当 ，即与反向时， .#1.5 8 当，即时， . 在所有情况下都有 . 刻画了投影向量的大小和方向，称为在 方向上的投影. . 由于与共线，于是 . 一般地，与的数量积等于的长度与在方向上的投影 的乘积， 或的长度与在方向上的投影 的乘积. 由此得到利用数量积计算在非零向量方向上的投影 的公式: .#1.12 9 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P35 T1]根据以下条件，分别求 . （1）,,, ; 【解析】 . （2），，, ; 【解析】 . （3）,,, ; 【解析】 . （4），, . 【解析】 . 10 例1-2 在等腰梯形中，，则向量在向量 方向上的投影向量为 ( ) C A. B. C. D. 11 【解析】如图1.5.1-3，过，分别作于，于 ， 图1.5.1-3 由等腰梯形中， ， 可得 ， 又易得 ， 故向量在向量方向上的投影向量为 ． 12 例1-3 已知在边长为3的等边中，，则在 方向上的投影 为( ) C A. B. C. D. 13 【解析】 , , 在方向上的投影为 . 14 知识点2 向量数量积的性质、运算律和常用结论 1 数量积的性质 设,是非零向量，它们的夹角是 ,是与 方向相同的单位向量，则 （1） .（任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在 单位向量方向上的投影） （2） .（可用于解决两个非零向量垂直的问题） . . . . 15 （3）当与同向时,；当与反向时, . 特别地，,则 .（可用于求向量的模） （4），（可以解决有关“向量不等式”的问题）当且仅当向量 ， 共线,即 时，等号成立. （5） .（夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向 量的夹角） . . . . 16 2 数量积的运算律 设,,是任意向量， 是任意实数,则如下运算律成立: （1）交换律： ； （2）与数乘的结合律： ； （3）分配律： . . . . . . . 17 辨析比较 向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法之间的区别 向量的数量积 向量的数乘 实数的乘法 , 至少有一个为0或 , . 或 . , 至少有 一个为0. 或 或 , . 或 . 或 . 与 不一定相等. . 18 3 向量数量积的常用结论 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） . 19 学思用·典例详解 例2-4 [教材改编P33例2]已知向量，满足,，,则向量, 的 夹角为__. 【解析】设向量，的夹角为 ，则，所以 ,所以 向量，的夹角 . 20 例2-5 [多选题]下列命题正确的是( ) AD A. B.若，则对任一非零向量都有 C.若，则与中至少有一个为 D.若与是两个单位向量，则 【解析】A正确，因为的长度为0，所以.B，C错误，当非零向量 时， 有.D正确，易知,,故 ． 21 例2-6 (2025·广东省佛山市月考)已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为 ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】， ， . 22 例2-7 设向量,满足,,,则 ( ) D A.1 B.2 C. D. 【解析】 , , . , , 解得 . 23 题型解析 03 题型1 向量数量积的运算 1 向量数量积的简单计算 例8 已知,,与的夹角为 ,求: （1） ; 【解析】 . （2） ; 【解析】 . 25 （3） ; 【解析】 . （4） . 【解析】 . 26 求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或 两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公 式进行化简. 27 【学会了吗丨变式题】 1.(2025·广东省汕头市期末)已知，，与的夹角为 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由 . 故选C. 28 2 平面几何图形中的向量数量积的计算 例9 (2025·江西省南昌市质检)在边长为1的正三角形中，设, , 则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】第一步：将,用, 表示出来 由已知得,, . 第二步：将转化为， 间的运算 . 29 解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路 解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量， 这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．对于以图形为背景的向量 数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征. 30 【学会了吗丨变式题】 图1.5.1-4 2.(2025·山西大学附属中学开学考试)如图1.5.1-4所示，在平行四 边形中，已知，，， ， 则 ( ) B A.12 B.22 C.24 D.72 【解析】由，得， ， . 因为 ， 所以 ， 即 . 又，，所以 . 31 3 利用投影向量求向量数量积 例10 (2025·河南省焦作市联考)已知非零向量在向量上的投影向量为， ， 则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】非零向量在向量上的投影向量为，又，所以 ， 故 ． 32 例11 (2025·北京四中模拟)已知正方形的边长为1，是 边上的动点，则 的值为___， 的最大值为___. 1 1 图1.5.1-5 【解析】如图1.5.1-5所示，由向量数量积的定义可得 ． 由图可知，，因此 . ，而 就是向量 在方向上的投影，当在方向上的投影最大，即为 时，最大，此时点与点重合，所以 的最大值为1． 33 【学会了吗丨变式题】 图1.5.1-6 3.(2025·河北省邢台市期末)如图1.5.1-6所示,已知圆为 的 外接圆，，， ，则 _ _____. 【解析】 ， ， , 同理，， , . 34 4 已知两向量垂直求参数 例12 (2025·江苏省宿迁市期中)已知单位向量与的夹角为，若与 垂直， 则实数 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得 ,若与 垂直,则 ，解得 . 35 5 利用向量数量积判断平面图形形状 例13 已知为平面内的定点，，， 是平面内不共线的三点，若 ，则 是( ) B A.以为底边的等腰三角形 B.以 为底边的等腰三角形 C.以为斜边的直角三角形 D.以 为斜边的直角三角形 【解析】设的中点为，由 ，得 ，即， ， 是的边上的中线，也是高，故是以 为底边的等腰三角形. 36 利用向量数量积判断平面几何图形形状的方法 由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，利用移项、 平方等手段，可以得出数量积及向量的长度等信息，为得到边相等、边垂直指明方向. 37 6 向量数量积的最值（取值范围）问题 例14 (2025·江苏省扬州市第一中学月考)在中， ， ， ，，，则 的最大值为( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】由题可知,, , 则 ,（转化为熟悉的函数知识） 则 的最大值为1. 38 例15 (2025·湖南省张家界市民族中学月考)半径为4的圆上有三点,, ，满足 ，点是圆内一点，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 图1.5.1-7 【解析】如图1.5.1-7，设与交于点 ，由 ，得,所以四边形 是平行四边形， 又,所以四边形是菱形，且 ，则 , , 由图可知, , 而 , 所以 , 39 同理，,而 , 所以 , 所以 , 因为点是圆内一点,则 , 所以 . 即的取值范围是 . 解决向量数量积的最值（取值范围）问题的基本思路 1.将数量积化归为线段的长度，利用图形的几何性质，确定线段长度的取值范围 （或最值），即得数量积的取值范围（或最值）. 2.引入变量（利用向量共线定理或题干中已有变量），构建数量积的目标函数，通 过求函数的值域或最值得解，解题中务必要注意变量的范围. 41 【学会了吗丨变式题】 4.(2025·山西省大同市期中)已知,,,若点是 所在平面 内一点，且,则 的最大值等于( ) D A.16 B.4 C.82 D.76 42 【解析】设,,由于，于是与 是互相垂直的单位向量， , ,当且仅当 时等号成立， 的最大值为76. 43 题型2 向量的夹角 1 求两个非零向量的夹角 例16 (2025·河北省唐山市期中)设向量，满足及 ，则 ， 的夹角为( ) A A. B. C. D. 【解析】设与的夹角为 ，由题意得 ， ， 又， ， ,即 ． 又，，（注意向量夹角的范围），的夹角为 . 44 求两向量夹角的注意点 求两非零向量的夹角 或其余弦值一般利用夹角公式求解.确定 时要 注意，当时，；当时，,；当 时， . 45 2 求两个非零向量夹角的余弦值 例17 (2025·山西省汾阳市期中)已知，，且 ，则 向量与 的夹角的余弦值是( ) B A. B. C. D. 【解析】,,且 , , , ， . 46 【学会了吗丨变式题】 5.(2025·江苏省苏州市期末)已知向量，满足，，且 ， 则与 的夹角的余弦值为( ) A A. B. C. D. 【解析】，， ， ①， ②， 得，， ， ， ， ． 47 3 已知两向量夹角求相关参数的值 例18 [多选题](2025·陕西省咸阳高新一中质检)设两个向量，满足 , ,与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则实数 的 可能取值为( ) AD A. B. C. D. 【解析】设向量与的夹角为 ， 则 , 即,化简得，解得 . 当与的夹角为 时，也有 ，（易忽略向量共线这种特殊 情形） . . 48 但此时夹角不是钝角. 设, , 因为，不共线，所以解得 故实数的取值范围是 . 故实数的可能取值为, . 49 4 求向量夹角的最值 例19 非零向量，满足，,则与 的夹角的最小值是_ _. 【解析】设与的夹角为 ,由知, . 由基本不等式知，,即 , 又,,故, . 故与的夹角的最小值是 . 50 题型3 向量的模 1 模的计算 母题 致经典·母题探究 命题探源思路一 从运算的角度看，对等式 两边平方并化简可得 . 思路二 从向量的加、减法的几何意义看，可知与分别为以向量， 对应的线段为邻边的平行四边形的两条对角线的长，且 ，所以该平 行四边形为矩形，故有，即 .记住该结论，面对此类问题即可快速获解. 51 例20 (2025·辽宁省沈阳市期末)设点是线段的中点,点在直线外, , ,则 ( ) C A.8 B.4 C.2 D.1 【解析】 以,为邻边作平行四边形,则 , . 因为,所以 . 又四边形 为平行四边形, 所以四边形为矩形,故 . 则为斜边上的中线,所以 . 52 由,两边平方并化简得，所以 , 为直角三角形， 则为斜边 上的中线, 所以 . 53 子题 (2025·四川省成都市期末)若平面向量,满足,,且 ，则 等于( ) B A. B. C.2 D.8 【解析】,,且,, , 故 . 54 求向量的模的基本思路 或 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这 种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据 平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化. 55 2 与模有关的最值问题 例21 (2025·河南省郑州市期中)已知为 的重心（三条中线的交点）， ，，则 的最小值为( ) C A. B. C. D. 56 【解析】取的中点为，连接 ，如图1.5.1-8所示. 图1.5.1-8 因为为 的重心， 所以 , 因为, , 所以,所以 , 57 又 , 当且仅当 时取等号， 所以的最小值为 . 58 【学会了吗丨变式题】 6.设非零向量与的夹角是，且，则 的最小值是( ) A A. B. C. D.1 【解析】 非零向量与的夹角是，且 ， ， , ， 59 ， 当时，取得最小值，最小值是 . 60 题型4 向量极化恒等式的应用 母题 致经典·母题探究 命题探源 极化恒等式 ①， ②， 这两个式子具有非常重要的价值，其几何意义如下. 对于①：以, 对应的线段为邻边的平行四边形中，两条对角线的平方和等于两邻边 平方和的两倍； 61 对于②：向量, 的数量积等于以这组向量对应的线段为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”的平方差的 . 注：②式被称为“极化恒等式”. 图1.5.1-9 用图形直观来说，如图1.5.1-9，对应的则有 ③, ④, 62 注意到平行四边形的对称性，平分线段， ,则有 ⑤， ⑥， 这样我们便建立起了平行四边形的对角线长度与相应邻边，三角形中的边、中线与 相应边的数量积之间的联系.特别地，⑤⑥两式由于涉及中点这一平面几何中较重要 的点，常常成为高考命题的聚焦点. 63 例22 (全国Ⅱ卷)已知是边长为2的等边三角形,为平面 内一点,则 的最小值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 如图1.5.1-10,为的中点 , 图1.5.1-10 64 则 , 要使最小,则,的方向相反,即点在线段 上,则 , 即求 的最大值, 又 , 所以,当且仅当,即是 的中点时， 取等号. 故 . 65 图1.5.1-11 （利用极化恒等式求解）如图1.5.1-11,取的中点 ， 则 , 则 , 在中，由⑥式，取的中点 ， 则 . 由于点 在平面内是任意的， 因此当且仅当点，重合时， 取得最小值， 即取得最小值 . 66 子题 子题1 (2025·河南省南阳市调研)已知是等边三角形 所在平面内一点，且 ，，则 的最小值是( ) A A.1 B. C. D.2 图1.5.1-12 【解析】如图1.5.1-12，设中点为，连接,则 ， ， 由图可知，当，，三点共线时， 取得最小值，为2， ． 67 子题2 (2025·天津市南开大学附属中学开学考试)在边长为1的等边三角形中, 为 线段上的动点,且交于点,且交于点,则 的值为 ___; 的最小值为___. 1 【解析】如图1.5.1-13,过作,交于点 , 图1.5.1-13 易证得,四边形是矩形,所以, ,则 , 所以 . 68 连接,由题意知,,则 . 设,则， , 取的中点，连接，（将, 化归入三角形，为极化恒等式的应用作准备） 则 , 所以当时，取得最小值 ， 即的最小值为 . . . 69 新考法 数学文化 例23 (2025·广东省深圳市期中)“雪花曲线”又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在 1904年研究的一种分形曲线．如图1.5.1-14是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正 三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三 角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图1.5.1-14（1）中正三角形的边长为6， 则图1.5.1-14（3）中 的值为( ) 图1.5.1-14 A A.24 B.6 C. D. 70 【解析】如图1.5.1-15，设,,则, , 图1.5.1-15 ]= . 71 例24 新情境 欧拉线 (2025·河南省郑州市金水区月考)瑞士数学家欧拉是数学史上最 多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人惊叹的欧拉线定理： 三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，，， 为 所在平面上的点，满足， ， ，（,,分别为 的内角 ，， 的对边），则欧拉线一定过( ) B A.，， B.，， C.，， D.，， 72 【解析】因为，，，为 所在平面上的点， 则由，可知点为 的外心. 设边的中点为，则 ， 又， ， 所以，即，，三点共线且点为靠近点 的三等分点， 故点为 的重心. 由 可知， 73 当时，点是 的重心，反之则不是， 由可得，即 ， 同理可得， ， 故点为 的垂心. 由欧拉线定义可知，欧拉线一定经过，， 三点． 74 考情分析 对向量数量积的考查，高考几乎每年都有，重在对基础知识的考查，一般利用公式 进行代数计算即可轻松解题，有时也可画出图形，借助三角形法则或平行四边形法 则解题.多以选择题或填空题出现，试题难度中等或中等偏下. 核心素养:直观想象（借助图形，数形结合解题），数学运算（数量积、向量模、向 量夹角的求解）. 75 考向1 数量积的简单计算 例25 (2025·天津)中，为中点，,,,则 ______ ___（用,表示）;若，,则 _____. 【解析】 . 76 ,，即 ①， 又, , ，即，得 ②， 由①②得, , ,从而 ,则 ,故 .（【关键】因为 ，所以将和 作为基向量） . 77 命题 探源 方法1用基向量，表示向量与,并求数量积，结合题设条件构建 ， 与 的关系，整体代换求数量积，体现了整体思想的应用. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 模、数量积的运算. 直观想象 结合图形，用基向量,表示与 . 78 变式探源 (新高考全国Ⅰ卷)已知是边长为2 的正六边形内的一点，则 的取值 范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 ， 又表示在 方向上的投影， 所以结合图形（图略）可知，当点与点重合时，最大，当点与点 重合时， 最小. 又 , , 故当点在正六边形内部运动时， . 79 例26（1）(2022·全国乙卷)已知向量，满足,， ,则 ( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】由，可得 ， 又,，所以 . （2）(2022·全国甲卷)设向量,的夹角的余弦值为，且, ,则 ____. 11 【解析】 , . 80 （3）(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知向量，， ， ____. 【解析】由题意，得 ，因为 ,,所以 . 81 考向2 夹角的计算 例27 (2023·全国甲卷)已知向量,,满足,,且 ，则 , ( ) D A. B. C. D. 【解析】 , ， 等式两边同时平方得， . 又, , ，且 , ， , . 82 例28 (全国Ⅰ卷)已知非零向量,满足，且，则与 的夹角为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 （直接进行向量的代数运算） 由，得 , , ， , ,，即, , 又,,, . 83 图1.5.1-16 （数形结合，聚焦图形特征） 如图1.5.1-16，设,,则 , , ， 又 , ，即, . 84 命题 探源 向量试题的命制特别重视依托于常见的三角形来构建试题情境.本题就是常 见的直角三角形 .本题若从向量加法的三角形法则的角度看， 容易看到,,三个向量对应的线段构成三角形，其中, 两个向量 对应的线段是两个直角边，对应的线段是斜边，又 ，则三角形 特征就确定了.夹角问题实质是两个向量位置关系的反映.高考重视考查向量 线性运算和数量积运算下的夹角问题，突出的是对方程思想和向量夹角公 式的考查. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 简单的向量的线性运算与数量积运算. 直观想象 能够基于向量数量关系构建几何图形. 85 变式探源 (全国Ⅱ卷)已知单位向量,的夹角为 ，则在下列向量中，与 垂直的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 （通解） 由题意，得 . 对于A， ，故A不符合题意； 对于B， ，故B不符合题意；对于C， 0，故C不符合题意； 对于D，，所以 ，故D符合题意. 86 图1.5.1-17 （优解） 根据条件,分别作出向量 与A， B，C，D四个选项对应的向量，如图1.5.1-17所示： 由图易知，只有选项D满足题意. 87 考向3 模的计算 例29（1）(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量，满足， ，且 ，则 ( ) B A. B. C. D.1 【解析】由，得，所以 . 将的两边同时平方，得 ，即 ，解得，所以 .（【方法技巧】已知向 量的和（差）的模，往往两边同时平方，由此将向量的模的问题转化为向量的数量 积问题，从而与条件中的已知向量建立联系） 88 （2）(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量，满足,,则 ____. 【解析】由，得，即 ①.由 ，得 ，整理得， ，结合①，得，整理得， ，所以 . 89 高考新题型专练 1.[多选题](2025·四川省绵阳中学测试)若向量，满足， ， 则( ) BC A. B.与的夹角为 C. D.在 方向上的投影为1 90 【解析】， ， ，所以 ，A错误； 设，的夹角为 ，则，由于，与的夹角为 ， 故B正确； ， 故C正确； 在方向上的投影为，故D错误．故选 ． 91 2.[多选题](2025·山东省青岛九中段考)已知点为 所在平面内一点，满足 ，下列说法正确的有( ) BCD A.若，则 为锐角三角形 B.若，且，则 C.若，，与的面积之比为 D.若，且，则 ， 满足 92 【解析】对于A，由，则，故B为钝角， 为钝角三角 形，A错误； 对于B，由于,且时，，故 为 的外心和重心，故为等边三角形，则 ，由 ,可得 ，故 ，故B正确； 93 对于C，，则，记，则在 上，且 ， 由知，到的距离与到的距离之比为，所以与 的 面积之比为 ，故C正确； 对于D，由得，，因为 ，且 ， 所以，即 ，故D正确．故选 ． 94 知识测评 04 1.已知，，且，则 ( ) C A.1 B. C. D.5 【解析】因为，所以． 96 2.已知，为非零向量，则“”是， 为锐角”的( ) B A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】易知，若,则, ， 故,,又，, ], 故，或， , 反之，若，,则必有 ， 故“”是“， 为锐角”的必要不充分条件. 97 3.新情境 传统文化 (2025·江苏省徐州市调研)圆是中华民族传统文化的形态象征， 象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾，如图1.5.1-1所示的 圆形，圆心为，，是圆上的两点，若，则 ( ) B 图1.5.1-1 A.4 B.8 C. D.16 【解析】依题意，,,则 , . 98 4.(2025·辽宁省辽阳市期末)已知两个单位向量,满足，则, 夹角的余 弦值为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为,均为单位向量，所以 . 由 ， 即 ， 所以, .故选A. 99 5.(2025·广东省汕头市期末)在中，已知，， ， ，分别是，边上的中线，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】依题意 , 因为,分别是,边上的中线，则 , , 则 . 100 图1.5.1-2 6.［多选题］(2025·湖北省武汉市期末)如图 1.5.1-2，在 中，，， ， ， ．设在方向上的投影为 ，则下列命题正 确的是( ) BD A. 的值为 B. 的值为 C. D. 【解析】在方向上的投影为 ,则 . ,所以 ,则 .故选 . 101 7.已知非零向量，的夹角为，，，则 ___. 【解析】，，即，，非零向量 ， 的夹角为，，解得 ． 102 8.(2025·北京市海淀区期末)已知向量,，，，, . （1）求 ； 【答案】因为，，, ， 所以 . （2）若与垂直，求实数 的值； 【答案】因为与垂直，所以，所以 ，所以 . （3）若，求的最小值及相应的 值. 【答案】,所以当时，有最小值 . 103 高考模拟 05 9.若为所在平面内一点，且满足 ，且 ，则 为( ) D A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 图D 1.5.1-1 【解析】如图D 1.5.1-1，设的中点为 ,则 ，由 , 得,则，即 , 是等腰三角形. 由,可得，即,即 为直角 三角形， 则 为等腰直角三角形. 105 10.(2025·广东省佛山市月考)已知单位向量,满足,若向量 则 , ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， , , 又 , , , , . 106 图1.5.1-3 11.(2025·天津市静海区第一中学月考)如图1.5.1-3，在平面 四边形中，，， ， ，，，若点为边 上的动点， 则 的最小值为( ) B A.1 B. C. D.2 107 【解析】连接,因为,,,,则 ,则可得 ,过作交于点，易知 ，则 ,,设,,则 . 故当时，取得最小值,为 . 108 12.［多选题］(2025·江苏省南京田家炳高级中学测试)正六角星是我们生活中比较常 见的图形，很多吊饰品中都出现了正六角星图案.正六角星可由两个正三角形一上一 下连锁组成（如图1.5.1-4（1））．如图1.5.1-4（2）所示的正六角星的中心为 ， ，， 是该正六角星的顶点，则( ) AC 图1.5.1-4 A.向量，夹角的余弦值是 B.若，则 C.若，则 D.若非零向量，则 取最小值 时， 109 【解析】由题意可知 ， 则 ,故A正确； 图D 1.5.1-2 如图D 1.5.1-2，由题意可知 ，则 ，故 B错误; 因为，所以 ，则 因为 ，所以 ，当时， 取得 最小值，此时，故D错误．故选 ． ，故C正确; 110 13.(2025·山东省济南市期中)如图 1.5.1-5放置的边长为1的正方形中，, 分别 在轴、轴的非负半轴上滑动，则 的最大值是___. 2 图1.5.1-5 111 【解析】如图D 1.5.1-3所示，取的中点，的中点 ，则 . 图D 1.5.1-3 连接,，,则有,当，, 三点共线时等号 成立，因此的最大值为，故的最大值为 . 112 14.(2025·江苏省四市十一校联考)在四边形中，，，是 上的 点，且，是的中点，是与的交点，设， . （1）若四边形为矩形，用向量，表示，，，并求出 ， ， ； 【答案】 ， . 113 图D 1.5.1-4 如图D 1.5.1-4，延长与相交于点，则 ， 所以，则 ， ①， 又由得 ，即 ②， 由①②可得，则 ， 故 ， 114 综上， . ， ， . 115 （2）若四边形为平行四边形，且 ，求 的余弦值； 【答案】由（1）得， ， 所以 ， ， ， 所以 . 116 （3）在（1）的条件下，求在 上的投影向量. 【答案】由（1）得 ， 故在上的投影向量为 . 117 15.(2025·天津市第二南开学校月考)如图1.5.1-6，在中，点，在边 上， 且，点,分别在线段,上，且,，直线 交于点，且，则__．若直线交于点且 是边长为2的 等边三角形，则 __． 图1.5.1-6 118 【解析】由，可得为 的中点， 则 ， 因为,，且 ， 可得，即 ， 又,,三点共线，可得，解得，即 . 设，因为点为的中点，可得 ，所以 ，即 . 119 又,,三点共线，可得，解得，即，所以点为 的中 点，,即,所以 . 设 ， 由 ， 可得，即 ， 120 又,,三点共线，可得，解得 ， 即，所以 ， 又由 ，且 是边长为2的等边三角形， 可得 . 121 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 122 $