5.2 运动的合成与分解 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦高中物理“运动的合成与分解”核心知识点，先系统讲解分运动与合运动的概念、矢量合成法则及合运动性质判定，再延伸至小船过河（实际运动合成应用）和关联速度（绳杆连接物体速度分解）问题，构建从基础概念到具体应用的学习支架。 该资料以模型建构为特色，通过小船过河最短时间与位移模型、关联速度分解模型培养科学思维，结合冲锋舟渡河、乌篷船比赛等实例渗透物理观念，典例与变式题设计助力课中教学实施，随堂检测则便于课后学生查漏补缺，提升知识应用能力。

5.2运动的合成与分解（知识解读）（解析版） •知识点1 运动的合成与分解 •知识点2 小船过河问题 •知识点3 关联速度问题 •作业 随堂检测 知识点1 运动的合成与分解 1、分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。 2、运动的合成与分解：已知分运动求合运动称为运动的合成；已知合运动求分运动称为运动的分解。两者互为逆运算。在对物体的实际运动进行分解时，要根据实际效果分解。 3、遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 （1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”号，与正方向反向的量取“-”号，从而将矢量运算简化为代数运算。 （2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。 4、合运动和分运动的关系 （1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。 （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 （3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。 5、合运动的性质与轨迹：由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。 （1）根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学_科_网] 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 （2）合力（或合加速度）方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力（或合加速度）方向和速度方向之间，速度方向与运动轨迹相切，合力（或合加速度）方向指向曲线的凹侧。 注意：（1）合运动与分运动具有等时性，即同时开始、同时进行、同时结束。 （2）合运动是实际发生的运动，分运动是为了研究方便而进行的等效替代。 （3）分运动之间相互独立，互不影响，各自遵循自身的运动规律。 【典例1】某部队进行例行训练，其中包含冲锋舟强渡宽度的河流（河岸平直）。冲锋舟在静水中的最大速度，河水的流速与冲锋舟到出发位置所在河岸的距离s的关系如图所示。若冲锋舟以最短时间渡河，求： (1)冲锋舟在渡河过程中的最大速度的大小； (2)冲锋舟在渡河过程中沿河岸方向的位移大小L，以及冲锋舟在渡河过程中的位移与下游河岸夹角的正切值。 【详解】（1）在船头正对河岸，冲锋舟在静水中的速度大小为的情况下，冲锋舟渡河的时间最短，有 上式中 解得 （2）冲锋舟渡河的最短时间 由题意可知，河水的流速随时间先线性增大，后线性减小，有 解得 根据几何关系有 解得 【变式1-1】如图所示，车厢内的后部有一位相对车厢静止的乘客，车厢内的前部有一小球用细线悬挂在车厢的天花板上，小球与车厢一起沿平直轨道以速度匀速前进。某时刻细线突然断裂，小球落向车厢底板，这一过程中车厢始终以速度匀速前进。若空气阻力可忽略不计，对于小球从细线断裂至落到车厢底板之前的运动，下列说法正确的是（　　） A．相对于乘客，小球做平抛运动 B．相对于乘客，小球的运动轨迹为斜向前的直线 C．相对于地面，小球做自由落体运动 D．相对于地面，小球的运动轨迹为抛物线 【答案】D 【详解】AB．乘客和小球水平方向具有相同的速度，则相对于乘客，小球做自由落体运动，小球的运动轨迹为竖直向下的直线，故AB错误； CD．相对于地面，小球做平抛运动，小球的运动轨迹为抛物线，故C错误，D正确。 故选D。 【变式1-2】（多选）直升飞机抢险救援时会放下绳索吊起被困人员，之后一边收缩绳索一边向前飞至安全地带。以地面为参考系，若某次被困人员被吊起后在x轴方向的位移-时间图像和y轴方向的速度-时间图像如图甲、乙所示，下列说法正确的是（　　） A．以地面为参考系，被救人员在x轴方向做匀加速直线运动 B．以地面为参考系，被救人员的运动轨迹可能是图丙中的轨迹c C．以地面为参考系，t＝8s时被救人员的速度大小是5m/s D．以地面为参考系，0～8s内被救人员的位移大小为40m 【答案】BC 【详解】A．由图可知，以地面为参考系，被救人员在x轴方向做匀速直线运动，，故A错误； B．由图可知，竖直方向被救人员向上做匀加速直线运动 初速度，合力竖直向上，故被救人员的运动轨迹可能是图丙中的轨迹c，故B正确； C．以地面为参考系，t＝8s时， t＝8s时被救人员的速度大小是，故C正确； D．以地面为参考系，0～8s内 0～8s内被救人员的位移大小为，故D错误。 故选BC。 【变式1-3】如图所示，在光滑水平面上有坐标系，质量为的质点开始时静止在平面上的原点处，某一时刻起受到沿轴正方向的恒力的作用，的大小为，若力作用一段时间后撤去，在撤去力的同时对质点施加一个沿轴正方向的恒力，作用后质点恰好通过该平面上的点，点的坐标为，。 (1)为使质点按题设条件通过点，的大小？ (2)力作用时间为多长？ 【详解】（1）根据题意可知，撤去，在的作用下，质点沿x轴正方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做匀加速直线运动，沿轴方向，由牛顿第二定律有 又有 其中， 联立代入数据解得 （2）在恒力的作用下，质点从静止开始沿轴做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有 时间内，由运动学公式有， 撤去之后，沿轴有 联立解得，（舍去） 知识点2 小船过河问题 1、模型构建 （1）船实际的运动：船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动。 （2）如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船在静水中的速度v静水沿平行于河岸方向和垂直于河岸的方向进行正交分解，则v水-v静水cosθ为船实际沿水流方向的运动速度，v⊥=V静水sinθ为船在垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 2、小船过河问题的几种情况 （1）渡河时间最短问题：渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即（d为河宽），与v水无关。要使渡河时间最短，应使船在垂直于河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ=1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，即，与v水无关。 （2）渡河位移最小问题 ①当v水＜v静水时，渡河的最小位移即河的宽度d。如图所示，为了使渡河位移等于河的宽度d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时，v水-v静水cosθ=0，即，渡河时间。 ②当v水＞v静水时，如果船头方向（即v静水方向）与合速度方向垂直，渡河位移最小，如图所示，渡河位移最小为。 注意：（1）过河时间只由垂直河岸的分速度决定，与水流速度无关。 （2）要使过河时间最短，船头应垂直指向对岸。 （3）要使过河位移最短，当船速大于水速时，船头应斜向上游；当船速小于水速时，最短位移由船速与水速的矢量关系决定。 【典例2】一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） (1)若船在静水中的速度为v2＝5m/s。 ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ (2)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 【详解】（1）①船若以最短时间过河，需要将船头直指向正对岸，此时有 沿河岸运动的位移大小为 所以实际位移为 ②由于船在静水中的速度大于水流速度，所以船可以到达正对岸，此时的最小位移为 设船头与上游河岸的夹角为，则 解得 所以 船的实际对地速度为 过河时间为 （2）此时船在静水中的速度小于水流速度，小船无法抵消河水流速的影响，无法到达正对岸，此时使船头与上游河岸的夹角为，有 解得 船速垂直河岸方向的分速度为 过河时间为 船的实际速度方向与河岸成37°，所以实际位移为 【变式2-1】汛期河道巡查员驾驶快艇实时监测河堤安全。已知河宽为，快艇在静水中高挡位行驶时速度大小为，低挡位行驶时速度大小为，河水流速恒为。水流方向与河岸平行，忽略快艇启动与减速的时间。下列说法正确的是（　　） A．快艇低挡位渡河时能到达正对岸 B．快艇低挡位渡河时最小位移大小为 C．快艇高挡位以最短位移渡河时间为 D．快艇高挡位以最短时间渡河位移大小为 【答案】B 【详解】A．根据题意可知，由于快艇低挡位渡河时行驶速度小于河水流速，则快艇低挡位渡河时不能到达正对岸，故A错误； B．由于快艇低挡位渡河时行驶速度小于河水流速，则当船速与合速度垂直时，渡河位移最小，设此时船航行的方向与河岸夹角为，则有 解得 则快艇低挡位渡河时最小位移大小为，故B正确； C．快艇高挡位时行驶速度大于河水流速，则快艇高挡位渡河时能到达正对岸，最短位移为 此时船的合速度 则快艇高挡位以最短位移渡河时间为，故C错误； D．当船头正对河对岸时渡河时间最短，此时船的合速度为 渡河时间为 快艇高挡位以最短时间渡河位移大小为，故D错误。 故选B。 【变式2-2】（多选）一艘小船在静水中的速度为，要渡过一条宽度为、水流速度为的河流。下列判断正确的是（　　） A．小船的航迹有可能垂直于河岸 B．小船渡河的最短时间是25秒 C．小船以最短时间渡河时，小船被水冲向下游125m D．小船以最短位移渡河时，所需的渡河时间是25秒 【答案】BC 【详解】A．小船在静水中的速度（4m/s）小于水流速度（5m/s），无法通过调整航向完全抵消水流的影响，因此无法垂直河岸到达正对岸，小船的航迹不可能垂直于河岸，故A错误； B．当船头垂直河岸时，渡河时间最短，时间，故B正确； C．小船以最短时间渡河时，即当船头垂直河岸时，小船被水冲向下游，故C正确； D．最短位移渡河时，船头指向与合速度方向垂直，此时合速度大小 方向与河岸的夹角为 对应的时间，故D错误。 故选BC。 【变式2-3】2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为4m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为d=200m，水流速度为3m/s，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？船头指向与对岸夹角为多少？ 【详解】（1）当小船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，则有 小船的合速度大小为 则小船的位移大小为 （2）由于船在静水的速度大于水流速度，所以小船可以垂直达到正对岸，此时合速度方向垂直河岸，合速度大小为 则对应的渡河时间为 设船头指向与对岸夹角为，则有 知识点3 关联速度问题 1、模型本质：通过绳和杆连接的两个物体，尽管实际的运动方向不同，但可以通过速度的合成与分解，找出其速度的关联性。 2、模型的建立：物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题可看成“关联物体”模型，如图所示，由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。 3、速度的分解 （1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。 （2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳方向和平行于绳方向的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程并求解。 （3）分解结果：把上图甲、乙所示的速度进行分解，结果如下图甲、乙所示。 注意：（1）两个物体通过不可伸长的绳或杆连接时，它们沿绳/杆方向的分速度大小相等。 （2）解题时要把物体的实际速度分解为沿绳/杆方向和垂直于绳/杆方向的两个分量。 （3）绳/杆不可伸长，所以沿绳/杆方向的分速度是两物体速度的关联纽带，方向相同则大小相等。 【典例3】A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度vB为（绳始终有拉力）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将物体A和物体B的运动速度按照沿绳子方向和垂直绳子方向进行分解，如图所示。 由几何关系得， 由于轻绳不可伸长，可得 联立得 故选A。 【变式3-1】如图所示，轻质细绳绕过光滑定滑轮，一端系着质量为的重物，人拉着另一端以速度沿水平地面向左匀速移动。经过图示位置时，细绳与水平方向的夹角为。在人匀速移动过程中，下列说法正确的是（　　） A．重物处于超重状态 B．重物以速度匀速上升 C．重物受到细绳的拉力可能等于它的重力 D．当时，人与重物的速度大小之比为2∶1 【答案】A 【详解】将人的速度分解为沿细绳方向和垂直细绳方向，重物的速度等于沿绳方向的速度，则有 ABC．由于人向左以速度匀速移动过程，逐渐减小，逐渐增大，则重物向上做加速运动；加速度向上，所以重物处于超重状态；根据牛顿第二定律可知，重物受到细绳的拉力一定大于它的重力，故A正确，BC错误； D．当时， 人与重物的速度大小之比为，故D错误。 故选A。 【变式3-2】（多选）如图所示，可视为质点的甲、乙两球用轻杆连接，甲球穿过固定的光滑竖直杆，乙球处于光滑水平地面上。初始时轻杆竖直，由于微小扰动，甲球向下运动，乙球开始沿水平地面向右滑动。在整个运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．两球沿杆方向的分速度大小一定相等 B．两球垂直于杆方向的分速度大小一定相等 C．甲球落地前瞬间，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．当轻杆与水平方向夹角时，甲、乙两球速度大小之比为 【答案】AD 【详解】AB．根据运动的分解可知，两球沿杆方向的分速度相等，垂直于杆的分速度不一定相等，故A正确，B错误； C．当甲球落地前瞬间，甲球的速度最大，乙球的速度为零，故C错误； D．当轻杆与水平方向夹角时，根据运动的分解可得 解得甲乙两球速度大小之比为，故D正确。 故选AD。 【变式3-3】如图所示，A、B两个物块放在光滑的水平面上，物块B的质量为m，绕过光滑定滑轮的轻绳连接在A、B两物块上，用水平拉力拉物块A使其以速度v水平向左匀速运动，某时刻定滑轮左、右两侧的轻绳与竖直方向的夹角分别为、，此时作用在物块A上的拉力大小为F，重力加速度为g，两物块均没有离开地面，，，不计滑轮质量，求此时： (1)物块B的速度大小； (2)物块B的加速度大小。 【详解】（1）设此时物块B的速度大小为，将物块A、B的速度分别沿轻绳方向和垂直轻绳方向分解，由于轻绳不可伸长，沿轻绳方向的分速度大小相等，则有 解得 （2）此时对A研究，设绳的拉力为T，由平衡条件有 解得 对物块B研究，根据牛顿第二定律 联立解得 1．如图所示为小船过河的示意图，实线为河岸，虚线为小船从河岸驶向对岸的实际航线，船头指向为小船在静水中的速度方向，图中箭头指向为河水的流动方向，下列选项可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小船的实际速度是小船在静水中的速度和河水流速的矢量和，速度的合成遵循平行四边形定则，故小船的实际速度一定夹在小船在静水中的速度方向和河水流速方向之间。 故选B。 2．如图，汽船船头沿垂直于河岸的方向匀速向对岸航行，汽船在静水中的速度v1=4m/s，河水流速v2=3m/s。则汽船相对于河岸的实际速度v的大小为（　　） A．1m/s B．5m/s C．7m/s D．12m/s 【答案】B 【详解】由图可知，汽船相对于河岸的实际速度为 故选B。 3．垂钓能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示某钓鱼爱好者收线的过程中，鱼沿水平直线从A位置被拉到B位置，线与杆的结点O保持不动。O点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　） A．若该爱好者匀速收线，则鱼做匀速运动 B．若该爱好者匀速收线，则鱼做减速运动 C．若该爱好者加速收线，则鱼做匀速运动 D．若该爱好者加速收线，则鱼做加速运动 【答案】D 【详解】假设绳与水平方向夹角为，鱼的速度v水平向左，分解为垂直于绳的分速度和沿绳子收缩方向的分速度，其中满足。收线过程夹角为增大。若该爱好者匀速收线，即不变，则v变大，即鱼做加速运动；若该爱好者加速收线，即变大，则v变大，鱼做加速运动。 故选D。 4．一小船（可视为质点）渡河，河宽，河水的流速与船离河岸的距离d变化的关系如图所示，船在静水中的速度，若要使船以最短的时间渡河，则（　　） A．船在河中央，合速度方向可以与河岸垂直 B．船运动的轨迹可以是直线 C．船渡河的前半段时间与后半段时间位移大小相等 D．船在行驶中的速度越来越大 【答案】C 【详解】A．船在河中央，河水流速为4m/s大于船的静水速度3m/s，可知合速度方向与河岸不能垂直，故A错误； B．船渡河时间最短时，船头始终与河岸垂直，由于水流速度变化，所以合速度方向变化，运动的轨迹不是直线，故B错误； C．船渡河的前半段时间与后半段时间，垂直河岸方向的位移相等，由对称性可知，船沿水流方向的位移也相等，可知两段时间内的位移大小相等，C正确； D．当水流速最大时，船在河水中的速度最大，可知船在行驶中的速度先越来越大，后越来越小，D错误。 故选C。 5．如图所示，有一条两岸平直，河水流速恒为的大河，河宽为800米。小林驾着小船过河，船在静水中的速度，船头方向始终与河岸垂直。关于小船过河，下列说法正确的是（    ） A．小船实际运动轨迹与河岸垂直 B．过河所需时间为 C．小船实际运动的速度大小为 D．若水流速度变大，过河所需时间变长 【答案】C 【详解】A．小船沿垂直河岸方向做匀速运动，沿水流方向也做匀速运动，则合速度方向与河岸不垂直，即实际运动轨迹与河岸不垂直，A错误； B．过河所需时间为，B错误； C．小船实际运动的速度大小为，C正确； D．渡河时间只有船速决定，若水流速度变大，过河所需时间不变，D错误。 故选C。 6．洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟，若采用以下两种过河方式：①冲锋舟速度大小不变，过河时间最短，线路为A处到B处，与平直河岸成30°角；②线路也为A处到B处，但冲锋舟速度最小。则两种方案中，速度和速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当冲锋舟过河时间最短时，速度的方向垂直河岸，根据几何关系，有 可解得 在第二次过河的过程中，当冲锋舟速度最小时，速度方向应与虚线垂直，有 所以 故选D。 7．如图所示，用拖拉机和滑轮提升深井中的重物，开始时拖拉机位于滑轮的正下方，与滑轮间距离h=4m，t=0时刻拖拉机开始向左运动，图乙中实线为拖拉机的v-t图线，虚线为重物的v-t图线，重物的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．时绳子的拉力 B．0~2.5s虚线与横轴所围面积为2.5m C．t=3s时重物的速度为 D．拖拉机对绳子的拉力一直增大 【答案】C 【详解】A．图像的斜率表示加速度，由题图虚线可知，时斜率大于零，故重物加速度方向竖直向上，故绳子拉力，A错误； B．图像的面积表示位移，故0~2.5s实线与横轴所围面积为汽车的位移 故重物的位移为 故0~2.5s虚线与横轴所围面积为1m，B错误； C．由题图可知t=3s时车的速度为，位移为 故绳子与竖直方向夹角为 两物体沿绳速度相等，C正确； D．由题图可知，重物加速度方向竖直向上，先增大，后减小 由牛顿第二定律 故绳子拉力先增大后减小，D错误。 故选C。 8．如图所示，在竖直方向上的O点固定轻质定滑轮，水平方向固定光滑长杆上套有物体A，一细线跨过定滑轮一端连接A，另一端悬挂物体B，M为O点正下方杆上一点。开始时A位于P点，现将A、B由静止释放。当A通过杆上N点时，绳与水平方向夹角为，已知，，关于释放后的过程，下列说法正确的是（　　） A．物体A通过N点时速度与此时B的速度大小比为 B．物体A通过N点时速度与此时B的速度大小比为 C．物体A到达M之前，绳子对B的拉力始终小于B的重力 D．物体A到达M之前，绳子对B的拉力始终大于B的重力 【答案】B 【详解】AB．物块A通过N点时，将A的速度进行分解，根据关联速度关系可知沿绳方向的分速度大小等于物块B的速度大小，如图所示 可得，故A错误，B正确； CD．B从释放到最低点过程，速度先增大后减小，先向下加速后向下减速，先失重后超重，所以物体A到达M之前，绳子对B拉力先小于后大于B的重力，故CD错误。 故选B。 9．（多选）某同学以大小为的初速度沿与水平方向成60°的倾角将篮球斜向上投出，则初速度沿水平和竖直方向的分速度、的大小分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】将初速度沿水平方向和竖直方向分解，如图所示 初速度沿水平和竖直方向的分速度、的大小分别为， 故选AD。 10．（多选）小刚同学通过实验，得到了某物体在oxy平面上运动的一条运动轨迹，如图平面直角坐标系中的OP曲线所示，若物体受一恒力，且物体在y轴方向做匀速直线运动，则（　　） A．物体在x轴方向做匀速直线运动 B．物体在x轴方向做匀加速直线运动 C．物体在O点的速度方向沿y轴正向 D．物体在O点的速度方向与y轴正向之间的夹角为45° 【答案】BC 【详解】AB．根据物体的运动轨迹，因为物体在y轴方向做匀速直线运动，物体的加速度方向指向轨迹的凹向，可知物体在x轴方向做匀加速直线运动，A错误，B正确； CD．物体沿y方向做匀速直线运动，则沿y轴方向0~2m、2~4m、4~6m经过的时间都相等，而此过程中沿x方向的对应位移为1:3:5，可知物体沿x轴方向的初速度为零，则此时的速度方向沿y轴正向，C正确，D错误。 故选BC。 11．（多选）在一端封闭、长约的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡块，将玻璃管的开口端用橡皮塞塞紧。快速将玻璃管转至图示竖直位置，管内红蜡块以的速度匀速上升到顶部。若在红蜡块匀速上升的同时使玻璃管以速度沿轴正方向移动，则当玻璃管沿轴（　　） A．匀速运动时，红蜡块的轨迹是一条曲线 B．以匀速运动时，红蜡块的速度大小是 C．以匀速运动，内红蜡块的位移大小是 D．玻璃管沿轴运动的速度不会影响红蜡块匀速上升到顶部的时间 【答案】CD 【详解】A．当玻璃管沿x轴匀速运动时，红蜡块的合运动为匀速直线运动，其轨迹是一条直线，故A错误； BC．当玻璃管沿x轴以速度匀速运动时，红蜡块的速度大小是 2s内红蜡块的位移大小是，故B错误，C正确； D．根据各分运动的独立性，玻璃管沿轴运动的速度不会影响红蜡块匀速上升到顶部的时间，故D正确。 故选CD。 12．（多选）小船用绳索绕过定滑轮拉向岸边，如图所示，在水中运动时设水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列分析是正确的是（　　） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不变 C．船的浮力减小 D．拉绳的速度逐渐减小 【答案】ACD 【详解】AB．小船在匀速靠岸的过程中，受到重力mg、绳的拉力T、阻力f、浮力F作用，受力图如图所示 根据水平方向平衡关系可得 由题意知，阻力f不变，靠岸的过程中增大，减小，所以绳的拉力T增大，A正确，B错误； C．根据竖直方向平衡关系可得 因增大，增大，所以浮力F减小 ，C正确； D．沿绳方向速度相同， 在小船在匀速靠岸的过程中，不变，减小，所以减小，D正确。 故选ACD。 13．（多选）如图所示，物块B套在倾斜杆上，并用轻绳与物块A相连，今对B施加一个力F（未画出）使物块B沿杆由点M匀速下滑到N点，运动中连接A、B的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块A的速度先变小后变大 B．物块A的速度先变大后变小 C．物块A先处于超重状态，后处于失重状态 D．物块A一直处于超重状态 【答案】AD 【详解】将B的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图， 根据平行四边形定则，沿绳子方向的速度为 指绳与杆之间的夹角，所以先减小后增大，故物块A的速度先变小后变大，物块A先向下做减速运动，后向上做加速运动，加速度的方向始终向上，所以A始终处于超重状态。 故选AD。 14．（多选）某小船在河宽为d，水速恒定为v的河中渡河，第一次用最短时间从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为，所用时间为；第二次用最短航程从同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为，所用时间为，结果两次恰好抵达对岸的同一地点，则（　　） A．第一次所用时间 B．第二次所用时间 C．两次渡河的位移之比为 D．两次渡河所用时间之比 【答案】CD 【详解】ABD．两次渡河的示意图分别如图甲，乙所示 第一次渡河所用时间最短，则有 第一次渡河时有 第二次渡河时有 所以 第二次渡河时间为 则两次渡河所用时间之比，故AB错误，D正确； C．两次渡河的初位置和末位置都相同，因此两次渡河的位移之比为，故C正确。 故选CD。 15．如图所示，光滑水平面内有一直角坐标系xOy，一质量m＝0.5kg的物块（可视为质点）初始时静止于原点O。现对物块施加沿x轴正方向的恒定拉力，经过后物块的位置坐标为（2m，0）。第2s末撤去拉力，改为对物块施加沿y轴正方向的恒定拉力。 (1)求恒定拉力的大小； (2)一段时间后物块的速度大小v＝4m/s，求此时物块的速度沿与y轴方向夹角的正弦值。 【详解】（1）根据， 解得F1=0.5N （2）加沿y轴正向的恒力F2后，物体沿x方向做匀速运动，速度为 沿y轴正向做匀加速运动，则当物块的速度大小为v＝4m/s时物块的速度沿与y轴方向夹角的正弦值 16．如图所示，一辆小汽车从点由静止开始以加速度水平向左做匀加速直线运动，运动到点时小汽车的速度为，此时绳子与水平面的夹角为，绳的长度为。已知绳子另一端所系重物的质量为，忽略滑轮和绳子的质量及摩擦。求： (1)重物此时的速度。 (2)绳子此时受到的拉力。 【详解】（1）将小汽车的速度分解为沿绳方向的分速度 垂直于绳方向的分速度 则重物的速度为 （2）小汽车垂直于绳方向的转动速度的大小变化，会产生垂直于绳方向（即垂直于半径方向）的切向加速度 而转动速度方向的变化，会产生沿绳方向（即沿半径方向）、指向滑轮的向心加速度 另外，小汽车沿绳方向的分速度的大小变化产生的加速度（方向沿斜绳向沿竖直绳向上）的大小相等，这是因为它们沿绳方向的速度大小时刻相等。可见，将小汽车的加速度分解为垂直于斜绳方向和沿斜绳方向的分量和，根据以上对小汽车和重物运动关系的深度分析可知，是由于车沿斜绳方向的分速度（等于重物的速度）的大小变化产生的加速度（大小等于重物的加速度，方向沿斜绳向下）和绕滑轮转动产生的沿斜绳指向滑轮的向心加速度的矢量和 即 则有 由牛顿第二定律可得 联立解得绳子拉力 17．如图所示，在风洞实验室中，从点以水平速度向左抛出一质量为的小球（可视为质点），小球被抛出后受到大小为、方向水平向右的恒定风力，经过一段时间后小球运动到点正下方的点处，重力加速度为（小球在运动过程中除了受水平风力和重力外，不受其他作用力）。求： (1)此过程中小球离、两点所在直线的最远距离； (2)小球运动到点时的速度。 【详解】（1）将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有 解得 由 解得 （2）小球运动到B点时水平分速度 水平方向速度减小为零所需时间 由对称性可知，小球从A点运动到B点的总时间 竖直分速度 则B点的合速度为 方向斜向右下方，与竖直方向的夹角 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2运动的合成与分解（知识解读）（解析版） •知识点1 运动的合成与分解 •知识点2 小船过河问题 •知识点3 关联速度问题 •作业 随堂检测 知识点1 运动的合成与分解 1、分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。 2、运动的合成与分解：已知分运动求合运动称为运动的合成；已知合运动求分运动称为运动的分解。两者互为逆运算。在对物体的实际运动进行分解时，要根据实际效果分解。 3、遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 （1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”号，与正方向反向的量取“-”号，从而将矢量运算简化为代数运算。 （2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。 4、合运动和分运动的关系 （1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。 （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 （3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。 5、合运动的性质与轨迹：由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。 （1）根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学_科_网] 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 （2）合力（或合加速度）方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力（或合加速度）方向和速度方向之间，速度方向与运动轨迹相切，合力（或合加速度）方向指向曲线的凹侧。 注意：（1）合运动与分运动具有等时性，即同时开始、同时进行、同时结束。 （2）合运动是实际发生的运动，分运动是为了研究方便而进行的等效替代。 （3）分运动之间相互独立，互不影响，各自遵循自身的运动规律。 【典例1】某部队进行例行训练，其中包含冲锋舟强渡宽度的河流（河岸平直）。冲锋舟在静水中的最大速度，河水的流速与冲锋舟到出发位置所在河岸的距离s的关系如图所示。若冲锋舟以最短时间渡河，求： (1)冲锋舟在渡河过程中的最大速度的大小； (2)冲锋舟在渡河过程中沿河岸方向的位移大小L，以及冲锋舟在渡河过程中的位移与下游河岸夹角的正切值。 【变式1-1】如图所示，车厢内的后部有一位相对车厢静止的乘客，车厢内的前部有一小球用细线悬挂在车厢的天花板上，小球与车厢一起沿平直轨道以速度匀速前进。某时刻细线突然断裂，小球落向车厢底板，这一过程中车厢始终以速度匀速前进。若空气阻力可忽略不计，对于小球从细线断裂至落到车厢底板之前的运动，下列说法正确的是（　　） A．相对于乘客，小球做平抛运动 B．相对于乘客，小球的运动轨迹为斜向前的直线 C．相对于地面，小球做自由落体运动 D．相对于地面，小球的运动轨迹为抛物线 【变式1-2】（多选）直升飞机抢险救援时会放下绳索吊起被困人员，之后一边收缩绳索一边向前飞至安全地带。以地面为参考系，若某次被困人员被吊起后在x轴方向的位移-时间图像和y轴方向的速度-时间图像如图甲、乙所示，下列说法正确的是（　　） A．以地面为参考系，被救人员在x轴方向做匀加速直线运动 B．以地面为参考系，被救人员的运动轨迹可能是图丙中的轨迹c C．以地面为参考系，t＝8s时被救人员的速度大小是5m/s D．以地面为参考系，0～8s内被救人员的位移大小为40m 【变式1-3】如图所示，在光滑水平面上有坐标系，质量为的质点开始时静止在平面上的原点处，某一时刻起受到沿轴正方向的恒力的作用，的大小为，若力作用一段时间后撤去，在撤去力的同时对质点施加一个沿轴正方向的恒力，作用后质点恰好通过该平面上的点，点的坐标为，。 (1)为使质点按题设条件通过点，的大小？ (2)力作用时间为多长？ 知识点2 小船过河问题 1、模型构建 （1）船实际的运动：船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动。 （2）如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船在静水中的速度v静水沿平行于河岸方向和垂直于河岸的方向进行正交分解，则v水-v静水cosθ为船实际沿水流方向的运动速度，v⊥=V静水sinθ为船在垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 2、小船过河问题的几种情况 （1）渡河时间最短问题：渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即（d为河宽），与v水无关。要使渡河时间最短，应使船在垂直于河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ=1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，即，与v水无关。 （2）渡河位移最小问题 ①当v水＜v静水时，渡河的最小位移即河的宽度d。如图所示，为了使渡河位移等于河的宽度d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时，v水-v静水cosθ=0，即，渡河时间。 ②当v水＞v静水时，如果船头方向（即v静水方向）与合速度方向垂直，渡河位移最小，如图所示，渡河位移最小为。 注意：（1）过河时间只由垂直河岸的分速度决定，与水流速度无关。 （2）要使过河时间最短，船头应垂直指向对岸。 （3）要使过河位移最短，当船速大于水速时，船头应斜向上游；当船速小于水速时，最短位移由船速与水速的矢量关系决定。 【典例2】一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） (1)若船在静水中的速度为v2＝5m/s。 ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ (2)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 【变式2-1】汛期河道巡查员驾驶快艇实时监测河堤安全。已知河宽为，快艇在静水中高挡位行驶时速度大小为，低挡位行驶时速度大小为，河水流速恒为。水流方向与河岸平行，忽略快艇启动与减速的时间。下列说法正确的是（　　） A．快艇低挡位渡河时能到达正对岸 B．快艇低挡位渡河时最小位移大小为 C．快艇高挡位以最短位移渡河时间为 D．快艇高挡位以最短时间渡河位移大小为 【变式2-2】（多选）一艘小船在静水中的速度为，要渡过一条宽度为、水流速度为的河流。下列判断正确的是（　　） A．小船的航迹有可能垂直于河岸 B．小船渡河的最短时间是25秒 C．小船以最短时间渡河时，小船被水冲向下游125m D．小船以最短位移渡河时，所需的渡河时间是25秒 【变式2-3】2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为4m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为d=200m，水流速度为3m/s，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？船头指向与对岸夹角为多少？ 知识点3 关联速度问题 1、模型本质：通过绳和杆连接的两个物体，尽管实际的运动方向不同，但可以通过速度的合成与分解，找出其速度的关联性。 2、模型的建立：物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题可看成“关联物体”模型，如图所示，由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。 3、速度的分解 （1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。 （2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳方向和平行于绳方向的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程并求解。 （3）分解结果：把上图甲、乙所示的速度进行分解，结果如下图甲、乙所示。 注意：（1）两个物体通过不可伸长的绳或杆连接时，它们沿绳/杆方向的分速度大小相等。 （2）解题时要把物体的实际速度分解为沿绳/杆方向和垂直于绳/杆方向的两个分量。 （3）绳/杆不可伸长，所以沿绳/杆方向的分速度是两物体速度的关联纽带，方向相同则大小相等。 【典例3】A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度vB为（绳始终有拉力）（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，轻质细绳绕过光滑定滑轮，一端系着质量为的重物，人拉着另一端以速度沿水平地面向左匀速移动。经过图示位置时，细绳与水平方向的夹角为。在人匀速移动过程中，下列说法正确的是（　　） A．重物处于超重状态 B．重物以速度匀速上升 C．重物受到细绳的拉力可能等于它的重力 D．当时，人与重物的速度大小之比为2∶1 【变式3-2】（多选）如图所示，可视为质点的甲、乙两球用轻杆连接，甲球穿过固定的光滑竖直杆，乙球处于光滑水平地面上。初始时轻杆竖直，由于微小扰动，甲球向下运动，乙球开始沿水平地面向右滑动。在整个运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．两球沿杆方向的分速度大小一定相等 B．两球垂直于杆方向的分速度大小一定相等 C．甲球落地前瞬间，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．当轻杆与水平方向夹角时，甲、乙两球速度大小之比为 【变式3-3】如图所示，A、B两个物块放在光滑的水平面上，物块B的质量为m，绕过光滑定滑轮的轻绳连接在A、B两物块上，用水平拉力拉物块A使其以速度v水平向左匀速运动，某时刻定滑轮左、右两侧的轻绳与竖直方向的夹角分别为、，此时作用在物块A上的拉力大小为F，重力加速度为g，两物块均没有离开地面，，，不计滑轮质量，求此时： (1)物块B的速度大小； (2)物块B的加速度大小。 1．如图所示为小船过河的示意图，实线为河岸，虚线为小船从河岸驶向对岸的实际航线，船头指向为小船在静水中的速度方向，图中箭头指向为河水的流动方向，下列选项可能正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，汽船船头沿垂直于河岸的方向匀速向对岸航行，汽船在静水中的速度v1=4m/s，河水流速v2=3m/s。则汽船相对于河岸的实际速度v的大小为（　　） A．1m/s B．5m/s C．7m/s D．12m/s 3．垂钓能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示某钓鱼爱好者收线的过程中，鱼沿水平直线从A位置被拉到B位置，线与杆的结点O保持不动。O点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　） A．若该爱好者匀速收线，则鱼做匀速运动 B．若该爱好者匀速收线，则鱼做减速运动 C．若该爱好者加速收线，则鱼做匀速运动 D．若该爱好者加速收线，则鱼做加速运动 4．一小船（可视为质点）渡河，河宽，河水的流速与船离河岸的距离d变化的关系如图所示，船在静水中的速度，若要使船以最短的时间渡河，则（　　） A．船在河中央，合速度方向可以与河岸垂直 B．船运动的轨迹可以是直线 C．船渡河的前半段时间与后半段时间位移大小相等 D．船在行驶中的速度越来越大 5．如图所示，有一条两岸平直，河水流速恒为的大河，河宽为800米。小林驾着小船过河，船在静水中的速度，船头方向始终与河岸垂直。关于小船过河，下列说法正确的是（    ） A．小船实际运动轨迹与河岸垂直 B．过河所需时间为 C．小船实际运动的速度大小为 D．若水流速度变大，过河所需时间变长 6．洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟，若采用以下两种过河方式：①冲锋舟速度大小不变，过河时间最短，线路为A处到B处，与平直河岸成30°角；②线路也为A处到B处，但冲锋舟速度最小。则两种方案中，速度和速度之比为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，用拖拉机和滑轮提升深井中的重物，开始时拖拉机位于滑轮的正下方，与滑轮间距离h=4m，t=0时刻拖拉机开始向左运动，图乙中实线为拖拉机的v-t图线，虚线为重物的v-t图线，重物的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．时绳子的拉力 B．0~2.5s虚线与横轴所围面积为2.5m C．t=3s时重物的速度为 D．拖拉机对绳子的拉力一直增大 8．如图所示，在竖直方向上的O点固定轻质定滑轮，水平方向固定光滑长杆上套有物体A，一细线跨过定滑轮一端连接A，另一端悬挂物体B，M为O点正下方杆上一点。开始时A位于P点，现将A、B由静止释放。当A通过杆上N点时，绳与水平方向夹角为，已知，，关于释放后的过程，下列说法正确的是（　　） A．物体A通过N点时速度与此时B的速度大小比为 B．物体A通过N点时速度与此时B的速度大小比为 C．物体A到达M之前，绳子对B的拉力始终小于B的重力 D．物体A到达M之前，绳子对B的拉力始终大于B的重力 9．（多选）某同学以大小为的初速度沿与水平方向成60°的倾角将篮球斜向上投出，则初速度沿水平和竖直方向的分速度、的大小分别为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）小刚同学通过实验，得到了某物体在oxy平面上运动的一条运动轨迹，如图平面直角坐标系中的OP曲线所示，若物体受一恒力，且物体在y轴方向做匀速直线运动，则（　　） A．物体在x轴方向做匀速直线运动 B．物体在x轴方向做匀加速直线运动 C．物体在O点的速度方向沿y轴正向 D．物体在O点的速度方向与y轴正向之间的夹角为45° 11．（多选）在一端封闭、长约的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡块，将玻璃管的开口端用橡皮塞塞紧。快速将玻璃管转至图示竖直位置，管内红蜡块以的速度匀速上升到顶部。若在红蜡块匀速上升的同时使玻璃管以速度沿轴正方向移动，则当玻璃管沿轴（　　） A．匀速运动时，红蜡块的轨迹是一条曲线 B．以匀速运动时，红蜡块的速度大小是 C．以匀速运动，内红蜡块的位移大小是 D．玻璃管沿轴运动的速度不会影响红蜡块匀速上升到顶部的时间 12．（多选）小船用绳索绕过定滑轮拉向岸边，如图所示，在水中运动时设水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列分析是正确的是（　　） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不变 C．船的浮力减小 D．拉绳的速度逐渐减小 13．（多选）如图所示，物块B套在倾斜杆上，并用轻绳与物块A相连，今对B施加一个力F（未画出）使物块B沿杆由点M匀速下滑到N点，运动中连接A、B的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块A的速度先变小后变大 B．物块A的速度先变大后变小 C．物块A先处于超重状态，后处于失重状态 D．物块A一直处于超重状态 14．（多选）某小船在河宽为d，水速恒定为v的河中渡河，第一次用最短时间从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为，所用时间为；第二次用最短航程从同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为，所用时间为，结果两次恰好抵达对岸的同一地点，则（　　） A．第一次所用时间 B．第二次所用时间 C．两次渡河的位移之比为 D．两次渡河所用时间之比 15．如图所示，光滑水平面内有一直角坐标系xOy，一质量m＝0.5kg的物块（可视为质点）初始时静止于原点O。现对物块施加沿x轴正方向的恒定拉力，经过后物块的位置坐标为（2m，0）。第2s末撤去拉力，改为对物块施加沿y轴正方向的恒定拉力。 (1)求恒定拉力的大小； (2)一段时间后物块的速度大小v＝4m/s，求此时物块的速度沿与y轴方向夹角的正弦值。 16．如图所示，一辆小汽车从点由静止开始以加速度水平向左做匀加速直线运动，运动到点时小汽车的速度为，此时绳子与水平面的夹角为，绳的长度为。已知绳子另一端所系重物的质量为，忽略滑轮和绳子的质量及摩擦。求： (1)重物此时的速度。 (2)绳子此时受到的拉力。 17．如图所示，在风洞实验室中，从点以水平速度向左抛出一质量为的小球（可视为质点），小球被抛出后受到大小为、方向水平向右的恒定风力，经过一段时间后小球运动到点正下方的点处，重力加速度为（小球在运动过程中除了受水平风力和重力外，不受其他作用力）。求： (1)此过程中小球离、两点所在直线的最远距离； (2)小球运动到点时的速度。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $